Síntese de filtros LIT utilizando circuitos

ativos

Filtros ativos● Vantagens:

– Não usam indutores (grandes, tolerâncias elevadas, perdas, acoplamento).

– Impedância de saída → 0: efeito de carga minimizado.

– Estágios independentes de 1a e 2a ordem.

– São mais fáceis de integrar (ex.: UAF42).

● Problemas?

– Restritos em aplicações de altas potências ou muito altas frequências.

– Necessidade de fontes de energia.

– Mais sensíveis aos componentes (tolerâncias, envelhecimento, condições climáticas).

– São mais ruidosos.

– Possuem menor faixa dinâmica.

– Podem tornar-se instáveis → realimentação positiva parasita.

Universal Active Filter

Princípios de implementação

H (s)= 1s5+3.2361 s4+5.2361 s3+5.2361 s2+3.2361 s+1.0000

= 1(s+1)

⋅ 1(s2+0.6180 s+1)

⋅ 1(s2+0.6180 s+1)

H (s)=s3

s3+2.145 s2+1.751 s+1.397=

s(s+1.5963)

⋅s2

(s2+0.5483 s+0.8753)

● Cascata de estágios de 1a e 2a ordem.

● Ex.: passa-baixas Butterworth, N = 5:

● Ex.: passa-altas Chebyshev, N = 3:

“Catálogo” de estágios padronizados.

Princípios de implementação

Ex.: Passa-faixa Elíptico, N = 6

H (s)=0.008452 s5+0.1074 s3+0.008452 s

s6+0.6249 s5+3.383 s4+1.34 s3+3.383 s2+0.6249 s+1

=(s2+12.6304)

(s2+0.1924 s+1.6618)⋅

(s2+0.0792)(s2+0.3167 s+1)

⋅(s)

(s2+0.1158 s+0.6018)

Notar que a mudança no tipo de filtragem (passa-baixas → passa-altas, etc.) não pode ser feita por escalonamento em frequência → geraria indutores!

Solução → desenvolva estágios específicos para passa-baixas, passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa.

“Catálogo” de estágios padronizados.

Estágios de ganho

● Ganho:

H (s)=−R2

R1

H (s)=1+R2

R1

Priorizar!

Estágios de 1a ordem

H (s)=−R2

R1

⋅1/(R2C)s+1/(R2C )

=−G⋅ωc

s+ωc

H (s)=−R2

R1

⋅ ss+1/(R1C)

=−G⋅s

s+ωc

1 polo real negativo.1 zero em infinito.Usado em filtros passa baixas de ordem ímpar.

H (s)=s−R2/(R1R3C )s+1/ (R3C)

FazendoR2

(R1 R3C)= 1

(R3C)→H (s)=

s−μs+μ

1 polo real negativo.1 zero real positivo.Se polo e zero simétricos → Usado em filtros passa-tudo de ordem ímpar.

Fazendo{R1=R2=1ΩC=1F

→ H (s)=−1⋅ 1s+1

Filtro PB de 1a ordem normalizado.

1 polo real negativo.1 zero em s = 0.Usado em filtros passa altas de ordem ímpar.

Fazendo{R1=R2=1ΩC=1F

→ H (s)=−1⋅ ss+1

Filtro PA de 1a ordem normalizado.

Fazendo{R1=R2=R3=1ΩC=1F

→H (s)= s−1s+1

Filtro PT de 1a ordem normalizado.

Exemplo: PB de 1a ordem, fp = 500 Hz● Estágio PB de 1a ordem normalizado:

H (s)=−R2

R1

⋅1 /(R2C)s+1/(R2C)

=−G⋅ωc

s+ωc

Fazendo{R2=R1=1Ω → G=R2

R1

=1

C=1 F → ωc=1R2C

=1 rad / s⇒ H (s)= −1

s+1

Exemplo: PB de 1a ordem, fp = 500 Hz● Escalonamento em frequência:

k f=2π500 rad / s

1 rad / s=2 π500

● Escalonamento de impedância:

{R1 '=kz R1=2 ,7 kΩR2 '=k zR2=2 ,7 kΩ

C '=Ck z

=318μ F

2 ,7 k≈118 nF

Escolhendo R '=2,7kΩ↓

kZ=2,7 kΩ

1Ω=2700

{R '=R=1Ω

C '= Ck f

= 12 π500

≈318μF

Estágios passa-baixas de 2a ordem● Sallen-Key passa-baixas:

1 par de polos complexos conjugados.1 estágio passa-baixas de 2a ordem, sem zeros.Usado em filtros passa-baixas Butterworth, Chebyshev tipo 1, Bessel.

