SISTEMATIZAÇÃO DO CÁLCULO DE PERDAS … · Palavras chaves : Concreto Protendido , Perdas de...
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Instituto Brasileiro do Concreto - 44º Congresso Brasileiro
SISTEMATIZAÇÃO DO CÁLCULO DE PERDAS PROGRESSSIVAS
DE PROTENSÃO
Iberê Martins da Silva (1) ; Edith Silvana Amaury de Souza Tanaka (2) ;
Hideki Ishitani (3)
(1) Mestrando em Engenharia de Estruturas, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo,
Professor Assistente, Universidade Santa Cecília, e-mail : [email protected](2) Professora Assistente, Universidade Santa Cecília, e-mail : [email protected](3) Professor Doutor, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, e-mail : [email protected]
Endereço para correspondência : Rua Oswaldo Cruz, 266 - Boqueirão - Santos – SP CEP: 11045-907
Tel: (0xx13) 3202-7132 - FAX: (0xx13) 3202-7132
Palavras chaves : Concreto Protendido , Perdas de Protensão , Sistematização de Cálculo
Resumo
A Norma NBR-7197 prescreve no seu ítem 8.5.2, processos de determinação
das perdas progressivas decorrentes da retração e fluência do concreto e da
relaxação do aço de protensão. Nesses processos admite-se que existe aderência
entre a armadura e o concreto e que a peça permaneça no estádio I. São descritos
três processos:
1 - para fases únicas de operação (cálculo das perdas progressivas quando se
consideram fases únicas de concretagem, de carregamento permanente e de
protensão);
2 - de expressões simplificadas que simulam resultados obtidos conforme o ítem 1;
3 - o método geral de cálculo.
Sendo válido ressaltar que o projeto de revisão das Normas NBR-6118 e
NBR-7197 mantêm, basicamente, estes procedimentos. O objetivo deste trabalho
consiste em sistematizar o método geral de cálculo das perdas progressivas em
seções compostas de várias fases de concretagem e múltiplas camadas de
armadura, ativas e passivas, com base no método dos prismas.
Será apresentado um programa de computador com a sistematização do
método geral de modo a facilitar o cálculo das perdas progressivas de protensão em
seções usuais de concreto protendido.
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1 – INTRODUÇÃO
No cálculo das perdas progressivas de protensão, decorrentes da retração e
fluência do concreto e da relaxação do aço de protensão, a norma NBR 7197 [1]
prescreve dois procedimentos simplificados e o método geral de cálculo. Sendo os
procedimentos simplificados indicados à fases únicas de operação, ou seja, quando
se consideram fase únicas de concretagem, de carregamento permanente e de
protensão. Esta situação impõe as condições: a concretagem da peça, bem como a
protensão, são executadas em fases suficientemente próximas para que se
despreze efeitos recíprocos; o afastamento dos cabos são suficientemente
pequenos em relação à altura da peça, de modo que possam ser tratados como um
cabo equivalente.
O método geral de cálculo permite considerar ações permanentes aplicadas
em idades diferentes, tratando a seção transversal como camadas discretas, e
também cada camada isolada de armadura. Admitindo a hipótese da manutenção da
seção transversal plana, no cálculo da redistribuição de esforços, Busemann [2]
apresentou uma forma de desacoplar as equações envolvidas, ou seja, tornar a
matriz de elasticidade em matriz diagonal, com a idéia de uma seção concentrada
em dois pontos de áreas A1 e A2 , separadas por uma distância f, desenvolvendo o
Método das Fibras Conjugadas. Neste trabalho elabora-se uma sistematização do
método geral de cálculo através deste conceito, que apresentado por Ferraz [3]
recebe o nome de Método dos Prismas Equivalentes.
Na consideração da deformação lenta do concreto optou-se pela aplicação do
método de Trost-Bazant [2]. A sistematização do cálculo em ambiente Visual Basic
considera o caso clássico de laje concretada sobre viga pré-moldada protendida
para atender a duas idades distintas de concreto como também a várias posições
distintas de camadas de cabos de protensão, e também a inserção das camadas de
armaduras passivas.
No dimensionamento usual de peças de concreto protendido, costuma-se
calcular a redistribuição de tensões na seção crítica, onde o posicionamento dos
cabos torna-se mais adequado à simplificação de cabo equivalente da NBR 7197 [1] .
A sistematização proposta neste trabalho para o método geral de cálculo, a qual
pode ser transformada em ‘macro’ dentro de uma planilha eletrônica, torna simples e
viável o cálculo da redistribuição de tensões em outras seções, assim como já
acontece com a verificação do estado limite último à flexão.
