09/12/2015

1

108/12/2015

CIRCUITOS EM CORRENTE

ALTERNADA – PARTE 1

208/12/2015

1. FUNÇÕES PERIÓDICAS

2. DOMÍNIO DO TEMPO

3. FASORES

4. POTÊNCIA ATIVA

5. POTÊNCIA REATIVA

6. POTÊNCIA APARENTE

7. RESISTÊNCIA

8. CAPACITÂNCIA

9. INDUTÂNCIA

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

FUNÇÕES PERIÓDICAS

308/12/2015

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

• CC: Tensão e Correntes não periódicos

– Regime estacionário: Os valores instantâneos são

constantes.

– Regime transitório: Os valores instantâneos são variáveis.

• CA: Tensão e Corrente periódicos (senoidais)

– Valor Instantâneo (função de t).

– Valor médio e de pico (constantes).

Regimes

408/12/2015

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

• Também chamada de onda.

• Toda função periódica pode ser dividida em ângulos.

• Uma volta ou ciclo: 360

• 360 = 2 radianos.

• = 3,14159265359 (adimensional)

• 1 radiano = 360/(2)

• 1 radiano = 57,2957795131

Função periódica

508/12/2015

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

608/12/2015

ECG

https://brugada.files.wordpress.com/2009/05/ecg.gif

09/12/2015

2

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

708/12/2015

Principais funções periódicas

Seno ou

Cosseno

Quadrada

Dente-de-serra

Triangular

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

808/12/2015

Principais funções periódicas sem off-set

• O valor médio é zero.

• SC+: Semi-ciclo positivo

• SC–: Semi-ciclo negativo

• T = tSC+ + tSC–

• tSC+ = tSC–

SC+ SC-

t

t

t

t

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

t

908/12/2015

Principais funções periódicas com off-set

• O off-set não altera a

definição de tSC+ e de tSC–.

SC+ SC-

t

t

t

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

• Freqüência linear (f): Quantas voltas ou ciclos

a função faz por unidade de tempo. [s-1],[Hz].

• Unidade: Hertz [Hz] em homenagem ao físico

alemão Heinrich Rudolf Hertz (1857 – 1894).

• Freqüência angular (): Quantos radianos o

fasor gira por unidade de tempo. [rads-1].

: Freqüência angular – ângulo/tempo

f: Freqüência linear – ciclos/tempo

1008/12/2015

Função periódica

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

2

2

22

TT

ff

• Ciclo: 2 [ rad ]

• Frequência Linear: [ ciclos/s ]

• Tempo para um ciclo: Período (T) [ s ]

• = 2/T [ rad/s ]

• = 2f [ rad/s ]

1108/12/2015

Função periódicaUsando radianos

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

• Ciclo: 360 []

• Frequência Linear: [ ciclos/s ]

• Tempo para um ciclo: Período (T) [ s ]

• = 360/T [/s ]

• = 360f [/s ]

• Não usaremos graus para .

1208/12/2015

Função periódicaUsando graus

09/12/2015

3

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Frequência angular

1308/12/2015

t

dt

d

0

0

tt

dt

dt

cte

Ou velocidade angular

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

1408/12/2015

Tensão em onda quadrada

• VL: Low voltage – Tensão de nível baixo.

• VH: High voltage – Tensão de nível alto.

• tL: Low time – Tempo em nível baixo.

• tH: High time – Tempo em nível alto.

• tR: Rise time – Tempo de subida.

• tF: Fall time – Tempo de descida.

t

• VAV: Average voltage – Tensão média (VM).

• Consequência dos itens anteriores.

• O mesmo vale para corrente elétrica.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

1508/12/2015

Onda quadrada

t

tL

tH

tF tR

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

1608/12/2015

Onda quadrada

360

%100%

lDesprezíve :

HL

H

HL

H

HL

H

HL

HHLLM

HL

FR

FRHL

tt

tDC

tt

tDC

tt

tDC

tt

tVtVV

ttT

tt

ttttT

Dutty-cycle

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

1708/12/2015

Exemplo 1

• Onda quadrada.

• VH = 3V

• VL = 2V

• tH = 320s

• tL = 240s

• tR = tF = 0s

• Determine:

• VM

• DC%

• DC

• f

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

1808/12/2015

Exemplo 1

VV

ss

sVsVV

tt

tVtVV

M

M

HL

HHLLM

43,2

240320

24033202

%14,57%

%100320240

320%

%100%

DC

ss

sDC

tt

tDC

HL

H

7,205

360320240

320

360

DC

ss

sDC

tt

tDC

HL

H

kHzf

ssf

ttf

HL

79,1

240320

1

1

09/12/2015

4

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

1908/12/2015

t [s]

f(t)

Seno e cosseno

• A função seno é chamada de “sin” nas calculadoras.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

2008/12/2015

Seno e cossenoSin Cos

00

30

45

60

90

2

2

2

3

2

1

2

0

2

4

2

0

2

2

2

4

2

1

2

3

• Esses valores não

aceitam interpolação.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal unitária

2108/12/2015

constante:

t

radt

st

srad

tf

f

t

:

:

:

cos

cos

tf 2

• : Ângulo instantâneo.

• Função alternada ou periódica: e f constantes.

• Se e f variam no tempo, não se trata de unção alternada.

• A alternância ocorre entre o semi-ciclo positivo e o negativo.

• Semi-ciclo positivo: Concavidade para baixo.

• Semi-ciclo negativo: Concavidade para cima.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

cosf

Função cossenoidal unitária

2208/12/2015

• Valor instantâneo mínimo: –1

• Valor instantâneo máximo: +1

• Valor médio: 0

144cos 44

043cos 43

142cos 42

041cos 41

140cos 40

rad

rad

rad

rad

rad

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal unitária

2308/12/2015

Semiciclo

negativo

1

-1

[rad]/2

3/2

-/2

f()

Semiciclo

positivo

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal unitária

2408/12/2015

Semiciclo

negativo

Semiciclo

positivo

1

-1

t [rad]/2

3/2

-/2

f(t)

t

09/12/2015

5

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal unitária

2508/12/2015

radTt

radTt

radTt

radTt

radt

2

4343

22

44

00

Semiciclo

negativo

1

-1

t [s]T/4 T/2

3T/4

-T/4

f(t)

Semiciclo

positivo

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

tctef

cteT

T

t

f

t

t

cos

2

2

2

T

tf

tff

tf

cte

tf

f

ff

t

t

t

t

t

t

t

2cos

2cos

cos

cos

cos

2608/12/2015

Função cossenoidal unitária

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal

08/12/2015

tAf t cos

• Valor instantâneo mínimo: –1

• Valor instantâneo máximo: +1

• Valor médio: 0

• A: Valor de pico ou módulo.

• A = |f(t)|

• “A” possui a unidade da grandeza em questão.

• cos(t) é adimensional.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal

2808/12/2015

Semiciclo

negativo

A

-A

t [s]T/4 T/2

3T/4

-T/4

f(t)

Semiciclo

positivo

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

tf t cos

Função cossenoidal com defasagem

2908/12/2015

Semiciclo

negativo

1

-1

t [s]/2

3/2-/2

Semiciclo

positivo

f(t)

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

tBf t cos

Função cossenoidal unitária com off-set B

3008/12/2015

• Uma função periódica sem off-set possui valor

médio zero.

• O valor médio é dado pelo próprio off-set.

• O valor médio deve ser tomado para intervalos

formados por múltiplos inteiros do período.

09/12/2015

6

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

t [s]

B

B+1

B–1

tBf t cos

Função cossenoidal unitária com off-set B

3108/12/2015

• Valor instantâneo mínimo: B–1

• Valor instantâneo máximo: B+1

• Valor médio: B

/2 3/2-/2

f(t)

Semiciclo

positivo

Semiciclo

negativo

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

Semiciclo positivo

Semiciclo negativo

B

B+A

B–A

PICOt

t

ffA

tABf

cos

Função cossenoidal com off-set B

3208/12/2015

• Valor instantâneo mínimo: B–A

• Valor instantâneo máximo: B+A

• Valor médio: B

/2 3/2-/2

f(t)

t [s]

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

B: Off-Set

f(t): Função temporal senoidal

|f|: Módulo ou valor de pico de f(t)

: Ângulo instantâneo

: Ângulo de defasagem

Semiciclo negativo

Semiciclo positivo

t

tfBf t cos

:lcossenoida Função

Função cossenoidal com defasagem e off-set

3308/12/2015

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

0 2

Off-set

T

fP

fP

fPP

t [s]

Pff

3408/12/2015

Função cossenoidal geral

f(t)

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

>0

<03508/12/2015

Função cossenoidal defasada

t [s]

t [s]

f(t)

f(t)

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

3608/12/2015

Off-set > 0

Off-set < 0

Função cossenoidal com off-set

t [s]

f(t)

t [s]

f(t)

09/12/2015

7

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal

tff Pt cos

sinsincoscoscos ttt

tt

ttt

ttt

cos0cos

0sin1cos0cos

0sinsin0coscos0cos

0

3708/12/2015

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

tt

ttt

ttt

sin90cos

1sin0cos90cos

90sinsin90coscos90cos

90

3808/12/2015

tt

ttt

ttt

sin90cos

1sin0cos90cos

90sinsin90coscos90cos

90

Função senoidal

t [s]

f(t)

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

t [s]36

V [V]

3908/12/2015

Exemplo 2

• Determine a frequência.

• Determine a frequência angular.

• Determine a função temporal.

1

-1

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4008/12/2015

Exemplo 2

kHzf

sTf

sT

sT

8,20

48

11

48

364

3

tkV

tVVV

srad

PM

131cos

cos

skrad

kHz

f

/131

8,202

2

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4108/12/2015

Exemplo 3

• Determine a frequência.

• Determine a frequência angular.

• Determine a defasagem.

• Determine a função temporal.

t [s]36-4

V [V]

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4208/12/2015

Exemplo 3

0,27

4

3603,53

s

s

kHzf

sTf

sT

ssT

75,18

3,53

11

3,53

4364

3

0,27118cos

cos

tkV

tVVV

srad

PM

skrad

kHz

f

/118

75,182

2

09/12/2015

8

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4308/12/2015

Exemplo 4

• Determine a frequência.

• Determine a defasagem.

t [s]30

4

V [V]

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4408/12/2015

Exemplo 4

8,13

4

360104

s

s

kHzf

sTf

sT

ssT

62,9

104

11

104

4304

skrad

kHz

f

/4,60

62,92

2

8,134,60cos

cos

tkV

tVVV

srad

PM

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4508/12/2015

Exemplo 5

• Determine a defasagem.

• Determine a frequência.

t [s]36

1

-1

0,9

V [V]

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

t [s]36

1

-1

0,9

V [V]

4608/12/2015

Exemplo 5

8,25

9,0cos

270

25,8

sT

T

s

1,53

360

362,244

244,2

kHzf

sTf

8,18

1,53

11

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4708/12/2015

Exemplo 6

• Determine VMÍN.

• Determine a frequência.

t [s]

16

3

80

V [V]

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4808/12/2015

Exemplo 6

VV

VVV

VVV

VV

VVV

VVV

MÍN

MÍN

PMMÍN

P

P

MMÁXP

10

133

13

316

t [s]

13

0

80

V [V] Translação vertical

-13

-3

3,103

23,0cos

cos133

cos

VV

VV P

t

T 360

Hzf

sTf

59,3

279

11

sT

s

T

279

3,10380

360

09/12/2015

9

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

4908/12/2015

Exemplo 7

• Determine a frequência.

t [s]

8

-13

V [V]

32

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

2,5

5008/12/2015

Exemplo 7

VV

VVV

VVV

VV

VVV

VVV

P

P

MMÁXP

M

M

MÍNMÁXM

5,10

5,28

5,2

2

138

2

t [s]

10,5

032

V [V] Translação vertical

-10,5

2,76

24,0cos

cos5,105,2

cos

VV

VV P

tA

8,103

2,76180

AB

tB

8,283

8,103180

msT

ms

T

6,40

8,28332

360

Hzf

msTf

6,24

6,40

11

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5108/12/2015

Exemplo 8

• f = 60Hz.

• Determine VMÍN.

• Determine os instantes tA e tB.

t [s]

5

1

tA tB

V [V]

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5208/12/2015

Exemplo 8

VV

VVV

VVV

VV

VVV

VVV

MÍN

MÍN

PMMÍN

P

P

MMÁXP

3

41

4

15

t [s]

4

0

V [V] Translação vertical

-4

-1

5,104

25,0cos

cos41

cos

A

A

A

P

VV

VV

tC

5,75

5,104180

AC

msT

HzfT

7,16

60

11

5,255

5,75180

B

B

mst

t

ms

A

A

84,4

5,104

3607,16

mst

t

ms

B

B

9,11

5,255

3607,16

tA tB

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5308/12/2015

Exemplo 9

• Determine a frequência.

• Determine a defasagem.

• Determine o instante tA.

• Determine a função temporal.

t [s]

32

6

2 tA

V [V]

5

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5408/12/2015

Exemplo 9

VV

VVV

VVV

P

P

MMÁXP

26

632

3,103

cos266

cos

'

2

'

2

VV

VV P

t [ms]

26

0

2 tA

V [V] Translação vertical

-26

-65

103,3270

t0

2705

3,1032

0

0

tms

tms

09/12/2015

10

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5508/12/2015

Exemplo 9

ss

t

tms

ttmsms

tmstms

tmstms

tmstms

tmstms

tms

tms

14061,1

230

61,123,0

61,2523,5

561,223,5

5261,2

523,103

270

53,1032270

2705

3,1032

0

0

00

00

00

00

00

0

0

msT

T

sms

tms

48,6

360

2701405

2705 0

Hzf

msTf

154

48,6

11

76,7

36048,6

140

0

ms

s

t

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5608/12/2015

Exemplo 9

mst

msst

st

ms

tt

T

A

A

A

A

76,4

62,4140

1407,256

48,6360

7,256

360

0

t [ms]

26

0

2 tA

V [V] Translação vertical

-26

-65

7,76

103,3270

90

13,3

13,3

256,7

7,2563,13270

3,13903,103

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5708/12/2015

Exemplo 9

76,76,969cos266

cos

:completa Função

tVVV

tVVV

srad

PM

srad

Hz

f

/6,969

1542

2

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5808/12/2015

Exemplo 9

VV

VVV

VVV

VVV

VVV

radVVV

msVVV

mst

srad

6

06

0266

270cos266

76,78,277cos266

8,277

85,4

3602

76,785,4cos266

76,75968cos266

5

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

5908/12/2015

Exemplo 9

VV

VVV

VVV

VVV

VVV

rad

rad

radVVV

msVVV

mst

srad

0

66

231,0266

3,103cos266

76,71,111cos266

1,111

94,1

3602

76,794,1cos266

76,72968cos266

2

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

6008/12/2015

Exemplo 9

VV

VVV

VVV

VVV

VVV

rad

rad

radVVV

msVVV

mstt

srad

A

0

66

23,0266

257cos266

76,7264cos266

264

62,4

3602

76,762,4cos266

76,776,4968cos266

76,4

09/12/2015

11

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

• O valor médio é dado pela área da figura.

