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CONVERGÊNCIA DAS SÉRES DE FOURIER E SÉRIE DUPLA DE FOURIER

Bruno César Tomaz de Matos, Daniela Pacheco Leão Chaves

Resumo

A teoria das séries de Fourier é formulada no domínio da teoria dos espaços vetoriais munidos de produto-interno. Apesar de haver analogias com a Geometria Analítica elementar, a teoria das séries de Fourier não é simples porque os espaços de funções têm (geralmente) dimensão infinita. A motivação física para o estudo das séries de Fourier é que elas têm diversas aplicações importantes, particularmente na resolução de equações diferenciais parciais. Além disso, servem para representar o comportamento de funções periódicas e de ondas eletromagnéticas. O método segue o princípio da utilização das funções senos e cossenos como bases vetoriais para a extensão de funções periódicas. No caso em que as funções a serem estendidas possuem duas variáveis independentes, é necessária a aplicação da série em sua forma dupla.

1. As Séries de Fourier

Funções periódicas:Uma função f(x) é dita periódica com um período T se f(x - nT) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x + NT) = f(x) para n inteiro n = 0, ±1, ±2, ...

Série Trigonométrica:É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x (bases) por coeficientes, que não dependem da variável x e são admitidos reais, mas que variam de acordo com a posição de cada termo.

12a0+a1cos x+a2cos 2x+…+b1sin x+b2 sin 2x+… ou

12a0+∑

n=1

∞

(ancosnx+bnsin nx )

Sendo esta série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma função da variável independente e como os termos da série são formados por funções trigonométricas (periódicas de período 2π), a soma S(x), ou seja, a função extendida será uma função periódica de período 2π. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento 2π, por exemplo: (-π,π) ou (0,2π).As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica em sua forma mais geral (simples):.

f ( x )=12a0+∑

n=1

∞

(ancos nx+bn sin nx ) ou

Esta representação é possível se a f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.

2. Cálculo dos Coeficientes de Fourier (série simples)

As fórmulas que permitem o cálculo dos coeficientes de Fourier para funções que pertencem ao conjunto cp[-π,π], podem ser demonstradas a partir da realização de produtos internos de ambos os lados da série trigonométrica pelas bases seno e cosseno. Com isso:

a0=1π∫−π

π

f (x)dx

an=1π∫−π

π

f (x)cos (nx )dx ,n≥1

bn=1π∫−π

π

f (x)sin (nx )dx

Podemos generalizar as três equações:

3. Condições de Dirichlet:

Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica, as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função.

1ª) a função f(x) deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo [-π,π], com exceção, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).

2ª) efetuando-se uma partição no intervalo (-π,π) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles será monótona. A função f(x) tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.

4. Série Dupla de Fourier

Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo R do plano, se:

(i) f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exceção de um número finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, ou em ambos;

(ii) existe lim( x , y )→ (x0 , y0 )

f (x , y) quando (x0 , y0 ) é um ponto de descontinuidade de f e (x,y) tende a

(x0 , y0 ) pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é derivada pelos arcos de descontinuidade.

Produto Interno:Definimos produto interno entre funções de duas variáveis independentes como:

⟨ f , g ⟩=∬R

❑

f (x , y )g ( x , y ) dR

¿

Teorema: Sejam { f i(x)} e {g j( y )} bases ortogonais dos espaços euclidianos cp[a,b] e cp[c,d], respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos f i ( x )g j ( y ) , i=1,2,3,... e j=1,2,3,... uma base de cp(R), onde R é o retângulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d.

Seja a série dupla de Fourier abaixo:

f ( x , y )=∑i , jα i , jh i, j ( x , y )

1) Base para cp[-π,π]:

f(x) Є cp[-π,π], x Є [-π,π]

{cos nx ,sinmx }, n = 0,1,2,... e m = 0,1,2,...

2) Base para cp[-π,π]:

g(y) Є cp[-π,π], y Є [-π,π]

, p = 0,1,2,... e q = 0,1,2,...

Assim:3) Base para cp(R)

{cos nxcos py ,cos nxsin qy , sinmx cos py ,sinmx sin qy }

f ( x , y )∈cp(R)

5. Cálculo dos coeficientes de Fourier (série dupla)

As fórmulas que permitem o cálculo dos coeficientes de Fourier para funções que pertencem ao conjunto cp[-π,π], podem ser demonstradas a partir da realização de produtos internos de ambos os lados da série trigonométrica pelas bases seno e cosseno. Com isso:

a0=1

4 π2 ∫−π

π

∫−π

π

f ( x ) dxdy

anm=1π2 ∫

−π

π

∫−π

π

f (x)cos (nx ) cos (my )dxdy

bnm=1π2 ∫

−π

π

∫−π

π

f (x)cos (nx ) sin (my )dxdy

cnm=1π2 ∫

−π

π

∫−π

π

f (x )sin (nx ) cos (my )dxdy

dnm=1π2 ∫

− π

π

∫−π

π

f ( x)sin (nx ) sin (my )dxdy

Podemos generalizar as cinco equações:

α ij=⟨ f , hij ⟩‖h ij‖

2 ou

α ij=1

‖hij‖2 ∫

−π

π

∫−π

π

f ( x , y )hij ( x , y )dxdy

A base vetorial é:

hij ( x , y )=φi ( x )φ j( y), onde φi(x) e φj(y) são funções senos e cossesnos.

