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7/25/2019 Hip Riemann
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A Hipotese de Riemann:Um Problema de um Milhao de Dolares
Paulo Sergio C. Lino 1Abril de 2012
1 - Introducao
Figura 1: Bernhard Riemann
Em agosto de 1900, o grande matematicoDavid Hilbert inaugurou o Congresso Internacional deMatematica realizado em Paris, apresentando uma listade 23 problemas que, segundo ele, ditariam o rumo dosexploradores matematicos do seculo XX. De todos osdesafios lancados por Hilbert, o oitavo tinha algo de es-pecial. Ha um mito alemao sobre Frederico Barba-Ruiva,um imperador muito querido que morreu durante a Ter-ceira Cruzada. Segundo a lenda, Barba-Ruiva ainda es-taria vivo, adormecido em uma caverna nas montanhasKyffhauser, e so despertaria quando a Alemanha pre-cisasse dele. Conta-se que alguem perguntou a Hilbert:E se, como Barba-Ruiva, voce pudesse acordar 500anos, o que faria?Hilbert respondeu: Eu lhe perguntaria:Alguem conseguiu provar a hipotese de Riemann?
Os matematicos sabem que a prova da hipotese de Riemann tera um significadomuito maior para o futuro da matematica do que saber se a equacao de Fermat temou nao tem solucoes. Este problema matematico, procura compreender os objetos maisfundamentais da matematica - os numeros primos.
A busca pela origem secreta dos primos ja dura mais de dois mil anos. Atualmente,e oferecida uma recompensa de um milhao de dolares para a solucao da hipotese deRiemann. Em 1997, Andrew Wiles recebeu 75 mil marcos por sua prova do ultimoteorema de Fermat, gracas a um premio oferecido por Paul Wolfskehl em 1908.
Durante geracoes, os matematicos estiveram obcecados pela tentativa de prever a
localizacao precisa do proximo numero primo, produzindo formulas que gerassem essesnumeros. Por exemplo, em 1772, Euler observou que a expressao p(n) =n2 +n+ 41,produz numeros primos para 0 n 39. Carl F. Gauss, teve uma ideia inovadorae deparou com uma especie de padrao ao fazer uma pergunta mais ampla buscandodescobrir a quantidade de primos entre um e um milh ao em vez de localizar os primoscom precisao. Apesar da importancia dessa descoberta, Gauss nao a revelou a ninguem,mas um de seus alunos, Riemann, foi quem realmente desatou toda a forca das harmonias
1O autor e mestre em matematica pura p ela UFSCar e articulador do blog Fatos Matematicos.
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ocultas por tras da cacofonia desses numeros.
O pai de Riemann, que era o pastor de Quickoborn, tinha muitas expectativas emrelacao ao filho. Embora Bernhard Riemann fosse infeliz na escola, trabalhava firme e
era muito dedicado a nao decepcionar seu pai. Porem, tinha de lutar contra um perfec-cionismo quase incapacitante. Schumalfuss foi quem encontrou uma maneira de animaro jovem a explorar sua obsessao pela perfeicao, oferecendo a Riemann sua biblioteca,com uma otima colecao de livros de matematica, onde o rapaz poderia escapar daspressoes sociais dos colegas. A famlia de Riemann era pobre, e o pai de Bernhardesperava que o filho tambem entrasse na vida clerical, o que lhe faria uma fonte derenda regular com a qual poderia sustentar suas irmas. A unica universidade do Reinode Hanover que oferece a catedra de teologia - a Universidade de Gottingen - nao eraum desses novos estabelecimentos, havendo sido fundada mais de um seculo antes, em1734. Assim, atendendo aos desejos de seu pai, Riemann rumou, em 1846, para a umida
Gottingen.
Em1859, George F. B. Riemann, com32anos, foi eleito para a Academia de Cienciasde Berlim. Como regra desta instituicao, os novos membros deviam fazer um relatoriosobre o assunto que estava pesquisando. O seu relatorio era curto (foi publicado com8 paginas) e tinha por ttulo Sobre a quantidade de numero primos que nao excedemuma grandeza dada. Essas oito paginas de densa matematica foram as unicas queRiemann publicou, em toda sua vida, sobre os numeros primos, mas o artigo teria umefeito fundamental sobre a maneira como eram percebidos. Escondido neste documentode oito paginas, estava declarado o problema cuja solucao possui hoje uma etiqueta como valor de um milhao de dolares: a hipotese de Riemann.
