ffifrnxffimtwdry ffimqrwtsrïNÚMERos BINoMIAIS

onde:

Resoluçâo:

Dados dois números naturais, n e p, chamamos númeío binomial ao O* O" *ã*" (;),

comn<lN,p€ÌNen>p

(;l lê'se: binomial de n sobre P

Em que n é o numerador e p o denominador do númêro binomial.

ou""*" 0," (!) = c", o

Conseqüências da deÍinieao: at [l]

= r para vn € IN

ot[ ! ) =n oaravn > lenÉìN

"l (l) = r para vn € ÌN

/ . ì i " \ , ls ì , /z\Exempro: catcutar E. s"noo e = [ãJ * [ãl * [õi + [ìl

/s\ /sl /s\ It\\zf + [s/ + \of + [r /

5! -3!

,5! _712t(5 2)t 3!(3 3)! 0r(5 0)! 1!C/ - t)!

\L + ' t i t+t

19

'19Resposta:

200

fn\ - n l i\P/

- p! (n p)!

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I CalcuÌe o valor dos seguintes números bino-mlais:

. /sì , . i zo\ . í io\ / ro\^ ' \ t l o ' l ra l

' ' \ , / " ' ( t /2 Calcule A, s€ndo

": ít ì - ' Í l ì * í: ì r í ,9ì\U/ \z/ \ i / \

' /

í43 simplnoue: Ill

1rì\4/

Demonstração:

s"o".o" ou"'(!) = õrd_ ,.(" lJ=r=n'-n=rr =*^- ,"( ; )= (" l , )

+ ""**

i Í 'ì5 Calcule o valor de x sendo

'=Ê,( ' ; ' )

ó Ache o conjunto solução da equaçâo

(" ; ' )=" i

7 Resolva a eqüaçâo

(;) . ( : )=, '

N ÚMEROS BI NOMIAIS COMPLEMENTARES

Dois números binomiais são chamâdos complemêntares quando a somâ dos denomina-doíes é igual ao numeradoí

/- ì / - ìOsnúmerosl" le l" " . I são comptementares. pois p + n p = n.

tv/ ì " P,

i r ì /<ìExomelos: a)

[ãle tãl são complêmentares. pois 2 + 3 = 5.

l t \ lz\b)[ ì lêtôlsãocomelementares.pois | + 6 = 7.

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS

'I I proprledade:Dois números binomiais complementaíês sâo iguais.

_n!- ln DlFfn!

(n- p) l In-n+pl !

201

Exemplo: Dêterlninar x na igualdade:

I tz\_l rz \\sx/

=\x+8/

Fesoluçãoi Têmos dois casos:'19: binomiais iguâis

l tz \ _ l tz\ _ts, . /=[ ,+aJ-: i=ã-

x=2

29: binomiais complementarês

[ tz\ _ l tz\ _[sxf

= {" +af =5x +-\ + 8= 12

x = + (não sarisfaz)

Í

p!(n - p)!

t

n(n - 1)! n!p{n - p)! p! (n p)!

Rgsposta: x = 2

2: propriedade:Relação de StiíÍel

, , -

p(n 1)l + (n p)(n - 1)! (p + n p)(n - 1)!

Dêmonstração:lànindo do 19 membrq lemos:

(p - 1)r In 1-(p 1Ir(n 1)! , (n - 1)! _ (n - 1)! (n - r)lÌ dnn - i - pÍ = tp-llÌn prr +;i6ffi

Como (n p)! = (n p)(n - p 1)t e pt = p(p - i) !

p(n 1)l + (n p)(n - 1)!p!(n p)l

/ " - r Ì / " - r l /^ ìponanto: l ; ì / . I o l= l i i l

Exempto: Besotveí â equação: í?l -

í:ì = Í u ^ì\.{t \c/ - lx + 2l

Reso I uçâo: Devemos tor:x+2=5 ou 5rx+2=6

x=3 x= -1Resposta. S = { -'1, 3l

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

t,***"('3) = ('g)

z n"*r", u "c*eao, (l) -

(i) = (_ i ,)

202

3 Resolr.a as equações:

, (,1).= (. i,)"( , ï )

= ( , ' ; ' . )

TRTANGULO DE PASCAL (OU DE TARTAGLTA)

Ë

(:

(s

Ë3

(r)( ; )

/o\\4/

q

lz( ;

lt( ;

( :

(r

Os números binomiais podem serdisposlos ordenâdamente em um quâdro denominadolriângulo de Pascal ou de Târtsglia.

