2008.1 1

Soluções Numéricas de Sistemas Não Lineares

Método Iterativo Linear

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Diversas Equações

• Nos tópicos de solução de equações, aprendemos resolver a equação:f(x) = 0

• Em diversas situações, precisamos resolver problemas onde mais de uma variável e mais de uma equação estão interligadas:

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Sistema 2x2

• Consideremos o caso de duas variáveis e duas incógnitas:

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Método Iterativo Linear(Analogia com caso de uma variável)

Para o caso de uma variável queríamos:f(x) = 0

Reescrevíamos na forma:x = ψ(x)

E obtínhamos o seguinte processo iterativo:

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Método Iterativo Linear(Analogia com caso de uma variável)

Para o caso de uma duas variáveis queremos:

Reescrevemos na forma: :

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MIL para Sistemas Não Lineares (Convergência)

Condições suficientes (mas não necessárias) para

convergência:a) F,G e suas derivadas parciais de primeira

ordem são contínuas numa vizinhança V da raiz (x,y)

b) As seguintes desigualdades são satisfeitas:|Fx| + |Gx| ≤ k1 < 1

|Fy| + |Gy| ≤ k2 < 1

para todo ponto (x,y) pertencente à vizinhança V.c) (x0,y0) pertence à V.

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MIL para Sistemas Não Lineares (Exemplo)

Exemplo:

Podemos reescrever este sistema na forma:

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MIL para Sistemas Não Lineares (Cont.)

F e G satisfazem as condições de convergência ?Tomemos por exemplo o ponto (x0,y0) = (0.9,1.1)

Em (0.9,1.1): |Fx| + |Fy| = 0.76 < 1 |Gx| + |Gy| = 0.719 < 1 Se (x0, y0) está na vizinhança de uma raiz, então a

condição c) está garantida

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MIL para Sistemas Não Lineares (Cont.)

Exemplo

Convergindo para (1,1) - que é raiz do sistema.

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Referências

Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, Pearson/Markron Books, 2a. Edição, 1998.

Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico Computacional, Ed. Atlas, 1987.

Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F., Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.