Técnicas de Projetos de Filtros - UFPR

TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR

1

7. Técnicas de Projeto de FiltrosIntrodução:

-Filtro seletor de frequências:Importante classe de sistemas LTI

-Sistema realizável:-Estável e Causal (não necessariamente)-Requer complexidade computacional limitada

- Realização de filtros contínuos por meio de sistemasdigitais:


2

Classificação dos filtros digitais:

Quanto à resposta em frequência:PBPAPFRF

Quanto a duração da Resposta ao Impulso:IIRFIR

Quanto à forma de realização:RecursivaNão-RecursivaDFT


3

Especificações de um filtro seletor:


4

7.1. Projeto de filtros discretos a partir de filtros contínuos

-Projetos de filtros contínuos estão bem consolidados

-Possuem formulação matemática fechada (não-iterativo)

-As técnicas usadas em projetos de filtros contínuos nãopodem ser diretamente aplicadas p/ filtros discretos.

Gabarito:

Amax

Amin

ωp ωs ω[rad/s]

A[dB]


5

7.1.1. Invariância ao Impulso

A resposta ao impulso caracteriza completamenteum sistema LTI.

Objetivo: Obter um sistema amostrado cuja repostaao impulso seja uma amostragem da resposta ao impulsode um sistema contínuo que satisfaz as especificações.

Procedimento:Gabarito → H(s) → h(t) → C/D → h[n] → H(z)

-Butterworth -Chebyshev Inverso-Chebyshev -Cauer (eliptico)-Bessel - Gauss-Legendre - ...


6

Ex.:

∑∑=

−

=

= →←+

=N

i

tpi

LaplaceN

i i

i ieAthps

AsH

1

.

1

.)()(

Amostragem:T

fnThnh s

1)(][ ==

∑∑=

−=

−

−=→←=

N

iTp

iZN

i

nTpi i

i

ezzA

zHeAnh1

.1

. .)(.][

Observe que:× C/D)(th

∑∞

−∞=

−n

nTt )(δ

)(ths ][nh


7

∑

∑

∑∑

∞

−∞=

−

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

=

−==

−=−⋅=

n

nTss

nss

nns

enThsH

nTtnThsHth

nTtnThnTtthth

.).()(

)()()()(

)()()()()(

δ

δδ

LL

Comparando com a transformada Z

∑∞

−∞=

−=n

nznThzH ).()(

Concluímos que esta aproximação correspondeà relação: sTez =


8

Análise do mapeamento:

1) Suponha: σ=s Número real

1||0

1||0

1||00

<=<

===

>=>

T

T

T

ezse

ezse

ezse

σ

σ

σ

σ

σ

sTez =

2) Suponha: ωjs = Número imaginário puro

Tjez ω= Circunferência unitária, porém:

P/

kT

kT

⋅=

=π

ω

πω2

.2 Há réplica do mapeamento!Mapeamento não unívoco


9

Tπ2

Tπ4

σ

Tπ2

−

Tπ4

−

ωj

1 Rez

Imz

Logo: Ocorre efeito Aliasing!


10

Conclusão:Mapeamento bom p/ filtros com zeros no infinito (PB,PF)Onde o efeito aliasing é reduzido.


11

)(.1 tδ 1 1)()()( zHsHth ⇔⇔

)(.3 tus1

1−zz

)(..4 tut 2

1s 2)1(

.−z

zT

)(.2

.52

tut

3

1s 3

2

)1()1(.

−+

zzzT

)(..6 tue at−as +

1aTez

z−−

)(.2 nTt −δnTse− nz−


12

)()()( zHsHth ⇔⇔

)(..6 tue at−as +

1aTez

z−−

)(...7 tuet at−

( )2

1as + ( )2

.aT

aT

ez

zeT−

−

−

)().sen(.8 0 tutω20

20

ωω+s 1)cos(.2

).sen(

02

0

+− zTzzT

ωω

)().cos(.9 0 tutω 20

2 ω+ss [ ]

1)cos(.2)cos(

02

0

+−−

zTzTzz

ωω

)().sen(.10 0 tute at ω−

20

20

)( ωω

+− as aTaT

aT

ezTezzTe

20

20

)cos(.2).sen(

−−

−

+− ωω

)().cos(.11 0 tute at ω−20

2)( ω+++

asas [ ]

aTaT

aT

ezTezTezz

20

20

)cos(.2)cos(

−−

−

+−−

ωω


13

Invariância ao Degrau

× C/D)(tg

∑∞

−∞=

−n

nTt )(δ

)(tg s)(][ zGng Z→←

-Filosofia a mesma da resposta ao impulso-Dado H(s) projetado:

H(s))(tu

)(][)()(1

)( / zGngtgsHs

sG ZDCLaplace →← → →←=

Se G(z) é a resposta ao degrau do sistema discreto:

)(1

)( zHz

zzG

−= )(

1)( zG

zz

zH−

=Logo:


14

Vantagem: Como a função é amostrada

O efeito do recobrimento é reduzido! PB.ssH )(

Generalização:-Invariância à rampa-Invariância à parábola-Invariância de ordem n


15

Transformação Z - Casada

Consiste no mapeamento direto dos pólos e zerosdo plano ‘s’ para pólos e zeros no plano ‘z’ usandoa relação:

sTez =Ex.:

Tjba

Tjba

aT

ezjbas

ezjbas

ezas

)(

)(

−−

+−

−

=→−−=

=→+−=

=→−=Pólos:

pTezA

zHps

AsH −−

=→+

= )()(


16

7.1.2. Mapeamentos s ↔ z

Características desejáveis:

1) H(s) racional → H(z) racional2) S=jω mapeado em z=ejωt

3) SPLE → dentro do círculo unitárioH(s) estável → H(z) estável


17

Métodos baseados na aproximação da integração numérica:

1t 2t t

)(tx

Tn )1( − nT

ssH

1)( =)(tx )(ty

∫ ∞−=

tdxty ττ )()(

∫=−2

1

)()()( 12

t

t

dxtyty ττ ou

( ) ( )( 1)

( 1) ( )nT

n T

y nT y n T x dτ τ−

− − = ∫


18

Forward Euler

1t 2t t

)(tx

Tn )1( − nT

]1[][].1[

))1(()())1(()()1(

−−=−

−−=×−=∫ −

nynyTnx

TnynTyTTnxdxnT

Tnττ

11.

)()(

)(

)()()(..

1

1

11

−=

−==

−=

−

−

−−

zT

zzT

zXzY

zH

zYzzYzXzT


19

1)(

−=

zT

zH

Como :s

sH1

)( =

Temos: sTzouT

zs +=

−= 1

1

Obs.: Melhor a aproximação da integral quantomenor for T, isto é, maior for fs


20

Teste das condições:

1) H(s) racional gera H(z) racional : OK

sTzouT

zs +=

−= 1

1

2)

Tjzzjs

ωω+=

=→=1

1||

Válido apenas p/ ωT<<1

3) H(s) estável gera H(z) estável: Falso!

σ

ωj

1 Re z

Imz


21

Backward Euler

1t 2t t

)(tx

Tn )1( − nT

]1[][].[

))1(()()()()1(

−−=

−−=×=∫ −

nynyTnx

TnynTyTnTxdxnT

Tnττ

1.

1)()(

)(

)()()(.

1

1

−=

−==

−=

−

−

zzT

zT

zXzY

zH

zYzzYzXT


22

1.

)(−

=z

zTzH

Como :s

sH1

)( =

Temos:sT

zouzT

zs

−=

−=

11

.1

Obs.: Melhor a aproximação da integral quantomenor for T, isto é, maior for fs


23



2)

Tjz

zjs

ω

ω

−=

=→=

11

1||

Válido apenas p/ ωT<<1

3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!

σ

ωj Imz

sTzou

zTzs

−=−=

11

.1

1 Re z

Circunferência de raio 1/2


24

Transformação Bilinear

1t 2t t

)(tx

Tn )1( − nT

[ ]

[ ]

( 1)( ) ( ) (( 1) ) ( ) (( 1) )

2

[ ] [ 1] [ ] [ 1]2

nT

n T

Tx d x nT x n T y nT y n T

T x n x n y n y n

τ τ−

= + − = − −

+ − = − −

∫

[ ]

11

211

2)()(

)(

)()()()(.2

1

1

11

−+

=−+

==

−=+

−

−

−−

zzT

zzT

zXzY

zH

zYzzYzXzzXT

Método dos trapézios


25

Como :s

sH1

)( =

Temos:sTsT

zouzz

Ts

−+

=+−

=22

112

11

2)(

−+=

zzT

zH


26



2)

!!1)(2

)(2||

22

1||

22

22

TT

Tz

TjTj

z

zjs

ωω

ωωω

ω

∀=−+

+=−+=

=→=

3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!

σ

ωj Imz

1 Re z

sTsT

zouzz

Ts

−+

=+−

=22

112


27

Porém: p/ s=jω z varia sobre a circunferência

2/2/

2/2/

2/

2/ 2112

112

Ω−Ω

Ω−Ω

Ω−

Ω−

Ω

Ω

+−

=×+−

=

+−=

jj

jj

j

j

j

j

eeee

Tee

ee

Tj

zz

Ts

ω

Lembrando Euler:

jee

ee

jj

jj

2)sen(

2)cos(

Ω−Ω

Ω−Ω

−=Ω

+=Ω

Temos:)2/cos(.2)2/sen(.22

ΩΩ

=j

Tjω

Logo:

=Ω

Ω=

2arctan.2

)2/tan(2

TT

ω

ω Distorção das frequências!


28

Ex.: Desejo realizar o filtro:

k101 =ω k302 =ω

Com: sradks /100=ω

]/[ sradω

Através da transformação Bilinear

Sei que há distorção (warping), logo devo projetaro filtro analógico previamente distorcido (pre-warping)de modo a compensar a distorção da Bilinear e o resultadoser o desejado.


29

No exemplo: ao invés de projetar o filtro analógico p/ 10k e 30kdevo projetá-lo p/:

=

2tan.

