Super cies de Riemann: segundos pasospersonal.us.es/gago/apuntes-sri-paso02.pdf · Super cies de...

Superficies de Riemann: segundospasos

Jesus Gago Vargas

9 de agosto de 2012

Indice general

1. Accion (propiamente) discontinua de grupos 3

2. Sobre Aut(X) 5

3. Otra prueba del teorema de prolongacion 7

4. Equivalencia conforme 11

5. Espacio recubridor regular 13

6. Preguntas adicionales 17

7. Una prueba diferente de la caracterizacion de M(X) 197.1. Prueba segun Douady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2. Prueba segun Narasimhan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8. Formas diferenciales y divisores 258.1. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.2. Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.3. Equivalencia lineal de divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.4. Espacios de funciones y formas . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.5. Integracion en una superficie de Riemann . . . . . . . . . . . . 418.6. Residuos de 1-formas meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9. Espacio tangente 45

10.Inmersion de superficies en el espacio proyectivo 47

11.Teorema de Riemann-Roch 4911.1. Preliminares sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.2. Teorema para curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.3. Aplicaciones de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

iii

Superficies de Riemann

iv Depto. de Algebra

Introduccion

Estas notas constituyen una mezcla de temas mas avanzados sobre super-ficies de Riemann. Algunas de estas secciones pasaran al primer documento,pero cuando esten cerradas y revisadas por completos. Otras constituiran uncapıtulo completo.

1


2 Depto. de Algebra

Capıtulo 1

Accion (propiamente)discontinua de grupos

La definicion de accion discontinua de un grupo sobre un espacio topologi-co varıa de un texto a otro. El objetivo del trabajo es uniformizar dichas de-finiciones, y ver que implicaciones se tienen entre ellas. En concreto, tenemoslas siguientes:

Accion discontinua de grupos y accion libre, [?, p.87–88], [Mir95, p.83].

Accion discontinua, [JS87, p.208].

Accion propiamente discontinua, [JS87, p.232].

Accion propiamente discontinua y accion libre, [Kos86, p.153].

Accion propiamente discontinua en un punto, [FK92, p.188].

Accion de espacio recubridor, accion (propiamente) discontinua, accionlibre [?, p.72].

3


4 Depto. de Algebra

Capıtulo 2

Sobre Aut(X)

Sobre Aut(X). http://mathoverflow.net/questions/56510/groups-acting-on-riemann-surfaces By Hurwitz theorem, order of a group G of automorp-hisms (conformal homeomorphisms) of a compact Riemann surface of genusg ≥ 2 is bounded above by 84(g − 1).

1. Is there any example of a compact Riemann surface whose automorp-hism group is trivial?

2. Does C2 act on every compact Riemann surface of genus g ≥ 2 ? (C2

acts on any compact surface of genus g).3. If all Sylow-subgroups of a finite group act on the a compact Riemann

surface, does it imply that the whole group acts on Riemann surface?4. Can one suggest a survey article about groups acting on Riemann

surfaces/ automorphisms of Riemann surfaces?A counterexample to Q3 is provided by the genus 2 compact Riemann

surface X of y2 = x5 − 1. Indeed, the order 10 cyclic group C10 acts on X(by changing sign of y and multiplying x by 5th roots of unity). It is knownthat the jacobian of X has endomorphism ring Z[?5] - the 5th cyclotomicring of integers and any finite multiplicative subgroup of Z[?5] is a subgroupof ?10?C10. This implies that Aut(X)=C10. On the other hand, the dihedralgroup D10 of order 10 has the same Sylow subgroups as C10 but is notisomorphic to it. In other words, there is no faithful action of D10 on X whileits Sylow subgroups C5 and C2 act faithfully on X.

If Y is a compact Riemann surface of genus g and its jacobian J has nonontrivial automorphisms (i.e., End(J) is the ring of integers Z) then eitherY is non-hyperelliptic and Aut(Y)=1 or Y is hyperelliptic and Aut(Y)=C2.For example, if g¿1 and Yg is the hyperelliptic Riemann surface y2=x2g+1-x-1 then its jacobian Jg has no nontrivial endomorphisms (Math. ResearchLetters 7 (2000), 123–132) and therefore Aut(Yg)=C2. If p is an odd primethen for each integer n?5 the automorphism group of the compact Riemann

5


surface yp=xn-x-1 is the cyclic group Cp. Indeed, the endomorphism ring ofthe jacobian is the pth cyclotomic ring Z[?p] (Math. Proc. Cambridge Philos.Soc. 136 (2004), 257–267) and one may easily check, using the differentialsof the first kind that the curve is non-hyperelliptic.

Using Del Pezzo surfaces of degree 2, one may construct non-hyperellipticgenus 3 curves Y, whose jacobian has no nontrivial endomorphisms (AMSTranslations Series 2, vol. 218 (2006), 67–75; MR2279305, 2007k:14060) andtherefore Aut(Y)=1. For the genus 4 case see a paper of Anthony Varilly-Alvaradoa and David Zywina (LMS Journal of Computation and Mathema-tics (2009), 12: 144-165); their approach makes use of Del Pezzo surfaces ofdegree 1 (see also Math. Ann. 340 (2008), 407–435).

6 Depto. de Algebra

Capıtulo 3

Otra prueba del teorema deprolongacion

Una prueba muy similar del teorema ?? se puede leer en [For81, Teorema8.4]. La unica diferencia es que hemos usado el concepto de pegado de super-ficies, mientras que [For81] define la estructura de superficie de Riemann enel nuevo conjunto Y dentro de la prueba.

Teorema 3.0.1. Sea X una superficie de Riemann, A ⊂ X un subconjuntocerrado y discreto, y X ′ = X − A. Supongamos que Y ′ es otra superficie deRiemann y π′ : Y ′ → X ′ un recubrimiento etale de grado finito n. Entoncesπ′ se extiende a un recubrimiento ramificado de X, es decir, existe una su-perficie de Riemann Y , y un recubrimiento ramificado π : Y → X tal queπ|Y−π−1(A) = π′.

Demostracion. ([For81, Teorema 8.4]) Para cada a ∈ A escogemos una carta(Ua, ψa) en X con las siguientes propiedades:

ψa esta centrada en a: ψa(a) = 0.

ψa(Ua) es el disco unidad D ⊂ C.

Ua ∩ Ua′ = ∅ para a 6= a′.

Sea U∗a = U − a. Como π′ : Y ′ → X ′ es propia, el conjunto π′−1(U∗a ) esigual a la union disjunta de ciertos entornos V ∗ak, k = 1, . . . , n(a) (el numerode componentes conexas depende del punto).

Para cada k, la aplicacion π′|V ∗ak: V ∗ak → U∗a es un recubrimiento etale de

grado finito dak, con∑n(a)

k=1 dak = n. Por el teorema ??, existen isomorfismos

7


ζak : V ∗ak → D∗, tales que el diagrama

V ∗akζak //

π′

D∗

πak

U∗q

ψa // D∗

es conmutativo, con πak(z) = zdak .Ahora escogemos puntos pak, a ∈ A, k = 1, . . . , n(a), que sean distintos

dos a dos, de algun conjunto disjunto de Y ′. Formamos el conjunto

Y = Y ′ ∪ pak | a ∈ A, k = 1, . . . , n(a),

sobre el que definimos una topologıa: si Wi, i ∈ I es un entorno abierto de a,entonces

pak ∪(π′−1(Wi − a

)∩ V ∗ak), i ∈ I

es una base de entornos de pak, y sobre Y ′ induce la topologıa de partida.

Y es Hausdorff. Si tomamos dos puntos distintos de Y ′, es claro que sepueden separar, y lo mismo si consideramos un punto de Y ′ y un puntode la forma pak. Debemos tratar los siguientes casos:

• pak, pa′l, con a 6= a′. Podemos elegir entornos Wi de a y W ′j de a′

disjuntos, con Wi ⊂ Ua,W′j ⊂ Ua′ , y

π′−1(Wi − a) ⊂⊔

V ∗ak, π′−1(W ′

j − a′) ⊂⊔

V ∗a′l.

Basta ver que

(π′−1(Wi − a) ∩ V ∗ak) ∩ (π′−1(W ′j − a′) ∩ V ∗a′l) = ∅,

lo que se tiene porque

π′−1(Wi − a) ∩ π′−1(Wj − a′) = ∅.

• pak, pal, con l 6= k. Basta considerar que los entornos V ∗ak y V ∗al sondisjuntos.

Y es conexo. Si Y = V1 ∪ V2 union disjunta de abiertos no vacıos,entonces Y ′ = (V1 ∩ Z) ∪ (V2 ∩ Z) serıa union disjunta de abiertos novacıos en Y ′. Como Y ′ es conexo, tendrıamos que V1 ∩ Y ′ = Y ′ o bienque V1 ∩ Y ′ = ∅. En el primer caso, Y ′ ⊂ V1 y V2 = p∗, que no esabierto de Y . Analogo para el segundo caso.

8 Depto. de Algebra


Definimos π : Y → X como

π(y) = π′(y) si y ∈ Y ′,π(pak) = a.

Entonces π es continua.Para dotar a Y de estructura de superficie de Riemann, anadimos cartas

a la estructura compleja de Y ′. Sea Vak = V ∗ak ∪ pak, y consideremos

ζak : Vak → D

la continuacion de la aplicacion ζak : V ∗ak → D∗ que tenıamos medianteζ(pak) = 0. Como ζak son cartas en la estructura compleja de Y ′, las nue-vas cartas ζak son compatibles, de manera holomorfa, con las cartas de laestructura compleja de Y ′.

Con esta estructura, π : Y → X es morfismo, pues es continua en lospuntos anadidos y morfismo fuera de ellos. Ademas, el ındice de ramificacionen los nuevos puntos es igual a dak, por lo que la suma de los ındices deramificacion es constante e igual a n. Esto significa que π es un recubrimientoramificado. Como Y − π−1(A) = Y ′, por construccion, tenemos el resultado.

El siguiente teorema prueba que la extension de un recubrimiento etaleque acabamos de hacer es unica salvo isomorfismo. Es una version del teorema?? , y las pruebas son similares.

