Slide - Root Locus e Controladores

Parte 3: Root Locus

Prof. Frederico

• Considere o sistema em malha fechada na sua forma canônica.

• A função de transferência de malha fechada é dada por:

cujos polos são raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0 e que, como sabemos, determinam todas as características do sistema em malha fechada.

• Qual o comportamento do sistema se T(s) depender um algum parâmetro k (-∞<k< ∞)?

Exemplo 1: Para o sistema abaixo encontre T(s) e determine seus polos para K variando

entre -∞ e ∞.

Solução:

Equação característica:

(FTMF)

Exemplo 1:

Método braçal, portanto, deve ser evitado!

j

Comentários:

Neste exemplo o sistema apresenta as seguintes características (p/ k > 0):

• Para 0 < K < 16 as raízes s1 e s2 são reais distintas, logo o sistema é sobreamortecido (ou superamortecido);

• Para K = 16 as raízes s1 e s2 são iguais a -4, logo o sistema é criticamente amortecido.

• Para K > 16 as raízes s1 e s2 são complexas e o sistema é subamortecido.

Obs:

p/ k > 0 root-locus

p/ k < 0 root-locus complementar

• Definição: O root-locus de T(s) é:

Vemos portanto que um ponto si do plano complexo ₵, pertence ao root-locus de T(s) se satisfizer duas condições:

1. Condição angular:

2. Condição de módulo:

Lembrar que: G(s)H(s) é a função de transferência de malha aberta do sistema.

Traçado do root-locus (p/ k>0)


• Supondo G(s)H(s) na forma:

• Condição angular:

• Condição de módulo:


• Identificação vetorial da condição de ângulo e de módulo:

Conclusão:

• a condição angular é a condição necessária para um ponto Si pertencer ao R.L.

• se o ponto de teste si pertencer ao R.L., então o valor correspondente de k é determinado de modo a satisfazer a condição de módulo.

Sentido de giro dos vetores

Calibração do root-locus (p/ k>0)

• O cálculo dos valores de K para diferentes pontos si do root-locus é denominado de calibração.

Exemplo 2: Considere a F.T.MA, abaixo, cujo RL. já foi traçado. Partindo do R.L. já conhecido observe a condição angular θ = (2m + 1 )π.

a) Condição angular:

b) Determinação do ganho no ponto si:

0 1Pólos ( ) 180p p

Roteiro para o traçado do root-locus

Considere um sistema cuja função de transferência de malha fechada é dada por :

1) Expressar a função de transferência de malha aberta como:

2) Construir o mapa de polos e zeros da função de transferência de malha aberta; (Regra 1)

3) Identificar trechos do R.L. sobre o eixo real; (Regra 2)

4) Determinar pontos de ramificação; (Regra 5)

5) Determinar as assíntotas; (Regra 3)

6) Determinar a abcissa do centro de gravidade; (Regra 4)

Roteiro para o traçado do root-locus

Continuação...

7) Determinar os ângulos de partida de polos complexos e os de chegada em zeros complexos; (Regra 7)

8) Determinar a interseção do R.L. com o eixo imaginário; (Regra 9)

9) Identificar pontos de interseção de ramos do R.L.; (Regra 8)

Verificar as regras para construção do R.L na folha anexa ao material !

Obs: A regra 1 é o ponto de partida para a análise do sistema em malha fechada como será vistos nos exemplos a seguir.

Exemplo 3: Traçar o R.L. e discutir a estabilidade. (p/ k > 0)





( ) ( )( 4)

kG s H s

s s

( ) ( )( 6)

kG s H s

s

( 8)( ) ( )

( 2)

k sG s H s

s

2( ) ( )

kG s H s

s

2( ) ( )

( 2) 5

kG s H s

s

Configurações típicas de polos e zeros e o R.L. correspondente

• O padrão do lugar das raízes depende apenas da separação relativa dos polos e zeros de malha aberta.

• Se o nº de polos exceder o nº de zeros finitos em três ou mais unidades, haverá um valor de ganho k além do qual o R.L. entrará no semiplano direito do plano s e, assim, o sistema se tornará instável.

Root Locus Completo

Exemplo 8: Traçar o R.L. completo e discutir a estabilidade.

Solução:

4)

5)

Continuação...

6)

8)

Continuação...

Verificação da estabilidade segundo o critério de Routh-Hurwitz:

9) Usando a Regra 8 é possível localizar a 3ª raiz para k = 6

Isto significa que, a terceira raiz estará no ponto σ = - 3

Continuação...

Conclusão:

Root-Locus completo do sistema:

Exemplo 9: Traçar o R.L. completo e discutir a estabilidade.

Solução:

4) Pontos de Ramificação:

5) Cálculo das assíntotas: (NP = 2 , NZ = 1 m = 0)

K >0

K <0

K >0

K >0 2

; m = 0 0m m

m

NP NZ

6) Centro de gravidade : como a assíntota possui ângulo de 180°, não faz sentido determinar a abcissa da assíntota.

7) Determinar os ângulos de partida de pólos complexos:

P/ K >0

*

1 1 1

1

2

0

54,73 90 35,27

z p p

p

Zeros Polos m

P/ K <0

P/ K >0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds

-1)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds

-1)

Root Locus – Casos Especiais

Exemplo 10: Traçar o R.L. e discutir a estabilidade. (supondo k >0)

Solução:

4) Pontos de Ramificação:

5) Cálculo das assíntotas: (NP = 2 , NZ = 1 m = 0)

6) Centro de gravidade :

7) Pontos de interseção com o eixo jw:

8) Interseção de ramos do R.L.