Apesar de sua relevancia, temos uma escassa literatura em lngua portuguesa sobreo assunto. O presente trabalho e uma pequena contribuicao para aqueles que tenhaminteresse, ou mesmo curiosidade a respeito da funcao zeta de Riemann, e nao tenhamacesso a literatura estrangeira.
2 - A Funcao Zeta de Euler
Figura 2: Leonhard Euler
Para compreender o problema, convem recuar a 1650,ano em que foi publicado o livro Novae quadraturae arith-meticae seu se additione fractionum, de Pietro Mengoli.E um sobre somas de series, duas das quais sao
(1) = 1 +1
2+
1
3+
1
4+. . .
e
(2) = 1 + 1
22+
1
32+
1
42+. . .
E a demonstrado que a primeira (a serie harmonica) divergee o autor levanta o problema de saber qual e a soma da se-gunda. Este problema foi novamente levantado por Jacques
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Bernoulli em1689. Tres anos mais tarde, o mesmo Jacques Bernoulli comeca a estudaras series
(s) = 1 + 1
2s+
1
3s+
1
4s+. . .
para s N {1}.Em1735, Euler provou que a soma da serie acima paras = 2e2/6e, pouco tempo
depois, mostrou que
(2n) =(2)2n
2(2n)!|B2n|, n= 1, 2, . . .
onde Bk sao os numeros de Bernoulli definidos como os coeficientes da expansao deTaylor da funcao t/(et 1), isto e,
t
et 1=
k=0
Bk
k!tk
Os primeiros numeros de Bernoulli sao
B0 = 1, B1= 12
, B2=1
6, B3= 0, B4 = 1
30, . . .
Uma questao ainda em aberto e se o mesmo e verdadeiro quando o argumento de e um inteiro positivo mpar. Por exemplo, sera que (3) e proporcional a 3?. Em1978, R. Apery provou que (3) e pelo menos irracional. Nos pontos mpares negativoso valor da funcao zeta tambem pode ser expresso em termos dos numeros de Bernoulli,
a saber(1 2n) = B2n
2n, n= 1, 2, . . .
Usando o teste da razao, vemos que se s >1 a serie
(s) =n=1
1
ns
e convergente.
Definicao 1: Sejas >1. A funcao zeta de Euler e definida por:
(s) =n=1
1
ns
A funcao zeta de Euler tambem pode ser expressa atraves de uma integral impropriadada na proposicao seguinte:
Proposicao 1: Se(s) e a funcao zeta de Euler, entao
(s) = 1
(s)
0
ts1
et
1dt
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Demonstracao: Note que sef(t) =tm,m N, entao L{tm}(p) = m!pm+1
, de modo
que:
L ts1
(s 1)!=
1
ns
de modo que
(s) =n=1
1
ns =
n=1
L
ts1
(s 1)!
=n=1
1
(s 1)! 0
entts1dt
= 1
(s)
0
ts1n=1
entdt= 1
(s)
0
ts1et
1 et dt= 1
(s)
0
ts1
et 1dt
A conexao entre a funcao zeta de Euler e os numeros primos e dado pelo seguinte
teorema:
Proposicao 2: [Produto de Euler] Ses >1, entao
n=1
1
ns =
p primo
1
1 1ps
(1)
Demonstracao: Seguindo as ideias de Euler para provar esta identidade, notamosque
1
1
x= 1 +x+x2 +. . .
para|x|
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A ultima expressao foi obtida lembrando que cada inteiron >1 e expresso de modounico como produto de potencias de diferentes primos. Alem disso, esta proposicaomostra que ha uma relacao entre a funcaode Euler e a distribuicao dos numeros primos.Usando sua funcao, Euler deduziu dois resultados importantes que apresentaremos a
seguir.
Corolario 1: [Euclides] Existem infinitos numeros primos.
Demonstracao: Se houvesse um numero finito de primos, entao o produto do segundomembro de (1) seria um produto finito e teria evidentemente um valor finito, de modoque a serie do primeiro membro tambem seria finita para todo s > 0. Entretanto, aexpressao do primeiro membro de (1) paras= 1 e a serie harmonica
1 +1
2+
1
3+. . .
que diverge pelo teste da integral. Logo, existem infinitos primos.