Teorema 3.0.2. Sean X, Y, Z superficies de Riemann, y π : Y → X, τ : Z →X morfismos propios. Sea A ⊂ X un conjunto cerrado y discreto, y tomemosX ′ = X − A, Y ′ = π−1(X ′), Z ′ = τ−1(X ′). Entonces todo isomorfismo σ′ :Y ′ → Z ′ tal que hace conmutativo el diagrama

Y ′ σ′ //

π′

Z ′

τ ′

~~X ′

se extiende a un isomorfismo σ : Y → Z tal que

Y σ //

π

Zτ

~~X

es conmutativo. En particular, cualquier automorfismo σ′ ∈ Aut(Y ′|X ′) seextiende a un automorfismo σ ∈ Aut(Y |X).

Depto. de Algebra 9


Demostracion. Sea a ∈ A, y (U, ψ) una carta centrada en a con ψ(U) = D.Tomemos el entorno agujereado U∗ = U−a. Podemos suponer U ajustadopara que tanto π y τ sean recubrimientos etales sobre U∗. Sean

π−1(U) =n⊔i=1

Vi, τ−1(U) =

m⊔j=1

Wj.

Entonces V ∗k = Vk − π−1(a), k = 1, . . . , n son las componentes conexas deπ−1(U∗), analogamente para W ∗

l = Wl − τ−1(a), l = 1, . . . ,m con respecto aτ−1(U∗).

Como σ|π−1(U∗) : π−1(U∗)→ τ−1(U∗) es isomorfismo, se tiene que n = m,podemos reordenar las componentes para suponer que σ′(V ∗k) = W ∗

k . Dadoque π|V ∗k : V ∗k → U∗k es un recubrimiento etale, se tiene que Vk ∩ π−1(a) es ununico punto bk. Analogamente, Wk ∩ τ−1(a) = ck.

Entonces la aplicacion σ′|π−1(U∗) : π−1(U∗) → τ−1(U∗) se puede extender

a una aplicacion biyectiva σ : π−1(U) → τ−1(U) que lleva bk en ck. Comolas restricciones π|Vk : Vk → U, τWk

: Wk → U son propias, la continuacion esun homeomorfismo, y por el teorema de la singularidad evitable de Riemannes un isomorfismo (el teorema de la singularidad evitable de Riemann seaplica porque tanto Vk y Wk son isomorfos al disco D). Si se aplica estaconstruccion a todo punto excepcional a ∈ A, obtenemos la extension globalσ : Y → Z.

10 Depto. de Algebra

Capıtulo 4

Equivalencia conforme

El concepto de equivalencia conforme es el mismo que el de isomorfismoentre superficies de Riemann.

Ejemplo 4.0.3. El disco D = z ∈ C | |z| < 1 y el semiplano H = z ∈C | =(z) > 0 son isomorfos como superficies de Riemann. El isomorfismoviene dado por T : H→ D definido por

T (z) =z − iz + i

.

Teorema 4.0.4. Si S es un abierto de C simplemente conexo entonces S = Co bien S ' D.

Teorema 4.0.5. Teorema de Uniformizacion. Toda superficie de Riemannsimplemente conexa es isomorfa a una de las siguientes:

1. La esfera de Riemann P1(C).

2. El plano complejo C.

3. El disco unidad D (o de manera equivalente, el semiplano H).

Definicion 4.0.6. 1. PSL(2,C) = z 7→ az+bcz+d

| ad− bc = 1.

2. PSL(2,R) analogo al anterior pero con coeficientes reales.

Recordemos que los automorfismos de la esfera de Riemann son de laforma

z 7→ az + b

cz + d,

con ad− bc 6= 0. Se obtiene la misma transformacion si multiplicamos nume-rador y denominador por 1/

√∆, donde ∆ = ad− bc.

11


Teorema 4.0.7. 1. Aut(P1(C)) = PSL(2,C).

2. Aut(C) = z 7→ az + b | a, b ∈ C, a 6= 0.

3. Aut(H) = PSL(2,R).


Capıtulo 5

Espacio recubridor regular

Desarrollo con la notacion unificada de [JS87, secc. 4.19]. Aparece el con-cepto de espacio recubridor regular (p. 209), sobre la accion transitiva en lafibra. Prueba y posterior relacion con automorfismos de Galois.

La definicion de espacio recubridor es semejante a la de revestimientoetale, aplicada a espacios topologicos en general.

Ejemplo 5.0.8. Si L es un retıculo de C entonces la proyeccion p : C→ C/Les una aplicacion recubridora con infinitas hojas.

Consideremos un espacio topologico X y (X, p) un espacio recubridor.Una transformacion recubridora es un homeomorfismo g : X → X tal quep g = p. Esto es lo que hemos llamado Aut(X|X).

Definicion 5.0.9. Sea G un grupo de homeomorfismos de un espacio to-pologico X en sı mismo. Decimos que G actua de forma discontinua sobre Xsi para cada x ∈ X existe un entorno V (x) tal que V ∩ g(V ) = ∅ para todoelemento g ∈ G distinto de la identidad.

Teorema 5.0.10. Sea X un e.t. y (X, p) un espacio recubridor. Si X esconexa entonces Aut(X|X) actua de forma discontinua sobre X.

Definicion 5.0.11. Decimos que (X, p) es un espacio recubridor regular sipara cada x ∈ X el grupo Aut(X|X) actua transitivamente sobre la fibrap−1(x).

Esto es lo que hemos llamado de Galois.

Teorema 5.0.12. Si (X, p) es un espacio recubridor regular de X y G =Aut(X|X) entonces existe un homeomorfismo q : X → X/G dado por q(x) =[x]G, donde x ∈ X y x ∈ p−1(x).

13


Teorema 5.0.13. Todo espacio topologico X tiene un espacio recubridor(X, p) simplemente conexo.

Este espacio es lo que se conoce como espacio recubridor universal. Esesencialmente unico.

El objetivo es probar que si X es una superficie de Riemann entonces elespacio recubridor universal X tiene estructura de superficie de Riemann yes un recubrimiento regular (esto es, es de Galois).

Proposicion 5.0.14. Si S es una superficie de Riemann con espacio recu-bridor S entonces existe una unica estructura de superficie de Riemann enS tal que p : S → S es morfismo.

Proposicion 5.0.15. Si S y S son como en la proposicion anterior, entoncescada transformacion recubridora de (S, p) es un automorfismo de S.

Tenemos ya los ingredientes para dar una caracterizacion de todas las su-perficies de Riemann. Si S es una superficie de Riemann conexa, entonces suespacio recubridor universal S tiene una (unica) estructura de superficie deRiemann, con respecto a la cual la aplicacion p : S → S es un morfismo. Re-cordemos que S es simplemente conexa, por lo que S es isomorfa a P1(C),Co bien a H. Sin perdida de generalidad, podemos tomar S una de estas super-ficies de Riemann. Tenemos tambien que las transformaciones recubridorasson automorfismos de S, y estas aplicaciones las hemos determinado en laseccion anterior.

Teorema 5.0.16. Si S es una superficie de Riemann conexa entonces el es-pacio recubridor universal (S, p) es un espacio recubridor regular (de Galois).

Corolario 5.0.17. Si S es una superficie de Riemann conexa entonces S 'S/G, donde G es un subgrupo de Aut(S).

Teorema 5.0.18. Sea S una superficie de Riemann no isomorfa a P1(C),C,D∗,C/L.Entonces S ' H y S es isomorfa a H/G para algun subgrupo G de PSL2(R)que actue de forma discontinua sobre H.

Recordemos que un grupo topologico es un espacio topologico G que tam-bien es un grupo, donde las operaciones de producto e inverso son continuas.Un subgrupo discreto Ω de G es un subgrupo tal que existe un entorno U enG del elemento neutro e tal que U ∩ Ω = e.

Se tiene que todos los subgrupos de PSL2(R) que actuan de forma dis-continua sobre H son subgrupos discretos de PSL2(R): son los grupos Fuch-sianos.



Se puede probar que si S es una superficie de Riemann conexa, con recu-brimiento universal isomorfo a H entonces S ' H/Λ, donde Λ es un subgrupopropiamente discontinuo de automorfismos de H que actua sin puntos fijos.Entonces Λ es un grupo Fuchsiano.

El mas popular de los grupos Fuchsianos es PSL2(Z). Se denomina elgrupo modular, y tiene libros enteros dedicados a el.

Depto. de Algebra 15

Capıtulo 6

Preguntas adicionales

Nota 6.0.19. Sea F : D∗ → D∗ el morfismo F (z) = z3. ¿Es posible describir elconjunto Z del teorema de prolongacion en la version de ’paso01’? Determinesus componentes conexas

Teorema 6.0.20. Sea F : X → Y un recubrimiento ramificado de Galois,con X, Y superficies de Riemann conexas. Llamemos G = Aut(X|Y ) al gru-po de Galois del recubrimiento. Entonces hay una correspondencia biyectivaentre los subgrupos G′ de G y los recubrimientos ramificados X ′ → Y dotadosde un morfismo sobreyectivo X → X ′.

Revisa Forster I.8.11, I.8.12 para interpretarlo en estos terminos.Supongamos probado el teorema [JS87, Thm. 4.19.8]: toda superficie de

Riemann X no isomorfa a P1,C,C∗,C/Λ tiene un espacio recubridor univer-sal H, el semi-plano superior, y X es isomorfa a H/G, para algun subgrupoG de PSL(2,R) con accion discontinua sobre H.

¿Se puede probar el teorema de separacion de Riemann a partir de el? Laidea es reducir la existencia de la funcion meromorfa a alguno de los casosanteriores.

Una cuestion a estudiar es si podemos deducir el teorema de separacionde Riemann a partir de la equivalencia entre las superficies de Riemanncompactas y las curvas algebraicas lisas, dado el teorema para curvas en[Kir92, Sect. 4.2]. Puede parecer un periplo largo, pero darıa una pruebaalgebraica sin necesidad de analisis funcional ni integracion.

No es posible lo anterior con la prueba actual. El teorema que indica queel funtor que envıa F : X → Y a F ∗ : M(Y ) → M(X) es inyectivo precisadel teorema de separacion de Riemann.

17

Capıtulo 7

Una prueba diferente de lacaracterizacion de M(X)

Se trata de combinar las pruebas de Forster y Narasimhan. (por desarro-llar)

Corolario 7.0.21. [For81, Thm. 14.13] Sea X una superficie de Riemanncompacta, y a1, . . . , an ∈ X puntos distintos. Entonces, para cualesquieranumeros complejos c1, . . . , cn ∈ C, existe una funcion meromorfa f ∈M(X)tal que f(ai) = ci, i = 1, . . . , n.