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2 – CONTEÚDO TEÓRICO
2.1 – Fluência, retração e relaxação
A retração e a deformação lenta podem ocasionar efeitos indesejáveis sobre
as estruturas, entre os quais, perdas de protensão em estruturas de concreto
protendido, além de ocasionar uma redistribuição de tensões entre concreto de
idades diferentes. O foco do estudo deste trabalho é o cálculo das perdas
progressivas de protensão; deste modo não serão discutidas as formulações para
avaliação dos fenômenos citados. Na montagem do exemplo numérico foi utilizada a
abordagem da NBR 7197 [1] para retração e deformação lenta.
A retração é a diminuição de volume devido à evaporação de água não
consumida na reação química de pega do concreto, sendo uma deformação que
independe do carregamento. A fluência é o aumento de uma deformação com o
tempo sob ação de cargas ou de tensões constantes, podendo esta ser dividida em
três parcelas: fluência rápida (que ocorre nas nas primeiras 24 horas após a
aplicação da carga), deformação lenta irreversível e deformação lenta reversível. O
efeito da fluência é avaliado através de uma função aplicada sobre a deformação
inicial. Diversos fatores influem na retração e na deformação lenta, entre eles
podemos citar: umidade relativa do ar, idade do concreto no início do carregamento
(maturidade), espessura da peça estrutural, consumos de água e cimento,
temperatura do ar ambiente, natureza dos agregados e a velocidade de
endurecimento do cimento.
A relaxação é a diminuição da tensão inicial, para deformação constante. A
relaxação da armadura de protensão tem seus valores fixados através de ensaios
em função do nível de tensão inicial e da classe de relaxação do aço.
2.1.1 – Método de Trost-Bazant [2]
Nas estruturas de concreto protendido, em muitas situações não podemos
considerar a tensão como constante ao longo do tempo, mas variável, inclusive com
estágios de carga distintos. Avaliando as variações de tensão num instante t através
da fluência , temos:
( ) ( )[ ]oo tt
Et ,1 φ
σε +⋅= ⇒ ( ) ( )[ ]τφ
στε ,1 t
Edtd o +⋅⋅= .
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Sobrepondo as deformações resultantes da variação contínua da tensão
desde o primeiro instante de carregamento to até o instante considerado t, obtém-se
a seguinte expressão para a deformação lenta total:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ττφττσ
φσ
ε dtE
ttE
tt
t
oo
o
⋅+⋅⋅∂
∂++⋅= ∫ ,1
1,1 .
A aplicação desta expressão com a tensão no concreto variável dentro da
integral é muito complicada, fazendo-se necessária a utilização de transformações e
métodos numéricos. No Método de Trost-Bazant transforma-se a expressão acima
em uma algébrica com um coeficiente característico de envelhecimento que pode
ser utilizado para quaisquer coeficientes de fluência dados. Com o objetivo de livrar-
se da integral, define-se o coeficiente característico de envelhecimento (k) :
( ) ( )
( )[ ] ( ) 00,1,
,
<⋅−
⋅⋅∂
∂
=∫
oo
t
t
ttt
dt
k o
φσσ
ττφττσ
.
Obtendo com “k” uma nova expressão para a deformação lenta total:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]oo
oo ttk
E
ttt
Et ,1,1 φ
σσφ
σε ⋅+
−++⋅= .
O conceito do coeficiente característico de envelhecimento torna-se
proveitoso a medida que obtemos uma expressão linear com a fluência para a
variação de tensão. Bazant utilizando a relação com a função relaxação normalizada
conseguiu obter uma fórmula fechada para o coeficiente característico de
envelhecimento. Para as situações usuais de longa duração (idade fictícia do
concreto no instante t superior a 180 dias) pode-se adotar k=0,82 com boa
aproximação.
2.2 – Método dos prismas equivalentes [3]
2.2.1 – Idéia geral
Dada uma seção sujeita à flexão composta, considerando-se a hipótese da
manutenção da seção plana, o diagrama de tensões normais pode ser definido
através de dois pontos, ditos pontos conjugados da seção. Os pontos conjugados de
áreas equivalentes A1 e A2 estão posicionados em relação ao centro de gravidade
da seção tal que y1⋅y2 = -(i2), sendo equivalentes a seção transversal homogenea de
área Ac e momento de inércia I.
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Propriedade 1: uma força norma N1 atuando no ponto conjugado 1 não produz
tensão no ponto conjugado 2, e vice-versa, uma força norma N2 atuando no ponto
conjugado 2 não produz tensão no ponto conjugado 1.