Assim:

f ( x , y )=∑n=0

❑

∑p=0

❑

αnp cosnx cos py+∑n=0

❑

∑q=1

❑

α nqcos nxsin qy+∑m=1

❑

∑p=0

❑

αmp sinmx cos py+∑m=1

❑

∑q=1

❑

αmq sinmx sin qy

Onde:

‖cos (ix ) cos ( jy )‖2={ 4 π2

2π 2

π2 , i≠0 e j≠0

De um modo mais geral, o conjunto de funções:

sin(mπa x )sin (nπb y ) ,sin(mπa x )cos( qπb y) , cos( pπa x )sin ( nπb y ),cos ( pπa x)cos( qπb y) é uma

base do espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo –a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤ b.

Teorema: Seja R o retângulo –π ≤ x ≤ π, -π ≤ y ≤ π, e suponhamos que F seja contínua em R, e

que ∂F∂ x, ∂F∂Y

, ∂2F

∂ x∂ y existam e sejam limitadas em R. Então, a série dupla de Fourier de F

converge pontualmente para F em R.

6. Convergência das Séries de Fourier

Convergência Pontual:Seja f(x) contínua por partes em (-∞,∞), com período 2π, e suponhamos que:

f ( x )=12¿ para todo x. Então, a série de Fourier de f converge para f(x0) em cada ponto x0 em que

f tem derivadas à direita e à esquerda.

f ¿f ¿

Quando f é contínua: f ¿

limx→1+¿ f ( x )=0¿

¿

limx→1−¿ f ( x )=1¿

¿

Convergência em média:

limk→∞

‖f k−f‖=limk→∞ (∫a

b

[ f k ( x )−f (x)] dx )=0

{ f k ( x ) }→k→∞ f (x )

Mais uma vez ressaltamos que a série converge em média para f, e não que converge

pontualmente, no sentido que f (x0)=a0

2+∑n=1

∞

(an cosn x0+bn sin n x0) para todo x0 em [-π,π]. A

convergência pontual ocorre, surpreendentemente, quando f é razoavelmente bem comportada.

f ( x )={−1 ,−π<x<01,0<x<π

f ( x )= 4π∑k=1

∞ sin (2k−1 ) x2k−1

(média). Neste caso a série converge também pontualmente para f nos

pontos de [-π,π], onde f está definida. Além disso, quando x=0, ±π, a série obviamente converge para zero, embora f não esteja definida nesses pontos.Teorema: seja f uma função continuamente diferenciável por partes em cp[-π,π]. Então, o desenvolvimento em série de Fourier de f converge pontualmente [-π,π], e tem o valor:f ¿¿ em cada ponto x0 do interior do intervalo, e f ¿¿ em ± π.Obs: f ¿¿ é a média dos limites à esquerda e a direita de f em x0, e é igual a f(x0) quando x0 é um ponto de continuidade de f.

Assim podemos afirmar que a série:4π∑k=0

∞ sin (2k−1 ) x(2 k−a )

= 4π [sin x+ sin3 x

3+ sin 5 x

5+… ] converge pontualmente no intervalo [-π,π]

para:-π se –π < x < 0Ou se x = - π,0,πOu se 0 < x < π

Convergência absoluta e uniforme:Teorema: seja f uma função contínua em (-π,π), com período 2π, e suponhamos que f tenha derivada primeira contínua por partes. Então a série de Fourier de f converge uniformemente e absolutamente para f em todo intervalo fechado do eixo x.

Teorema: Seja f continuamente diferenciável por partes e periódica em (-∞,∞) com período 2π. Então a série de Fourier de f converge uniformemente para f em qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de f.

7. Conclusão

As Séries de Fourier para funções de duas variáveis independentes conserva todas as equações das Séries para funções de uma variável. Isso nos permite imaginar que as equações não são mantidas somente da forma simples para a dupla, mas sim, para séries de qualquer dimensão. Ou seja, poderemos imaginar que a equação geral para Série de Fourier é:

f (x i ,…, x j)= ∑i ,… , j=0

∞

α i ,… , jhi ,…, j e o cálculo dos coeficientes de Fourier é:

α i ,… , j=⟨ f (xi ,…, x j ) , hi ,… , j ⟩

‖hi ,… , j‖2 . Portanto, a utilização das Séries de Fourier é ampliada pelo fato de

podermos utilizá-la para funções de um número qualquer de variáveis, podendo representar assim, uma gama de funções periódicas.

8. Referências Bibliográficas

Introdução à Análise Linear, R. KReider, D.R. STBERG, R.C. KULLER E F.W.PERKINS – EDITORA UNB AO LIVRO TÉCNICO, RJ, 1972

Notas de Aula, Séries de Fourier, A.S. DE ASSIS 2010

Apostila Séries de Fourier, R.O. SACRAMENTO, 1980


Daniela Pacheco Leão Chaves

Resumo






12a0+∑

n=1

∞

(ancosnx+bnsin nx )


f ( x )=12a0+∑

n=1

∞



Bruno César Tomaz de Matos

Resumo






12a0+∑

n=1

∞

(ancosnx+bnsin nx )


f ( x )=12a0+∑

n=1

∞


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