Na proposicao a seguir, provaremos que a serie dos inversos dos primos diverge. Masantes, veremos o lema seguinte:
Lema 1: Parax [1/2, 0), vale a desigualdade:2x 0 e f(0) = 0. Como
f(x) = 1
1 +x 2 f(x) = 1
(1 +x)2 0 parax [1/2, 0), donde segue o resultado.
Proposicao 3: A serie dos inversos dos primos diverge, ou seja:
+
n=1
1
pn=
1
2+
1
3+
1
5+
1
7+
1
11+. . .= + (2)
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Demonstracao: A prova de (2) e semelhante a apresentada na Prop. 2, tomandos= 1, ou seja,
1
1 12 1
1 13 1
1 15. . .
1
1 1pn=
fps pn
1
k (3)
Como todo inteiro maior que1 expressa-se de modo unico como produto de potencias deprimos diferentes, o produto das series geometricas acima representa a serie dos inversosde todos os inteiros positivos cujos fatores primos sao menores ou iguais a pn. Emparticular, vemos que
fps pn
1
k
pnk=1
1
k (4)
Substituindo (4) em (3), temos:
11 1
2
11 1
3
11 1
5
. . . 11 1
pn
pnk=1
1k
(5)
Considere agora a funcao f(x) = 1/x para x [1, pn] representada no grafico abaixo:
Temos a seguinte desigualdade para a area aproximada:
Sn= (2 1) 1 + (3 2) 12
+ (4 3) 13
+ . . .+ (pn pn+ 1) 1p n
= 1 +1
2+
1
3+. . .+
1
pn=
pnk=1
1
k>
pn1
1
xdx= lnpn
(6)
Substituindo (6) em (5), segue que
111
2
11
3
1 1
5
. . .
1 1
pn
>lnpn
1 1
2
1 1
3
11
5
. . .
1 1
pn
1. Comof(x) = 1/(x ln x)> 0, segue quef e crescente neste intervalo, de modo que lim
n+lnlnpn= +.
Observacao 1: Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a serie dos recprocos dosprimos gemeos converge. Esta serie gera o numero denominado de constante deBrun.
B2 = 1
3
+1
5+
1
5
+1
7+
1
11
+ 1
13+
1
17
+ 1
19+
1
29
+ 1
31+ 1, 9021605823
O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, aserie resultante e ainda assim convergente.
Ha outras ligacoes da funcao zeta com a Teoria dos Numeros. Por exemplo, ses >1,entao
(s)2 =n=1
d(n)
ns ,
onded(n) e o numero de divisores de n. Alem disso, se s >2, entao
(s)(s 1) =n=1
(n)
ns
onde(n) e a soma dos divisores de n.
3 - O Teorema dos Numeros Primos
Ao perceberem das limitacoes de descobrir uma formula que gerasse o enesimo
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numero primo, os matematicos voltaram-se para a estrategia de pesquisar sobre a dis-tribuicao media dos primos ao longo dos numeros naturais.
Definicao 2: Para cadax
R, definimos a funcao (x) como sendo a quantidade
de numeros primos menores ou iguais ax, ou seja:
(x) =quantidade de primos x
Figura 3: Carl F. Gauss
O matematico frances Legendre, apos um exame arduode uma tabela contendo um grande numero de primos ob-servou que aparentemente se tem
(x) xln x
(10)
querendo isto dizer que o quociente das duas funcoes tendepara1quandoxtende para+. Pela mesma altura, Gausscom apenas15ou16anos de idade tambem conjecturou quese tem (10), mas tambem fez a conjectura
(x) x2
1
ln tdt
Proposicao 4: As conjecturas de Legendre e Gauss sao equivalentes, ou seja:
limx+
xln x
x2
1
ln t
dt= 1
Demonstracao: Usando a regra de LHospital, temos:
limx+
xlnxx
21ln t
dt= lim
x+
lnx1ln2 x
1
lnx
= limx+
ln x 1ln x
= limx+
1 1
ln x
= 1
Figura 4: Graficos de (x) (vermelho), x
2 1/ ln tdt(verde), e x/ ln x(azul).