• Área no eixo vertical negativo é negativa.

• Valor médio é usado em potência ativa.

• Em eletricidade, o valor quadrático médio é

mais interessante que o instantâneo e o médio.

• O valor quadrático médio é chamado de RMS

(Root Mean Square, Raíz Quadrada Média).

• Valor RMS não é usado em potência.

6108/12/2015

Valores médio e RMS

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

6208/12/2015

• O valor médio é dado pela altura do

retângulo de área igual à do gráfico dentro

do período, rebatido nos quadrantes

positivos do eixo vertical.

• Se um sinal tem amplitude constante no

tempo, os seus valores de pico, pico a pico,

médio e RMS são constantes no tempo, ou

seja, são valores contínuos.

• Um número complexo na forma polar possui,

como módulo, o valor de pico do sinal.

Valores médio e RMS

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

6308/12/2015

• Apesar dos números complexos informarem valores de

pico, muitos livros apresentam valores RMS na forma polar.

• Isto está errado, pois o valor RMS é contínuo e, como tal,

não pode ser representado na forma polar.

• A transformação de uma função temporal periódica em

número complexo polar deve usar o valor de pico como

módulo, e não o valor RMS.

Valores médio e RMS

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

6408/12/2015

• Tensão RMS: Tensão contínua que, num resistor,

produz a mesma potência da tensão alternada.

• Corrente RMS: Corrente contínua que, num resistor,

produz a mesma potência da corrente alternada.

Valor RMS para onda senoidal sem off-set

RMS

Máximo (Pico)

t

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

2

2

PRMS

PRMS

II

VV

707,0

707,0

PRMS

PRMS

II

VV

PPP

PPP

II

VV

2

2

354,0

354,0

PPRMS

PPRMS

II

VV

22

22

PPRMS

PPRMS

II

VV

Pff

Valor RMS para onda senoidal sem off-set

6508/12/2015

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

Tnt

ttM

Tnt

ttM

dtIT

I

dtVT

V

1

1

6608/12/2015

Valor médio – Fórmula geral

• Esta fórmula vale, apenas, para função periódica.

• A quantidade de períodos é um número inteiro.

• Vide livros sobre cálculo integral.

09/12/2015

12

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

T

tM

T

tM

dtIT

I

dtVT

V

0

0

1

1

dasimplifica Fórmula

6708/12/2015

Valor médio – Fórmula geral

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

Tt

tt

Tt

tt

t

t

dtIT

I

dtVT

V

II

VV

2média

quadrática

2média

quadrática

2

quadrático

2

quadrático

1

1

6808/12/2015

Valor quadrático médio – Fórmula

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

Tt

ttRMS

Tt

ttRMS

dtIT

I

dtVT

V

2

2

1

1

6908/12/2015

• Esta fórmula será demonstrada mais adiante.

• Ao realizar a radiciação, considerar, apenas, valores

positivos.

• A fórmula para o valor eficaz não pode ser aplicada

à potência por não se tratar de uma grandeza linear.

Raiz quadrática média – RMS – Fórmula

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

Fórmulas integrais

0cos

0sin

Tt

t

Tt

t

dt

dt

70

setoffB

ffA PICOt

0cos

0sin

Tt

t

Tt

t

dtt

dtt

02cos

02sin

Tt

t

Tt

t

dt

dt

022cos

022sin

Tt

t

Tt

t

dtt

dtt

Tdt

tTtdt

dt

Tt

t

Tt

t

Tt

t

Tt

t

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

22 Ax

Ax

t

t

2

2

2

2

2

1

1

Ax

TT

Ax

dtT

Ax

dtAT

x

dtxT

x

RMS

RMS

Tt

tRMS

Tt

tRMS

Tt

ttRMS

Ax

Ax

RMS

M

71

Exemplo 10: Função contínua

setoffB

ffA PICOt

TT

Ax

dtT

Ax

dtAT

x

dtxT

x

M

Tt

tM

Tt

ttM

Tt

ttM

1

1

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

22cos12

1

22cos12

1cos

2cos12

1cos

cos

cos

22

2

2

222

tAx

tt

tAx

tAx

t

t

t

Exemplo 11: Onda senoidal sem off-set

72

setoffB

ffA PICOt

A

-A

09/12/2015

13

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

0

cos

cos1

1

T

Ax

dttT

Ax

dttAT

x

dtxT

x

M

Tt

tM

Tt

tM

Tt

ttM

0Mx

73

setoffB

ffA PICOt

Exemplo 11: Onda senoidal sem off-set

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

T

TAx

T

TAx

TT

Ax

RMS

RMS

RMS

2

2

2

Exemplo 11: Onda senoidal sem off-set

TT

Ax

TT

Ax

dttdtT

Ax

dttT

Ax

dttT

Ax

dttA

Tx

dtxT

x

RMS

RMS

Tt

t

Tt

tRMS

Tt

tRMS

Tt

tRMS

Tt

tRMS

Tt

ttRMS

2

02

22cos2

22cos12

22cos12

22cos12

1

1

2

2

2

2

AxRMS

74

setoffB

ffA PICOt

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

22cos12

cos2

22cos12

1cos

2cos12

1cos

coscos2

cos

222

2

2

2222

tA

tABBx

tt

tAtABBx

tABx

t

t

t

Exemplo 12: Onda senoidal com off-set

75

setoffB

ffA PICOt

t

A+B

0

B

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

Exemplo 12: Onda senoidal com off-set

0

cos

cos11

cos1

1

T

AT

T

Bx

dttT

Adt

T

Bx

dttAT

dtBT

x

dttABT

x

dtxT

x

M

Tt

t

Tt

tM

Tt

t

Tt

tM

Tt

tM

Tt

ttM

BxM

76

setoffB

ffA PICOt

• O valor médio é o off-set.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

Exemplo 12: Onda senoidal com off-set

20

2

22cos2

22cos12

22cos12

1

22

2

2

2

AT

T

A

dttdtT

A

dttT

A

dttA

T

Tt

t

Tt

t

Tt

t

Tt

t

77

setoffB

ffA PICOt

Tt

t

Tt

t

Tt

tRMS

Tt

tRMS

dttA

TdttAB

TdtB

Tx

dttA

tABBT

x

22cos12

1cos2

11

22cos12

cos21

22

22

002

cos2

cos21

T

AB

dttT

AB

dttABT

Tt

t

Tt

t

22

2

21

BTT

B

dtT

B

dtBT

Tt

t

Tt

t

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015

Exemplo 12: Onda senoidal com off-set

78

setoffB

ffA PICOt

20

22cos12

1cos2

11

22

22

ABx

dttA

TdttAB

TdtB

Tx

RMS

Tt

t

Tt

t

Tt

tRMS

22

2B

AxRMS

2

2

2B

AxRMS

09/12/2015

14

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

08/12/2015 79

setoffB

ffA PICOt

• B: Componente DC ou valor médio ou off-set.

• A/2: Valor RMS da componente AC (RMS AC).

• DC: Direct Current.

• AC: Alternating Current.

22

_ DCRMSACRMS xxx

RMS_AC

DC

2

2

_

Ax ACRMS 2

2

2B

AxRMS

Exemplo 11

Exemplos 11 e 12

FUNÇÕES PERIÓDICAS1x(t)

t

A

-A

T/2 T

Exemplo 13Onda quadrada sem off-set e com dutty-cycle de 50%.

AxTxT

AxTx

dtxT

x

t

t

Tt

ttM

2

20

1

T

Tt

T

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

2

2

00

2

1 0

8008/12/2015

22

202

2

2

0

2

2

0

22

2

0

2

0

22

22

2

0

2

0

2

0

2

0

TAdtxTAdtx

TTAdtxTAdtx

tAdtxtAdtx

dtAdtx

dtAdtx

dtAdtx

dtAdtx

T

Tt

T

t

T

Tt

T

t

T

T

T

Tt

TT

t

T

T

T

Tt

T

T

T

Tt

TT

t

TT

t

0

22

0

0

T

t

T

t

dtx

TATAdtx

0Mx

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 13

Onda quadrada sem off-set e com dutty-cycle de 50%.

AxTxT

AxTx

dtxT

x

t

t

T

tRMS

2

20

1

0

2

T

Tt

T

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

2

22

0

2

0

2

2

1 0

8108/12/2015

22

202

2

2

222

0

2

2

2

222

0

2

2

2

2

22

0

22

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

22

0

2

2

0

22

0

2

TAdtxTAdtx

TTAdtxTAdtx

tAdtxtAdtx

dtAdtx

dtAdtx

dtAdtx

dtAdtx

T

Tt

T

t

T

Tt

T

t

T

T

T

Tt

TT

t

T

T

T

Tt

T

T

T

Tt

TT

t

TT

t

2

2

2

0

2

22

0

2

1

22

Ax

TAT

x

TAdtx

TATAdtx

RMS

RMS

T

t

T

t

AxRMS

x(t)

t

A

-A

T/2 T

PICORMS ffx

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 13

Onda quadrada sem off-set e com dutty-cycle de 50%.

8208/12/2015

• Pela definição de RMS, a potência no resistor

deve ser a mesma da onda original.

• Para o resistor, o sentido da corrente não interfere

n potência, por isso, o semi-ciclo negativo pode

ser considerado positivo, formando, assim, um

sinal contínuo, igual ao do exemplo 10.

x(t)

t

A

-A

T/2 T

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 14

022

20022

02

0

0

2

2

2

22

0

2

2

22

0

2

22

22

0

2

0

2

22

2

22

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

2

T

Tt

T

t

T

Tt

T

t

T

T

T

Tt

TT

t

T

T

T

Tt

T

T

T

Tt

TT

t

TT

t

dtxTAdtx

TTdtxTAdtx

tdtxtAdtx

dtdtx

dtdtx

dtAdtx

dtAdtx

221

22

022

0

0

TAT

x

TAdtx

TAdtx

M

T

t

T

t

Onda quadrada, off-set = A, DC = 50%.

02

220

1

0

t

t

T

tM

xTxT

AxTx

dtxT

x

T

nTt

nT

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

00

2

1 0

8308/12/2015

x(t)

t

2A

0T/2 T

A

AxM

• O valor médio é o off-set.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

84

Exemplo 14

022

20022

02

0

0

2

2

2

222

0

2

2

222

0

2

2

2

2

22

0

22

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

22

0

2

2

0

22

0

2

T

Tt

T

t

T

Tt

T

t

T

T

T

Tt

TT

t

T

T

T

Tt

T

T

T

Tt

TT

t

TT

t

dtxTAdtx

TTdtxTAdtx

tdtxtAdtx

dtdtx

dtdtx

dtAdtx

dtAdtx

2

2

22

1

22

022

2

2

2

0

2

2

0

2

Ax

TA

Tx

TAdtx

TAdtx

RMS

RMS

T

t

T

t

02

220

1

0

2

t

t

T

tRMS

xTxT

AxTx

dtxT

x

T

nTt

nT

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

2

0

2

0

2

2

1 0

08/12/2015

x(t)

t

2A

0T/2 T

A

2

2 AxRMS

Onda quadrada, off-set = A, DC = 50%.

09/12/2015

15

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplos 13 e 14

8508/12/2015

Ax

Ax

RMS

M

2Ax

x

RMS

M

0

Exemplo 14Exemplo 13

x(t)

t

2A

0T/2 T

A

x(t)

t

+A

-AT/2 T

0

• Valor RMS sem off-set.

• Valor RMS AC.

• Valor RMS com off-set.

• Valor RMS AC/DC.

• Valor de pico: A

• Off-set: 0

• Valor de pico: A

• Off-set: A

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

8608/12/2015

A2

A2

AA

2

2214

13

_

22

_

14

RMS

RMS

E

RMS

DC

E

RMSRMSAC

DCRMSAC

E

RMS

x

x

x

Ax

Axx

xxx

Exemplos 13 e 14

RMS_AC

DC

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 15

T

nTt

nT

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

00

2

1 0

Onda quadrada com DC ≠ 50%.

AxTxnT

AxnTx

dtxT

x

t

t

T

tM

0

1

0

8708/12/2015

nTAdtx

nTTAdtxnTAdtx

tAdtx

dtAdtx

tAdtx

dtAdtx

dtAdtxdtAdtx

nT

t

T

nTt

nT

t

T

nT

T

nTt

T

nT

T

nTt

nTnT

t

nTnT

t

T

nT

T

nTt

nTnT

t

0

0

00

00

00

0

TnTAT

dtxT

TnTAdtx

nTTnTAdtx

nTTAnTAdtx

T

t

T

t

T

t

T

t

211

2

0

0

0

0

x(t)

t

A

-A

T/n T

12 nAxM

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 15

Onda quadrada com DC ≠ 50%.

8808/12/2015

12

:ponderada média Usando

nAx

nAAnAx

T

nTATAnTAx

T

nTTAnTAx

M

M

M

M

AAxn

AAxn

Axn

AAxn

AAxn

M

M

M

M

M

12

3/1323

01222

3/15,125,1

1121

x(t)

t

A

-A

T/n T

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 15

T

nTt

nT

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

2

0

2

0

2

2

1 0

Onda quadrada sem off-set e DC ≠ 50%.

AxTxnT

AxnTx

dtxT

x

t

t

T

tRMS

0

1

0

2

8908/12/2015

nTAdtx

nTTAdtxnTAdtx

tAdtx

dtAdtx

tAdtx

dtAdtx

dtAdtxdtAdtx

nT

t

T

nTt

nT

t

T

nT

T

nTt

T

nT

T

nTt

nTnT

t

nTnT

t

T

nT

T

nTt

nTnT

t

2

0

2

222

0

2

22

22

0

2

0

2

0

2

0

2

22

0

2

0

2

0

2

2

2

0

2

2

0

2

22

0

2

1

Ax

TAT

x

TAdtx

nTTnTAdtx

nTTAnTAdtx

RMS

RMS

T

t

T

t

T

t

AxRMS

x(t)

t

A

-A

T/n T

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 15

Onda quadrada sem off-set e DC ≠ 50%.

9008/12/2015

• No exemplo anterior, foi visto que, para o

resistor, o semi-ciclo negativo pode ser tratado

como positivo, formando um sinal contínuo.