Demostracion. Para cada para i 6= j, por el teorema de separacion de Rie-mann, existe una funcion fij ∈M(X) tal que fij tiene un polo en ai y es holo-morfa en aj. Escojamos una constante λij ∈ C∗ tal que fij(ak) 6= fij(aj)−λijpara todo k = 1, . . . , n. Entonces la funcion

gij =fij − fij(aj)

fij − fij(aj) + λij∈M(X)

es holomorfa en los puntos ak, 1 ≤ k ≤ n, y satisface gij(ai) = 1, gij(aj) = 0.Ahora las funciones

hi =∏j 6=i

gij, i = 1, . . . , n

verifican hi(aj) = δij, y por tanto

f =n∑j=1

cihi

resuelve el problema.

19


7.1. Prueba segun Douady

7.2. Prueba segun Narasimhan

Sean X, Y superficies de Riemann, y F : X → Y un recubrimiento eta-le de grado n. Consideremos f ∈ M(X). Para cada punto q ∈ Y existeun abierto V tal que F−1(V ) es union disjunta de abiertos U1, . . . , Un, yF|Uk

: Uk → V es isomorfismo, para k = 1, . . . , n. Sea τk : V → Uk la apli-cacion inversa de F|Uk

, y llamemos fk = f τk. Sea T una indeterminada, yconsideremos la expresion

n∏k=1

(T − fk) = T n + c1Tn−1 + . . .+ cn.

Entonces los coeficientes ck son funciones meromorfas en V , y

ck = (−1)ksk(f1, . . . , fn),

donde sk denota la k-esima funcion simetrica elemental en n variables. Si estaconstruccion se lleva a cabo en un entorno V ′ de otro punto q′ ∈ Y , entoncesobtenemos las mismas funciones c1, . . . , cn. Por ello, estas funciones dan lugara unas funciones meromorfas globales c1, . . . , cn ∈ M(Y ), que llamaremosfunciones simetricas elementales de f con respecto a F : X → Y .

Observemos que si q ∈ Y , y F−1(q) = p1, . . . , pn, con cada pk ∈ Uk,entonces τk(q) = pk, y fk(q) = f(pk). Entonces

n∏k=1

(f(pk)− fk(q)) = 0,

y, en general, si F (p) = q, se tiene que

0 = f(p)n + c1(q)f(p)n−1 + . . .+ cn(q).

Lema 7.2.1. [DD79, prop. 6.2.2] Sea X una superficie de Riemann, y Dun subconjunto cerrado y discreto de X, con f ∈ O(X − D) una funcionholomorfa. Consideremos un punto p ∈ X y (U,ϕ) una carta en X centradaen p. Entonces f es meromorfa en p si y solamente si existe un entornoabierto U ′ de p contenido en U , y constantes c y k tales que para todo x ∈U ′ − p se verifica

|f(x)| ≤ c

|ϕ(x)|k.



Demostracion. Si se verifica la condicion, entonces la funcion x 7→ (ϕ(x))kf(x)es holomorfa en U ′ − p, y acotada en un entorno de p, por lo que se pro-longa a una funcion holomorfa en U ′. Recıprocamente, si f es meromorfa enp, entonces f se puede expresar, en un entorno de p como f(x) = g(x)/h(x),con h(x) = ϕ(x)ku(x), y u holomorfa, u(p) 6= 0. Entonces existe 1/u en unentorno de p, y g/u esta acotada en un entorno U ′ de p por una constante c.En consecuencia,

|f(x)| ≤ c

|ϕ(x)|kpara todo x ∈ U ′ − p.

Teorema 7.2.2. Sea F : X → Y un recubrimiento ramificado de gradon. Consideremos B ⊂ Y un conjunto cerrado y discreto, que contiene aF (RF ), la imagen de los puntos de ramificacion de F , y sea A = F−1(B).Supongamos que f es una funcion holomorfa (meromorfa) en X − A, y quec1, . . . , cn ∈ O(X −A)(M(X −A)) son las funciones simetricas elementalesde f . Entonces f se puede extender de manera holomorfa (meromorfa) aX si y solamente si todas las funciones ck se pueden extender de maneraholomorfa (meromorfa) a Y .

Demostracion. Sea b ∈ B y F−1(b) = a1, . . . , am. Sea (V, ψ) una carta deY centrada en b, con V compacto, y V ∩B = b. Entonces U = F−1(V ) esun entorno abierto de cada ai, con clausura compacta.

1. f ∈ O(X − A).

a) Supongamos que f se puede extender de manera holomorfa a todoslos puntos ai. Entonces f esta acotada en U −a1, . . . , am, y estoimplica que todas las funciones ck estan acotadas en V −b. Porel teorema de singularidades evitables de Riemann (??), se puedenextender de manera holomorfa a b.

b) Supongamos que todas las funciones ck se pueden extender de ma-nera holomorfa a b. Entonces todas las funciones ck estan acotadasen V −b y, por tanto, f esta acotada en U −a1, . . . , am, puessi x ∈ U − a1, . . . , am y y = F (x) entonces

f(x)n + c1(y)f(x)n−1 + . . .+ cn(y) = 0,

y tenemos la acotacion. De nuevo, es una singularidad evitable, yf se puede extender de manera holomorfa a todos los puntos ai.

2. f ∈M(X − A).



a) Supongamos que f se puede extender de manera meromorfa atodos los puntos ai. La funcion ϕ = F ∗ψ = ψ F es holomorfa enU , y se anula en todos los puntos ai. Existe un k suficientementegrande para el que ϕkf se puede extender de manera holomorfa atodos los puntos ai (se cancelan ceros con polos). Vamos a calcularlas funciones simetricas elementales de ϕkf . Sea gj = ϕkf τj, yfj = f τj, con la notacion del inicio de la seccion. Entonces

n∏j=1

(T − gj) = T n + c′1Tn−1 + . . .+ c′n,

con

c′j = (−1)jsj(g1, . . . , gn) = (−1)jϕkjs(f1, . . . , fn) = ϕkjcj.

Por la primera parte de la prueba, las funciones c′j se pueden ex-tender de manera holomorfa al punto b, o bien, todas las funcionescj se pueden extender de manera meromorfa al punto b.

b) Supongamos ahora que todas las funciones cj se pueden extenderde manera meromorfa al punto b. Con la notacion anterior, paraun k suficientemente grande , todas las funciones ϕkjcj admitenprolongacion holomorfa al punto b. Ası, ϕkf admite una extensionholomorfa a todos los puntos ai. Esto implica que f se puedeextender de manera meromorfa a todos los puntos ai.

Nota 7.2.3. El teorema anterior tambien se verifica cuando Y es union dis-junta de superficies de Riemann.

Si F : X → Y es un recubrimiento ramificado, consideremos el morfismoinyectivo de cuerpos F ∗ :M(Y )→M(X), definido por F ∗(h) = h F .

Teorema 7.2.4. Sea F : X → Y un recubrimiento ramificado de grado nentre superficies de Riemann. Si f ∈ M(X) y c1, . . . , cn ∈ M(Y ) son lasfunciones simetricas elementales de f , entonces:

1. fn + F ∗(c1)fn−1 + . . .+ F ∗(cn−1)f + F ∗(cn) = 0.

2. El monomorfismo F ∗ :M(Y )→M(X) es una extension algebraica degrado menor o igual que n.

3. Mas aun, si existe g ∈M(X) y q ∈ Y con F−1(q) = p1, . . . , pn ⊂ Xtales que los valores g(pi), i = 1, . . . , n son todos distintos, entonces laextension M(X)|M(Y ) es de grado n.



Demostracion. 1. Antes hemos visto que si F (p) = q, entonces

0 = f(p)n+c1(q)f(p)n−1+. . .+cn(q) = f(p)n+c1(F (p))f(p)n−1+. . .+cn(F (p)),

que es la relacion buscada.

2. Sea L = M(X) y K = F ∗(M(Y )) ⊂ L. Por el apartado anterior,cada f ∈ L es algebraico sobre K, y el polinomio mınimo de f sobreK es de grado menor o igual que n. Supongamos que f0 ∈ L es unelemento para el cual el grado n0 de su polinomio mınimo es maximal:n0 = maxdeg(f) | f ∈ L.Vamos a demostrar que L = K(f0), lo que probara este apartado. Seaf ∈ L, y consideremos el cuerpo K(f0, f). Por el teorema del elementoprimitivo, existe g ∈ L tal que K(f0, f) = K(g). Como dimK K(g) ≤ n0

y K ⊂ K(f0) ⊂ K(f0, f) ⊂ K(g), se sigue que K(f0, f) = K(f0), yf ∈ K(f0).

3. Si el grado del polinomio mınimo de f sobre K fuera igual a m < n,entonces f tomarıa, a lo mas, m valores diferentes sobre cada puntop ∈ X (las raıces del polinomio).

Nota 7.2.5. La tercera condicion del teorema anterior siempre se verifica ensuperficies de Riemann compactas, por el corolario 7.0.21.

Corolario 7.2.6. Si X es una superficie de Riemann compacta, entoncesM(X) es una extension finitamente generada de C(T ), extension de C degrado de trascendencia 1.

Demostracion. Por el teorema de separacion de Riemann, existe ϕ : X → P1

no trivial. Entonces C → M(X), con ϕ 6∈ C. Como C es algebraicamentecerrado, ϕ es trascendente sobre C, y C(ϕ) es una extension pura de grado detrascendencia igual a 1. Recordemos queM(P1) = C(T ), donde T representala funcion identidad id : P1 → P1. Entonces la inclusion ϕ∗ : M(P1) →M(X) indica C(ϕ) = ϕ∗(M(P1)), y de [M(X) : C(ϕ)] = deg(ϕ) deducimosque M(X) es una extension finitamente generada de C(ϕ) ' C(T ).


Capıtulo 8

Formas diferenciales y divisores

8.1. Formas diferenciales

Definicion 8.1.1. Una 1-forma holomorfa en un abierto Ω ⊂ C es unaexpresion

ω = f(z) d z

donde f es una funcion holomorfa en Ω. Decimos que ω es una 1-formaholomorfa en la coordenada z.

Este es el objeto basico que queremos llevar a superficies de Riemann atraves de las cartas complejas. Para ello, necesitamos ciertas condiciones decompatibilidad en la interseccion de los dominios de las cartas.

Definicion 8.1.2. Supongamos que ω1 = f(z) d z es una 1-forma holomorfaen la coordenada z, definida en un abierto Ω1, y tomemos ω2 = g(w) dw una1-forma holomorfa en la coordenada w, definida en un abierto Ω2. Sea z =T (w) una aplicacion holomorfa de Ω2 en Ω1. Decimos que ω1 se transformaen ω2 por T si g(w) = f(T (w))T ′(w).