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No entanto,x2
1/ ln tdt e uma melhor aproximacao de(x)do que x/ ln xcomo sepode ver no grafico abaixo. Esta figura tambem sugere que(x) e sempre maior do quex/ ln xe que a diferenca vai aumentando a medida que x cresce. Isto levou Legendre aconjecturar, em 1800, que uma funcao que aproxima (x) ainda melhor do que x/ ln x
e x
ln x 1.08366Gauss nao publicou nada sobre este topico, o que se sabe sobre as observacoes dele
sobre o assunto vem nas suas cartas pessoais e no seu diario. No entanto, nem mesmoo grande Gauss conseguiu provar sua conjectura. Esforcos matematicos foram feitos nosentido de que em 1848, o matematico russo Chebyshev demonstrou que
0, 89 x2
1
ln tdt < (x)< 1, 11
x2
1
ln tdt
Figura 5: Matematicos que provaram a conjectura de Legendre-Gauss
Em 1896, os matematicos, Jacques Hadamard e De La Vallee Poussin, trabalhandoindependentemente e baseando-se nos escritos de Riemann, conseguiram finalmentedemonstrar que
limx+
(x)
x/ ln x= 1
Este resultado passou a ser conhecido por Teorema dos Numeros Primos.
4 - A Funcao Zeta de Riemann
Riemann estendeu a definicao da funcao Zeta de Euler para os numeros complexos.Escrevendo s= +it, temos que:
|ns| = |es lnn| = |e(+it) lnn| = |e lnn| |eit lnn| = |elnn| =n
Usando este resultado, juntamente com o testeMde Weierstrass, segue-se que a funcaozeta de Riemann dada por
n=1
1
ns
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e analtica para Re(s)> 1. Podemos estender a analiticidade de, para 1< Re(s)< 1e tambem para todo o plano complexo, exceto no ponto z = 1, onde ocorre o unicopolo da funcao , como ilustrado na figura abaixo.
Figura 6: Grafico da funcao|(s)| para s C.
A Proposicao 1, apresentada anteriormente para a funcao zeta de Euler tambem evalida para a funcao zeta de Riemann, ou seja:
Proposicao 5: Sejas C. SeRe(s)> 1, entao
(s) = 1
(s)
0
ts1
et 1 dt (11)
onde(z) e a funcao gama de Euler, definida por
(s) =
0
etts1dt
A prova desta Proposicao pode ser encontrada em [3]. A expressao (11) e conhecidapor representacao integral da funcao zeta de Riemann. Usando a Prop. 4 e possvelestender a funcao zeta de Riemann para1< Re(s)< 1, obtendo a expressao
(s) = 1
(s)
10
1
et 11
t+
1
2
ts1dt 1
2s+
1
1
et 11
t
ts1
Para maiores detalhes, consulte [3]. Alem disso, notamos um aparente problema noponto s = 0 o qual pode ser resolvido da seguinte forma: Sendo (s+ 1) = s(s),entao:
1
2s(s)=
1
2(s + 1)
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obtendo 1/2 no ponto s= 0. Portanto, a funcao esta definida e e analtica na faixa1< Re(s)< 1, com um polo simples em s= 1.
A expressao a seguir valida para s= 1 e uma relacao de fundamental importanciana teoria da funcao zeta de Riemann cuja prova pode ser encontrada em [5].
Proposicao 6: Ses C {1}, entao
(s) = 2(2)s1(1 s)(1 s) sin(s2
)
5 - A Conjectura ou Hipotese de Riemann
Figura 7: Faixa crtica
A famosa conjectura ou hipotese de Riemann estarelacionada com os zeros da funcao . Os zeros dafuncao zeta localizados em zn =2n, n = 1, 2, . . .sao chamados zeros triviais. Aquele grande matema-tico afirmou que a funcao tem infinitos zeros nafaixa 0 Re(s) 1, conhecida por faixa crtica. J.Hadamard foi o primeiro a provar esta afirmacao, em1893.
Uma das mais famosas questoes em aberto daMatematica e a hipotese de Riemann sobre os zerosnao triviais da funcao zeta. A hipotese de Riemannestabelece que todos os infinitos zeros da funcao ,pertencentes a faixa crtica 0 Re(s) 1, estao so-
bre a reta Re(s) = 1/2, que e chamada de reta crtica. Desta forma, os zeros naotriviais da funcao , de acordo com a conjectura de Riemann, sao infinitos e da formas = 1/2 + i, com real. Ate o momento, nenhuma prova foi apresentada para estaconjectura. Este problema nao um tipo de problema que pode ser abordado por metodoselementares. Ja deu origem a uma extensa e complicada bibliografia.