Sê no tr iângulo de Pascal substituirmos cada binomial pêlo resDeciivo valor obteremos:

PÍopÍiedades do triângulo de Pascal

1:rTodososelementosda l i colunasão iguaisa t . pois l l l = r .ì " i

2?) O últ imo elenento de cada l inha é igual â l , pois l l l =r.

3i) Numa l inha qualquêr, dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais:'1 61s20 19q1

L----. ::=:=--l

Ë-ã

(s(r( :

(enlor

c

t ; l

I3tt - l

l l l

t ; l

i9 l

I l

tatsrats

ã

Í0t

t1 lln l

I2lln l

i3ì\0/i4ì\0/l5ìl0/l6ì\0/

nt

' -brnomotnom

0

1

2

3

4

5

6

n

III rinna

Lrnna

Linha

I Linha

I rinn^l

]

Lrnna

| '1"*t :|

.'nn"

L, .sêrve que: mesma Iinha.

nâ mesma coluna.êstâo colocados naor estão colocados

umeÍadolenominad

mesmomesmo

dede

obesenom

111121133114641'1 510 10 51161520 1561

203

4:) Cada binomial {: ìdâ l inha n é igual à soma do dois binomiais da t inha (n - 1):' I Í r ,aquele que êstá na coluna p com aquelê que está nâ coluna (p - 1) (retação de Sfiffel)

(1). (1)= (t

t

5i) A somados núme.os binomiais de uma mesma tinha é uma potência de base 2 cujoêxpoentê é a ordem da linha (dada pelo numeradoí).

( : ) . ( ï = ( : )

Í

l inha0 =l inha 1 =l inha2 *l inha 3

-l inha 4 +l inha 5 +

1111,l

2+3+4+5+

.f

.|

.f

+

4= 'Ì248

'1632

6+10+

4+|__-_24=í0+5+1-25=

Em geral:

Vejamos alguns exemplos.

/n l /n\ / " ì19 exempto: catcutar n, saoenoo.se oue: Iijf .

[ïf .

[if = +

/.\ /"ì /.rBasotuçáo:

[ô l - t ï l . [ã i =o - 2n=4 - 2r=22..n=2

Resposta: n = 2

29 exêmplo: Determinar o vatoí de n que satisf"r " ""nt"nc"i o (l)

= srz

Resoluçâo: Fâzendo k vaíiar de 0 até n, temos:

(;) . (r) . (r) .Resposfáj n = 9

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

.. fff = srz - 2r = s12! " i 2" = 2e

n=9

/^ \ /^ \ / - \ ,^ ì

tô,- l [ ï1. [ã l+ . . . + f t i l= r" t.(i) = -

' . ,*n( l) . ( ;) ( ;) , ( ;) . ( ;) . ( :)2 Calcde n, sabeddo que:

(ã). ( ï ) . . ( i ) : ,* '204

r""*"p.(i)4 Determine x, de modo que

( l) .( ;) .( t . .( ï)=,, ,

Ì

A FORMULA DO BINOMIO DE NEWTON

Nestê ìtem vamosobtero desenvolvimenlo de (x + af, com n € [',1, que é dênominado bi.nômio do Nêwton.

Observe os seguintes dêsenvolvimentos:

n = 0 ' (x + a)o = 1

n = 1 ' (x+a)] =1x+1a

n = 2r(x + al2=1x2+2ax+1a2

n = 3-(x + a)3 = 1x3 + 3ax + 3a2x + 1a3

n = 4 J(x + a)a = 1xa + 4a}é + 6a2x2 + 4a3x + 1a4

i

. (t)"

binômiode

Os coeficiêntes desses desênvolvimentos representam as linhas dotriângulode l%scâ1.