Observemos que la definicion viene de trabajar formalmente con d z =T ′(w) dw.

Si T es invertible con funcion inversa S, entonces ω1 se transforma en ω2

mediante T si y solamente si ω2 se transforma en ω1 mediante S.Podemos ya traspasar esta nocion a superficies de Riemann.

Definicion 8.1.3. Sea X una superficie de Riemann. Una 1-forma holomorfaen X es una coleccion de 1-formas ωφ, una para cada carta φ : U → Ω enla coordenada del destino Ω, tales que si dos cartas φi : Ui → Ωi, i = 1, 2con U1 ∩ U2 6= ∅, entonces la 1-forma holomorfas ωφ1 se transforma en ωφ2mediante el cambio de coordenadas T = φ1 φ−12 .

25


Es decir, si ωφ1 = f d z1, ωφ2 = g d z2 son las expresiones respectivas de la1-forma ω respecto a dos cartas φ1 y φ2, entonces

g(z2) = f(φ1 φ−12 (z2))(φ1 φ−12 )′(z2).

Para definir una 1-forma holomorfa en una superficie de Riemann no esnecesario dar la 1-forma holomorfa en cada carta, sino unicamente en lascartas de algun atlas.

Lema 8.1.4. Sea X una superficie de Riemann y A un atlas complejo enX. Supongamos que tenemos 1-formas holomorfas en cada carta de A, quese transforman unas en otras en sus dominios comunes. Entonces existe unaunica 1-forma holomorfa en X que extiende estas 1-formas holomorfas encada una de las cartas de A.

Demostracion. Sea ψ una carta de X que no este en el atlas. Nuestro objetivoes definir la 1-forma holomorfa con respecto a ψ, o de manera equivalente,en terminos de la coordenada w de ψ. Fijamos un punto p del dominio deψ, y escogemos una carta del atlas φ1 que contenga a p en su dominio. Seaz la coordenada asociada. Escribamos f(z1) d z1 la 1-forma holomorfa conrespecto a φ1. Entonces simplemente definimos la 1-forma holomorfa conrespecto a ψ como f(T (w))T ′(w), donde z1 = T (w) describe el cambio decoordenadas φ1 ψ−1.

Esta definicion es independiente de la eleccion de φ1. En efecto, consi-deremos otra carta φ2 que contenga a p en su dominio, y sea g(z2) d z2 la1-forma con respecto a φ2. Entonces

g(z2) = f(φ1 φ−12 (z2))(φ1 φ−12 )′(z2),

y para ωψ tenemos las expresiones

ωψ =

f(φ1 ψ−1(w))(φ1 ψ−1)′(w) dw, z1 = (φ1 ψ−1)(w),g(φ2 ψ−1(w))(φ2 ψ−1)′(w) dw, z2 = (φ2 ψ−1)(w).

Entonces

g(φ2 ψ−1(w))(φ2 ψ−1)′(w) = f(φ1 φ−12 (φ2 ψ−1(w))) ·(φ1 φ−12 )′(φ2 ψ−1(w))(φ2 ψ−1)′(w)

= f(φ1 ψ−1(w))(φ1 φ−12 φ2 ψ−1)′(w)

= f(φ1 ψ−1(w))(φ1 ψ−1)′(w).

Ademas, todas las 1-formas holomorfas se transforman en las otras.

En el mismo espıritu se pueden definir 1-formas meromorfas.



Definicion 8.1.5. Una 1-forma meromorfa en un abierto Ω ⊂ C es unaexpresion

ω = f(z) d z

donde f es una funcion meromorfa en Ω. Decimos que ω es una 1-formameromorfa en la coordenada z.

Definicion 8.1.6. Supongamos que ω1 = f(z) d z es una 1-forma meromorfaen la coordenada z, definida en un abierto Ω1, y ω2 = g(w) dw una 1-formameromorfa en la coordenada w, definida en un abierto Ω2. Sea z = T (w)una aplicacion holomorfa de Ω2 en Ω1. Decimos que ω1 se transforma en ω2

mediante T si g(w) = f(T (w))T ′(w).

Definicion 8.1.7. Sea X una superficie de Riemann. Una 1-forma mero-morfa en X es una coleccion de 1-formas meromorfas ωφ, una para ca-da carta φ : U → Ω en la variable del destino Ω, tal que si dos cartasφi : Ui → Ωi, i = 1, 2 con U1∩U2 6= ∅, entonces la 1-forma meromorfa asocia-da ωφ1 se transforma en ωφ2 mediante el cambio de coordenadas T = φ1φ−12 .

Lema 8.1.8. Sea X una superficie de Riemann y A un atlas complejo enX. Supongamos que tenemos 1-formas meromorfas en cada carta de A, quetransforman a las otras en sus respectivos dominios comunes. Entonces existeuna unica 1-forma meromorfa en X que extiende estas 1-formas meromorfasen cada una de las cartas de A.

Nota 8.1.9. Una forma equivalente de dar 1-formas meromorfas es la queaparece en [Kir92, p.146]. Sea φα : Uα → Vα | α ∈ A un atlas de lasuperficie de Riemann X. Entonces una 1-forma meromorfa η en X es unacoleccion

ηα : Vα → P1 | α ∈ Ade funciones meromorfas en los abiertos Vα de C tales que si α, β ∈ A yu ∈ Uα ∩ Uβ entonces

ηα(φα(u)) = ηβ(φβ(u))(φβ φ−1α )′(φα(u)).

Dadas dos funciones meromorfas f, g en X, podemos definir la 1-formameromorfa f d g = η en X donde

ηα = (f φ−1α )(g φ−1α )′.

Las definiciones anteriores nos permiten usar el formalismo siguiente: siω1 = f(z) d z = f dφ1, ω2 = g dφ2, son las definiciones locales de una 1-forma, entonces g(w) = f(φ1 φ−12 (w))(φ1 φ−12 )′(w), o bien, si ponemosw = φ2(p), la expresion sobre puntos de la superficie es

g(φ2(p)) = f(φ1(p))(φ1 φ−12 )′(φ2(p)).



Si F,G : X → P1 son funciones meromorfas en X, podemos escribir F dGpara expresar ω = (F φ−1)(G φ−1) dφ = F (z)G′(z) d z.

Sea ω una 1-forma meromorfa definida en un entorno de un punto p.Si escogemos una carta local centrada en p, podemos escribir ω = f(z) d z,donde f es una funcion meromorfa en z = 0.

Definicion 8.1.10. El orden de ω en p, notado por ordp(ω), es el orden dela funcion f en 0.

Es facil ver que ordp(ω) esta bien definido, independiente de la eleccionde la coordenada local. Si consideramos cartas centradas en p, y

g(w) = f(φ1 φ−12 (w))(φ1 φ−12 )′(w),

entonces el orden de f(φ1 φ−12 )(w) en cero es el mismo que el de f(z) encero, y (φ1 φ−12 )′(w) aporta un escalar no nulo como primer elemento de laserie, pues φ1 φ−12 es bi-holomorfa.

Una 1-forma meromorfa ω es holomorfa en p si y solamente si ordp(ω) ≥ 0.Decimos que p es un cero de ω de orden n si ordp(ω) = n > 0. Decimos

que p es un polo de ω de orden n si ordp(ω) = −n < 0. El conjunto de cerosy polos de una 1-forma meromorfa es un conjunto discreto.

Dada una 1-forma meromorfa ω y h : X → P1 una funcion meromorfa enX, podemos definir la 1-forma meromorfa hω. Observemos que si ω = f d zen una carta φ, entonces hω = h(φ−1(z))f(z) d z.

Definicion 8.1.11. Sea F : X → Y un morfismo no constante entre super-ficies de Riemann. Sea ω = f d z una 1-forma meromorfa en Y . Fijemos unacarta φ : U → Ω en X tal que F (U) ⊂ U ′, donde ψ : U ′ → Ω′ es carta en Y .Consideremos coordenadas z en Y y w en X, y z = h(w) = (ψ F φ−1)(w)la funcion holomorfa inducida. Llamamos pull-back de ω mediante F a

F ∗ω = f(h(w))h′(w) dw.

Lema 8.1.12. La definicion anterior define una 1-forma meromorfa en X.Si ω es holomorfa, entonces F ∗ω es holomorfa.

Lema 8.1.13. Sea F : X → Y un morfismo no constante, y ω una 1-formameromorfa en Y . Fijemos un punto p ∈ X. Entonces

ordp(F∗ω) = (1 + ordF (p)(ω))ep(F )− 1.

Demostracion. Escogemos cartas locales w en p y z en F (p) tales que, en unentorno de p, F tiene la forma z = wn, donde n = ep(F ). Con respecto a lavariable z,

ω = (czk + . . .) d z,



donde k = ordF (p)(ω). Entonces

F ∗ω = (cwnk + . . .)nwn−1 dw

con respecto a la variable w. Es claro entonces que ordp(F∗ω) = nk+n−1.

Es usual emplear la siguiente notacion:

O(U) = funciones holomorfas f : U → C,Ω1(U) = 1-formas holomorfas definidas en U,

M(U) =M(0)(U) = funciones meromorfas definidas en U,M(1)(U) = 1-formas meromorfas definidas en U.

Todos estos conjuntos son espacios vectoriales. Ademas O(U) y M(U)son anillos (C-algebras). Si U es conexo, entonces O(U) es un dominio deintegridad yM(U) es un cuerpo. Los espacios Ω1(U) yM(1)(U) son modulossobre O(U), y si U es conexo, M(1)(U) es un espacio vectorial sobre M(U).



8.2. Divisores

Los divisores son, en principio, una forma de organizar en una expresionlos ceros y polos de una funcion o 1-forma meromorfa.

Definicion 8.2.1. Un divisor sobre una superficie de Riemann X es unafuncion D : X → Z en la que el conjunto de puntos p ∈ X tales que D(p) 6= 0es discreto en X.

Los divisores en X forman un grupo con respecto a la adicion formal depuntos, y lo notaremos por Div(X). Un divisor se representa como

D =∑p∈X

D(p) · p,

donde el conjunto de puntos p donde D(p) 6= 0 es discreto. A este conjuntose le llama soporte del divisor D.

Se sigue de forma inmediata que si X es una superficie de Riemann com-pacta, entonces una funcion D : X → Z es un divisor si y solamente si tienesoporte finito.

Definicion 8.2.2. El grado de un divisor D sobre una superficie de Riemanncompacta es

deg(D) =∑p∈X

D(p).