Riemann enunciou, tambem sem provar, a seguinte formula assintotica para o numeroN(T) de zeros da faixa crtica, 0 Re(s) 1,0< Im(s) T,
N(T) = 1
2Tln T 1 + ln(2)
2 T+O(ln T)
Uma prova rigorosa desta formula foi dada, pela primeira vez, por H. V. Mangoldt em1905e pode ser vista em [5]. Nove anos mais tarde, G. H. Hardy provou que existe umainfinidade de zeros sobre a retaRe(s) = 1/2. Mas, uma infinidade nao significa que saotodos. E interessante notar que se a parte real de s e igual a 1, entao a funcao deRiemann nao admite nenhum zero sobre esta linha. Para ver uma prova deste fato, veja[5].
E. C. Titchmarsh mostrou em19351936, que ha1041zeros na regiao0 Re(s) 1 e 0 < Im(s)< 1468. Todos estes zeros estao sobre a reta crtica Re(s) = 1/2. Como auxlio de supercomputadores, verificou que os primeiros 10 trilhoes de zeros estaosobre a linha crtica, sugerindo portanto, que a hipotese deve ser realmente verdadeira.
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Figura 8: Zeros da funcao zetasobre a linha crtica
Os matematicos se referem ao problema de Rie-mann como uma hipotese, e nao como uma conjec-tura, pela existencia de muitos resultados que depen-dem de sua solucao. A palavra hipotese tem uma
conotacao muito mais forte, pois representa uma pre-missa necessaria que o matematico aceita para poderconstruir uma teoria. Uma conjectura, por outrolado, representa apenas uma previsao do matematicosobre o modo como o mundo se comporta. Muitaspessoas tiveram de assumir sua incapacidade de re-solver o enigma de Riemann e decidiram adotar suaprevisao como uma hipotese de trabalho. Se alguemconseguir transformar a hipotese em teorema, todosesses resultados pendentes serao validados. (A Musica
dos Numeros Primos, pp 19).
Figura 9: (1/2 +it), para 0< t
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Riemann conjecturou que
Li(x) 12
Li(
x) 13
Li( 3
x) 15
Li( 5
x) +1
6Li( 6
x) + . . .=
n=1(n)
n Li( n
x) (12)
seria uma excelente aproximacao de(x). Empiricamente isto e plausvel; por exemplo,se n1.000.000, entao a diferenca entre (n) e a soma dos quatro primeiros termosnao nulos da serie (12) nao excede 37. Convem ressaltar que existe uma relacao diretaentre a funcao de Mobius e a funcao : se s Ce se Re(s)> 1, entao
1
(s)=
n=1
(n)
ns
6 - Problemas Relacionados
Os Condensados de Bose-Einstein
Figura 10: Condensados deBose-Einstein
Os Condensados de Bose-Einstein (BECs) sao nu-vens de atomos ultrafrios, com temperaturas proximasao zero absoluto que se comportam como um unico egigantesco objeto cujo comportamento so e conhecidocom a interpretacao quantica, pois e um objeto de na-tureza quantica.
Este fenomeno foi teorizado nos anos20por AlbertEinstein, ao generalizar o trabalho de Satyendra Nath
Bose sobre a mecanica estatstica dos Fotons (semmassa) para atomos (com massa). Einstein especulouque arrefecendo os atomos bosonicos ate temperat-
uras muito baixas os faria colapsar (ou condensar) para o mais baixo estado quanticoacessvel, resultando numa nova forma de materia.
Esta transicao ocorre abaixo de uma temperatura crtica, a qual, para um gas tridi-mensional uniforme consistindo de partculas nao-interativas e sem graus internos deliberdade aparentes, e dada por:
Tc= n
(3/2)
2/3 h2
2mkB
onde:
Tc e a temperatura crtica, na densidade da partcula, ma massa do boson, ha constante de Planck,
kB a constante de Boltzmann, e
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a funcao zeta de Riemann, sendo (3/2) 2, 6124.Sistemas Dinamicos, Caos, Probabidade e Estatstica
As estatsticas dos zeros da funcao zeta de Riemann e um assunto interessante devidoa sua ligacao com a hipotese de Riemann e com a distribucao dos numeros primos. Ospesquisadores descobriram que esta hipotese tambem esta relacionada com a teoria dematrizes aleatorias e o caos quantico. Por exemplo, M. Berry apontou que as correlacoesentre os zeros de(s) sao como as correlacoes entre os nveis de energia de um sistemaquantico caotico. Alem disso, a regularizacao da funcao zeta de Riemann e usada pararegularizar series divergentes que surgem na Teoria Quantica de Campos. Num exemplonotavel, a funcao zeta de Riemann surge explicitamente no calculo do efeito Casimir(Atracao entre duas pequenas placas metalicas que estao muito proximas entre si, daordem de varios diametros atomicos).