• Isto quer dizer que o dutty-cycle é irrelevante

para o valor RMS.

x(t)

t

A

-A

T/n T

09/12/2015

16

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 16

n

AxM

2

0

20

1

0

t

t

T

tM

xTxnT

AxnTx

dtxT

x

T

nTt

nT

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

00

2

1 0

02

002

02

0

0

2

2

2

0

2

2

0

2

2

00

2

2

2

00

2

00

2

T

nTt

nT

t

T

nTt

nT

t

T

nT

T

nTt

nTnT

t

T

nT

T

nTt

T

nT

T

nTt

nTnT

t

nTnT

t

dtxnTAdtx

nTTdtxnTAdtx

tdtxtAdtx

dtdtx

dtdtx

dtAdtx

dtAdtx

9108/12/2015

Onda quadrada, off-set = A, DC ≠ 50%.

x(t)

t0T/n T

2A

A

n

TA

Tx

nTAdtx

nTAdtx

M

T

t

T

t

21

2

02

0

0

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 16

n

AxRMS

2

0

20

1

0

2

t

t

T

tRMS

xTxnT

AxnTx

dtxT

x

T

nTt

nT

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

2

0

2

0

2

2

1 0

02

002

02

0

0

2

2

22

0

2

22

0

2

22

0

2

0

2

22

22

0

2

0

2

0

2

0

2

T

nTt

nT

t

T

nTt

nT

t

T

nT

T

nTt

nTnT

t

T

nT

T

nTt

T

nT

T

nTt

nTnT

t

nTnT

t

dtxnTAdtx

nTTdtxnTAdtx

tdtxtAdtx

dtdtx

dtdtx

dtAdtx

dtAdtx

9208/12/2015

Onda quadrada, off-set = A, DC ≠ 50%.

x(t)

t0T/n T

2A

A

n

Ax

n

TA

Tx

nTAdtx

nTAdtx

RMS

RMS

T

t

T

t

2

2

2

0

2

2

0

2

2

21

2

02

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplos 10, 14 e 16

9308/12/2015

n

Ax

n

Ax

RMS

M

2

2

Exemplo 16x(t)

t0T/n T

2A

A

x(t)

t

2A

0T/2 T

A

Exemplo 14

2

2 Ax

Ax

RMS

M

n=2

x(t)

t

2A

0T

A

Exemplo 10

Ax

Ax

RMS

M

2

2

n=1

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 17

BAxTxT

BAxTx

dtxT

x

t

t

T

tM

2

20

1

0

T

Tt

T

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

2

2

00

2

1 0

BxM

x(t)

t

A

-A

T/2 T

A+B

-A+B

B

0

9408/12/2015

22

202

2

22

0

2

2

22

0

2

22

22

0

2

0

2

22

2

22

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

2

TBAdtxTBAdtx

TTBAdtxTBAdtx

tBAdtxtBAdtx

dtBAdtx

dtBAdtx

dtBAdtx

dtBAdtx

T

Tt

T

t

T

Tt

T

t

T

T

T

Tt

TT

t

T

T

T

Tt

T

T

T

Tt

TT

t

TT

t

Onda quadrada, off-set ≠ A/2, DC = 50%.

TBT

x

TBdtx

TBdtx

TBABAdtx

TBATBAdtx

M

T

t

T

t

T

t

T

t

1

22

2

22

0

0

0

0

• O valor médio é o off-set.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 17

222

2222

2222

0

2

2222

0

2

TBBAABBAAdtx

TBBAATBBAAdtx

T

t

T

t

BAxTxT

BAxTx

dtxT

x

t

t

T

tRMS

2

20

1

0

2

x(t)

t

A

-A

T/2 T

A+B

-A+B

B

0

9508/12/2015

2222

22

202

222

2

2222

0

2

2

2

222

0

2

2

2

222

0

2

2

2

2

22

0

22

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

22

0

2

2

0

22

0

2

TBBAAdtxTBBAAdtx

TBAdtxTBAdtx

TTBAdtxTBAdtx

tBAdtxtBAdtx

dtBAdtx

dtBAdtx

dtBAdtx

dtBAdtx

T

Tt

T

t

T

Tt

T

t

T

Tt

T

t

T

T

T

Tt

TT

t

T

T

T

Tt

T

T

T

Tt

TT

t

TT

t

T

Tt

T

t

T

t dtxdtxdtx

Tt

st

2

22

0

2

0

2

2

1 0

22 BAxRMS

TBAT

x

TBAdtx

TBAdtx

RMS

T

t

T

t

22

22

0

2

22

0

2

1

222

Onda quadrada, off-set ≠ A/2, DC = 50%.

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 17

9608/12/2015

• Esta propriedade vale para

qualquer forma de onda.

• Off-set = valor médio.

• Off-set = componente DC.

22

_

22

_

BA

RMS

DC

RMSAC

DCRMSACRMS

x

Bx

Ax

xxx

RMS_AC

DC

Onda quadrada, off-set ≠ A/2, DC = 50%.

09/12/2015

17

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

2

LHM

xxx

9708/12/2015

Exemplo 18

x(t)

xH

xL

T/2

T/2

• xL: Valor baixo

• xH: Valor alto

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

LH

LLHHM

tt

txtxx

9808/12/2015

Exemplo 19

x(t)

xH

xL

tH

tL

• xL: Valor baixo

• xH: Valor alto

• tL: Tempo baixo

• tH: Tempo alto

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

9908/12/2015

Exemplo 20

AtT

AxTx

dtxT

x

t

T

tM

20

1

0

Tt

st

2

1 0

Onda dente de serra sem off-set

AtT

Ax

TAaATaA

Atax

AbbaA

btax

AxTt

Axt

t

t

t

t

t

2

2

0

0

0

00

22

2

2

2

0

0

2

0

22

0

00

2

0

000

000

00

T

t

T

t

T

t

T

t

TTT

t

TTT

t

TTT

t

TT

t

dtx

TATAdtx

TATT

Adtx

ATAT

AT

T

Adtx

tAt

T

Adtx

dtAdttT

Adtx

dtAdttT

Adtx

dtAtT

Adtx

0Mx

• O valor médio é o off-set.

x(t)

t

A

T 2T-A

0

0

01

TxM

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

10008/12/2015

Exemplo 20

AtT

AxTx

dtxT

x

t

T

tRMS

20

1

0

2

Tt

st

2

1 0

Onda dente de serra sem off-set

2

22

2

22

2

2

44

2

2

AtT

At

T

Ax

AtT

Ax

AtT

Ax

t

t

t

TAT

AT

Adtx

TAT

T

AT

T

Adtx

tAt

T

At

T

Adtx

dtAdttT

Adtt

T

Adtx

dtAdttT

Adtt

T

Adtx

dtAtT

At

T

Adtx

T

t

T

t

TTTT

t

TTTT

t

TTTT

t

TT

t

222

0

2

2223

2

2

0

2

0

2

0

22

0

3

2

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

2

0

2

0

22

2

2

2

0

2

24

34

24

34

24

34

44

44

44

x(t)

t

A

T 2T-A

0

0

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

10108/12/2015

Exemplo 20Onda dente de serra sem off-set

x(t)

t

A

T 2T-A

0

0

3

1

12

4

3

41

2

4

3

41

2

0

2

2

0

2

222

0

2

Adtx

T

AdtxT

AAA

dtxT

T

t

T

t

T

t

3

1

2

0

2

Ax

dtxT

x

RMS

T

tRMS

3

AxRMS

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

10208/12/2015

Exemplo 21

tT

AxTx

dtxT

x

t

T

tM

20

1

0

Tt

st

2

1 0

TAdtx

T

T

Adtx

T

T

Adtx

t

T

Adtx

dttT

Adtx

dttT

Adtx

T

t

T

t

T

t

TT

t

TT

t

TT

t

0

2

0

22

0

0

2

0

00

00

22

2

0

22

22

2

2

AxM

Onda dente de serra com off-set

tT

Ax

TAaTaA

tax

bba

btax

AxTt

xt

t

t

t

t

t

2

22

000

2

00

x(t)

t

2A

T 2T

A

0

TAT

xM 1

• O valor médio é o off-set.

09/12/2015

18

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

10308/12/2015

Exemplo 21

tT

AxTx

dtxT

x

t

T

tRMS

20

1

0

2

Tt

st

2

1 0

3

4

34

3

0

34

34

4

4

2

0

2

3

2

2

0

2

33

2

2

0

2

0

3

2

2

0

2

0

2

2

2

0

2

0

2

2

2

0

2

TAdtx

T

T

Adtx

T

T

Adtx

t

T

Adtx

dttT

Adtx

dttT

Adtx

T

t

T

t

T

t

TT

t

TT

t

TT

t

2

2

22 4

2

tT

Ax

tT

Ax

t

t

Onda dente de serra com off-set

x(t)

t

2A

T 2T

A

0

3

4

3

41

2

2

Ax

TA

Tx

RMS

RMS

3

2 AxRMS

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

10408/12/2015

Exemplos 20 e 21

3

2 Ax

Ax

RMS

M

Exemplo 21Exemplo 20

3

0

Ax

x

RMS

M

x(t)

t

2A

T 2T

A

0

x(t)

t

A

T 2T-A

0

0

• Valor de pico: A

• Off-set: 0

• Valor de pico: A

• Off-set: A

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

10508/12/2015

3

2

3

4

3

3

3

3

3

21

221

2221

2

2

21

20

2221

Ax

Ax

AAx

AA

x

Ax

Axx

xxx

E

RMS

E

RMS

E

RMS

E

RMS

DC

E

RMSAC_RMS

DCAC_RMS

E

RMS

RMS_AC

DC

Exemplos 20 e 21

FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 22

x(t)

t

4

-4

1 2 3 4 5 6

10608/12/2015

txx

xx

txx

t

t

t

4832

021

410

T

tRMS

T

tM

dtxT

x

dtxT

x

0

2

0

1

1

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

2

8161824

42289238

22283238

28

2

48

48

3

2

3

2

3

2

223

2

3

2

23

2

3

2

23

2

3

2

3

2

dtx

dtx

dtx

dtx

ttdtx

ttdtx

dttdtx

t

t

t

t

t

t

t

2

012

2

24

4

4

1

0

221

0

1

0

21

0

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

dtx

dtx

tdtx

tdtx

dttdtx

dttdtx

t

t

t

t

t

t

10708/12/2015

Exem

plo

22

0

0

0

0

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

dtx

dtdtx

dtdtx

dtdtx

t

t

t

t

202

3

2

2

1

1

0

3

0

Tt

tt

ttt

Tt

tt

t

Tt

tt

dtx

dtxdtxdtxdtx

dtxdtx

0Mx

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

3

16

3

128128128144288192

3

128128128144288192

3

128

2

256128

3

432

2

576192

3

816

2

464264

3

2716

2

964364

3

216

2

264264

3

316

2

364364

3

16

2

6464

3

16

2

6464

3

16

2

6464

166464

48

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

32323

2

2

32323

2

2

3

2

323

2

2

3

2

23

2

2

3

2

23

2

2

dtx

dtx

dtx

dtx

dtx

dtx

ttt

tttdtx

tttdtx

dtttdtx

dttdtx

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

3

16

013

16

3

16

316

16

4

1

0

2

331

0

2

1

0

31

0

2

1

0

31

0

2

1

0

21

0

2

1

0

21

0

2

dtx

dtx

tdtx

tdtx

dttdtx

dttdtx

t

t

t

t

t

t

10808/12/2015

Exem

plo

22

0

0

0

0

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

22

1

2

dtx

dtdtx

dtdtx

dtdtx

t

t

t

t

09/12/2015

19

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

3

32

3

160

3

16

2

2

3

2

22

1

21

0

22

Tt

tt

Tt

tt

ttt

Tt

tt

dtx

dtx

dtxdtxdtxdtx

89,1

3

24

9

32

3

32

3

1

1 2

RMS

RMS

RMS

RMS

Tt

ttRMS

x

x

x

x

dtxT

x

10908/12/2015

3

2

22

1

21

0

22

3

0

22

dtxdtxdtxdtx

dtxdtx

ttt

Tt

tt

t

Tt

tt

Exemplo 22

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

R

VVP

RVRVP

R

V

R

VP

R

V

R

VP

PPP

LHM

LHM

LBAIXOL

HALTOH

LHM

22

22

22

22

2

1

2

2

Tensão elétrica e potência elétrica.

11008/12/2015

Exemplo 23V(t)

VH

VL

T/2

T/2

IS

R

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

11108/12/2015

Exemplo 24V(t)

t

VH

T/2 T0

Tensão elétrica e potência elétrica.

R

VP

RVP

R

VP

R

V

R

VP

PPP

HM

HM

BAIXOL

HALTOH

LHM

2

2

2

22

2

1

2

0

0

2

IS

R

FUNÇÕES PERIÓDICAS1

11208/12/2015

Exemplo 24

• A tensão RMS equivale à tensão contínua que

dissipa a mesma potência elétrica.

• Usando valores RMS, as fórmulas são as

mesmas usadas em circuitos DC.

• O mesmo cálculo pode ser feito para corrente.

R

VP

RV

P

RV

P

VV

R

VP

HM

HM

HM

HRMS

RMSM

2

2

2

2

2

1

2

2

2

V(t)

t

VH

T/2 T0

VRMS

Tensão elétrica e potência elétrica.

DOMÍNIO DO TEMPO2

DOMÍNIO DO TEMPO

11308/12/2015

DOMÍNIO DO TEMPO2Suposição de linearidade

R: Resistência []

X: Reatância []

Z: Impedância []

G: Condutância [S]

B: Susceptância [S]

Y: Admitância [S]

C: Capacitância [F]

L: Indutância [H]

Os valores são constantes em qualquer ponto de operação (V/I)

11408/12/2015

09/12/2015

20

DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais

R: Resistência []

X: Reatância []

Z: Impedância []

G: Condutância [S]

B: Susceptância [S]

Y: Admitância [S]

C: Capacitância [F]

L: Indutância [H]

f: Frequência linear [Hz]

T: Período [s]

: Frequência angular [rad/s]11508/12/2015

Os valores são os mesmos em qualquer instante

DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais

Y

Y

B

B

G

G

Z

Z

X

X

R

R

dV

dIY

dV

dIB

dV

dIG

dI

dL

dI

dVZ

dI

dVX

dI

dVR

dV

dqC

11608/12/2015

• A variação temporal da carga elétrica é igual à

da corrente elétrica.

• A variação temporal do fluxo magnético é igual à

da tensão elétrica.

• A frequência e o período precisam ser constantes.

Os valores são os mesmos em qualquer instante

DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais

11708/12/2015

Os valores são os mesmos em qualquer instante

• Resistência: O quanto o componente resiste à

passagem de corrente elétrica.

• Reatância: O quanto o componente reativo reage à

passagem de corrente elétrica alternada.

• Impedância: O quanto o componente impede a

passagem de corrente elétrica alternada.

• Condutância: O quanto o componente conduz de

corrente elétrica.

• Susceptância: O quanto o componente reativo é

susceptível à passagem de corrente elétrica alternada.

• Admitância: O quanto o componente admite de

passagem de corrente elétrica AC.

DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais

• Capacitância: A capacidade de armazenamento de

carga elétrica quando submetido a uma tensão elétrica.

• Indutância: A capacidade de induzir um campo

magnético quando submetido a uma corrente elétrica.

• Permeância: Vide teoria de circuitos magnéticos.

• Relutância: Vide teoria de circuitos magnéticos.