H (s)=K⋅ω0

2

s2+ω0

Qs+ω0

2

K=1+R4

R3

, ω02= 1R1R2C1C2

,

Q= √R1 R2C1C 2

C 1(R1+R2)+R1C2(1−K )

Fazendo{R1=R2=R3=1Ω ,C1=C 2=1 F ,R4=(2−1 /Q)Ω ⩽2

→ H (s)=(3− 1Q )⋅ 1

s2+ 1Qs+1

Filtro PB sallen-key de 2a ordem normalizado.

ω0=1 ,Q variável

Se R4>2Ω → instável!

Exemplo: PB Sallen-Key normalizado com Q variável

Estágios passa-baixas de 2a ordem● Notch passa-baixas:

1 par de polos complexos conjugados.1 par de zeros puramente imaginários em 1 estágio de 2a ordem em filtros passa-baixas, passa-faixa e rejeita-faixa com zeros em Usado em Chebyshev tipo 2 e elípticos.

H (s)=K⋅s2+ωz

2

s2+ω0

Qs+ω0

2, ωz>ω0

K=R3

R2+R3

, ω02= 1R1R5C1C2

,

ω0

Q=C1+C2

R5C1C2

, ωz2=

R4+R5

R1 R4 R5C1C2

R2 R4 R5C1=R1R3 (C1+C2)(R4+R5)

s=± jω z

s=± jω z

Fazendo {ωznorm=ωz /ω0

R1=R3=1Ω ,R2=ωz

2/(2Q 2)Ω ,R4=4Q2/(ωz

2−1)ΩR5=4Q2 ΩC1=C2=1/(2Q)F

Filtro PB notch de 2a ordem normalizado.

ω0=1,Q variável

Estágios passa-altas de 2a ordem● Sallen-Key passa-altas:

1 par de polos complexos conjugados.1 par de zeros na origem.Usado em filtros passa-altas Butterworth, Chebyshev tipo 1, Bessel.

H (s)=K⋅s2

s2+ω0

Qs+ω0

2

K=1+R4

R3

, ω02= 1R1R2C1C2

,

Q= √R1R2C1C2

R2(C1+C2)+R1C2(1−K )

● Notch passa-altas:

1 par de polos complexos conjugados.1 par de zeros puramente imaginários em 1 estágio de 2a ordem em filtros passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa com zeros em Usado em Chebyshev tipo 2 e elipticos.

H (s)=K⋅s2+ωz

2

s2+ω0

Qs+ω0

2, ωz<ω0

K=R3(C1+C2)C3(R2+R3)

, ω02= 1R1 R4C2C3

,

ω0

Q=C1+C2+C3

R4C2C3

, ωz2= 1R1R4C2(C1+C3)

R2C4C2=R1R3(C1+C2+C3)

s=± jωz

s=± jω z

Fazendo{ R1=R2=R3=1Ω ,C 1=C 2=1 F ,

R4=(2−1 /Q)Ω⩽2

→ H (s)=(3− 1Q )⋅ s2

s2+ 1Qs+1

Exemplo: PA Sallen-Key normalizado com Q variável

Outros estágios de 2a ordem ● Filtro passa-faixa:

1 par de polos complexos conjugados.1 zero em s = 0.1 estágio passa-faixa de 2a ordem, sem zeros ≠ 0.Ex.: filtros passa-faixa Butterworth, Chebyshev tipo 1.