Definicion 8.2.3. Sea f una funcion meromorfa sobre una superficie deRiemann X, no identicamente nula. El divisor de f es la expresion

div(f) =∑p

ordp(f) · p.

Cualquier divisor de esta forma se denomina divisor principal en X.

Lema 8.2.4. Sean f y g funciones meromorfas no nulas en X. Entonces

div(fg) = div(f) + div(g).

div(f/g) = div(f)− div(g).

div(1/f) = − div(f).

Lema 8.2.5. Si f es una funcion meromorfa no nula en una superficie deRiemann compacta, entonces deg(div(f)) = 0.



Demostracion. No es mas que otra manera de decir que la suma de los orde-nes de polos y ceros de una funcion meromorfa es igual a cero.

Ejemplo 8.2.6. Sea X = C∞ la esfera de Riemann, con coordenada z en elplano finito C. Sea f(z) una funcion racional, que la factorizamos como

f(z) = cn∏i=1

(z − λi)ei .

Entonces

div(f) =n∑i=1

ei · λi − (n∑i=1

ei) · ∞,

pues

f(1/z) = cn∏i=1

(1

z− λi)ei = c

n∏i=1

(1− λiz)ei

zei= cz−

∑ei

n∏i=1

(1− λiz)ei

Definicion 8.2.7. Sea X una superficie de Riemann y ω una 1-forma mero-morfa en X que no sea identicamente nula. El divisor de ω es la expresion

div(ω) =∑p

ordp(ω) · p.

Cualquier divisor de esta forma se denomina divisor canonico en X.

Ejemplo 8.2.8. Sea ω = d z la 1-forma sobre la esfera de Riemann C∞.Entonces ω no tiene ceros, y tiene un polo doble en∞, por lo que escribimosdiv(ω) = −2 · ∞. En general, si ω = f(z) d z, donde f(z) = c

∏i(z − λi)ei ,

entonces

div(ω) =∑i

eiλi − (2 +∑i

ei) · ∞.

En particular, para tales 1-formas, deg(ω) = −2.

Si f es una funcion meromorfa no nula y ω es una 1-forma meromorfa nonula, entonces

div(fω) = div(f) + div(ω).

Lema 8.2.9. Sean ω1 y ω2 1-formas meromorfas en una superficie de Rie-mann X, con ω1 no identicamente nula. Entonces existe una unica funcionmeromorfa f en X tal que ω2 = fω1.



Demostracion. Escojamos una carta φ : U → Ω en X que nos da la coor-denada local z. Escribamos ωi = g

(i)φ d z, para ciertas funciones meromorfas

g(i)φ en Ω. Sea h = g

(2)φ /g

(1)φ , que es una funcion meromorfa en Ω. Tomemos

f = hφ, que es una funcion meromorfa en U . Entonces f esta bien definida,independiente de la eleccion de la carta φ, pues si ψ : V → Σ es otra carta,con U ∩ V 6= ∅, tenemos que

g(1)ψ (ψ(u)) = g

(1)φ (φ(u))(φψ−1)′(ψ(u)), g

(2)ψ (ψ(u)) = g

(2)φ (φ(u))(φψ−1)′(ψ(u)),

y se verifica la igualdad de los cocientes

g(2)ψ (ψ(u))

g(1)ψ (ψ(u))

=g(2)φ (φ(u))

g(1)φ (φ(u))

.

Claramente, ω2 = fω1.

Proposicion 8.2.10. Si X es una superficie de Riemann compacta sobrela que hay definida una funcion meromorfa no constante, entonces existe undivisor canonico en X de grado 2g − 2.

Demostracion. Sea F : X → P1 tal funcion meromorfa. Entonces, por laformula de Hurwitz,

∑p

(ep(F )− 1) = 2g − 2 + 2 deg(F ).

Consideremos la 1-forma meromorfa definida en P1 por ω = d z. Es de grado−2, con un polo doble en (0 : 1) =∞, y sin otros polos y ceros. Sea η = F ∗ω



el pullback de ω. Vamos a aplicar el lema 8.1.13 y la formula de Hurwitz:

deg(div(η)) =∑

p∈X ordp(η)

=∑

p∈X ordp(F∗ω)

=∑

p∈X[(1 + ordF (p)(ω))ep(F )− 1

]=

∑q 6=∞

p ∈ F−1(q)

(ep(F )− 1) +∑

p∈F−1(∞)(−ep(F )− 1)

porque en ∞ tiene orden − 2

=∑

p∈X(ep(F )− 1)−∑

p∈F−1(∞)(ep(F )− 1) +∑

p∈F−1(∞)(−ep(F )− 1)

(suma y resta del termino)

=∑

p∈X(ep(F )− 1) +∑

p∈F−1(∞)(−2ep(F ))

= 2g − 2 + 2 deg(F )− 2 deg(F )por la formula de Hurwitz, y porque deg(F ) es el numero de anti-imagenes

= 2g − 2.

La existencia de una funcion meromorfa sobre una superficie de Riemanncompacta X no es trivial. Sabemos el resultado para algunas de ellas, comola recta proyectiva o las curvas proyectivas lisas. Otra forma de expresar elresultado anterior es que si κ es un divisor canonico, entonces deg(κ) = 2g−2,pues si κ = div(η), y ω es otra 1-forma, entonces ω = fη para una funcionmeromorfa en X, y deg(κ) = deg(div(ω)).

Definicion 8.2.11. Sea f una funcion meromorfa en X. El divisor de cerosde f , notado por div0(f), es el divisor

div0(f) =∑

ordp(f)>0

ordp(f) · p.

Analogamente, el divisor de polos de f es el divisor

div∞(f) =∑

ordp(f)<0

(− ordp(f)) · p.



Ambos divisores son no negativos, con soporte disjunto, y

div(f) = div0(f)− div∞(f).

Definicion 8.2.12. Sea F : X → Y un morfismo entre superficies de Rie-mann, y q ∈ Y . El divisor imagen inversa de q, notado por F ∗(q), es

F ∗(q) =∑

p∈F−1(q)

ep(F ) · p.

Observemos que cuando X y Y son compactas, el grado del divisor imageninversa es independiente del punto q, y es igual al grado de F .

Definicion 8.2.13. Sea D =∑

q∈Y nq · q un divisor en Y . El pullback de Den X, notado por F ∗(D), es el divisor

F ∗(D) =∑q∈Y

nqF∗(q)

En otras palabras, si consideramos los divisores como funciones, tenemosque

F ∗(D)(p) = ep(F )D(F (p)).

Lema 8.2.14. Sea F : X → Y un morfismo no constante entre superficiesde Riemann. Entonces

1. El pullback es un homomorfismo de grupos F ∗ : Div(Y )→ Div(X).

2. El pullback de un divisor principal es principal. En concreto, si f esuna funcion meromorfa en Y , entonces

F ∗(div(f)) = div(F ∗(f)) = div(f F ).

3. Si X, Y son compactas, entonces los divisores tienen grados y

deg(F ∗(D)) = deg(F ) deg(D).

Definicion 8.2.15. Sea F : X → Y un morfismo no constante entre su-perficies de Riemann. El divisor de ramificacion de F , notado por RF , es eldivisor en X notado por

RF =∑p∈X

(ep(F )− 1) · p.

El divisor rama de F , notado por BF , es el divisor en Y notado por

BF =∑q∈Y

∑p∈F−1(q)

(ep(F )− 1) · q.



Lema 8.2.16. Sea F : X → Y un morfismo no contante entre superficiesde Riemann. Sea ω una 1-forma meromorfa en Y , no identicamente nula.Entonces

div(F ∗ω) = F ∗(div(ω)) +RF .

Si X, Y son compactas, y tomamos grados en ambos lados de la igualdad,recuperamos la formula de Hurwitz.



8.3. Equivalencia lineal de divisores

Definicion 8.3.1. Sea D un divisor sobre una superficie de Riemann X.Decimos que D ≥ 0 si np ≥ 0 para todo p ∈ X, y lo llamamos divisorefectivo o positivo. Escribiremos D > 0 cuando D ≥ 0 y D 6= 0.

En general, si D1 y D2 son divisores, notaremos D1 ≥ D2 si D1−D2 ≥ 0,y analogo para D1 > D2. De igual forma se puede hablar de ≤ y <.

Todo divisor D se puede expresar de manera unica como D = P − N ,donde P y N son divisores no negativos con soporte disjunto.

Si f es una funcion meromorfa en X, entonces f es holomorfa si y sola-mente si div(f) ≥ 0. Lo mismo se aplica a a divisores de 1-formas meromorfas.

Definicion 8.3.2. Dos divisores D1, D2 en una superficie de Riemann sonlinealmente equivalentes, notado por D1 ∼ D2 si su diferencia es un divisorprincipal, esto es, si su diferencia es el divisor de una funcion meromorfa.

Lema 8.3.3. Sea X una superficie de Riemann. Entonces

1. Un divisor es linealmente equivalente a 0 si y solamente si es un divisorprincipal.

2. La equivalencia lineal es una relacion de equivalencia en el conjunto dedivisores de X.

3. Si X es compacta, entonces divisores linealmente equivalentes tienen elmismo grado: si D1 ∼ D2 entonces deg(D1) = deg(D2).

Demostracion. El primer apartado es la definicion: si D ∼ 0 entonces D−0 =D es un divisor principal. El segundo apartado es facil, y el tercero se sigue deque en una superficie de Riemann compacta, toda funcion meromorfa tieneigual numero de ceros y polos.



8.4. Espacios de funciones y formas

Vamos a tomar el convenio de asignar

ordp(f) =∞

a la funcion meromorfa identicamente nula en un entorno de p, con la ideade ∞ > n para todo entero n.

Definicion 8.4.1. Sea D =∑

p∈X np · p un divisor en X. Llamamos

L(D) = f ∈M(X) | div(f) +D ≥ 0.

En otras palabras, una funcion meromorfa f ∈M(X) esta en L(D) si

1. f es holomorfa excepto en aquellos p ∈ X para los que np > 0, y ahı elorden del polo es a lo mas np, y

2. f tiene un cero de orden al menos −np en todos los puntos p ∈ X talesque np < 0.

Otra forma de expresarlo es a traves de la serie de Laurent. Para cualquierpunto p, escogemos una carta local z centrada en p. Entonces cualquier fun-cion meromorfa f tendra un desarrollo en serie de Laurent con respecto a lacarta local. La condicion f ∈ L(D) es equivalente a decir que en todos lospuntos p, el desarrollo en serie local de Laurent no tiene terminos inferioresa z−np .