11808/12/2015

Os valores são os mesmos em qualquer instante

DOMÍNIO DO TEMPO2

• Componentes Resistivos: Sofrem apenas

ação da fonte de tensão ou fonte de corrente.

• Componentes Reativos: Além de

sofrerem ação da fonte de tensão ou fonte de

corrente, também aplicam uma reação.

11908/12/2015

Tipos de componentes

DOMÍNIO DO TEMPO2

• Componente Resistivo: Resistor

• Componentes Reativos: Capacitor, Indutor

• Componentes Mistos: Ativo + Reativo

• Componente Resistivo: Resistência R []

• Componentes Reativos: Reatância X []

• Componentes Mistos: Impedância Z []

• Componentes Resistivo: Condutância G [S]

• Componentes Reativos: Susceptância B [S]

• Componentes Mistos: Admitância Y [S]

12008/12/2015

Tipos de componentes

09/12/2015

21

DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais

VP: Tensão de pico [V]

IP: Corrente de pico [A]

VPP: Tensão de pico a pico [V]

IPP: Corrente de pico a pico [A]

VRMS: Tensão eficaz [V]

IRMS: Corrente eficaz [A]

VM: Tensão média [V]

IM: Corrente média [A]

FP: Fator de potência

12108/12/2015

Os valores são os mesmos em qualquer instante

DOMÍNIO DO TEMPO2

• Em se tratando de funções periódicas

senoidais, tanto faz falar em

adiantamento como em atrasamento.

• Esta equivalência, porém, é, apenas,

matemática, pois o fenômeno físico

envolvido é o de atraso.

• Um adiantamento temporal

corresponderia a uma previsão do

que iria acontecer depois.

12208/12/2015

Funções temporais

DOMÍNIO DO TEMPO2Carga elétrica e fluxo magnético

q(t): Carga elétrica [C]

(t): Fluxo magnético[Wb]

V(t): Tensão elétrica [V]

I(t): Corrente elétrica [I] dt

dV

dt

dqI

12308/12/2015

DOMÍNIO DO TEMPO2

• Se a carga elétrica não muda com o

tempo, não há corrente.

• Se o fluxo magnético não muda com o

tempo, não há tensão.

• Se a variação temporal da carga elétrica é

constante, a corrente é contínua.

• Se a variação temporal do fluxo magnético

é constante, a tensão é contínua.

• Se a variação temporal da carga elétrica é

alternada, a corrente é alternada.

• Se a variação temporal do fluxo magnético

é alternada, a tensão é alternada. 12408/12/2015

Carga elétrica e fluxo magnético

DOMÍNIO DO TEMPO2

90cos

sin

cos

cos

cos

tI

q

tI

q

dttIq

cteI

dttIq

tII

dtIq

dt

dqI

P

P

P

P

P

P

90cos

sin

cos

cos

cos

tV

tV

dttV

cteV

dttV

tVV

dtI

dt

dV

P

P

P

P

P

P

12508/12/2015

Carga elétrica e fluxo magnético

DOMÍNIO DO TEMPO2

12608/12/2015

• A carga elétrica está atrasada

90 em relação à corrente elétrica.

• O fluxo magnético está atrasado

90 em relação à tensão elétrica.

Carga elétrica e fluxo magnético

09/12/2015

22

DOMÍNIO DO TEMPO2

90cos

sin

cos

cos

cos

1

tC

IV

tC

IV

dttC

IV

cteC

I

tC

IV

tII

dtIC

V

dt

dVCI

P

CC

P

CC

P

CC

P

C

P

CC

P

CC

CC

CC

12708/12/2015

90cos

sin

cos

cos

cos

1

tL

VI

tL

VI

dttL

VI

cteL

V

tL

VI

tVV

dtVL

I

dt

dILV

P

LL

P

LL

P

LL

P

L

P

LL

P

LL

LL

LL

Tensão e corrente elétricas

DOMÍNIO DO TEMPO2

12808/12/2015

• A tensão capacitiva está atrasada

90 em relação à corrente capacitiva.

• A corrente indutiva está atrasada

90 em relação à tensão capacitiva.

Tensão e corrente elétricas

DOMÍNIO DO TEMPO2

12908/12/2015

Defasagem entre duas ondas

1 2 3 4 5

V,I

t

• V(t) e I(t) defasados em 90.

• Sistemas mecânicos dinâmicos

harmônicos também apresentam

defasagem de 90 entre suas grandezas.

DOMÍNIO DO TEMPO2

13008/12/2015

Defasagem entre duas ondas

t = 0s t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T

t

x

xMAX xMIN

MAX

MIN

0

DOMÍNIO DO TEMPO2

13108/12/2015

Defasagem entre duas ondas

t = 0s t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T

t

v [m/s]

x [m]

-xMAX xMAX0

v=0 m/s

DOMÍNIO DO TEMPO2

• Tem-se um divisor de tensão.

• As correntes são todas iguais.

• As tensões são diferentes.

• Fazendo I=0, os cálculos são mais fáceis.

13208/12/2015

Referência de fase na correnteLigação série

09/12/2015

23

DOMÍNIO DO TEMPO2

• Tem-se um divisor de corrente.

• As tensões são todas iguais.

• As correntes são diferentes.

• Fazendo V=0, os cálculos são mais fáceis.

13308/12/2015

Referência de fase na tensãoLigação paralelo

DOMÍNIO DO TEMPO2

tVV

tII

Pt

Pt

cos

cos

Na corrente – série

tII

tVV

Pt

Pt

cos

cos

Na tensão – paralelo

13408/12/2015

Referência de fase

1 2 3 4 5

V,I

t

DOMÍNIO DO TEMPO2Referência de fase na corrente

90cos

90cos

cos

tVV

tVV

tII

L

P

L

t

C

P

C

t

Pt

L

L

P

L

t

C

C

P

C

t

Pt

tVV

tVV

tII

cos

cos

cos

13508/12/2015

Ligação série

0cos tII Pt

DOMÍNIO DO TEMPO2Referência de fase na tensão

90cos

90cos

cos

tII

tII

tVV

L

P

L

t

C

P

C

t

Pt

L

L

P

L

t

C

C

P

C

t

Pt

tII

tII

tVV

cos

cos

cos

13608/12/2015

Ligação paralelo

0cos tVV Pt

DOMÍNIO DO TEMPO2

Referência de fase na corrente

Capacitor (Série)

90cos

cos

tVV

tII

C

P

C

t

C

P

C

t

Referência de fase na corrente

Indutor (Série)

90cos

cos

tVV

tII

L

P

L

t

L

P

L

t

Referência de fase na tensão

Capacitor (Paralelo)

90cos

cos

tII

tVV

C

P

C

t

C

P

C

t

Referência de fase na tensão

Indutor (Paralelo)

90cos

cos

tII

tVV

L

P

L

t

L

P

L

t

13708/12/2015

Situações

FASORES3

FASORES

13808/12/2015

09/12/2015

24

FASORES3

• Fasor: vetor girante

• Sentido: anti-horário

• Versor real: i (implícito)

• Versor imaginário: j

• Eixo real: horizontal

• Versor imaginário: vertical

• O fasor é definido por um número complexo.

• Todo fasor é função temporal.

• Vetor fixo não é fasor, mas, se for bidimensional,

também é definido por número completo.

13908/12/2015

Definição

FASORES3

jj

jj

ii

ii

111

111

2

2

i

j

14008/12/2015

Definição

FASORES3

jj

1

1

1

1

1

1

1

1

11

14108/12/2015

Definição

FASORES3

14208/12/2015

Representação fasorial retangular

Imaginária Parte:sin

Real Parte:cos

sincos

:retangular Forma

fj

fi

fjff

i

j

real

|f|cos()

imag

inári

o

|f|

sin

()

FASORES3

i

j

14308/12/2015

Ângulo:

Módulo:

:polar Forma

f

ff

Representação fasorial polar

FASORES3

i

j

14408/12/2015

t

f

eff j

Ângulo:

Módulo:

:lexponencia Forma

Representação fasorial exponencial

• Nesta representação,

precisa ser representado

em radianos.

09/12/2015

25

FASORES3

14508/12/2015

xe

Representação fasorial exponencial

• x real, x < 0: Amortecido, realim. neg..

• x real, x > 0: Amplificado, realim. pos..

• x imaginário: Oscilatório constante.

• x complexo, parte real < 0: Oscilatório amortecido.

• x complexo, parte real > 0: Oscilatório amplificado.

http://musicaeadoracao.com.br/recursos/imagens/tecn

icos/matematica/matematica_musica/cap3_004.jpg

http://imagem.casadasciencias.org/online/icon/37751091.png

FASORES3

i

j

|f|cos()

|f|sin()

14608/12/2015

Representação fasorial

A

B

C

D

E

F

G

H f(t)

t

A B C D E F G H A B C

FASORES3

IMAGREAL

:retangular Forma

jf

REAL

IMAGarctanANG

IMAGREALMOD

ANGsinMODIMAG

ANGcosMODREAL

22

Conversão

ANGMOD

:polar Forma

f

14708/12/2015

Podem ser feitas diretamente na calculadora

FASORES3Operações com fasores

333

213

213

213

222

111

IMAGREAL

IMAGIMAGIMAG

REALREALREAL

IMAGREAL

IMAGREAL

:Adição

jf

fff

jf

jf

333

213

213

213

222

111

IMAGREAL

IMAGIMAGIMAG

REALREALREAL

IMAGREAL

IMAGREAL

:Subtração

jf

fff

jf

jf

14808/12/2015

Podem ser feitas diretamente na calculadora

FASORES3

333

213

213

213

222

111

ANGMOD

ANGANGANG

MODMODMOD

ANGMOD

ANGMOD

:çãoMultiplica

f

fff

f

f

333

213

213

213

222

111

ANGMOD

ANGANGANG

MODMODMOD

ANGMOD

ANGMOD

:Divisão

f

fff

f

f

14908/12/2015

Operações com fasoresPodem ser feitas diretamente na calculadora

FASORES3

12

2

12

2

12

111

ANG2ANG

MODMOD

ANGMOD

:oPotenciaçã

ff

f

2ANGANG

MODMOD

ANGMOD

:Radiciação

12

12

12

111

ff

f

15008/12/2015

Operações com fasoresPodem ser feitas diretamente na calculadora

09/12/2015

26

FASORES3

i

j

|f|cos()

|f|

sin

()

cte

t

t

t

tfjtff

fjff

fff

t

t

t

sincos

sincos

imaginárioreal

15108/12/2015

Relações Temporais

FASORES3Funções Atemporais Puramente Reais

• Não possuem parcela imaginária.

• Não são definidos no plano complexo.

• Não são fasores. 15208/12/2015

VP: Tensão de pico [V]

IP: Corrente de pico [A]

VPP: Tensão de pico a pico [V]

IPP: Corrente de pico a pico [A]

VRMS: Tensão eficaz [V]

IRMS: Corrente eficaz [A]

VM: Tensão média [V]

IM: Corrente média [A]

FP: Fator de potência

FASORES3Funções Atemporais Complexas

GiG

RiR

• Possuem, apenas, uma parcela.

• São definidos no plano complexo.

• Não são fasores.

• =0 rad/s

BjB

XjX

Real Imaginário

15308/12/2015

FASORES3

SY

Z1

SG

R1

SB

X1

Funções Atemporais Complexas

BjGiY

XjRiZ

BGY

XRZ

BjGY

XjRZ

GiG

RiR

BjB

XjX

• Z e Y podem possuir parcela real e imaginária.

• Não são fasores.

15408/12/2015

FASORES3

Y

Z

YY

ZZ

BG

XR

YYY

ZZZ

Funções Atemporais Complexas

15508/12/2015

SY

Z1

SG

R1

SB

X1

BjBBY

XjXXZ

GiGGY

RiRRZ

B

X

G

R

90

90

0

0

FASORES3

• Funções temporais: V,I

• Funções atemporais: Z,Y,R,G,X,B

• Definição: R = G = 0

imgre

imgre

IjII

VjVV

I

V

II

VV

Y

Z

YY

ZZ

BjGY

XjRZ

imgre

imgre

VII

VVV

BGY

XRZ

imgimg

rere

IjI

II

15608/12/2015

Funções Temporais Complexas

imgimg

rere

VjV

VV

09/12/2015

27

FASORES3

• R e G são sempre puramente reais.

• X e B são sempre puramente imaginários.

• Z,Y,R,G,X,B, por serem atemporais, são fixos.

i

|j|

X []

R []

Z []

i

|j|

B [S]

G [S]

Y [S]

15708/12/2015

Vetores de impedâncias e de admitâncias

FASORES3

V [V]

I [A] Corrente adiantada.

Tensão atrasada.

I [A]

V [V] Corrente atrasada.

Tensão adiantada.

15808/12/2015

Defasagem entre tensão e corrente

• O ângulo pode variar de -90º a +90º.

FASORES3

V [V]

I [A]

Capacitor

I [A]

V [V]

Indutor

• No resistor, tensão e corrente estão em fase.

• No capacit.,a tensão está atrasada 90 em relação à corrente.

• No indutor, a corrente está atrasada 90 em relação à tensão.

15908/12/2015

Defasagem

FASORES3Referência de fase

16008/12/2015

• Na análise nodal, um dos nós do circuito precisa receber a

atribuição de terra, sendo este nó a referência de tensão nula,

a partir da qual todas as outras tensões nodais são definidas.

• Igualmente, um circuito AC pode possuir diversas grandezas

em diversos elementos com ângulos de defasagem diferentes,

sendo, então, necessária, a escolha de um referencial para

este ângulo de defasagem ().

• Em ligação série com fonte de corrente, os cálculos são mais

simples se esta corrente possui =0.

• Em ligação paralelo com fonte de tensão, os cálculos são mais

simples se esta tensão possui =0.

FASORES3

0I

XjRZ

i

|j|

X []

R []

Z []

Referência de fase na corrente – série

90 e 0 entre

90

0

0

Z

X

R

I

16108/12/2015

FASORES3

XR VVV

i

|j|

VX [V]

VR [V]

VZ [V]

XRZ

IXRV

IXIRV

IXV

IRV

VVV

IZV

X

R

XR

ZRZ

XX

VjVV

VjV

XjRZ

XjX

16208/12/2015

90 e 0 entre

90

0

90 e 0 entre

90

0

0

VZ

VX

VR

X

R

Z

X

R

I

IXV

IRV

Referência de fase na corrente – série

09/12/2015

28

FASORES3

• A corrente contém, apenas, parcela real.

• R é sempre puramente real.

• VR é sempre puramente real.

• X é sempre puramente imaginário.

• VX é sempre puramente imaginário.

• Z contém parcela real e imaginária.

• VZ contém parcela real e imaginária.

