Slide Tema 3

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS

Por

Weslley Imperiano Gomes de Melo

Dezembro/2015

Universidade Federal da Paraíba

Campus I – Centro de Tecnologia

Curso de Graduação em Engenharia Civil

Seleção de Professor Substituto em Estruturas

1. Centroíde de Áreas

1.1. Centro de Gravidade de Áreas

Ponto de equilíbrio estático de um corpo,sendo característico pelo somatório de momentos,Fig. 1.1:

∑�(�) = 0 ∴ ̅. = �. � ∴ �� = � �.��

∑�() = 0 ∴ ��. = ��. � ∴ �� = � �.��

∑� � = 0 ∴ � = ��1.2. Centroíde de áreas – Integração

Para uma placa homogênea, o centrogeométrico, conformeFig. 1.2, será:

�� = � ��

; �� = � ��

2

1. Centroídes 2. Momentos 3. Raio de Giração 4. Produto Inércia

Fig. 1.1: Centro de gravidade de áreas

Fig. 1.2: Centroídes de áreas

5. Eixos Principais

FONTE: (BEER; JOHNSTON, 2012)

1.3. Centroíde de áreas – Figuras Canônicas

Aplicando as integrais definidas no item 1.2. para as figuras canônicas, tem-se:

3


Tab. 1.1: Centro de gravidade de áreas

5. Eixos Principais


1.4. Figuras Compostas

Para uma placa composta por sub-áreas, o centro geométrico, conformeFig. 1.3,será:

�� = ∑�� . ��∑�� ; �� = ∑�� . ��

∑��Sendo caracterizada por média

ponderada.

1.5. Distribuição de carga em vigas

A posição do carregamento,Fig. 1.4,será:

�� = ��. ��

E a resultante, será:

� = ��4


Fig. 1.3: Centroíde de seção composta

Fig. 1.4: Carga sobre viga

5. Eixos Principais


5

1. Centroídes 2. Momentos 3. Raio de Giração 4. Produto Inércia 5. Eixos Principais

FONTE: (HIBBELER, 2010)

2. Momentos de Áreas

2.1. Momento Estático de 1ª Ordem

Será o produto da área e as coordenadasdo respectivo centroíde, conformeFig. 2.1 (a):

�� = ��.�; �� = ��. �

� P/ Retângulo: Fig. 2.1 (b).

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Fig. 2.1 (a): Momento estático de área

Fig. 2.1 (b): Momento de 1ª ordem - Retângulo

5. Eixos Principais



2.2. Momento de Inércia

Também definido de momento estático de 2ªordem, sendo por integração:

�� = �� ; �� = ��Para as figuras canônicas:

� P/ Retângulo: Fig. 2.2.

� = ��!. ". ��#

$= ". �

%3 $

#= ". ℎ%

3

�( = �!. ℎ. �)

$= ℎ.

%3 $

)= ℎ. "%

3� P/ Triângulo: Fig. 2.3.

A área infinitesimal:�* = +. ��Por semelhança de triângulo:

,) =

#-(#

Logo:�* = ". #-(# . �� Por Fim:

�� = ��. .. / − �/ . ��

/

1= .. /2

3�

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Fig. 2.2: Momento de Inércia – retângulo

5. Eixos Principais


Fig. 2.3: Momento de Inércia – triângulo

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Tab. 2.1: Momento de Inércia de figuras canônicas

2.3. Teorema de Steiner

Conhecido também como Teorema dosEixos Paralelos,Fig. 2.4.

Preconiza o translado do momento deinércia ao longo da seção transversal.

� = ��!�*� = � �4 + � !�*� = � �4 !�* + 2. � � �4�* + �! ��*

Sendo:7 8 =. � �4�* = 0 (no C.G.)

e � $ = � �4 !�*�� = ��1 + �.��

Analogamente, conclui-se, pela fig. 2.5:

�� = ��1 + �.��; �� = ��1 + �.��Onde:��1 - Momento de Inércia em x no C.G.

��1 - Momento de Inércia em y no C.G.

�� - Distância de translado de Iy

�� - Distância de translado de Ix

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Fig. 2.4: Teorema de Steiner

5. Eixos Principais


Fig. 2.5: Teorema de Steiner em x e y


2.4. Momento de Inércia – Figuras Compostas

Para as subáreas da seção transversal, tem-se:

�� =9 ��:� + ��. ��;

�<3 ; �� =9 ��:� + ��. ��

;

�<3

2.5. Momento de Inércia Polar

O momento de Inércia polar, será definido por:

�= = �>��Sendo:?! = ! + �!

�@ = �?!�* = � ! + �! �* = �!�* + ��!�*�= = �� + ��APLICAÇÃO: Determinar o momento polar de inércia para o retângulo e o triângulo.