Íeì\0/

á)(r)203040 Ë)

à

,)F)1)(3)

11ì

121133114641

ta\rt :\1

In\ r

porÌanto:

(x + a)^= (3)* * . ( Ì ) . * ,* (â)"r"- ' * . . . * í : ì "

*"

(il(d (r) (4 (l)Obsêíve que:

. o dêsenvolvimento dê (x + a)' possui (n + 1) termos;

. as potências de x decrescem de n até zero;

. as potênciâs dê a cíescem de zero até n

I

205

No desênvolvimento do binômio (x aln, temosl

i . t / " ì i . ì /^ \(x a)-=[xr ( â) ] '= l ; lx- +Ljr arx- r+I ; l ( a) ,x- , r . . .+I l l t af

\" i ì ' / \ . t ì , ' /

Os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados. isto é, os termos de ordempaÍ (29, 49, 69 . . .) são neoativos e os de ordem ímpar (19, 39, 59 . . .) são positivos.

,Veiamos o exemplo

Exemplo: Desenvolver o binômio (x + 3)4.

/ ,1 / , ìResotuÇâo: rx + sf = Í l ) "" 3. - l i l " ' t ' * { i l * , .a, + í1I , .s.- l1 l"" s"

ìvr \ ' / , \ . t \o/ \"1(x + 3)4 = íx4 + 12x3 + 54x2 + ì28x + 81

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Desenvolva:

oÍ,*19ì '

b) (k'? + 1)5

c) (x l)3

d) (2â 3b)a

e) (ar - xb"

n(*. . ) '

2 CalcuÌe, utilizando a fórmula do binômio deNewton:

a) (4 {zfb) (1 + \5)1

FORMULA DO TERMO GERAL

Observe o desenvolvimento:

T1 r2

+lr la ' x '+"_-"

T3

. . . + l l la ' .*o" ï : ,

retermori =t r , = (â)" . -"

2e teímoÍ2 = r, ., = (ï)a' r '

3etêrmor3 = r , r , = ( !1", , " ,

= [ iJ* " '206

portanto, um termo qualquêr de ordem (p + 1) é dado poÍ

Observâção: Para o desenvolvimento dê (x - a)n, temos: (x a)n = [x + (-a)]"

O termo gêral é dado pelâ êxpíessão:

T^, , = l , ' l ( -a)Pxn P = {- t )e( i )ae.r e

Velamos alguns exemPlos.

Í9 exemplo: Determinaí o 49 termo no desenvolvimento de (x + 2)7.

Resoluçáo: Para o 49 termq temos: p + 1 = 4 - o = a"[: = i

r - ' . = l l laP x"-P\ r,,

/ , ì13.1 =

[áJ d x, 3

ro= sr(/-3rL I x = +++Xi o"=ss 8xÁ = 280x4Resposta: 280\4

29 exèmplo: Achar o termo ind€pendênte de x no desenvolvimento de (2x 1)6.

Bêsolução: IeÍ'os'.(n = ojX = 2xtâ = l

O termo geral é dado Por:

r" , , = 1-y{!1""v ' p=r.-1= r r r Í3 l r" tzxt" pÌv, \ " i

r , . , = ( 1)"(3)r ' - ' , ' "O têrmo índependênte de x é o que contém x0, logo:

6 P=0-P=6

Substituindo no teímo geral, temos:

r , = r- luí9ìzo. xo - T, = 1' ' Ìo,

Resposta: 1

i.iìi:.ii; .:i',. r'f i:1

207

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Calcule o 69 termo no desenvolvimento de(a + 3b)' '

2 Calcule o 59 lermo no desenvotvimenro d((fi + Vy)6

3 Calcule o l l? rermo no delenrolvimenlo d<(x - l)r

4 Catcule o rermo em Lr no desenvohimento dr

Íç * i l ì ' '

5 Calcule o lermo mèdio no de.en\otvimenro de

/2" * ì ì '