16308/12/2015

Referência de fase na corrente – série

FASORES3Referência de fase na tensão – paralelo

0V

BjGY

i

|j|

B [S]

G [S]

Y [S]

90 e 0 entre

90

0

0

Y

B

G

V

16408/12/2015

FASORES3

BG III

i

|j|

IB [A]

IG [A]

IY [A]

BGY

VBGO

VBVGI

VBI

VGI

III

VYI

B

G

BG

BGY

BB

IjII

IjI

BjGY

BjB

16508/12/2015

90 e 0 entre

90

0

90 e 0 entre

90

0

0

IY

IB

IG

B

G

Y

B

G

V

VBV

VGV

Referência de fase na tensão – paralelo

FASORES3

16608/12/2015

• A tensão contém, apenas, parcela real.

• G é sempre puramente real.

• IG é sempre puramente real.

• B é sempre puramente imaginário.

• IB é sempre puramente imaginário.

• Y contém parcela real e imaginária.

• IY contém parcela real e imaginária.

Referência de fase na tensão – paralelo

FASORES3

x1

x2

222

111

cos

cos

txx

txx

t

t

• Avanço de x1 sobre x2: 1 – 2

• Avanço de x2 sobre x1: 2 – 1

16708/12/2015

Avanço

FASORES3

tj

tj

tj

tj

ti

ti

sin

sin

90cos

90cos

0cos

cos

fasorial

fasorial

fasorial

fasorial

fasorial

fasorial

16808/12/2015

Conversão de fasores para o domínio do tempo

i

+j

-j

f(t)

t

-j+ji

09/12/2015

29

FASORES3

90cos

sin

cos

cos

cos

1

tC

IV

tC

IV

dttC

IV

cteC

I

tC

IV

tII

dtIC

V

dt

dVCI

P

CC

P

CC

P

CC

P

C

P

CC

P

CC

CC

CC

16908/12/2015

Primeira lei de ohm

90cos

sin

cos

cos

cos

1

tL

VI

tL

VI

dttL

VI

cteL

V

tL

VI

tVV

dtVL

I

dt

dILV

P

LL

P

LL

P

LL

P

L

P

LL

P

LL

LL

LL

FASORES3

CjX

IXV

Cj

IV

C

IjV

jt

tC

IV

C

P

CC

P

C

P

CP

C

P

CP

C

fasorial

P

CC

1

90cos

90cos

17008/12/2015

LjB

VXI

Lj

VI

L

VjI

jt

tL

VI

L

P

LC

P

L

P

LP

L

P

LP

L

fasorial

P

LL

1

90cos

90cos

Primeira lei de ohm

FASORES3

CfjX

CjX

C

C

2

1

1

17108/12/2015

LfjB

LjB

L

L

2

1

1

Primeira lei de ohm

CfjB

CjB

C

C

2 LfjX

LjX

L

L

2

CfX

CX

C

C

2

1

1

CfB

CB

C

C

2

LfB

LB

L

L

2

1

1

LfX

LX

L

L

2

CC

CC

XjB

XjX

LL

LL

XjX

BjB

POTÊNCIA ATIVA4

POTÊNCIA ATIVA

17208/12/2015

POTÊNCIA ATIVA4

• Gerador: Potência fornecida.

• Receptor: Potência consumida.

• Potências fornecida e consumida têm sinais contrários.

+

–

VI

GeradorPotência fornecida

+

–

VI

ReceptorPotência consumida

17308/12/2015

Fornecimento e consumo

POTÊNCIA ATIVA4

• Componentes Ativos: Potência Ativa P[W]

• Componentes Reativos: Potência Reativa Q[VAr]

• Componentes Mistos: Potência Aparente S[VA]

• CC: Potência constante no tempo.

• CA: Potência alternada.

• Componentes Ativos: Resistor

• Componentes Reativos: Capacitor e Indutor

Componentes

17408/12/2015

09/12/2015

30

POTÊNCIA ATIVA4

• V,I contrários: Receptor Potência consumida.

• V,I favoráveis: Gerador Potência fornecida.

• Potência fornecida por um gerador: Ativa.

• Potência consumida por um receptor resistivo: Ativa.

• Potência fornecida por um receptor reativo: Reativa.

• Potência consumida por um receptor reativo: Reativa.

Sentido da Energia

17508/12/2015

POTÊNCIA ATIVA4

RECEPTOR

RESISTIVOGERADOR

Calor

RECEPTOR

REATIVOCAPACITIVOCarga do

Capacitor

Descarga do

Capacitor

RECEPTOR

REATIVOINDUTIVO

Carga do

Indutor

Descarga

do Indutor

Descarga

do Indutor

Carga do

Capacitor

Descarga do

Capacitor

Carga do

Indutor

Fluxo de Energia

17608/12/2015

POTÊNCIA ATIVA4Sistemas de primeira ordem

17708/12/2015

RECEPTOR

RESISTIVOGERADOR

Calor

RECEPTOR

REATIVO

CAPACITIVOCarga do

Capacitor

Descarga do

Capacitor

RECEPTOR

RESISTIVOGERADOR

Calor

RECEPTOR

REATIVO

INDUTIVO

Carga do

Indutor

Descarga do

Indutor

POTÊNCIA ATIVA4Trabalho (W) e potência ativa (P)

• Potência ativa realiza trabalho.

• É a potência que interessa.

17808/12/2015

sP

Wt

WS

J

t

WP

JtPW

,

WS

J

dt

dWP

JdtPW

,

W[J]

t[s]

POTÊNCIA ATIVA4Multiplicação escalar de vetores

A

B

900

01

01

:complexo domínio No

ji

jj

ii

17908/12/2015

• Produto escalar resulta em escalar.

BABA

BA

BABA

180

090

0

cos

cos

BABA

BABA

BB

AA

BA

BA

B

A vetorialproduto

escalar produto

BA

BA

POTÊNCIA ATIVA4

BABA

BA

BABA

BABA

BB

AA

BA

BA

BA

BA

B

A

180

090

0

cos

18008/12/2015

vFvF

vF

vFvF

vFvF

vv

FF

vF

vF

vF

vF

v

F

180

090

0

cos

Velocidade

Força

IVIV

IV

IVIV

IVIV

II

VV

IV

IV

IV

IV

I

V

180

090

0

cos

elétrica Corrente

elétrica Tensão

Multiplicação escalar de vetores

09/12/2015

31

POTÊNCIA ATIVA4Multiplicação escalar de vetores

18108/12/2015

vFP

P

vFP

vFP

vv

FF

vFP

v

F

P

vF

vF

vF

vF

v

F

180

090

0

cos

Velocidade:

mecânica Força:

escalar mecânica Potência:

IVP

P

IVP

IVP

IVP

IVP

III

VVV

IVP

IVP

I

V

P

MIV

MIV

MIV

IVRMSRMSM

IVPPM

IVM

IPI

VPV

PPM

RMSRMSM

M

21

21

21

21

21

180

090

0

cos

cos

cos

elétrica Corrente:

elétrica Tensão:

média elétrica Potência:

POTÊNCIA ATIVA4Multiplicação escalar de vetores

18208/12/2015

reativa Potência090

resistiva Potência

ativa Potência021

WP

IVP

MIV

M

IV

IV

POTÊNCIA ATIVA4

WIVP

BABA

M

BA

BA

0

a)obrigatóri (condição

:Resistor

21

18308/12/2015

WP

BA

M

BA

0

090

:indutorou Capacitor

A

B

Multiplicação escalar de vetores

PPM

:ios)(oscilatór

harmônicos sistemas Para

M

P

P

PP

II

VV

POTÊNCIA ATIVA4

IMGIMGREIMGIMGRERERE

IMGIMGREIMGIMGRERERE

IMGREIMGRE

IMGRE

IMGRE

BAjjBAjiBAjiBAiiBA

BjAjBiAjBjAiBiAiBA

BjBiAjAiBA

BjBiB

AjAiA

A

B

IMGIMGRERE BABABA

IMGIMGRERE IVIVIV 18408/12/2015

Multiplicação fasorialDomínio da frequência – Forma retangular

900

01

01

ji

jj

ii

POTÊNCIA ATIVA4

• A tensão RMS equivale à tensão

contínua que dissipa a mesma potência.

• A corrente RMS equivale à corrente

contínua que dissipa a mesma potência.

• No cálculo de potência, usa-se o valor

RMS de tensão e corrente.

IVRMSRMSM IVP cos

18508/12/2015

vFP

WP

vFP

vFP

vF

vF

vF

vF

180

090

0

cos

IVP

WP

IVP

IVP

MIV

MIV

MIV

IVM

21

21

21

180

090

0

cos

Multiplicação escalar de vetores

PPM

POTÊNCIA ATIVA4

IVRMSRMSM IVP cos

18608/12/2015

RMSRMSMBA IVP 0

:Resistor

WPMBA 090

:indutorou Capacitor

IVPPM IVP cos21

PPMBA IVP 210

:Resistor

WPMBA 090

:indutorou Capacitor

• A potência ativa resistiva é positiva.

• A potência ativa capacitiva ou indutiva é nula.

Multiplicação escalar de vetores

M

P

P

PP

II

VV

09/12/2015

32

POTÊNCIA ATIVA4

WP

WP

WP

AVP

IVP

AI

VV

M

M

M

M

IVRMSRMSM

25

5548,045

3,56cos45

03,56cos2

5

2

18

cos

05

3,5618

Exemplo 1

i

-56,3

I = 5Aj

WP

AVAV

P

AAI

AA

I

VV

V

VV

V

IVIVP

IVP

M

M

IMG

RE

IMG

RE

IMGIMGREREM

M

25

02

15

2

5

2

10

0)0sin(0

2

5)0cos(

2

5

2

15)3,56sin(

2

18

2

10)3,56cos(

2

18

:forma Outra

18708/12/2015

POTÊNCIA ATIVA4Exemplo 2

I = 1,66A

V = 6V56,3

WP

AV

AVP

VA

I

AA

I

VV

V

VV

V

IVIVP

IVP

M

M

IMG

RE

IMG

RE

IMGIMGREREM

M

77,2

2

39,10

2

92,0

2

6

2

39,1)3,56sin(

2

66,1

2

92,0)3,56cos(

2

66,1

0)0sin(2

6

2

6)0cos(

2

6

:forma Outra

18808/12/2015

WP

WP

WP

AVP

IVP

AI

VV

M

M

M

M

IVRMSRMSM

77,2

5548,05

3,56cos5

3,560cos2

66,1

2

6

cos

3,5666,1

06

i

j

POTÊNCIA ATIVA4Exemplo 3

I = 2A

V = 10V

50

-20

WP

AVAVP

AA

I

AA

I

VV

V

VV

V

IVIVP

IVP

M

M

IMG

RE

IMG

RE

IMGIMGREREM

M

42,3

2

5321,1

2

4202,3

2

2856,1

2

3969,9

2

5321,1)50sin(

2

2

2

2856,1)50cos(

2

2

2

4202,3)20sin(

2

10

2

3969,9)20cos(

2

10

:forma Outra

WP

WP

WP

AVP

IVP

AI

VV

M

M

M

M

IVRMSRMSM

42,3

342,010

70cos10

5020cos2

2

2

10

cos

502

2010

18908/12/2015

i

j

POTÊNCIA ATIVA4Fórmulas escalares

2

2

tt

tt

ttt

VGP

IRP

IVP

PM PP 21

22

2122

22

2122

21

2

2

2

RMSMPMRMSPPP

RMSMPMRMSPPP

RMSRMSMPPMRMSRMSPPPP

VGPVGPVGPVGP

IRPIRPIRPIRP

IVPIVPIVPIVP

19008/12/2015

M

P

P

PP

II

VV

POTÊNCIA ATIVA4

19108/12/2015

Fórmulas fasoriais

221

2

21

21

VG

IR

IV

VGP

IRP

IVP

Domínio da frequência – Forma polar

VG

IR

IV

VGP

IRP

IVP

2

2

2

21

2

21

21

0

0

G

R

IV

• P é um fasor.

• PM é um número real.

POTÊNCIA ATIVA4

19208/12/2015

Fórmulas fasoriais

2

2

2

2

21

2

21

21

P

P

PP

VGP

IRP

IVP

GG

RR

G

R

P

P

II

VV

221

2

21

21

P

P

PP

VGP

IRP

IVP

09/12/2015

33

POTÊNCIA ATIVA4Resistência e condutância

R

t

R

t

R

RMS

R

RMS

R

PP

R

PP

R

P

R

P

I

V

I

V

I

V

I

VR

19308/12/2015

G

t

G

t

G

RMS

G

RMS

G

PP

G

PP

G

P

G

P

V

I

V

I

V

I

V

IG

• Nas fórmulas temporais, não considerar

os pontos onde V(t)=0V ou I(t)=0A.

POTÊNCIA ATIVA4

M

P

imgre

imgre

PP

PP

PjPP

PPP

19408/12/2015

Formas retangular e polar

POTÊNCIA ATIVA4Potência média

Tt

tt dtP

TP

1M

19508/12/2015

• Para efeito de cálculos, a potência ativa média é

mais útil do que a de pico.

• Como a álgebra fasorial emprega os valores de pico,

não é recomendado o uso dos valores eficazes.

PM PP 21

POTÊNCIA ATIVA4

19608/12/2015

• Resistor: É um receptor em todo o ciclo.

• Tensão e corrente têm sempre o mesmo sinal.

Potê

ncia

ativa tem

pora

l

V(t)

I(t)

t

t

POTÊNCIA ATIVA4

08/12/2015 197

R

P

R

PP IVP

V(t)

t

2

2

2

22

2

2

PM

MRMSRMS

PRMSRMS

PPP

PPRMSRMS

PPRMSRMS

PRMS

PRMS

PP

PIV

PIV

PIV

IVIV

IVIV

II

VV

Potência ativa temporal

I(t)

t

P(t)

t

R

RMS

R

RMSM IVP

POTÊNCIA ATIVA4

08/12/2015 198

V(t)

t

I(t)

t

P(t)

t

V = 0

I = 0

P = 0

DefasagemCaso onde =0

V(s) = (s)

I(s) = (s)

P (s) = (s)

(s): Defasagem temporal

(em segundos)

IVP

PIV

TT

TT

,21

, 2

IVP

PIV

ff

ff

,

21

,

2

P = 2I

P = 2V

09/12/2015

34

POTÊNCIA ATIVA4

19908/12/2015

V(t)

t

I(t)

t

P(t)

t

(s)

(s)

(s)

DefasagemCaso onde ≠0

V(s) = (s)

I(s) = (s)

P (s) = (s)

IVP

PIV

TT

TT

,21

, 2

IVP

PIV

ff

ff

,

21

,

2

POTÊNCIA ATIVA4

(s): Defasagem temporal (em segundos)

(): Defasagem angular (em graus)

Ts

360

T

s

360

IV

s

P

IV

s

IV

T

T

,21

,

,

360

360

IVP ,2

20008/12/2015

DefasagemCaso onde ≠0

POTÊNCIA ATIVA4

P

IV

IV

PP

II

VV

,

,

IVP

IVIVP

,

,,

2

IVP ,2 20108/12/2015

DefasagemCaso onde ≠0

M

P

P

PP

II

VV

IV

POTÊNCIA ATIVA4

i

|j|

I [A]

V [V]

P [W]

2i

|j|

I [A]

V [V]

P [W]2

20208/12/2015

Fasores

Caso onde ≠0

Caso onde =0

IV

POTÊNCIA ATIVA4

2cos

coscos

cos

cos

tIVP

tItVP

IVP

tII

tVV

PPt

PPt

ttt

Pt

Pt

20308/12/2015

Domínio do tempo

22cos12

1cos

2tt

Parcela DC

off-setParcela AC

Parcela alternada

IV

POTÊNCIA ATIVA4

MPP

PPt

PIV

tIV

P

2

22cos12

20408/12/2015

22cos1 tPP Mt

22cos tPPP MMt

Parcela DC

off-set

Parcela AC

Parcela alternada

Domínio do tempo IV

09/12/2015

35

POTÊNCIA ATIVA4

22cos

cos

cos

tPPP

tII

tVV

MMt

Pt

Pt

20508/12/2015

2PP

II

VV

2M

P

P

PP

II

VV

Domínio do tempo

Fasores (domínio da frequência

IV

M

P

P

PP

II

VV

POTÊNCIA REATIVA5

POTÊNCIA REATIVA

20608/12/2015

POTÊNCIA REATIVA5Elementos reativos

• Capacitor e indutor em regime AC não apresentam

potência média.

