GEOESTATÍSTICA

Mínima Curvatura (SPLINE)

Componentes:

BRUNA SOARES DE SOUZA CÉSAR AUGUSTO MARTIN DIEGO GONÇALVES CARDOZO RIBEIRO ELDER BRAGANÇA GRACIELLE BRUM TOMÁS ARAÚJO

1-Spline Um spline é uma curva definida

matematicamente por dois ou mais pontos de controle. Os pontos de controle que ficam na curva são chamados de nós. Os demais pontos definem a tangente à curva em seus respectivos nós. Por exemplo, a curva de Bézier definida pelos pontos (A, B, C e D) é delimitada pelos nós A e D e nesses nós, a curva é tangente ao vetores AB e DC respectivamente. Variando as posições dos pontos B e C, a curva apenas varia sua inclinação, mas continua passando pelos pontos A e D.

SPLINE DE BÉZIER COM NÓS (A, D) E PONTOS DE CONTROLE (A, B, C, D)Considere a definição de uma função spline cúbica y(x) que passa por um conjunto de pontos no plano, dado por (xi,yi), i = 1, n. A função interpoladora y(x) resultante deve satisfazer as seguintes propriedades:• deve passar pelos pontos y(xi) = yi, para todo i = 0, n;• y′(x) e y′′(x) são funções contínuas nos nós xi, i = 1,n − 1;• y(x) é uma polinomial de grau 3 em cada sub-intervalo [xi−1, xi], i =1, n

DESTA FORMA, Y(X) É CHAMADA DE FUNÇÃO CÚBICA SPLINE, BEM COMO CADA UM DE SEUS SEGMENTOS DE CURVAS, COMO MOSTRA A FIGURA

Quando são requeridas condições de continuidade de grau mais alto, curvas splines de grau mais alto podem ser também geradas. Desta forma, existem muitas maneiras de satisfazer condições de modelamento em projeto pelo uso de curvas splines. Esta concepção de forma spline possui as propriedades de segmentação e de continuidade. A maioria das aplicações em engenharia necessita somente que a forma das curvas splines seja cúbica.

1.1 As Curvas Splines Cúbicas A criação de formas geométricas no projeto é

fortemente baseada em formulações de curvas planas para obter formas 3D. Isso é assim feito, devido a possibilidade de que a curva e suas propriedades podem ser controladas e medidas mais facilmente. Curvas espaciais são geralmente de difícil controle. Assim, a forma mais comum de spline é a curva spline plana. A base matemática para entender curvas splines será desenvolvida inicialmente no plano e depois será estendida para modelar curvas 3D, bem como as suas superfícies derivadas.

1.2 Cálculo de um spline cúbica natural A spline linear apresenta a desvantagem de ter

derivada primeira descontínua nos nós. Por estarazão, as splines cúbicas são mais usadas.

Uma spline cúbica S3(x) é uma função polinomial por partes, contínua, onde cada parte, sk(x), é um polinômio de grau 3 no intervalo [x k–1,xk], k = 1,2, ..., n. S3(x) tem a primeira e segunda derivadas contínuas, o que faz com que a curva S3(x) não tenha picos e nem troque abruptamente de curvatura nos nós.

Reescrevendo a definição: Uma spline cúbica, S3(x) , é uma função

polinomial por partes, contínua, onde cada parte () é um polinômio de grau 3 no parte, sk(x), é um polinômio de grau 3 no intervalo [x k–1,xk], k = 1, 2, ..., n. Para que isso seja verdade temos que satisfazer 5 condições que seguem abaixo:

i) S3(x) = sk(x) para x Є [xk–1, xk], k = 1, ..., n

ii) S3(x i) = f(xi), i = 0, 1, ..., n

iii)sk(xk) = sk+1(xk), k = 1, 2, ..., (n – 1)

iv)s´k(xk) = s´k+1(xk), k = 1, 2, ..., (n – 1)

v) s´´k(xk) = s´´k+1 (xk), k = 1, 2, ..., (n – 1)

Simplificando a notação temos: s k(x) = a k(x –xk)³ + bk(x – xk) ²+ c k(x – xk) + dk, k =1,

2,..., n. Assim teremos que encontrar 4 coeficientes para cada

valor de k num total de 4n coeficientes: a1, b1, c1, d1, a2, b2, ...,an, bn, cn, dn. Com as seguintes condições para S3(x) interpolar a f(x) em

x0....,xn: (n + 1) nos nós; (n – 1) para continuidade nos nós; (n – 1) para S’3(x) contínua [x0, xn]; (n – 1) para S’’3(x) contínua [x0, xn] sendo assim 4n -2

condições. Portanto temos duas condições em aberto que vão

depender das informações de cada problema.

Para impor a condição (ii) montamos, para k = 1, ..., n, algumas equações para chegar ate a seguinte equação:

Exemplo: Vamos encontrar uma aproximação para f(0.25)

por spline cúbica natural, interpolante da tabela:

No nosso exemplo hk = h = 0.5, o sistema fica:

Como estamos procurando a spline cúbica natural, g0 = g4 = 0, então temos:

Substituímos os valores em ak,bk,ck edk, encontrando assim s1(x), s2(x),s3(x) e s4(x). Como queremos a aproximação para f(0.25), e f(0.25) ≈s1(0.25) e s1(x) = a1(x –x1)³ + b1(x – x1)²+c1(x – xk)+d1 usando:

Aplicação de Spline Cúbica Natural

ESTAÇÃO DE BOMBEAMENTO O modelo é desenvolvido para simular

vazão e pressão em sistemas de irrigação pressurizados . Dispõe de interface gráfica para a entrada de dados e apresentação de resultados.Na maioria dos casos, a energia requerida para mover a água é proveniente de um bomba hidráulica.Uma forma alternativa para descrever curvas de bombas é a "spline" cúbica, aplicada com sucesso para encontrar o ponto de operação de um sistema de irrigação.

Para cada ponto da curva combinada e para cada uma das bombas que fazem parte da estação de bombeamento, o modelo computa e armazena dados de pressão a montante e a jusante e eficiência.

Permite que o usuário analise o desempenho da estação de bombeamento e de cada uma de suas bombas para cada ponto da curva combinada, ou seja, para uma faixa grande de possíveis pontos de operação. Problemas de baixo desempenho e de potencial perigo de cavitação podem ser detectados e corrigidos antes que a estação de bombeamento seja instalada no campo.

OBRIGADO!

Referencias: Claudio, Dalcídio Morais. Calculo NuméricoComputacional, Teoria

e Prática. 2ª ed..São Paulo: Atlas,1994. Ruggiero, M. A. G. & Lopes, V. L., Cálculo Numérico: aspectos

teóricos e computacionais. Disponível

em<http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/Iniciacao_Cientifica/interpolacao/teoria/3_Splines.pdf>.

Disponível em<http://w3.impa.br/~lvelho/i3d07/demos/claudino/splines.html>.

Disponível em<http://w3.impa.br/~lvelho/i3d07/demos/claudino/sec1.html>.

Acesso em 28 de set. 2011.