Es facil ver que L(D) es un C-espacio vectorial, pues por el convenio delprincipio 0 ∈ L(D). Notaremos

l(D) = dimL(D).

Observemos que l(div(ω)) es la dimension del espacio de las diferencialesholomorfas sobre X para cualquier divisor canonico div(ω), ya que si f esuna funcion meromorfa y ω una 1-forma, entonces div(f) + div(ω) ≥ 0 si ysolamente si fω es una 1-forma holomorfa sobre X.

Si D1 ≤ D2, entonces cualquier funcion con polos acotados por D1 tienepolos acotados por D2. Entonces

si D1 ≤ D2 entonces L(D1) ⊂ L(D2).

Una funcion f meromorfa es holomorfa si y solamente si div(f) ≥ 0.Entonces

L(0) = O(X) = funciones holomorfas en X.En particular, si X es compacto, entonces L(0) ' C, pues las unicas funcionesholomorfas sobre un compacto son las constantes.



Proposicion 8.4.2. Sea X una superficie de Riemann compacta. Si D esun divisor en X con deg(D) < 0, entonces L(D) = 0.

Demostracion. Supongamos que f ∈ L(D), con f 6= 0, y consideremos eldivisor E = div(f) + D. Como f ∈ L(D), entonces E ≥ 0, y deg(E) ≥ 0.Sin embargo, como deg(div(f)) = 0, tenemos que deg(E) = deg(D) < 0(divisores equivalentes tienen el mismo grado).

Proposicion 8.4.3. Sean D1 y D2 divisores linealmente equivalentes sobreuna superficie de Riemann X. Escribamos D1 = D2 + div(h), para h unafuncion meromorfa no nula. Entonces la multiplicacion por h define un iso-morfismo de espacios vectoriales

µh : L(D1)→ L(D2).

En particular, si D1 ∼ D2 entonces l(D1) = l(D2).

Demostracion. Sea f ∈ L(D1) con div(f) ≥ −D1. Entonces div(hf) =div(h) + div(f) ≥ div(h) − D1 = D2, por lo que la funcion hf = µh(f)esta en L(D2). Entonces µh aplica L(D1) en L(D2), y por simetrıa µ1/h apli-ca L(D2) en L(D1). Como son aplicaciones lineales, una inversa de la otra,µh es un isomorfismo.

Lema 8.4.4. Sea X una superficie de Riemann, D un divisor en X, y seap ∈ X. Entonces se tiene que L(D − p) = L(D) o bien L(D − p) tienecodimension 1 en L(D).

Demostracion. Sea φ una carta local de X centrada en p, y n = −D(p).Entonces toda funcion f ∈ L(D) tiene una serie de Laurent en p de la formacnz

n+ terminos de orden superior. Definimos la aplicacion

α : L(D) → Cf 7→ cn.

Es claro que α es una aplicacion lineal, y el nucleo es precisamente L(D−p).Si α es identicamente nula, entonces L(D − p) = L(D). En otro caso, α essobreyectiva, luego L(D − p) tiene codimension 1 en L(D).

Proposicion 8.4.5. Sea X una superficie de Riemann compacta, y D un di-visor en X. Entonces el espacio L(D) es un C-espacio vectorial de dimensionfinita. Mas concretamente,

1. si D = P − N , con P,N divisores no negativos de soporte disjunto,entonces dimL(D) ≤ 1 + deg(P );



2. si D es un divisor no negativo, dimL(D) ≤ 1 + deg(D).

Demostracion. Observemos que la proposicion es verdadera para D = 0: enuna superficie de Riemann compacta, L(0) contiene unicamente las funcionesconstantes, y por tanto tiene dimension 1.

Procedemos por induccion sobre el grado de la parte positiva P de D.Si deg(P ) = 0, entonces P = 0, por lo que dimL(P ) = 1. Como D ≤ P ,entonces L(D) ⊂ L(P ), por lo que dimL(D) ≤ dimL(P ) = 1 = 1 + deg(P ).

Supongamos que el resultado es cierto para divisores cuya parte positivatiene grado k − 1, y lo probaremos para un divisor con parte positiva degrado k ≥ 1. Sea D tal divisor, y escribamos D = P − N , con deg(P ) = k.Escojamos un punto p en el soporte de P , de tal forma que P (p) ≥ 1.Consideremos el divisor D−p. Su parte positiva es P−p, que tiene grado k−1.Por la hipotesis de induccion, dimL(D−p) ≤ deg(P−p)+1 = deg(P ). Ahoraaplicamos el lema 8.4.4, y concluimos que dimL(D) ≤ 1 + dimL(D − p) ≤1 + deg(P ).

Definicion 8.4.6. El espacio de 1-formas meromorfas con polos acotados porun divisor D, notado por L(1)(D), es el conjunto de 1-formas meromorfas

L(1)(D) = ω ∈M(1)(X) | div(ω) ≥ −D.

Como en el caso de funciones meromorfas, es un C-espacio vectorial. Esclaro tambien que

L(1)(0) = Ω1(X),

el espacio de las 1-formas holomorfas en X.

Proposicion 8.4.7. Supongamos que D1 y D2 son divisores linealmente equi-valentes en una superficie de Riemann X, con D1 = D2 + div(h), para h unafuncion meromorfa en X. Entonces la multiplicacion por h induce un iso-morfismo de C-espacios vectoriales

µh : L(1)(D1)∼→ L(1)(D2).

En particular, si D1 ∼ D2 entonces dimL(1)(D1) = dimL(1)(D2).

Demostracion. Analoga a 8.4.3.

La construccion de los espacios L(1)(D) se puede asociar a la de los es-pacios L(D). Fijemos un divisor canonico κ = div(ω), con ω una 1-formameromorfa, y D otro divisor. Supongamos que f es una funcion meromorfaen el espacio L(κ+D). Esto significa que

div(f) +D + κ ≥ 0.



Consideremos la 1-forma meromorfa fω. Observemos que

div(fω) = div(f) + div(ω) = div(f) + κ.

Entonces div(fω) +D ≥ 0, y por tanto fω ∈ L(1)(D). Entonces el productopor ω induce una aplicacion lineal

µω : L(D + κ)→ L(1)(D).

Lema 8.4.8. Con la notacion anterior, la aplicacion µω es un isomorfismode espacios vectoriales. En particular, dimL(1)(D) = dimL(D + κ).

Demostracion. La aplicacion es lineal e inyectiva. Para ver que es sobreyec-tiva, sea ω′ ∈ L(1)(D), con div(ω′) + D ≥ 0. Existe entonces una funcionmeromorfa f tal que ω′ = fω. Notemos que

div(f) +D + κ = div(f) +D + div(ω) = div(fω) +D = div(ω′) +D ≥ 0,

por lo que f ∈ L(D + κ). Claramente, µω(f) = ω′.

Corolario 8.4.9. Sea X una superficie de Riemann compacta. Entonces,para cualquier divisor D en X, el espacio L(1)(D) es de dimension finita.



8.5. Integracion en una superficie de Riemann

Definicion 8.5.1. Un camino en una superficie de RiemannX es una funcioncontinua y C∞ a trozos γ : [a, b]→ X. Los puntos γ(a) y γ(b) son los extremosdel camino. Si γ(a) = γ(b) decimos que γ es cerrado.

Ejemplo 8.5.2. Sea γ : [a, b] → X un camino en X. Supongamos queα : [c, d] → [a, b] es una funcion continua y C∞ a trozos. Entonces γ α esun camino en X, llamado reparametrizacion de γ. Cualquier camino γ puedeser reparametrizado para que tenga dominio [0, 1].

Ejemplo 8.5.3. Sea γ : [a, b]→ X un camino en X. El reverso de γ, notadopor −γ, es el camino definido por

(−γ)(t) = γ(a+ b− t).

Los extremos del camino se intercambian.

Ejemplo 8.5.4. Si F : X → Y es un morfismo de superficies de Riemann,y γ es un camino en X, entonces F γ es un camino en Y .

Definicion 8.5.5. Sea p un punto de una superficie de Riemann X, y seaS un subconjunto de X cuya clausura no contenga a p. Entonces existe uncamino cerrado γ en X que verifica:

γ es biyectiva sobre su imagen, y la imagen de γ esta contenida en eldominio U de una carta φ : U → Ω de X.

El camino cerrado φ γ en Ω da una vuelta alrededor de φ(p).

Ningun punto de S que este en el dominio U se aplica al interior deφ γ, esto es, para cada s ∈ S ∩ U , el numero de vueltas de φ γalrededor de φ(s) es cero.

Decimos que este camino es un camino pequeno que encierra a p y no encierraa ningun punto de S.

Esta definicion es independiente de la eleccion de la carta. Ademas, conun cambio de cartas adecuado, podemos suponer que

la carta φ esta centrada en p,

el dominio de γ es [0, 2π],

el camino cerrado φ γ en Ω es exactamente el camino z(t) = r exp(it)para algun numero real r > 0, en la coordenada local z de Ω.



Lema 8.5.6. Sea γ un camino en una superficie de Riemann X. Entoncesγ puede ser dividido en un numero finito de caminos γi, tal que cada unoes C∞ e imagen contenida en un dominio de una carta de X.

Ahora podemos definir la integral de una 1-forma a lo largo de un camino.Sea ω 1-forma sobre una superficie de Riemann X, y γ un camino. Escogemosuna particion γi de γ tal que cada γi es C∞ en su dominio [ai−1, ai] y laimagen esta contenida en el dominio de una carta φi. Con respecto a estascartas, escribamos ωφi = fi(z) d z.

Definicion 8.5.7. Con la notacion anterior, la integral de ω a lo largo de γes el numero complejo∫

γ

ω =∑i

∫ ai

ai−1

(fi φi γi)(t)(φi γi)′(t)dt.

Observemos que si la imagen de γ esta contenida en la imagen de unasola carta φ : U → Ω, y ω = f d z en esta carta, entonces∫

γ

ω =

∫φγ

f d z,

donde la integral de la derecha es la integral de contorno del camino φ γ enΩ.

Esta definicion es independiente de la eleccion de las cartas. En efecto, siωi = gi dw con respecto a cartas ψi, entonces

gi(w) = fi(φi ψ−1i (w))(φi ψ−1i )′(w),

de donde

(gi ψi γi)(t)(ψi γi)′(t) = fi(φi ψ−1i ψi γi)(t)(φi ψ−1i )′(ψi γi)(t)= fi((φi γi)(t))(φi ψ−1i ψi γi)(ψi γi)(t)= fi(φ1 γi)(t)(φi γi)′(t).