• Capacitor e indutor em regime AC não realizam trabalho.

• Para representar a ação de elementos reativos no

cálculo da potência total, define-se potência reativa.

20708/12/2015

POTÊNCIA REATIVA5Trabalho

• Não realiza trabalho.

• Não pode ser medida em watt.

• Esta potência não interessa.

• Sobrecarrega os condutores.

20808/12/2015

POTÊNCIA REATIVA5Fórmulas escalares

20908/12/2015

2

2

tt

tt

ttt

VBQ

IXQ

IVQ

22

21

22

21

21

RMSPPP

RMSPPP

RMSRMSPPPP

VBQVBQ

IXQIXQ

IVQIVQ

0MQ

POTÊNCIA REATIVA5

21008/12/2015

Fórmulas fasoriais

221

2

21

21

VB

IX

IV

VBQ

IXQ

IVQ

Domínio da frequência – Forma polar

VB

IX

IV

VBQ

IXQ

IVQ

2

2

2

21

2

21

21

90

90

90

B

X

IV

• Q é um fasor.

• QP é um número real.

09/12/2015

36

POTÊNCIA REATIVA5

21108/12/2015

Fórmulas fasoriais

VP

IP

IVPP

VBQ

IXQ

IVQ

290

290

2

21

2

21

21

BjBB

XjXX

B

X

90

90

P

P

II

VV

221

2

21

21

90

90

VP

IP

IPVP

VBQ

IXQ

IVQ

POTÊNCIA REATIVA5Reatância e susceptância

X

t

X

t

X

RMS

X

RMS

X

PP

X

PP

X

P

X

P

I

V

I

V

I

V

I

VX

21208/12/2015

B

t

B

t

B

RMS

B

RMS

B

PP

B

PP

B

P

B

P

V

I

V

I

V

I

V

IB

• Nas fórmulas temporais, não considerar

os pontos onde V(t)=0V ou I(t)=0A.

POTÊNCIA REATIVA5

P

Q

imgre

imgre

QQ

QQ

QjQQ

QQQ

21308/12/2015

Formas retangular e polar

POTÊNCIA REATIVA5

• A potência reativa fornecida por um receptor reativo

durante a sua descarga é igual à potência reativa

consumida durante a sua carga.

• A potência reativa média é nula (para um tempo

dado por uma quantidade inteira de períodos).

• A potência reativa é a soma do módulo da potência

reativa na carga e na descarga do receptor reativo.

21408/12/2015

Carga e descarga

POTÊNCIA REATIVA5

• V,I contrários: Gerador; Potência fornecida; Descarga.

• V,I favoráveis: Receptor;Potência consumida; Carga.

• Carga: Ação; Comportamento resistivo.

• Descarga: Reação; Comportamento de fonte.

• Carga/Descarga: Potência Reativa.

Q[VAr]

21508/12/2015

Carga e descarga

POTÊNCIA REATIVA5

1 2 3 4

Dois ciclos de carga/descarga por período

t

21608/12/2015

Carga e descargaCARGA CARGA

DESCARGA DESCARGA

09/12/2015

37

POTÊNCIA REATIVA5

• VI>0 VAr: Carga

• VI<0 VAr: Descarga

Q = 2I

Q = 2V

21708/12/2015

Potência temporal

1

-1

0

0 /2 3/2 20 90 180 270 360

135

0,7

-0,7

0,5

-0,5

45 225 315

Q()

V();I()

POTÊNCIA REATIVA5

QP = 0,5 VArVP =1V

IP =1A21808/12/2015

QM = 0 VAr

VArQ

QIV

QIV

IVIV

IVIV

II

VV

M

PRMSRMS

PPP

PPRMSRMS

PPRMSRMS

PRMS

PRMS

0

2

2

22

2

2

Potência reativa temporal

1

-1

0

0,5

-0,5

t

Q(t)

V(t);I(t)

POTÊNCIA ATIVA4

21908/12/2015

t

Carga e descarga

Q(t)

CARGA DESCARGA

POTÊNCIA ATIVA4

22008/12/2015

Carga e descarga

t

• Em um componente reativo, a potência consumida em um

período é igual à potência fornecida.

• A potência ativa média de um componente reativo é nula.

• A potência reativa média de um componente reativo é nula.

• A potência reativa não realiza trabalho.

• A potência reativa não apresenta off-set.

Q(t)

CONSUMIDO FORNECIDO

POTÊNCIA ATIVA4

22108/12/2015

90

:indutorou Capacitor

IV

A

B

90

Representação fasorial

P

P

P

QQ

II

VV

POTÊNCIA REATIVA5

90coscos

90coscos

90cos

cos

ttIVQ

tItVQ

IVQ

tII

tVV

PPt

PPt

ttt

Pt

Pt

22208/12/2015

Domínio do tempo

tt

tt

sin90cos

sin90cos

ttIVQ PPt sincos

09/12/2015

38

POTÊNCIA REATIVA5

2

22sinsincos

ttt

22308/12/2015

Domínio do tempo

22sin

22sin2

tQQ

tIV

Q

Pt

PPt

POTÊNCIA REATIVA5

Q = 2I

Q = 2V

2

2sin tQQ Pt

90cos

cos

tII

tVV

Pt

Pt

Referência de fase na tensão

Indutor (Paralelo)

90cos

cos

tVV

tII

Pt

Pt

Referência de fase na corrente

Capacitor (Série)

22408/12/2015

1

-1

0

0,5

-0,5

t

Q(t)

V(t);I(t) Capacitor e indutor

POTÊNCIA REATIVA5

Q = 2I

Q = 2V

2

2sin tQQ Pt

Referência de fase na corrente

Indutor (Série)

90cos

cos

tVV

tII

Pt

Pt

Referência de fase na tensão

Capacitor (Paralelo)

90cos

cos

tII

tVV

Pt

Pt

22508/12/2015

1

-1

0

0,5

-0,5

t

Q(t)

V(t);I(t) Capacitor e indutor

POTÊNCIA REATIVA5

Referência de fase na corrente (série)

Referência de fase na tensão (paralelo)

Indutivo

tQQ

tVV

tII

Pt

Pt

Pt

2sin

90cos

cos

Indutivo

tQQ

tII

tVV

Pt

Pt

Pt

2sin

90cos

cos

tQQ

tII

tVV

Pt

Pt

Pt

2sin

90cos

cos

Capacitivo

tQQ

tVV

tII

Pt

Pt

Pt

2sin

90cos

cos

Capacitivo

22608/12/2015

Capacitor e indutor

POTÊNCIA REATIVA5

t

Q(t)

t

V(t) ou I(t)

t

I(t) ou V(t)

22708/12/2015

Potê

ncia

reativa tem

opra

l

POTÊNCIA REATIVA5

V = 0

I = 90

P = ?

VL(s) = 0

IL(s) = -TI/4

QL(s)= -TI/8

IL

QL

Fase de referência:Tensão

22808/12/2015

Potê

ncia

reativa indutiva

t

QL(t)

t

VL(t)

t

IL(t)

Ligação paralelo

09/12/2015

39

POTÊNCIA REATIVA5

V = 0

I = 90

P = ?

IC(s) = 0

VC(s)= -TV/4

QC(s) = -TV/8

VC

Fase de referência:Corrente

22908/12/2015

QC

Potê

ncia

reativa c

apacitiv

a

t

QC(t)

t

IC(t)

t

VC(t)

Ligação série

POTÊNCIA REATIVA5

QC

V = 0

I = 90

P = ?

VC(s) = 0

IC(s) = +TI/4

QC(s) = +TI/8IC

Fase de referência:Tensão

23008/12/2015

Potê

ncia

reativa c

apacitiv

a

t

QC(t)

t

VC(t)

t

IC(t)

Ligação paralelo

POTÊNCIA REATIVA5

V = 0

I = 90

P = ?

IL(s) = 0

VL(s) = +TI/4

QL(s)= +TI/8

Fase de referência:Corrente

23108/12/2015

IL

QL

Potê

ncia

retiva indutiva

t

QL(t)

t

IL(t)

t

VL(t)

Ligação série

POTÊNCIA REATIVA5

T

s

360

QLQLs

QLVL

VLQLs

VLVLs

T

TT

T

T

2

2

81

81

41

90

90

0

QL

VL

IL

QLQLs T41

90

90

0

LL

LL

LL

QQ

VV

II

ILVLQL

23208/12/2015

Potência reativa indutiva

90

90

0

P

LL

P

LL

P

LL

QQ

VV

II

• Corrente atrasada, efeito indutivo.

• Referência de fase na corrente; ligação série.

Ligação série

POTÊNCIA REATIVA5

T

s

360

QLQLs

QLIL

ILQLs

ILILs

T

TT

T

T

2

2

81

81

41

90

90

0

QL

IL

VL

QLQLs T41

90

90

0

LL

LL

LL

QQ

II

VV

ILVLQL

23308/12/2015

Potência reativa indutiva

90

90

0

P

LL

P

LL

P

LL

QQ

II

VV

• Corrente atrasada, efeito indutivo.

• Referência de fase na tensão; ligação paralelo.

Ligação paralelo

POTÊNCIA REATIVA5

T

s

360

QCQCs

QCVC

VCQCs

VCVCs

T

TT

T

T

2

2

81

81

41

90

90

0

QC

VC

IC

QCQCs T41

90

90

0

CC

CC

CC

QQ

VV

II

ICVCQC

23408/12/2015

Potência reativa capacitiva

90

90

0

P

CC

P

CC

P

CC

QQ

VV

II

• Tensão atrasada, efeito capacitivo.

• Referência de fase na corrente; ligação série.

Ligação série

09/12/2015

40

POTÊNCIA REATIVA5

T

s

360

QCQCs

QCIC

ICQCs

ICICs

T

TT

T

T

2

2

81

81

41

90

90

0

IC

IC

VC

QCQCs T41

90

90

0

CC

CC

CC

QQ

II

VV

ICVCQC

23508/12/2015

Potência reativa capacitiva

90

90

0

P

CC

P

CC

P

CC

QQ

II

VV

• Tensão atrasada, efeito capacitivo.

• Referência de fase na tensão; ligação paralelo.

Ligação paralelo

POTÊNCIA REATIVA5

L

Q

V

I

X

90

90

0

C

Q

I

V

B

90

90

0

C

Q

V

I

X

90

90

0

L

Q

I

V

B

90

90

0

23608/12/2015

Os quatro casos

POTÊNCIA APARENTE6

POTÊNCIA APARENTE

23708/12/2015

POTÊNCIA APARENTE6Domínio da frequência

P

S

imgre

imgre

SS

SS

SjSS

SSS

P

V

imgre

imgre

VV

VV

VjVV

VVV

P

I

imgre

imgre

II

II

IjII

III

XZ

RZ

ZZ

ZjZZ

ZZZ

img

re

Z

imgre

imgre

BY

GY

YY

YjYY

YYY

img

re

Y

imgre

imgre

M

P

imgre

imgre

PP

PP

PjPP

PPP

P

Q

imgre

imgre

QQ

QQ

QjQQ

QQQ

23808/12/2015

POTÊNCIA APARENTE6

23908/12/2015

Domínio do tempo

222

222

tttttt

tttttt

ttttttttt

VYSVBQVGP

IZSIXQIRP

IVSIVQIVP

POTÊNCIA APARENTE6

24008/12/2015

P

imgre

imgre

PP

PjPP

PPP

Q

imgre

imgre

QQ

QjQQ

QQQ

S

imgre

imgre

SS

SjSS

SSS

Fórmulas fasoriais

09/12/2015

41

POTÊNCIA APARENTE6

24108/12/2015

Fórmulas fasoriais

VYPVPY

IZPIPZ

IVPPIPVP

VYSVYS

IZSIZS

IVSIVS

2

22

212

21

2

212

21

21

21

VPVP

IPIP

IVPPIPVP

VGQVBQ

IXQIXQ

IVQIVQ

29090

290902

212

21

2

212

21

21

21

2

2

2

2

212

21

2

212

21

21

21

PP

PP

PPPP

VGPVGP

IRPIRP

IVPIVP

POTÊNCIA APARENTE6

imgimgrere

imgreimgre

QjPjQPS

QQPPS

QPS

24208/12/2015

Fórmulas

POTÊNCIA APARENTE6

P

Q

s

24308/12/2015

P[W]

S[VA]

Q[VAr]

ativo

reativo

aparente

22

212

22

212

21

RMSPPPtt

RMSPPPtt

RMSRMSPPPPttt

VBQVBQVBQ

IXQIXQIXQ

IVQIVQIVQ

22

212

22

212

21

RMSPPPtt

RMSPPPtt

RMSRMSPPPPttt

VYSVYSVYS

IZSIZSIZS

IVSIVSIVS

22

212

22

212

21

RMSMPMtt

RMSMPMtt

RMSRMSMPPMttt

VGPVGPVGP

IRPIRPIRP

IVPIVPIVP

Comparação entre as três potências

POTÊNCIA APARENTE6

24408/12/2015

Multiplicação escalar de vetores

P

P

M

P

P

SS

QQ

PP

II

VV

22

22

PMP QPS

QPS

QPS

POTÊNCIA APARENTE6

i

|j|

Q [VAr]

P [W]

2

S [VA]

24508/12/2015

Fasores

POTÊNCIA APARENTE6

i

QP

SP

PM

|j|

• Cos : Fator Ativo (Fator de Potência)

