Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Curitiba Departamento Acadmico de Matemtica Prof: Lauro Csar Galvo Clculo Numrico Entrega: Ver quadro abaixo. Trabalho sobre Spline Cbico Natural (Valor: 1,0 ponto) Obs: O trabalho individual ou em duplas e dever ser apresentado na sala de aula conforme data a seguir: 7 dias antes da 2a parcial. Aluno: .............................................................................. Nmero: ................ Turma: .............. Aluno: .............................................................................. Nmero: ................ Turma: .............. Curitiba PARAN Trabalho sobre Spline CbicoClculo Numrico Centro Federal de Educao Tecnolgica do Paran (CEFET-PR)LAURO / NUNES 2 1Um exemplo de aproximao por Spline Cbico Natural Afigura1abaixomostraumpatoemvo.Paraaproximaroperfilsuperiordopato, escolhemospontosaolongodacurvaatravsdaqualqueremosqueacurvaaproximada venhaasertraada.Atabelaqueseguerelacionaascoordenadasde21pontosrelativosao sistemadecoordenadassuperposto,quemostradonafigura2.Notequemaispontosso usadosquandoacurvaestmudandorapidamentedoquequandoelaestmudandomais lentamente. [Fig. 1]: O desenho do pato. x 0,91,31,92,12,63,03,94,44,75,06,0 ) ( x f 1,31,51,852,12,62,72,42,152,052,12,25 x 7,08,09,210,511,311,612,012,613,013,3 ) ( x f 2,32,251,951,40,90,70,60,50,40,25 [Tabela 1]: As coordenadas cartesianas dos 21 pontos escolhidos sobre o perfil superior do pato. Trabalho sobre Spline CbicoClculo Numrico Centro Federal de Educao Tecnolgica do Paran (CEFET-PR)LAURO / NUNES 3 xf1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1412340-4-5-6-3-2-1( ) x [Fig. 2]: Os 21 pontos escolhidos no perfil superior do pato. UtilizandoSplineCbicoNaturalparaestesdados,produzimososcoeficient es mostrados na tabela 2. A curva despline gerada quase idntica ao perfil original. kakbkckd10,250,300,421,50 20,951,411,091,85 32,960,371,292,10 40,451,040,592,60 50,450,500,022,70 60,170,030,502,40 70,080,080,482,15 81,311,270,072,05 91,580,160,262,10 100,040,030,082,25 110,000,040,012,30 120,020,110,142,25 Trabalho sobre Spline CbicoClculo Numrico Centro Federal de Educao Tecnolgica do Paran (CEFET-PR)LAURO / NUNES 4 130,020,050,341,95 140,010,10-0,531,40 150,020,15-0,730,90 161,210,94-0,490,70 170,840,06-0,140,60 180,040,00-0,180,50 190,450,54-0,390,40 200,600,00-0,550,25 [Tabela 2]: Os coeficientes dos polinmios cbicos dos 20 subintervalos oriundos dos pontos dados na tabela 1. Paracompararosresultadosobtidos,foiefetuadaainterpolaoutilizandoo polinmiointerpoladordeLagrange,comos21pontosdatabela1.Oresultadoum polinmiodograu20,cujogrficoapresentadonafigura 3. Conforme pode ser visto, este polinmio no aproxima adequadamente o perfil do pato. xf1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1412340-4-5-6-3-2-1( ) x [Fig. 3]: Operfilsuperiordopato,aproximadoporumpolinmiodegrau20,obtidoutilizandoo polinmio interpolador de Lagrange. Trabalho sobre Spline CbicoClculo Numrico Centro Federal de Educao Tecnolgica do Paran (CEFET-PR)LAURO / NUNES 5 2Trabalho: Baseando-senoexemploanterior,escolherumdesenhocomum perfilsuperiorsuave.Faaodesenhoemumafolhadepapel milimetrado formato A4; Escolhaadequadamentenomnimo21pontossobreoperfil superior do desenho; Utilizando Spline Cbico Natural, obtenha os coeficientes ka , kb , kc , kd , para20 3 2 1 , , , , L k , isto , os coeficientes de cada um dos 20oumaispolinmioscbicos,apresentandoosresultadosemuma tabela semelhante tabela 2; Paraaobtenodosresultadossolicitadospodeserutilizadoo Microsoft Excell, ou outra linguagem de programao; Traar o grfico da curva obtida por Spline Cbico Natural; Osresultadoseasdificuldadesencontradasdeveroser apresentadosparaaturma,emsaladeaulanadatamarcadanacapa deste trabalho. Na mesma data, o trabalho dever ser entregue de forma impressa para o professor. Trabalho sobre Spline CbicoClculo Numrico Centro Federal de Educao Tecnolgica do Paran (CEFET-PR)LAURO / NUNES 6 3Frmulas de spline Cbico: Em cada subintervalo] , [k kx x1 , k 1, 2, 3, ,n , a funo ser aproximada por um polinmio do terceiro grau do tipo:k k k k k k k kd x x c x x b x x a x s + + + ) ( ) ( ) ( ) (2 3 Estes coeficientes ka , kb , kc , kdso dados pelas frmulas: kk kkhg ga61 2kkgb 621 1 k k k kkk kkh g g hhy yc ++k ky d Onde, 1 k k kx x h ,) (k kx f y eosvaloresde kg soobtidosdasoluodo seguinte sistema de equaes lineares:

,_

+ + ++++ + + kk kkk kk k k k k k khy yhy yg h g h h g h1111 1 1 16 2 ) ( queumsistemade equaeslinearescom(n -1)equaes(k =1,2,3,, 1 n )e(n +1) incgnitas: 0g , 1g , 2g , , ng.b g A ) ( ) () () () (1 11 13 3 2 22 2 1 1222+ 1111]1

+++n nn n n nh h h hh h h hh h h hAO O O 1 112 1 121 232 310 121 26 11111111]1

) ( nnn nnn nhy yhy yhy yhy yhy yhy ybM M M Fazendo ng g00 (Spline Cbico Natural), o sistema torna-se determinado.