A Diferenca Entre Primos Gemeos
Outra questao envolvendo a hipotese de Riemann e referente aos numeros primosconsecutivos. Se pk denota o kesimo numero primo (de modo que p1 = 2, p2 =3, p3 = 5 e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919 estabeleceque a diferenca entre dois numeros primos consecutivos,pk+1 pk, cresce na mesmavelocidadeque
pkln(pk). Mais especificamente, existe uma constante real positiva
M >0 de modo que vale a desigualdade
pk+1 pk < Mpkln(pk)
para todo k suficientemente grande. Para provar este resultado, Cramer utilizou cru-cialmente a Hipotese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princpio serfalso, caso a Hipotese tambem seja.
A Hipotese de Riemann e a Internet
Nao e facil elaborar um sistema de criptografia seguro na era dos supercomputa-dores. Contudo, os cientistas R. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, desenvolveram umcriptosistema de chave publica, denominado RSA, que tem se mostrado inviolavel.Esse criptosistema depende do conhecimento matematico dos numeros primos e suas
propriedades.A pesquisa sobre a Hipotese de Riemann fornece informacoes tao preciosas, sobre opadrao dos numeros primos, que avancos nessa investigacao poderiam nos levar a umprogresso substancial nas tecnicas de fatoracao e, consequentemente, levar a quebra daseguranca na transmissao de dados via Internet.
8 - Palavras Finais
Tudo que foi comentado anteriormente explica porque a hipotese de Riemann e umaproblema em aberto tao famoso. Este problema desde de sua formulacao tem captadoa imaginacao de alguns dos maiores matematicos do mundo. Andre Weil, matematico
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ingles fascinado pela hipotese de Riemann, declarou certa vez numa entrevista que, du-rante muito tempo ficou obcecado em demonstra-la e publica-la em 1959, no centenarioda publicacao da hipotese. Mas aquele ano passou sem que ele tivesse tido sucesso.Depois, a sua ambicao ficou apenas em compreender a demonstracao quando alguem
a publicasse. Perto do fim da vida, desejava somente que a demonstracao fosse feitaenquanto ele estivesse vivo, mas nem essa ambicao foi satisfeita. Convem dizer queuma conjectura formulada por Weil sobre os zeros de certas funcoes de uma variavelcomplexa analoga a hipotese de Riemann foi demonstrada por Pierre Deligne em 1974.
Em maio de 2000, o Clay Mathematics Institute (CMI) - ONG norte-americana quedesenvolve e dissemina conhecimentos matematicos - ofereceu sete premios no valor deum milhao de dolares cada. Para receber a bolada, basta solucionar um dos problemasde matematica propostos. Mas a riqueza nao vem facil; os problemas sao consideradospor um comite de matematicos como os mais complicados e mais importantes desta areaem nossos dias. Esta lista com 7 problemas extremamentes difceis, contem a hipotese
de Riemann e conjectura de Poincare que foi resolvida pelo matematico russo GrigoryPerelmann, o qual recusou o premio de 1 milhao de dolares.
A comunidade matematica esta esperando surgir outro Grigori para solucionar oenigma de Hipotese de Riemann.
9 - Referencias Bibliograficas
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Hipotese-de-Riemann[2] Santos, Jose Carlos. A Hipotese de Riemann - 150 anos.[3] Aguilera-Navarro, Maria Ceclia K. et. al. A Funcao Zeta de Riemann.[4] Du Sautoy, Marcus. A Musica dos Numeros Primos: A historia de um problema
nao resolvido na matematica. Trad. Diego Alfaro, Jorge Zahar Ed. Rio de Janeiro,2007.[5]Borwein, P. et. ali. The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado andVirtuoso Alike. Springer,2007.[6] http://pt.wikipedia.org/wiki/Condensado-de-Bose-Einstein.[7] Simmons, G. F. Calculo com Geometria Analtica. Vol. 2. Ed. Makron Books,Sao Paulo, 1987.[8] Conrey, J. Brian. The Riemann Hypothesis. Notices of the AMS. Vol. 50, n. 3.[9] http://pt.wikipedia.org/wiki/Serie-dos-inversos-dos-primos
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