Slides Binômio de Newton

Binômio de Newton

Análise Combinatória1

Vamos estudar a partir de agora uma importante aplicação da Análise Combinatória

ao desenvolvimento de expressões algébricas da forma (x + a)n, sendo x e a

números reais e n um número natural. Esse desenvolvimento é chamado Binômio

de Newton.

Vejamos o desenvolvimento dessa expressão para alguns valores de n.

Para n 0: (x + a)0 1

Para n 1: (x + a)1 x + a

Para n 2: (x + a)2 x2 + 2xa + a2

Para n 3: (x + a)3 x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

Binômio de Newton

Números Binomiais


Sendo n e p dois números naturais, com n ≥ p, define-se por número

binomial de n tomado a p a combinação dos n elementos distintos

tomados p a p.

Sendo n e p dois números naturais, com n ≥ p, define-se por número

binomial de n tomado a p a combinação dos n elementos distintos

tomados p a p.

!!

!, pnp

nC

p

npn

Escrevendo o número binomial em termos de fatoriais, temos:

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Números binomiais complementares


Sendo n, p e q números naturais com n ≥ p e n ≥ q, dizemos que dois números

binomiais e são chamados de complementares quando

p q n, ou seja, q n p

Uma propriedade importante é a de que dois números binomiais complementares

são iguais, isto é:

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Relação de Stifel


Sendo n, p e q números naturais com n ≥ p, vale a relação a seguir.

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O Triângulo de Pascal


Binômio de Newton

Propriedades do Triângulo de Pascal


• O primeiro e o último elemento de

qualquer linha do triângulo sempre

vale 1, pois:

• Para qualquer linha, dois elementos

equidistantes dos extremos são iguais,

pois representam números binomiais

complementares, isto é:

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• A soma dos elementos de uma linha n qualquer e uma potência de base 2 e

expoente n, ou seja, é 2n.

linha 0 1 = 20

linha 1 1 + 1 = 2 = 21

linha 2 1 + 2 + 1 = 4 = 22

linha 3 1 + 3 + 3 + 1 + 8 = 23

Binômio de NewtonPropriedades do Triângulo de Pascal


• A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao

elemento da próxima linha que está abaixo do segundo elemento somado

(ou que está centrado entre eles), pela relação de Stifel.

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• A soma dos elementos de uma coluna p desde o primeiro elemento dessa

coluna até o da linha n é igual ao elemento localizado na linha (n 1) e

coluna (p 1) , isto é:

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• A soma dos primeiros p elementos de uma transversal é igual ao elemento

localizado na linha (n p 1 ) e coluna p, isto é:

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Somatório


Considere a sequência (ap, ap + 1, ap + 2, …, an).

A soma dos termos dessa sequência,

ap ap + 1 ap + 2 … an,

pode ser representada pelo somatório, dado por:

Considere a sequência (ap, ap + 1, ap + 2, …, an).

A soma dos termos dessa sequência,

ap ap + 1 ap + 2 … an,

pode ser representada pelo somatório, dado por:

Exemplo:

n

pkka

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Desenvolvimento do binômio de Newton


No desenvolvimento do binômio de Newton (x + a)n:• há (n 1) termos;• os expoentes das potências de x decrescem de n a zero e os das potências

de a crescem de zero a n;• em qualquer termo, a soma dos expoentes de x e de a é n;• os coeficientes, considerando x e a como variáveis, são os elementos da

linha n do triângulo de Pascal, ou seja, os números binomiais que

determinam essa linha. Por isso são chamados de coeficientes binomiais.

ppnn

p

n axp

nax

0

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Termo geral de um binômio de Newton


Na expressão do termo geral Tp + 1 do binômio de Newton (x a)n, em que a é

uma constante real, dizemos que ap é o coeficiente numérico desse termo.

p

n

ppn

p axp

nT

1

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