ó Derermineo termo indep€ndenrede x no deren-t - 1\q

loì l imenro de lvx + 1 .\ ^ /

7 (Mauá-SP) Verifique .q no desenvolvimento doI - . /5\10

binómio {2x' ìi I . ha'rrá. após as sim.

plificaçôes, um termo êm x5. Em caso positivqdetermine seu coeficiente

8 catule o termo em x _I no desenvolvimmto de

fs,, n _! ì'

9 No desenvolvimenro de (2x + b)5, comb í 0,o coeficienre numèrico do rermo em ra é oirovezes aquele do termo em x3. Calculdb.

l0 cat iute x. .ar.nao que o quinro rermo , lo de

'enror\ imenro de í ' " * - , ,* t -

, ì 'é igual a 15.

| | Determine os valoÌes de x que tornam iguais o4: e 59 termos no desenvolümento de

lzrV\2 *-3/

l2 No deçenvolr imeno do U;nA.io ír ' , r I ì "t x/ -

com n > 0, a diferençaentÌÈ os coèficienres outerceiro e segundo termos é iguâl a 90. QuaÌ é aordem do termo independente dex no seu desen-volvimento?

í

3r2 carcure E. sendo E = íl) . í?) - í1)\ "/

\ _,,

3t3 sabendo que +l+i

= 42. cârcüre o va

,.. d" (. 1 3,)314 Calcule n, de modo que

3ló (Mauá-SP) Resolva a equaçâo:/- , \ / - . \(" , ' )= ( ' t 'J "o*"2:

317 Calcule o 59 terrno de (a + 2b)5

318 íFLt SPr oesenrolv4 uçando a tórmuja do br-nômio de Newton: (x l)r (x + l)j

319 Calcule o vaor de

Í " r*1ì '* í "g-+ì"\ , / \ r /

320 Calcule o termo ern xa no desenvoÌvimeÌrto de

ír*, r 1ì'

321 peI-sp No aesenvotvimento do binômio

\r I

x- / . dè o rermo independenÉ de x.

/n\ /"ì /n\\o/ \ r / ( :J

l l0

0l l

.t;

I!r t

I

i

I

315 Demonstre que

(" : , ) . ( " 1.)= ( t l l )208

322 Calcule o termo independente de x no desen-t l

volvimento de Í-+ 4úl '

\x ' I

323 CalcuÌe o termo independenre de xno deseÍ,/ .6 \3

volv imentode|- ì + eI\ x. /

324 Cakule n, para quenode,envol!imenLo do bi-

nõmio (xa l" t" se renha um rermo inde-

pendente de x.

325 Ache o termo independente de x no desenvol,Í í 1\ /

' \ ì6

vimento de l lx + - l lÀ - - l lt \ \ / \ x

32ó Sabendo que os coeficientes do 3I e do 89 ter-mo do desenvolvimenro de (a . b)' .àoiguais, determine o vâlor de m.

327 Ache o valor de a, de modo que o coeficientede x' seja igual ao de x" no desenvolvimento

deÍ2x'+ +|\ x' ,l

32E (Mauá-SP) Dado o binômio (x + y)ô €omm>0:

a) determine m, para que no desenvolvimen-to do binômio o coeficienre do J 9 rermo se-la l ) .

b) com esse valo' de m. derermine em segui.da o 6? termo do deseÍrvolvimento.

329 Seja n urn núrnero natural maior que 2. Saben,

do que no desmvolvimenr. d. í*i * + ì'' \ x i . / 'iegundo as potêncra\ decre\cenles de ì, dy'ife-rença enlreo\coelicienle\ do 39 edo 29 Lermoé 27, calcule:

a) o valoÍ de n.b) o temo independente de x.

330 Determine para que valores d€ n os coeficien-tesbinomiah do J9,69 e79 t€rmosdodesen-volvimento do binômio (x + a)n estão emprogressão aritméÌica.

331 Determine o valor de x, ral que o 29, 39 e 5 9 lermos do d€senvolvimento de (2 + x)5 esÌejamem progressão geométÍica.

Í

209