H (s)=K⋅s

s2+ω0

Qs+ω0

2ω0

Q=C1+C2

R2C1C2

K=−1

R1C2

, ω02=

1R1 R2C1C2

,

● Filtro passa-tudo:H (s)=K⋅

s2−ω0

Qs+ω0

2

s2+ω0

Qs+ω0

2

1 par de polos complexos conjugados.1 par de zeros complexos conjugadosPolos e zeros simétricos.1 estágio passa-tudo de 2a ordem.

K=R3

R2+R3

, ω02= 1R1R4C1C2

,

ω0

Q=C1+C2

R4C1C2

, R2C4C1=2 R1R3(C1+C2)

Fazendo{R1=1Ω ,R2=4Q 2Ω ,C1=C2=1/(2Q)F

Filtro PF de 2a ordem normalizado.

ω0=1,Q variável

Fazendo{R1=R2=1Ω ,R3=Q

2 Ω ,R4=4Q2 Ω ,C1=C2=1/ (2Q)F

Filtro PT de 2a ordem normalizado.

Exemplo: filtro PF 2a ordem normalizado com Q = 1

Resumo

● Faça o projeto do filtro normalizado e obtenha sua função de transferência.

● Fatore H(s) em termos de 1a e 2a ordem.

● Implemente cada fator utilizando o modelo apropriado, iniciando pelos módulos com menor Q → evita a saturação de módulos intermediários.

● Aplique escalonamentos de frequência e de amplitude.

● Faça uma verificação por meio de simuladores.

● Implemente o circuito e verifique o funcionamento.

Exemplo:● Passa-baixas Chebyshev tipo 1,

N=4, α P=0,969dB , ω p=1000 rad / s

%% Projeto do filtro analógicoRp = 0.969;N = 4;wo = 1000; % Filtro normalizado[z,p,k] = cheb1ap(N, Rp);[num,den] = zp2tf(z,p,k); % Escalonamento em frequência[num,den] = lp2lp(num, den, wo);[z,p,k] = tf2zp(num,den); %Funcao de transferenciaH = tf(num,den);display(H); % Separa em termos de 2a ordem[num1, den1] = zp2tf(z,p(3:4), sqrt(k));H1 = tf(num1, den1);display(H1); [num2, den2] = zp2tf(z,p(1:2), sqrt(k));H2 = tf(num2, den2);display(H2);

Exemplo:● Filtro protótipo:

Q1=√282.456,21

681,44=0,77992 , K1=3− 1

Q1

=1,7178

Normalizando:

Q2=√989.571,46

282,26=3,5243 , K2=3− 1

Q 2

=2.7163

Fazendo{R1=R2=R3=1Ω ,C1=C 2=1 F ,

R4=(2−1 /Q)Ω ⩽2

→ H (s)=(3− 1Q )⋅ 1

s2+ 1Qs+1

De acordo H(s) original:

H (s)=K⋅ω0

2

s2+ω0

Qs+ω0

2

Usando 2 módulos PB Sallen-Key em cascata:

K=1+R4

R3

, ω02= 1R1R2C1C2

,

Q= √R1R2C1C2

C1(R1+R2)+R1C2(1−K )

Exemplo:● Filtro protótipo:

Exemplo:● Escalonamento em frequência e impedância:

k f 1=√282.456,21

1→ k f 1=531,47

k f 2=√989.571,46

1→ k f 2=994,77

R '=k z R , C '=1k z k f

C

Usando resistores de 1 kΩ:

k z=1000

1→ kz=1000

Exemplo:● Filtro elíptico passa-baixas:

n=3, f p=1000Hz , α p=3dB , α s=40dB

Partindo do filtro protótipo normalizado:

H (s)=0.05527⋅s2+5.048

s3+0.591 s2+0.9499 s+0.279=

=−G⋅μs+μ

⋅ K⋅s2+ω z

2

s2+ω0

Qs+ω0

2, ωz>ω0

Passa-baixas de 1a ordem Notch passa-baixas de 2a ordem

Exemplo:● Normalizando, escalonamento em frequência e

impedância:

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