Este es realmente el motivo de la definicion de como una 1-forma setransforma por cambio de coordenadas.



8.6. Residuos de 1-formas meromorfas

Sea ω una 1-forma en una superficie de Riemann X, que es meromorfaen un punto p ∈ X. Si tomamos una carta local ϕ centrada en p. podemosescribir ω a traves de una serie de Laurent

ω = f(z) d z = (∞∑

n=−M

cnzn) d z,

donde c−M 6= 0, y ordp(ω) = −M .

Definicion 8.6.1. El residuo de ω en p, notado por Resp(ω), es el coeficientec−1 del desarrollo en serie de Laurent de ω en p.

La serie de Laurent depende de la carta elegida. Lo que probaremos esque el coeficiente c−1 es un invariante.

Lema 8.6.2. Sea ω una 1-forma meromorfa definida en un entorno de p.Sea γ un camino pequeno en X que encierra a p y no encierra a ningun otropolo de ω. Entonces

Resp(ω) =1

2πi

∫γ

ω.

Demostracion. Sea φ : U → V una carta en X centrada en p que contiene laimagen de γ. Sea ω = f(z) d z la expresion de ω en la coordenada z de V , ysupongamos que f(z) tiene una serie de Laurent

∑n cnz

n. Entonces∫γ

ω =

∫φγ

f(z) d z,

que es igual a 2πic−1, por el teorema del residuo en el plano complejo.

Corolario 8.6.3. El residuo de una 1-forma meromorfa esta bien definido.

Demostracion. Se deduce del lema anterior, pues la integral no depende dela carta, y por tanto el valor del residuo tampoco.

Teorema 8.6.4. [Mir95, p.251–254] Sea ω una 1-forma meromorfa en unasuperficie de Riemann compacta X. Entonces∑

p∈X

Resp(ω) = 0.

Corolario 8.6.5. Sea ω una 1-forma meromorfa en una superficie de Rie-mann compacta X, con un unico polo. Entonces este polo no es simple, esdecir, su multiplicidad es al menos 2.


Capıtulo 9

Espacio tangente

Este capıtulo hay que formarlo a partir de notas del espacio tangente(haces), Miranda, nnotes3-4CRS. Revisa notas en papel.

45

Capıtulo 10

Inmersion de superficies en elespacio proyectivo

Hay que buscarlo en Miranda, pero el resultado es el siguiente: Todasuperficie de Riemann de genero g > 1 puede ser inmersa en un espacioproyectivo P3g−4(C) mediante la aplicacion bicanonica. La imagen de la su-perficie de Riemann en P3g−4(C) es una curva algebraica compleja de grado4g − 4 definida por un conjunto de polinomios homogeneos. Una proyeccionde esta curva algebraica sobre un plano generico de P3g−4(C) es una curvaalgebraica plana (singular) definida por un polinomio homogeneo de grado alo mas 4g − 4. (riemann01.pdf)

47

Capıtulo 11

Teorema de Riemann-Roch

11.1. Preliminares sobre curvas

Definicion 11.1.1. Sean C1, C2 curvas proyectivas en P2 definidas respecti-vamente por polinomios homogeneos P1, P2 ∈ C[x0, x1, x2]. Fijemos un puntop = (a : b : c) ∈ P2. El numero de interseccion de C1 y C2 en p, notado porIp(C1, C2) se define como:

1. si p esta en una componente comun de C1 y C2, entonces Ip(C1, C2) =∞;

2. si p no esta en C1 ∩ C2 entonces Ip(C1, C2) = 0;

3. si p esta en C1 ∩ C2, pero no esta en una componente comun de C1

y C2, eliminamos componentes comunes de C1 y C2, y escogemos unsistema de coordenadas tal que

(1 : 0 : 0) no pertenece a C1 ∪ C2;

(1 : 0 : 0) no esta en ninguna recta que contenga a dos puntosdistintos de C1 ∩ C2;

(1 : 0 : 0) no esta en ninguna recta tangente a C1 o C2 en un puntode C1 ∩ C2.

Entonces Ip(C1, C2) es el mayor entero k tal que (bx2 − cx1)k divide ala resultante Resx0(P1, P2) ∈ C[x1, x2].

Teorema 11.1.2. Teorema de Bezout. Si C1 y C2 son dos curvas proyectivasde grados respectivos n y m en P2 que no tienen componentes comunes, en-tonces tienen exactamente mn puntos de interseccion contando multiplicidad,

49


esto es, ∑p∈C1∩C2

Ip(C1, C2) = mn.

Teorema 11.1.3. Formula del grado. Si g es el genero de una curva pro-yectiva no singular C, entonces

g =(d− 1)(d− 2)

2.



11.2. Teorema para curvas

Sea C una curva proyectiva no singular en P2, definida por un polinomiohomogeneo P (x0, x1, x2) de grado d, y κ un divisor canonico.

DefinimosH =

∑p∈C

Ip(C,L) · p,

donde Ip(C,L) es la multiplicidad de interseccion en p de C con una rectaL en P2 definida por un polinomio homogeneo lineal R(x0, x1, x2). Por elteorema de Bezout, H es un divisor de grado d sobre C, donde d es el gradode C. Sea κ un divisor canonico de C. Entonces

deg(κ−mH) = deg(κ)−md

es estrictamente negativo si m es suficientemente grande, esto es, l(κ−mH) =0 si m es suficientemente grande.

Si Q(x0, x1, x2) es un polinomio homogeneo de grado m, entonces

Q(x0, x1, x2)

R(x0, x1, x2)m

define una funcion meromorfa f en C tal que

div(f) +mH ≥ 0,

es decir, los polos de f estan acotados por H.Por tanto, es un elemento de L(mH). Ademas, dos polinomios definen

la misma funcion en C si y solamente si su diferencia es divisible por elpolinomio homogeneo P (x0, x1, x2) de grado d que define a C.

Notemos por Ck[x0, x1, x2] el espacio de polinomios homogeneos de gradok en x0, x1, x2. Tiene estructura de C-espacio vectorial. Lo podemos identi-ficar con los polinomios en C[x, y] cuyo grado es, a lo mas, k. Para cada ientre 0 y k hay i+ 1 monomios independientes de grado i. Entonces

dimC Ck[x0, x1, x2] =k∑i=0

(i+ 1) =1

2(k + 1)(k + 2).

Ası, a cada polinomio Q(x0, x1, x2) le corresponde una funcion meromorfa dela forma

Q(x0, x1, x2)

R(x0, x1, x2)m,

que es un elemento de L(mH), y representa a toda la clase modulo P (x0, x1, x2).Por tanto,



l(mH) ≥ dimCm[x0, x1, x2]/P (x0, x1, x2)Cm−d[x0, x1, x2]

= dimCm[x0, x1, x2]− dimCm−d[x0, x2, x2]

=1

2(m+ 1)(m+ 2)− 1

2(m− d+ 1)(m− d+ 2)

= md+1

2d(3− d)

= md+ 1− g,

y la ultima igualdad por la formula del grado. Entonces, existe un enteropositivo m0 tal que si m ≥ m0

l(mH)− l(κ−mH) ≥ deg(mH) + 1− g. (11.2.1)

Lema 11.2.1. Dado un divisor D en C y cualquier entero positivo m1 existem ≥ m1 y puntos p1, . . . , pk ∈ C, no necesariamente distintos, tales que

D + p1 + . . .+ pk ∼ mH,

donde H es el divisor definido con anterioridad.

Demostracion. Sea D =∑

p∈C np · p un divisor de C. Mediante la adicionde puntos a D podemos suponer sin perdida de generalidad que np ≥ 0 paratodo p ∈ C y que deg(D) ≥ m1.

Para cada uno de los puntos p ∈ C tales que np > 0 (un numero finito),consideramos una recta en P2 que pase por p y cuyos puntos de interseccioncon C, admitiendo multiplicidades, son

q(p)1 = p, q

(p)2 , . . . , q

(p)d .

Observemos que el cociente de dos polinomios homogeneos lineales enx0, x1, x2 define una funcion meromorfa en C, por lo que si q1, . . . , qd son lospuntos de interseccion de una recta de P2 con C (con multiplicidad) entonces

q1 + . . .+ qd ∼ H.

Podemos decir que q1 + . . . + qd − H = div(f), donde f es el cociente delos polinomios lineales asociados a los qi y a H. Entonces, si ponemos m =deg(D), tenemos que m ≥ m1 y

mH ∼∑np>0

np∑1≤i≤d

q(p)i = D + p1 + . . .+ pk,

para puntos adecuados p1, . . . , pk, donde k = m(d− 1).



Proposicion 11.2.2. Si D es un divisor sobre una curva proyectiva no sin-gular C, κ es un divisor canonico y p es un punto cualquiera de C, entonces

0 ≤ l(D + p)− l(κ−D − p)− l(D) + l(κ−D) ≤ 1.

Demostracion. Sea D un divisor arbitrario, κ = div(ω), con ω 1-forma me-romorfa, y p ∈ C. Supongamos que

D =∑q∈C

nq · q.

Por el lema 8.4.40 ≤ l(D + p)− l(D) ≤ 1,

y de forma analoga

0 ≤ l(κ−D)− l(κ−D − p) ≤ 1.

Por tanto, basta probar que no se puede tener

l(D + p)− l(D) = 1 y l(κ−D)− l(κ−D − p) = 1

simultaneamente. Si ası fuera, existirıan funciones meromorfas f y g en Ctales que

div(f) +D + p ≥ 0 y div(g) + κ−D ≥ 0,

perodiv(f) +D < 0 y div(g) + κ−D − p < 0.

Si f tiene un cero en p de orden ordp(f), entonces −np > ordp(f), peroordp(f) ≥ −np − 1. Entonces ordp(f) = −np − 1. Si f tiene un polo en p deorden − ordp(f) > 0, entonces ordp(f) + np < 0, pero ordp(f) ≥ −np − 1.En ambos casos, ordp(f) = −np − 1. Analogamente, para g se tiene que gωtiene un cero en p, en cuyo caso ordp(gω) = np, o tiene un polo, y entoncesordp(gω) = np.