• Sen : Fator Reativo

P

P

P

M

S

Q

S

P

sin

cos

24608/12/2015

Fatores ativo e reativo

09/12/2015

42

POTÊNCIA APARENTE6

S

P

I

I

Y

GFP

S

P

V

V

Z

RFP

GB

G

PAR

RX

R

SER

24708/12/2015

Fator de potência

P

M

P

GB

P

GPAR

P

M

P

RX

P

RSER

S

P

I

I

Y

GFP

S

P

V

V

Z

RFP

POTÊNCIA APARENTE6Fatores ativo e reativo

IVPPP

IVPPM

IVQ

IVP

sin

cos

21

21

IVRMSRMSP

IVRMSRMSM

IVQ

IVP

sin

cos

reativofator :sin

ativofator :cos

IV

IV

24808/12/2015

POTÊNCIA APARENTE6

i

Q

S

P

|j|

S(t)

t

Q(t)

P(t)

t

t

24908/12/2015

Potência aparente temporal

POTÊNCIA APARENTE6

25008/12/2015

P

P

Q

Q

S S

t

tt

t

Potência aparente temporal

V,I

POTÊNCIA APARENTE6

t

Potência Consumida

Potência Fornecida

25108/12/2015

Consumo e fornecimento

S(t)

POTÊNCIA APARENTE6

25208/12/2015

• Potência Consumida > Potência Fornecida

• Potência Consumida: Componente Resistivo e Componente Reativo

• Potência Consumida: Ativa e Reativa

• Potência Fornecida: Somente Reativa

• Potência Fornecida Reativa = Potência Consumida Reativa

Consumo e fornecimento

09/12/2015

43

POTÊNCIA APARENTE6

IVPPIVPPt

IVIVPPt

IVIVPPt

IVPPt

IPVPt

IPt

VPt

ttt

tIVIVS

tIVS

ttttIVS

ttIVS

tItVS

tII

tVV

IVS

2coscos

2coscos

coscos

coscos

coscos

coscoscoscos

cos

cos

21

21

21

21

212121

21

Fórmula geral para a potência aparente

25308/12/2015

POTÊNCIA APARENTE6

IVPPIVPPt tIVIVS 2coscos21

21

25408/12/2015

IVPP

AC

t

IVPP

DC

t

Msetoff

DC

t

AC

t

DC

tt

tIVS

IVS

SSS

SSS

2cos

cos

atemporal :

21

21

Fórmula geral para a potência aparente

POTÊNCIA APARENTE6

IVRMSRMSM

IVPPM

IVS

IVS

cos

cos

:médioou valor set -offou (DC) constante Parcela

21

25508/12/2015

IVRMSRMSt

IVPPt

tIVS

tIVS

2cos

2cos

:(AC) temporalParcela

21

Fórmula geral para a potência aparente

POTÊNCIA APARENTE6

25608/12/2015

VAdttT

IV

dttT

IVdt

T

IVS

dttT

IVS

dttIVIVT

S

dtST

S

tIVIVS

T

IVPP

T

IVPP

T

IVPP

M

T

IVIVPP

M

T

IVPPIVPPM

T

tM

IVPPIVPPt

02cos

2coscos

2coscos

2coscos1

1

2coscos

0

21

0

21

0

21

0

21

0 21

21

0

21

21

Demonstração da fórmula de S médio

POTÊNCIA APARENTE6

25708/12/2015

TT

IVS

tT

IVS

dtT

IVS

dtT

IVS

IVPP

M

T

IVPP

M

T

IVPP

M

T

IVPP

M

cos

cos

cos

cos

21

0

21

0

21

0

21

Demonstração da fórmula de S médio

IVPPM IVS cos21

POTÊNCIA APARENTE6

Tt

tAC

Tt

tDCM

Tt

tACDCM

Tt

ttM

IVPPAC

IVPPDC

ACDCt

IVPPIVPPt

dtST

dtST

S

dtSST

S

dtST

S

tIVS

IVS

SSS

tIVIVS

11

1

1

2cos

cos

2coscos

21

21

21

21

01

02

1

2cos2

1

2

2cos2

1

2cos11

0

0

2

00

00

0 21

0

T

AC

PPT

AC

IVPP

T

AC

T

IVPP

T

AC

T

IVPP

T

AC

dtST

T

IVdtS

T

dT

IVdtS

T

radT

ddt

t

dttT

IVdtS

T

dttIVT

dtST

25808/12/2015 DC

Tt

tDC

DCTt

tDC

TDCTt

tDC

TDC

Tt

tDC

SdtST

TT

SdtS

T

tT

SdtS

T

dtT

SdtS

T

1

1

1

1

0

0

Demonstração da fórmula de S médio

DCM SS

09/12/2015

44

POTÊNCIA APARENTE6

VIRMSRMSM

IVRMSRMSM

VIPPM

IVPPM

VIIV

ttt

ttt

VIS

IVS

VIS

IVS

VIS

IVS

cos

cos

cos

cos

coscos

21

21

25908/12/2015

Potência aparente média

POTÊNCIA APARENTE6

IVPPAC

IVPPDC

IVPPIVPPt

tIVS

IVS

tIVIVS

2cos

cos

2coscos

21

21

21

21

Potência aparente para resistor

26008/12/2015

22cos

22cos

22cos0cos

2coscos

:Resistor

21

21

21

21

21

21

21

21

tIVS

IVS

tIVIVS

tIVIVS

tIVIVS

PPAC

PPDC

PPPPt

PPPPt

PPPPt

IV

PPM

M

PP

P

P

IVP

PP

IVP

IVP

II

VV

21

21

2

POTÊNCIA APARENTE6Potência aparente para resistor

26108/12/2015

• A parte temporal tem o dobro da frequência

da tensão e da corrente.

• A defasagem da potência é o dobro da

defasagem da tensão e da corrente.

POTÊNCIA APARENTE6

26208/12/2015

PP

mínima

temporal

PP

máxima

temporal

PPAC

PPDC

IVS

IVS

tIVS

IVS

21

21

21

21

018

0

22cos

PP

máxima

t

PPPP

máxima

t

máxima

temporalDC

máxima

t

IVS

IVIVS

SSS

21

21

VAS

IVIVS

SSS

mínima

t

PPPP

mínima

t

máxima

temporalDC

mínima

t

0

21

21

PP

média

t

PP

média

t

mínima

temporalDC

média

t

IVS

IVS

SSS

21

21 0

máxima

t

pico

t

PP

pico

t

PP

pico

t

média

t

pico

t

SS

IVS

IVS

SS

212

2

Potência aparente para resistor

POTÊNCIA APARENTE6

S(t)t

SP

SM

Soff-set

Stemporal

t

t

PPsetoff IVS 21

22cos21 tIVS PPAC

26308/12/2015

Potência aparente para resistor

POTÊNCIA APARENTE6

26408/12/2015

9022cos

902cos

0

0

90cos

90cos

90:2 opção

90:1 opção

21

21

21

21

21

tIVS

tIVS

VAS

IVS

IVS

IVS

PPAC

PPAC

DC

PPDC

PPDC

PPDC

I

V

I

V

PPP

P

PP

P

P

IVQ

PQ

IVQ

IVQ

II

VV

902

90

90

Potência aparente para elemento reativo

IVPPAC

IVPPDC

IVPPIVPPt

tIVS

IVS

tIVIVS

2cos

cos

2coscos

21

21

21

21

09/12/2015

45

POTÊNCIA APARENTE6

9022cos

0

21 tIVS

VAS

PPAC

DC

PP

pico

t

PP

mínima

t

média

t

PP

máxima

t

IVS

IVS

VAS

IVS

21

21

21

0

• A potência temporal reativa está defasada de

90 em relação à potência temporal resistiva.

26508/12/2015

Potência aparente para elemento reativo

POTÊNCIA APARENTE6

XIS

BVS

PP

PP

2

21

2

21

XIS

BVS

RMSP

RMSP

2

2

RMSRMSP

PPP

IVS

IVS

21

26608/12/2015

Potência aparente para elemento reativo

POTÊNCIA APARENTE6

26708/12/2015

Os três casos da potência aparente

• V = I; VI = 0: S = P resistivo

• V = I:90; VI = 90: S = Q reativo

• V I; |VI| < 90: S misto

• As potências ativa e reativa são um

caso particular da potência aparente.

• As fórmulas da potência aparente são

válidas para as potências ativa e reativa.

POTÊNCIA APARENTE6

PPM

PPM

PPM

PPM

IV

IVPPM

IVP

IVP

IVP

IVP

IVS

21

21

21

21

21

1

0cos

cos

:Resistivo

cos

VArQ

IVQ

IVQ

IVQ

IVS

M

PPM

PPM

PPM

I

V

IVPPM

0

0

90cos

90cos

90

:Indutivo

cos

21

21

21

21

26808/12/2015

Potência aparente média

POTÊNCIA APARENTE6Potência resistiva média

2

21

2

21

21

PM

PM

PP

PP

PPM

VGP

IRP

VGI

IRV

IVP

2

2

RMSM

RMSM

RMSRMS

RMSRMS

RMSRMSM

VGP

IRP

VGI

IRV

IVP

2

2

2

2

2

2

2

2

2

RMSM

RMSM

RMSP

RMSP

RMSRMSPP

RMSP

RMSP

VGP

IRP

II

VV

IVIV

II

VV

26908/12/2015

POTÊNCIA APARENTE6

27008/12/2015

Valor eficaz – dedução da fórmula

Tt

ttRMS

Tt

ttRMS

Tt

ttRMS

Tt

ttM

Tt

ttM

tt

RMSM

dtIT

I

dtIT

I

dtIRT

IR

dtIRT

P

dtPT

P

IRP

IRP

2

22

22

2

2

2

1

1

1

1

1

Tt

ttRMS

Tt

ttRMS

Tt

ttRMS

Tt

ttM

Tt

ttM

tt

RMSM

dtVT

V

dtVT

V

dtVGT

VG

dtVGT

P

dtPT

P

VGP

VGP

2

22

22

2

2

2

1

1

1

1

1

09/12/2015

46

7 RESISTÊNCIA

RESISTÊNCIA

27108/12/2015

7 RESISTÊNCIA

27208/12/2015

• Converte energia elétrica em energia térmica (efeito joule).

• Dissipa energia elétrica.

• Consome potência ativa.

• R[] = V[V] / I[A]

• R[] é uma função atemporal.

Definição

7 RESISTÊNCIA

t [s]

Vmáx

Vmin

V [V]

I [A]

V [V]

I [A]

Vmáx

Vmin

Imáx

Imin

27308/12/2015

Definição

Lissajous

7 RESISTÊNCIA

0

0

0

RR

II

VV

0

0

0

0

P

P

P

P

I

VG

I

VR

Referência de fase

27408/12/2015

Referência de fase em V ou em I:

0RR

II

VV

P

P

P

P

I

VG

I

VR

Outra referência de fase:

P

P

P

P

I

VG

I

VR

PP

P

PP

PP

I

VG

I

VR

RMS

RMS

RMS

RMS

I

VG

I

VR

7 RESISTÊNCIA

t

t

t

t

V

IG

I

VR

*

*

Função temporal

27508/12/2015

* exceto quando (V,I)=(0,0)

I[A]

V[V]

V[V]

I[A]

tII

tVV

Pt

Pt

cos

cos

:asparamétric Equações

7 RESISTÊNCIA

27608/12/2015

Sentido

• A potência resistiva é sempre consumida.

• O resistor apresenta potência consumida

em todo o ciclo de oscilação.

–

+

VI

Semi-ciclo negativo

+

–

VI

Semi-ciclo positivo

+

–

09/12/2015

47

7 RESISTÊNCIA

27708/12/2015

222

222

RMSMPPtt

RMSMPPtt

RMSRMSMPPPttt

VGPVGPVGP

IRPIRPIRP

IVPIVPIVP

2

PM

PP

FórmulasPotência resistiva = Potência ativa

7 RESISTÊNCIA

27808/12/2015

2

2cos

2

2

2cos

2

2

2cos1

2

2cos1cos

cos

coscos

cos

cos

2

2

tPP

PP

tPPP

tPP

tt

PIV

tIVP

tItVP

IVP

tII

tVV

Ptemporal

Pmédia

PPt

Pt

PPP

PPt

PPt

ttt

Pt

Pt

tPP Mt 2cos1

Pt PP 0

Fórmulas

7 RESISTÊNCIA

V,I

P1

-1

0,5

t

P = 2I

P = 2V

27908/12/2015

tII

tVV

Pt

Pt

cos

cos

Pt

PtP

PtP

PP

III

VVV

0

Funções temporaisReferência de fase em V ou em I:

7 RESISTÊNCIA

P

PM

PP

t

2

2cos1 tPP Pt

tPP Mt 2cos1

Mt

Pt

PP

PP

20

0

28008/12/2015

Funções temporais

8 CAPACITÂNCIA

CAPACITÂNCIA

28108/12/2015

8 CAPACITÂNCIA

28208/12/2015

• Carga: Converte energia elétrica em campo elétrico.

• Descarga: Converte campo elétrico em energia elétrica.

• Armazena energia elétrica na forma de tensão.

• Consome potência reativa.

• cos(C) = 0

Definição

09/12/2015

48

8 CAPACITÂNCIA

28308/12/2015

• Se, diante de uma variação de tensão, a variação

de carga for nula, a capacitância é nula.

• Se, diante de uma variação de tensão, a variação

de carga for pequena, a capacitância é pequena.

• Se, diante de uma variação de tensão, a variação

de carga for grande, a capacitância é grande.

• Pode-se variar a tensão e medir a carga.

• Pode-se variar a carga e medir a tensão.

Definição

8 CAPACITÂNCIA

90cos

sin

cos

cos

cos

1

tC

IV

tC

IV

dttC

IV

cteC

I

tC

IV

tII

dtIC

V

dt

dVCI

P

CC

P

CC

P

CC

P

C

P

CC

P

CC

CC

CC

28408/12/2015

Impedância e admitância capacitivas

P

C

P

CC

P

C

P

CC

P

C

P

CC

P

CC

P

CC

P

C

t

C

P

Ct

C

CCC

I

VjX

I

VX

I

VX

II

VV

tII

tC

IV

IXV

90

0

90

0

90

cos

90cos

8 CAPACITÂNCIA

CjX C

1CjBC

CXC

1CBC

28508/12/2015

Impedância e admitância capacitivas

CC XjX CC XjB

8 CAPACITÂNCIA

•Aumento de R: RC se aproxima de 0

•Aumento de XC: RC se aproxima de –90

•Aumento de R: S se aproxima de P

•Aumento de XC: S se aproxima de QC

•Aumento de R: A potência se torna mais ativa

•Aumento de XC: A potência se torna mais reativa

•Aumento de R: Cos(RC) se aproxima de 1

•Aumento de XC: Cos(RC) se aproxima de 0

28608/12/2015

Impedância e admitância

8 CAPACITÂNCIA

•Aumento de G: GC se aproxima de 0

•Aumento de BC: GC se aproxima de +90

•Aumento de G: S se aproxima de P

•Aumento de BC: S se aproxima de QC

•Aumento de G: A potência se torna mais ativa

•Aumento de BC: A potência se torna mais reativa

•Aumento de G: Cos(GC) se aproxima de 1

•Aumento de BC: Cos(GC) se aproxima de 0

28708/12/2015

Impedância e admitância

8 CAPACITÂNCIA

C

C

dVCdq

dV

dqC

dtIdq

dt

dqI

C

C

dtIdVC CC dtI

CV CC

1Referência de fase na corrente

dt

dVCI C

C

Referência de fase na tensão

28808/12/2015

Funções temporais

09/12/2015

49

9 INDUTÂNCIA

INDUTÂNCIA

28908/12/2015

9 INDUTÂNCIA

29008/12/2015

• Carga: Converte energia elétrica em campo magnético.