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Fig. 2.6: Momento polar de Inércia

FONTE: (TIMOSHENKO; GERE, 1984)

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3. Raio de Giração

Substituindo-se a seção transversal deáreaA por uma faixa afastada da distânciak, sendok o raio de giração.Fig. 3.1:

A� = ��

A� = ��

A1 ≡ A= = �=� = �� + ��

�

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Fig. 3.1: Raio de Giração

5. Eixos Principais


4. Produto de Inércia

O produto de inércia para

o elemento diferencial.Fig. 4.1:�� ( = (. �)�*

Para a área inteira:

�� = �(�. �)��Sendo observado a variação de sinal no produto

de inércia por localização. Isto ConformeFig. 4.2.Por fim, aplicando-se o teorema de steiner,

translada-se o produto de inércia,Fig. 4.3:

� ( = �. �. �* = � ̅ + 4 . �� + �4 �*

� ( = � ̅. ��. �* + � ̅. �4. �* + �4. ��. �* + �4. �4. �*Sendo:7 8 = ��4�* = 0; 7(8 = �4�* = 0

�� = ��8�8 + ��. ��. �Onde:� 8(8 - produto de inércia centroidal

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Fig. 4.1: Produto de Inércia

5. Eixos Principais


Fig. 4.2: Posição do Produto de Inércia

Fig. 4.3: Steiner e o Produto de Inércia


4. Produto de Inércia

Para seções compostas:

�� =9 ��8��8 + �� . �� . �� ;

�<3OBS.: Para seções simétricas, o produto de inércia centroidal é nulo (� 8(8 = 0)

Para as demais Seções Transversais Canônicas

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FONTE: (TIMOSHENKO; GERE, 1984)

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5. Eixos Principais

5.1. Transformação de Momento de Inércia

Através da Fig. 5.1 os eixos 4 e �4defindos por:

C4 = . cos G + �. sen G�4 = �. cos G − . sen G

Utilizando a definição dos momentos deinércia:

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Fig. 5.1: Transformação de eixos

5. Eixos Principais

� 8 = � . cos G ! + �( . seJ G ! − 2. � ( . cos G . sen G�(8 = � . seJ G ! + �( . cos G ! − 2. � ( . cos G . sen G� 8(8 = (� −�(). cos G . sen G + � ( . cos G ! − seJ G !

Utilizando as relações trigonométricas:sin G . cos G = LMN(!O)! cos G ! − seJ G ! = cos(2G)

Assim:

��8 = (�� + ��)� + (�� − ��)

� . PQR(�S) − ��. RTU(�S)��8 = (�� + ��)

� − �� − �� . PQR �S + ��. RTU(�S)

��8�8 = (�� − ��)� . VW;(�S) + ��. X:V(�S)


Valendo a relação:�� + �� = ��8 + ��8

5.2. Eixos e Momentos Principais de Inércia

Para determinar o primeiro eixo principal de inércia, basta impor:��8�S = 1 ∴ −2. � − �(

2 . sen 2G − 2. � ( . cos 2G = 0Sendo o Ângulo da direção principal,Fig. 5.2:

G = G@YZ �S= = −�. ��

�� − ��As raízes sãoG@[ e G@\, defazadas de 90º. Serão obtidas os momentos principais,

aplicando-se os angulos em� 8 e �(8.

�]á�]�;= �� + ��

� ± �� − ��

�+ ��

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Fig. 5.2: ângulos eixos principais

5. Eixos Principais


5.3. Círculo de MOHR

Elevando-se ao quadrado� 8 e � 8(8 , somando-as e reorganizando, tem-se:

� 8 − � + �(2

!+ � 8(8! = � + �(

2!+ � (!

Representando uma circunferência com centro no eixo x:

− ` ! + �! = a!Onde: ��8 − �]W� � + ��8�8� = b�

Sendo:�cde = fghfi! ; a = fg-fi

!! + � (!

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Fig. 5.3: Círculo de MOHR

5. Eixos Principais


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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• BEER, F.P; JOHNSTON JR, E.R.Mecânica Vetorial para Engenheiros.9.ed. PortoAlegre: AMGH, 2012.

• FERNANDES FILHO, P.Resistência dos Materiais.João Pessoa: UniversidadeFederal da Paraíba, 2008. 238f. Apostila.

• HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais.7.ed. São Paulo: Pearson PrenticeHall, 2010.

• PARREIRA, A.B.Teoria da Elasticidade. São Carlos: USP, 2015. Notas de aula.

• POPOV, E.P.Mecânica de Sólidos.2. ed. México: Pearson Educación, 2000.

• TIMOSHENKO, S.P.; GERE, J.E.Mecânica dos Sólidos.Vol I. Rio de Janeiro:LTC, 1984.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

• JUDICE, F.M.S.; PERLINGEIRO, M.S.P.L.Resistência dos Materiais IX.UFF,2005.

• SADD, M.H. Elasticity: Theory, Aplications, and Numerics. New York: Elsevier,2005. 21

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