En resumen, ordp(f) = −np − 1, ordp(gω) = np. Entonces fgω es una1-forma meromorfa en C tal que

div(fgω) = div(f) + div(g) + κ ≥ −p,

con un polo de orden exactamente 1 en p. Entonces fgω es holomorfa exceptoen p, donde tiene un polo simple. Esto contradice el lema 8.6.5

Corolario 11.2.3. Teorema de Riemann. Si D es un divisor de C entonces

l(D)− l(κ−D) ≥ deg(D)− g + 1.



Demostracion. Vimos en (11.2.1) que existe un entero positivo m0 tal que sim ≥ m0 entonces

l(mH)− l(κ−mH) ≥ deg(mH)− g + 1.

Por el lema 11.2.1, podemos escoger m ≥ m0 y puntos p1, . . . , pk ∈ C talesque

D + p1 + . . .+ pk ∼ mH.

Entonces, por la proposicion 8.3.3, tienen el mismo grado:

deg(mH) = deg(D + p1 + . . .+ pk) = deg(D) + k,

y por la proposicion 8.4.3,

l(mH) = l(D + p1 + . . .+ pk), l(κ−mH) = l(κ−D − p1 − . . .− pk).

Entonces

l(mH)− l(κ−mH) = l(D + p1 + . . .+ pk)− l(κ−D − p1 − . . .− pk).

Por el lema 11.2.2 mas induccion sobre k, tenemos

l(D + p1 + . . .+ pk)− l(κ−D − p1 − . . .− pk)− l(D) + l(κ−D) ≤ k.

Combinamos estas desigualdades e igualdades, y nos queda

l(D)− l(κ−D) ≥ l(D + p1 + . . .+ pk)− l(κ−D − p1 − . . .− pk)− k= l(mH)− l(κ−mH)− k≥ deg(mH)− g + 1− k= deg(D)− g + 1.

Teorema 11.2.4. Teorema de Riemann-Roch. Si D es un divisor de unacurva proyectiva no singular C de genero g en P2, y κ es un divisor canonicoen C, entonces

l(D)− l(κ−D) = deg(D) + 1− g.

Demostracion. Sea D un divisor en C y κ un divisor canonico. Entonces, porla proposicion 8.2.10,

deg(κ) = 2g − 2.

Por el teorema de Riemman 11.2.3 aplicado a D y a κ−D tenemos

l(D)− l(κ−D) ≥ deg(D)− g + 1



y

l(κ−D)− l(D) ≥ deg(κ−D)− g + 1

= 2g − 2− deg(D)− g + 1

= − deg(D) + g − 1.

Por tanto, tenemos la igualdad.

Corolario 11.2.5. El genero de una curva proyectiva no singular C en P2

es igual a la dimension l(κ) del espacio vectorial de las 1-formas holomorfasen C.

Demostracion. Si aplicamos Riemann-Roch para D = 0, nos queda

l(0)− l(κ) = 1− g.

Pero l(0) es la dimension del espacio vectorial L(0), que son las funcionesholomorfas de C, y toda funcion holomorfa sobre C es constante, pues C escompacto. Entonces l(0) = 1, y

l(κ) = g.

Corolario 11.2.6. Existe una 1-forma holomorfa no nula sobre una curvaproyectiva no singular de genero g > 0.



11.3. Aplicaciones de Riemann-Roch

Proposicion 11.3.1. Sea X una superficie de Riemann compacta de generog que verifica el teorema de Riemann-Roch para todo divisor D. EntoncesX verifica el teorema de separacion de Riemann, esto es, existe una funcionf ∈M(X) con un polo en un punto dado.

Demostracion. Sean p, q ∈ X, y consideremos el divisor D = (g + 1) · p. Porla desigualdad de Riemann, tenemos que

dimL(D) ≥ deg(D) + 1− g = 2.

Entonces existe una funcion no constante f ∈ L(D). Esta funcion debe tenerun polo (si no tuviera, serıa constante), y los unicos polos permitidos estanen p, luego f tiene un polo en p y no tiene mas polos.

Ahora vamos a ver que solamente hay una estructura compleja en laesfera.

Lema 11.3.2. Sea X una superficie de Riemann compacta. Supongamos quepara un p ∈ X, el espacio L(p) tiene dimension mayor que 1. Entonces Xes isomorfo a P1(C).

Demostracion. La hipotesis implica que existe una funcion meromorfa f noconstante en L(p). Esta funcion debe tener polos, pero el unico permitidoesta en p, y tiene que ser simple: si fuera multiple, entonces div(f)+p < 0. Portanto, f tiene un polo simple en p, y ningun otro polo. Entonces el morfismoasociado F : X → P1 tiene grado 1, lo que implica que es isomorfismo.

Corolario 11.3.3. Si X es una superficie de Riemann compacta de generoal menos 1, entonces el espacio de funciones L(p) consiste unicamente defunciones constantes, para cualquier punto p ∈ X.

Proposicion 11.3.4. Sea X una superficie de Riemann compacta de generocero. Entonces X es isomorfa a P1(C).

Demostracion. Sea p ∈ X. Como el divisor canonico κ de X tiene grado2g − 2 = −2, el divisor κ− p tiene grado −3, que es estrictamente negativo.Entonces L(κ − p) = 0. Si aplicamos Riemann-Roch al divisor p, tenemosque

dimL(p) = deg(p) + 1− g + dimL(κ− p) = 2.

Entonces, por el lema 11.3.2, X es isomorfa a la esfera de Riemann.



Vamos a probar ahora que las curvas de genero 1 (esto es, las elıpticas)son toros complejos. Sea X una curva de genero 1, y π : Y → X su espaciorecubridor universal. Como espacio topologico, Y = R2 y el grupo funda-mental Z×Z de X actua sobre Y mediante dos traslaciones independientes.Basta entonces probar que Y ' C como superficies de Riemann.

Si κ0 = div(ω0) es un divisor canonico en X, entonces deg(κ0) = 2g−2 =0, y dimL(K0) = g = 1. Si f ∈ L(K0), entonces ω = fω0 es una 1-formaholomorfa, y div(ω) tiene grado cero. Entonces, div(ω) = 0 y ω no tiene cerosni polos.

Por Riemann-Roch, si κ0 = div(ω0) es un divisor canonico en X, entoncesdeg(κ0) = 0 y dimL(κ0) = 1. Si f ∈ L(κ0) entonces ω = fω0 es una 1-formaholomorfa, y el divisor div(ω) tiene grado cero. Entonces div(ω) = 0 y ω notiene ceros ni polos.

Usamos ω para definir un isomorfismo φ : Y → C. Consideremos elpullback π∗ω. Es una 1-forma holomorfa sobre Y sin ceros. Fijado un puntop0 ∈ Y , y para p ∈ Y , escogemos γp un camino de p0 a p. Sea

φ(p) =

∫γp

π∗ω.


Bibliografıa

[Ahl71] L. Ahlfors. Analisis de variable compleja. Aguilar, Madrid, 1971.

[Apo90] T. Apostol. Modular functions and Dirichlet series in numbertheory, volume 41 of Graduate Texts in Mathematics. Springer,New York, 1990.

[Apo96] T. Apostol. Analisis Matematico. Reverte, Barcelona, 1996.

[Arm87] M.A. Armstrong. Topologıa Basica. Reverte, Madrid, 1987.

[AS60] L.V. Ahlfors and L. Sario. Riemann Surfaces. Princeton UniversityPress, 1960.

[BK86] E. Brieskorn and H. Knorrer. Plane Algebraic Curves. Birkhauser,Basel, 1986.

[Car68] H. Cartan. Teorıa elemental de funciones analıticas de una o variasvariables complejas. Selecciones Cientıficas, Madrid, 1968.

[Con78] J.B. Conway. Functions of One Complex Variable, volume 11 ofGraduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 1978.

[DD79] R. Douady and A. Douady. Algebre et theories galoisiennes, 2.CEDIC, Paris, 1979.

[DF04] David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract algebra. JohnWiley & Sons Inc., Hoboken, NJ, third edition, 2004.

[DM68] P.H. Doyle and D.A. Moran. A short proof that compact 2-manifolds can be triangulated. Inventiones Mathematicae, 5(2):160–162, 1968.

[FK92] H.M. Farkas and I. Kra. Riemann Surfaces (second edition), vo-lume 71 of Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag, NewYork, 1992.

59


[For81] O. Forster. Lectures on Riemann Surfaces, volume 81 of GraduateText in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1981.

[Gir70] J. Giraud. Surfaces de Riemann Compactes. Faculte des Scienced’Orsay, Paris, France, 1970.

[Gri89] Philip A. Griffiths. Introduction to Algebraic Curves, volume 76 ofTranslations of Mathematical Monographs. American MathematicalSociety, Providence, RI, 1989.

[Gun66] R.C. Gunning. Lectures on Riemann Surfaces. Princeton, Prince-ton, MA, 1966.

[Jos02] J. Jost. Compact Riemann Surfaces: an introduction to contempo-rary mathematics. UniversiText. Springer Verlag, Berlin, 2002.

[JS87] G.A. Jones and D. Singerman. Complex Functions: an algebraicand geometric viewpoint. Cambridge University Press, Cambridge,1987.

[Kir92] F. Kirwan. Complex Algebraic Curves, volume 23 of London Mathe-matical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cam-bridge, 1992.

[Kos86] C. Kosniowski. Topologıa Algebraica. Ed. Reverte, Barcelona, 1986.

[Lan99] S. Lang. Complex Analysis, 4th ed. Springer, New York, 1999.

[Mar78] A. Markushevich. Teorıa de las funciones analıticas. Editorial Mir,Moscu, 1978.

[Mas72] W.S. Massey. Introduccion a la topologıa algebraica. Reverte, Bar-celona, 1972.

[MD78] J. Munoz-Dıaz. Curso de Teorıa de Funciones I. Tecnos, Madrid,1978.

[Mir95] R. Miranda. Algebraic Curves and Riemann Surfaces, volume 5 ofGraduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society,Providence, RI, 1995.

[Pal05] V. Palamodov. Riemann Surfaces and Riemann-Roch theorem. no-tes, 2005.

[Rey89] E. Reyssat. Quelques Aspects des Surfaces de Riemann. Progressin Mathematics. Birkhauser, Boston, 1989.



[Spr57] G. Springer. Introduction to Riemann Surfaces. Addison-Wesley,1957.

[Wil70] S. Willard. General Topology. Addison-Wesley, Reading, MA, 1970.


Super cies de Riemann: segundos pasospersonal.us.es/gago/apuntes-sri-paso02.pdf · Super cies de...

Documents

Transcript of Super cies de Riemann: segundos pasospersonal.us.es/gago/apuntes-sri-paso02.pdf · Super cies de...