• Descarga: Converte campo magnético em energia elétrica.

• Armazena energia elétrica na forma de corrente.

• Consome potência reativa.

• cos(L) = 0

Definição

9 INDUTÂNCIA

29108/12/2015

• Se, diante de uma variação de corrente, a variação

de fluxo for nula, a indutância é nula.

• Se, diante de uma variação de corrente, a variação

de fluxo for pequena, a indutância é pequena.

• Se, diante de uma variação de corrente, a variação

de fluxo for grande, a indutância é pequena.

• Pode-se variar a corrente e medir o fluxo.

• Pode-se variar o fluxo e medir a corrente.

Definição

9 INDUTÂNCIA

90cos

sin

cos

cos

cos

1

tL

VI

tL

VI

dttL

VI

cteL

V

tL

VI

tVV

dtVL

I

dt

dILV

P

LL

P

LL

P

LL

P

L

P

LL

P

LL

LL

LL

29208/12/2015

Impedância e admitância indutivas

P

L

P

LL

P

L

P

LL

P

L

P

LL

P

LL

P

LL

P

L

t

L

P

Lt

L

LLL

V

IjB

V

IB

V

IB

VV

II

tVV

tL

VI

VBI

90

0

90

0

90

cos

90cos

9 INDUTÂNCIA

LBL

1LX L

LjBL

1LjXL

29308/12/2015

Impedância e admitância indutivas

LL BjB LL BjB

9 INDUTÂNCIA

•Aumento de R: RL se aproxima de 0

•Aumento de XL: RL se aproxima de +90

•Aumento de R: S se aproxima de P

•Aumento de XL: S se aproxima de QL

•Aumento de R: A potência se torna mais ativa

•Aumento de XL: A potência se torna mais reativa

•Aumento de R: Cos(RL) se aproxima de 1

•Aumento de XL: Cos(RL) se aproxima de 0

29408/12/2015

Impedância e admitância

09/12/2015

50

9 INDUTÂNCIA

•Aumento de G: GL se aproxima de 0

•Aumento de BL: GL se aproxima de –90

•Aumento de G: S se aproxima de P

•Aumento de BL: S se aproxima de QL

•Aumento de G: A potência se torna mais ativa

•Aumento de BL: A potência se torna mais reativa

•Aumento de G: Cos(GL) se aproxima de 1

•Aumento de BL: Cos(GL) se aproxima de 0

29508/12/2015

Impedância e admitância

9 INDUTÂNCIA

L

L

dILd

dI

dL

dtVd

dt

dV

L

L

dtVdIL LL dt

dILV L

L

Referência de fase na corrente

dtVL

I LL

1Referência de fase na tensão

29608/12/2015

Funções temporais

10 EXEMPLOS

EXEMPLOS

29708/12/2015

10 EXEMPLOS

29808/12/2015

Exemplo 1

R C

VS

+ –

?

50

60

95,0

500

120

1

2

1

1

FP

Hzf

Hzf

FP

R

VV RMS

S

10 EXEMPLOS

29908/12/2015

Exemplo 1

2

2

2

2

22

2

1

2

1

2

1

CfR

RFP

CfRZ

CfX

XRZ

Z

R

Z

Z

Z

ZFP

C

C

RREAL

radFC

C

C

C

C

C

C

mS

C

7

13

225

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

105

12010085,6

12010702,3

120

127008

120

1250000277008

120

1500526

120

1500

19,1

120

1500

50095,0

9303,0

537

500

288891

500

38891250000

500

197500

500

197500

500

105100

1500

500

105100

1500

500

100

1500

500

2

2

2

2

222

222

2

7

2

2

2

7

2

2

2

2

2

FP

FP

FP

FP

FP

FP

radF

FP

radF

FP

C

FP

10 EXEMPLOS

30008/12/2015

Exemplo 2

30008/12/2015

VS

+ –

R L C

?

90,0

20

100

100

30200

f

FP

mHL

FC

R

VVS

09/12/2015

51

10 EXEMPLOS

30108/12/2015

Exemplo 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

12

2

12

22

2

12

2

12

2

1

2

CfLfR

RFP

CfLfjR

RFP

Cf

jLfjR

RFP

CfjLfjR

RFP

CfjLfjRZ

CfjX

LfjX

XXRZ

Z

R

Z

Z

Z

ZFP

C

L

CL

RREAL

FfmHf

FfmHf

FfmHf

FfmHf

FfmHf

FfjmHfj

mS

FfmHf

1002

12024,48

1002

12022345

1002

12021000012345

1002

1202100111

1002

1202100111

1002

1202100

19

1002

1202100

10090,0

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

10 EXEMPLOS

30208/12/2015

Exemplo 2

4

22

4

32

4

442

5

5222

2

2

5

225

252

1058,1

1052,31004,3

1058,1

1024,11004,3

1058,1

1016,31026,91004,3

1090,72

11090,741004,31004,3

2

4

1

1004,3

1090,7

011004,31090,7

11090,71004,3

1100220210024,48

1002

12024,48

f

f

f

f

A

CABBf

C

B

A

ff

ff

FfmHfFf

FfmHf

Hzf

f

f

Hzf

f

f

416

1058,1

1057,6

1058,1

1052,31004,3

5,30

1058,1

1081,4

1058,1

1052,31004,3

2

4

2

2

4

22

2

1

4

3

1

4

22

1

Hzf 416

:negativa resposta a oDescartand

10 EXEMPLOS

30308/12/2015

Exemplo 2

83,3

1004162

1

2

1

3,52

204162

2

86615127,415

:oVerificaçã

jX

FHzjX

CfjX

jX

mHHzjX

LfjX

Hzf

C

C

C

L

L

L

90,0

111

100

111

4,48100

4,48

83,33,52

22

22

FP

FP

Z

RFP

Z

Z

XRZ

jX

jjX

XXX CL

10 EXEMPLOS

30408/12/2015

Exemplo 3

V [V]

t [ms]

5

-5

1

t1

10 EXEMPLOS

30508/12/2015

Exemplo 3Análise do envelope

Env

t [ms]

5

1

5105

5

1051

5

01

50

13

13

tsEnv

b

sms

a

btaEnv

Envmst

Envmst

• O envelope é adimensional.

10 EXEMPLOS

30608/12/2015

Exemplo 3Análise da componente AC

t [ms]

1

-1

15,225,122

25,1800

11

80015

4

skradkHzf

kHzmsT

f

msmsT

srad

srad

VV

VV

M

P

0

1

09/12/2015

52

10 EXEMPLOS

30708/12/2015

Exemplo 3Análise da componente AC

90

atrasado 90

200

360800

20015

1

ms

ms

msmss

905,2cos1

cos

1 tskradVV

tVV

AC

t

P

AC

t

10 EXEMPLOS

30808/12/2015

Exemplo 3

905,2cos15105 113 tsradkVtsV

VEnvV

t

AC

tt

VV

VV

VV

radVV

radVV

sskradVssV

smst

t

t

t

t

t

t

2

180cos12

90270cos12

905,1cos12

906,05,2cos156,05

906005,2cos15600105

60015

3

:Testando

113

1

10 EXEMPLOS

30908/12/2015

Exemplo 4

2

15

10

cos1030

2

1

jX

R

R

tVVV

C

tS

VS

+

–

R1

R2

C

10 EXEMPLOS

31008/12/2015

Exemplo 4

VVV

VVRR

RVV

VVRR

RVV

AV

RR

V

Z

VI

III

III

AI

VV

CCRCCC

setoffCCR

setoffCCR

setoffsetoff

CC

CCCCRCCR

CCCCCRCCR

CCC

setoff

18

1825

1530

1225

1030

2,125

30

0

30

2

21

22

21

11

21

21

21

ochaveament o após tempomuito

Análise da componente CC

Voff

-set

+–

R1

R2

C

10 EXEMPLOS

31108/12/2015

Exemplo 4Análise da componente AC

VjV

VV

tVV

S

S

ACS

010

010

cos10

41,82982,1

2//15

//

2

2

22

Z

jZ

CRZ

84,10571,9

41,82982,110

10010

1

1

21

11

VV

VV

ZR

RVV

ACR

ACR

ACSACR

57,71897,1

4,8298,110

4,8298,1010

2

2

21

22

VV

VV

ZR

ZVV

ACR

ACR

ACSACR

10 EXEMPLOS

31208/12/2015

Exemplo 4Análise da componente AC fasorial

84,1045,10

2//1510

//21

Z

jZ

XRRZ C

84,101,957

84,1045,10

010

1

1

1

mAI

VI

Z

VI

ACR

ACR

SACR

57,715,126

21151

15184,101,957

2

2

2

212

mAI

jmAI

BG

GII

ACR

ACR

C

RACR

43,187,948

21151

2184,101,957

2

1

mAI

j

jmAI

BG

BII

ACC

ACC

C

CRACC

09/12/2015

53

10 EXEMPLOS

31308/12/2015

Exemplo 4Análise da componente AC fasorial

mAI

I

jj

jjV

I

I

jV

I

I

XRR

RRRV

I

I

M

M

M

M

M

M

C

S

M

M

4,18949

8,10957

215015

015035/

0

10

21515

152510/

0

10

/0

2

1

2

1

2

1

22

221

2

1

4,18949

8,109571

2

11

mAI

mAI

II

II

C

R

MC

MR

10 EXEMPLOS

31408/12/2015

Exemplo 4Análise temporal

57,71cos897,1

57,71cos897,1

84,10cos571,9

2

1

tVV

tVV

tVV

t

ACC

t

ACR

t

ACR

57,71cos897,118

57,71cos897,118

84,10cos571,912

2

1

tVVV

tVVV

tVVV

t

C

t

R

t

R

43,18cos7,948

57,71cos5,126

84,10cos1,957

2

1

tmAI

tmAI

tmAI

t

ACC

t

ACR

t

ACR

43,18cos7,9480

57,71cos5,1262,1

84,10cos1,9572,1

2

1

tmAAI

tmAAI

tmAAI

t

C

t

R

t

R

9043,1857,71

10 EXEMPLOS

31508/12/2015

Exemplo 4Potências

8,10cos160,98,10cos97,224,14

84,10cos1,9572,184,10cos571,912

2

1

1

111

tWtWWP

tmAAtVVP

IVP

t

R

t

R

t

R

t

R

t

R

8,10cos160,98,10cos97,224,14

1084,10cos571,912

2

1

2

1

1

2

11

tWtWWP

tVVP

RVP

t

R

t

R

t

R

t

R

8,10cos160,98,10cos97,224,14

1084,10cos1,9572,1

2

1

2

1

111

tWtWWP

tmAAP

RIP

t

R

t

R

t

R

t

R

10 EXEMPLOS

31608/12/2015

Exemplo 4Potências

6,71cos0,2406,71cos554,46,21

57,71cos5,1262,157,71cos897,118

2

2

2

222

tmWtWWP

tmAAtVVP

IVP

t

R

t

R

t

R

t

R

t

R

6,71cos0,2406,71cos554,46,21

1557,71cos897,118

2

2

2

2

2

2

22

tmWtWWP

tVVP

RVP

t

R

t

R

t

R

t

R

6,71cos0,2406,71cos554,46,21

1557,71cos5,1262,1

2

2

2

2

222

tmWtWWP

tmAAP

RIP

t

R

t

R

t

R

t

R

10 EXEMPLOS

31708/12/2015

Exemplo 4Potências

13,532cos90043,18cos08,17

9087,362cos90043,18cos08,17

87,362sin90043,18cos08,17

43,1822sin8,143,18cos08,17

43,18cos43,18sin8,143,18cos08,17

43,18cos9043,18cos8,143,18cos08,17

9043,1857,71

43,18cos57,71cos8,143,18cos08,17

43,18cos7,948057,71cos897,118

21

21

21

21

tmVArtVArQ

tmVArtVArQ

tmVArtVArQ

tVArtVArQ

ttVArtVArQ

ttVArtVArQ

ttVArtVArQ

tmAAtVVQ

IVQ

t

C

t

C

t

C

t

C

t

C

t

C

t

C

t

C

t

C

t

C

t

C

10 EXEMPLOS

31808/12/2015

Exemplo 4Valores de pico e RMS AC

VV

VV

AC

RMS

R

P

R

768,6

571,9

1

1

VV

VV

AC

RMS

R

P

R

342,1

897,1

2

2

VV

VV

AC

RMS

C

P

C

342,1

897,1

mAI

mAI

AC

RMS

R

P

R

44,89

5,126

2

2

mAI

mAI

AC

RMS

C

P

C

8,670

7,948

mAI

mAI

AC

RMS

R

P

R

8,676

1,957

1

1

09/12/2015

54

10 EXEMPLOS

31909/12/2015

Exemplo 4Valores RMS

VV

VVV

VVV

RMS

R

RMS

R

AC

RMS

RCCR

RMS

R

78,13

768,612

1

22

1

2

1

2

11

VV

VVV

VVV

RMS

R

RMS

R

AC

RMS

RCCR

RMS

R

05,18

342,118

2

22

2

2

2

2

22

VV

VVV

VVV

RMS

C

RMS

C

AC

RMS

CCCC

RMS

C

05,18

342,11822

22

AI

mAAI

III

RMS

R

RMS

R

AC

RMS

RCCR

RMS

R

375,1

8,6762,1

1

22

1

2

1

2

11

AI

mAAI

III

RMS

R

RMS

R

AC

RMS

RCCR

RMS

R

203,1

44,892,1

2

22

2

2

2

2

22

mAI

mAAI

III

RMS

R

RMS

R

AC

RMS

CCCC

RMS

C

8,670

8,6700

2

22

2

22

10 EXEMPLOS

32009/12/2015

Exemplo 4Análise da componente AC

WP

AVP

IVP

M

R

M

R

RMS

R

RMS

R

M

R

94,18

375,178,13

1

1

111

WP

AVP

IVP

M

R

M

R

RMS

R

RMS

R

M

R

72,21

203,105,18

2

2

222

VArQ

mAVQ

IVQ

P

C

P

C

RMS

C

RMS

C

P

C

22,12

8,67005,18

10 EXEMPLOS

32109/12/2015

Exemplo 5

10 EXEMPLOS

32209/12/2015

Exemplo 6

10 EXEMPLOS

32309/12/2015

Exemplo 7

10 EXEMPLOS

32409/12/2015

Exemplo 8