• Vimos que s=0 e s=-3 são pontos de ramificação.

• Em s=0 sabemos que é um ponto de ramificação de saída. Mas em s=-3?

• Segundo a regra 5, entre o polo s=-9 e o zero s=-1 não haverá ponto de ramificação ou o número de pontos de ramificação de saída será igual ao número de pontos de ramificação de chegada. Ambas afirmações são falsas.

• Portanto, s=-3 é o ponto de interseção de ramos do R.L. (regra 10b.)

Derivada 1ª:

Derivada 2ª:

Derivada 3ª:

• Logo, pela regra 10, n=2 e portanto no ponto s=-3 existem 3 ramos chegando e 3 ramos saíndo .

• Além disso, os ramos adjacentes que chegam estão separados por direções que fazem

entre si:

• Um ramo que chega e um adjacente que sai fazem um ângulo de:

Efeitos (sobre o Root Locus) da adição de polos e zeros na planta

• Efeito da adição de polos: A adição de um polo à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o R.L original em direção ao semiplano direito, veja o exemplo abaixo:

• OBS: a adição de polos tem a tendência de tornar o sistema instável !

• Efeito da adição de zeros: A adição de um zero à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o R.L original em direção ao semiplano esquerdo, veja o exemplo abaixo:

• OBS: a adição de zeros tem a tendência de tornar o sistema estável !

Controladores

Controladores: por que usá-los?

• Para modificar a condição de estabilidade do sistema.

• Nem sempre é possível ter acesso a planta do sistema para alterar o ganho k.

• São estruturas independentes do modelo matemático do sistema e têm o objetivo de modificar o R.L. por meio da inserção de polos e zeros.

• Tem o efeito de modificar a resposta, podendo deixar o sistema mais lento (maior tempo de acomodação da resposta) ou mais rápido, introduzindo certo grau de antecipação (para aumentar a velocidade da resposta transitória).

Estruturas básicas de controle

Compensação Série:

Compensação por Realimentação:

Compensação Série e por Realimentação:

Estruturas básicas de controle

Pré Compensação:

Compensação por Realimentação de Estados:

• Obs: este tipo de compensação usa as variáveis de estado. Para um sistema com o espaço de estados de dimensão elevada exigirá um grande número de transdutores. Além disto nem sempre as variáveis de estado são acessíveis e então será necessário o uso de um observador de estados.

Tipos de Controladores

• O objetivo da estrutura denominada CONTROLADOR é comparar o valor da saída com o valor desejado e adotar uma ação de controle sobre o sistema.

Dependendo da ação de controle pretendida, os controladores são classificados em:

1 - Controlador Liga-Desliga ON-OFF

2 - Controlador Proporcional-P

3 - Controlador do Tipo Integral - I

4 - Controlador do Tipo Proporcional mais Integral- Pl

5 - Controlador do Tipo Proporcional mais Derivativo- PD

6 - Controlador do Tipo Proporcional mais Integral mais Derivativo- PID

Esquema básico de um controlador:

Controlador Liga-Desliga

• Este tipo de controlador geralmente é constituído por uma válvula operada por solenóide elétrico.

OBS: Neste tipo de controlador, em geral, existe o denominado Intervalo Diferencial ou Histerese Diferencial que é o intervalo onde e(t) muda de sinal sem que o controlador mude a sua ação.

O intervalo diferencial geralmente é colocado para evitar que a operação do mecanismo, com muita frequência, cause danos ao mesmo.

(Exemplo)

Controlador Proporcional

• A ação de controle é dada por:

• Comportamento do sistema:

• G(s)- planta ou processo • e(t)- sinal de erro atuante • m(t)- saída do controlador • Kp - ganho do controlador

Entrada Saída

Considere o sistema abaixo que representa um servo mecanismo de posição. Estudar o efeito do controlador P no sistema, supondo uma entrada do tipo degrau unitário:

a) Traçando o root locus do sistema:

(Exemplo)

FTMF:

FTMA:

b) Resposta ao degrau unitário (supondo k=5):

(Exemplo)

Controlador Integral

A ação de controle é dada por: ou


Entrada Saída

Controlador Proporcional + Integral

A ação de controle é dada por:


Entrada Saída

ou

Kp - ganho Proporcional Ti - Tempo Integral

Controlador Proporcional + Derivativo



Entrada Saída

ou

Kp - ganho Proporcional TD - Tempo derivativo

Controlador Proporcional + Derivativo

OBS: A ação de controle derivativa tem um caráter antecipativo, o que é uma vantagem, mas tem como desvantagem amplificar sinais de ruído. A ação de controle derivativa em geral não é usada sozinha porque só é efetiva em relação à transitórios.

Considere o mesmo sistema do exemplo anterior, estudar o efeito do controlador PD no sistema supondo uma entrada do tipo degrau unitário:


(Exemplo)

FTMA:


(Exemplo)

Controlador Proporcional + Integral + Derivativo



Entrada Saída

ou

Considere o mesmo sistema do exemplo anterior, estudar o efeito do controlador PD no sistema supondo uma entrada do tipo degrau unitário:


(Exemplo)

FTMA:

KCR=5


Antes de determinar a resposta ao degrau unitário, vamos examinar a estabilidade usando o critério de ROUTH-HURWITZ:

(Exemplo)

(Exemplo)

Conclusão

Controlador - P

Controlador - PD Controlador - PID

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