2 TTd

ωω

kk k

kd 342,10

2.10

tan.2 100

2

10021 =

=π

πω

kk k

kd 811,43

2.30

tan.2 100

2

10021 =

=π

πω

Pre-warping


30

Aproximações usadas p/ projeto de Filtros Analógicos:

-Butterworth-Chebyshev-Chebyshev Inverso-Cauer-Bessel-Gauss-Legendre-Multiplicidade n-....


31

7.2. Projetos de Filtros FIR

-São sempre estáveis: Pólos em z=0posições dos zeros que definem suas características

-Podem ter resposta de fase perfeitamente linear

-Pode-se sintetizar filtros com especificações de amplitudearbitrários (não apenas filtros seletores)

-P/ mesma especificação (gabarito), a ordem do FIRé, em geral, mais elevada do que um IIR (5 a 10 vezes)

- aumento da complexidade computacional

- Filtros FIR não tem equivalente analógico (contínuo)


32

Métodos de Síntese

a) Janelamento: “Amostragem no tempo”Cálculo dos M coeficientes da sua resposta ao

Impulso

b) “Amostragem em Frequência”Amostra N pontos da sua resposta em frequência

e faz-se a IDFT p/ encontrar sua resposta ao impulso

c) Métodos de otimização numérica


33

Síntese por Janelamento

Objetivo: Gerar H(z)

Sabemos que p/ sistemas FIR: ∑−

=

−=1

0

].[)(M

n

nznhzH

Logo: necessito conhecer h[n]

Lembrando: Filtro Ideal

-duração infinita-não-causal


34

O método tem como princípio tornar h[n] finita de Comprimento M e causal, de modo que )(][ˆ Ω≈ HnhF

Truncamento através da utilização de uma janela

][].[][ˆ nwnhnh =

=

−≤≤≠outros

Mnnw

,0

10,0][

No domínio frequência: )()()(ˆ Ω⊗Ω=Ω WHHConvolução Periódica

No limite: )()(ˆ Ω=Ω HH1][)()( =→←Ω=Ω nwW Fδ

Logo: Quanto > o M melhor será a aproximação


35

Metodologia:

Resposta em Freq. Ideal

todeslocamennwnhnhnhH DTFT →=→ →←Ω ][].[][ˆ][)(

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


36

Escolha da Janela: )()()(ˆ Ω⊗Ω=Ω WHH


37

Características de W(Ω) que influem em )(ˆ ΩH

a) Largura do Lóbulo Principal:Influencia no tamanho da banda de transiçãoQuanto <a largura do Lóbulo Principal < a banda de transição

Controla-se através da escolha de M, tamanho da janela.

>M , < Lóbulo principal, < Banda de transição, > complexidade


38

b) Razão de Ripple:É a relação entre a amplitude do lóbulo principal e o

1 lóbulo secundário.)0()(

log20W

W sΩ=λ

Determina a mínima atenuação da banda de rejeiçãoe o ripple da banda de passagem

Controla-se através da escolha da janela.M não influencia nesta característica


39

Principais tipos de janelas:

Retangular: ≤≤

=outros

Mnnw

,00,1

][

Bartlett:

≤<−

≤≤=

outros

MnMMnMnMn

nw

,0

2/,/222/0,/2

][Hanning:

≤≤−

=outros

MnMnnw

,00),/2cos(5.05.0

][π

Hamming: ≤≤−

=outros

MnMnnw

,00),/2cos(46.054.0

][π

Blackman: ≤≤+−

=outros

MnMnMnnw

,00),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0

][ππ


40


41

Procedimento:

-Dado um gabarito

-Escolher o tipo de janela que satisfaça a atenuaçãoNa banda de rejeição

-Escolher o M p/ satisfazer a banda de transição

Método de tentativa e erro.


42

Janela de Kaiser

Kaiser em 1966 desenvolveu um procedimento próximoDo ótimo p/ projeto de filtros FIR baseado em janelamento

- Vantagem: Técnica procedural

[ ]Mn

outros

I

nInw ≤≤

−−

= 0,

,0

)(

/)(1][

0

20

β

ααβ

Onde: Io(x) é a função de Bessel modificada de primeira espécie e ordem zero.

2

10 2!

11)( ∑∞

=

+=

n

nxn

xI Série de convergência rápida

2/M=α


43

Dado o gabarito:

Amax

Amin

Ωp Ωs Ωps Ω−Ω=∆Ω

Temos:

<

≤≤−+−

>−

=

21,0

5021)21(07886.0)21(5842.0

50)7,8(1102.0

min

minmin4.0

min

minmin

A

AAA

AA

β

∆Ω⋅−

=285.2

8minAM

Determinados: M, α e β, calcula-se w[n]e H(z)=Zh[n].w[n]


44

Compensação da Distorção sen(x)/x do conversor D/A

Outros tipos de de projetos otimizados: Parks-McClellan


45

Afinal: FIR ou IIR ?1) ( )H z

2) ( )H Ω

3) ( )H Ω

4) Estabilidade

5) Projeto

6) Complexidade

7) Estruturas

8) Erros de Quantização

9) Filtros Adaptativos

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