0112
112
1112 =
⋅⋅
−=⋅
−=⋅⋅
+=cccc AI
IN
A
N
I
iN
A
Ny
I
yN
A
Nσ
0222
221
2221 =
⋅⋅
−=⋅
−=⋅⋅
+=cccc AI
IN
A
N
I
iN
A
Ny
I
yN
A
Nσ .
Para a determinação da tensão no ponto conjugado 1 devida à força normal
N1 atuando neste ponto, basta efetuar a divisão de N1 pela área ponderada A1.
2
121
2
11
21
1111
1111 1
1
y
yy
A
N
y
y
A
N
yyA
yy
ANy
I
yN
A
N
ccccc
−⋅=
−⋅=
⋅⋅
⋅−⋅=⋅
⋅+=σ .
fazendo a área ponderada do prisma 1, 21
21 yy
yAA c −
−⋅= , temos:
1
11 A
N=σ .
Do mesmo modo, para o ponto cojugado 2, tem-se:
1
211
1
22
21
2222
2222 1
1
y
yy
A
N
y
y
A
N
yyA
yy
ANy
I
yN
A
N
ccccc
−⋅=
−⋅=
⋅⋅
⋅−⋅=⋅
⋅+=σ .
fazendo a área ponderada do prisma 2, 21
12 yy
yAA c −
⋅= , temos: 2
22 A
N=σ .
Propriedade 2: uma força normal N atuando no centro de gravidade deve ser
dividida conforme os braços de alavanca em relação aos pontos conjugados.
1
1
21
2
21
2
1 A
N
yy
yA
yy
yN
A
N
cc
=
−−
⋅
−−
⋅==σ ,
2
2
21
1
21
1
2 A
N
yy
yA
yy
yN
A
N
cc
=
−⋅
−⋅
==σ .
C.G.
ponto conjugado 2
ponto conjugado 1
y2
y1
Y
prisma 2 , A2
prisma 1 , A1
seção transversal - Ac , I
)( 221 iyy −=⋅
cA
Ii =
Figura 01 – Prismas Equivalentes
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Propriedade 3: para o cálculo das tensões normais provocadas por um
momento fletor M aplicado à seção, basta determinar o binário correspondente ao
braço de alavanca z=y1-y2.
1
1
1
21
2
21
211 A
N
Az
M
yy
yA
yy
M
yA
My
I
M
cc
==
−−
⋅
−=
⋅−=⋅=σ
2
2
2
21
1
21
122 A
N
Az
M
yy
yA
yy
M
yA
My
I
M
cc
=−
=
−⋅
−−
=⋅−
=⋅=σ .
2.2.2 – Aplicação ao cálculo da redistribuição de tensões
Considerando uma seção composta por peças de concreto de diferentes
idades, após assegurado o trabalho conjunto destas peças (continuidade estrutural),
devido à retração diferenciada dos concretos e deformações lentas dos concretos e
das armaduras, ao longo de um tempo t, o diagrama de tensões normais sofrerá
uma redistribuição.
Aplicando o Método dos Prismas Equivalentes, cada peça de concreto é
substituída por um par de prismas que serão posicionados simetricamente em
relação ao centro de gravidade da seção da peça, sendo o módulo da distância
igual ao raio de giração da seção. Cada camada de armadura constitue um prisma.
Deste modo, a redistribuição de tensões pode ser simulada pelas variações das
forças normais Xi correspondentes aos prismas.
Avaliando em cada prisma a variação da deformação devido à retração e à
deformação lenta, temos:
csiiii
ii
i
oii q
AE
X
Eεφ
σε +⋅
⋅+⋅=∆
onde,
( )i
oiii E
tσ
εε −=∆ , ( )oiii tt,φφ = , ( )i
ioii A
Xt =− σσ , ( )oiii ttkq ,1 φ⋅+= .
Lembra-se que para as armaduras, o coeficiente de fluência [φ] é substituído
pelo coeficiente de fluência equivalente de armaduras [χ] dado no item 8.5.2 da
norma NBR 7197 por χ = -ln[1-ψ(t,to)] .
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Com a hipótese da manutenção da seção plana, as deformações nos pontos i
devem obedecer a lei de uma reta: ∆εi = A + B⋅zi ,
icsiiii
ii
i
oi zBAqAE
X
E⋅+=+⋅
⋅+⋅ εφ
σ ⇒ ( )
i
iisci
i
iioii
i
iii q
AE
q
AzBA
q
AEX
⋅⋅−
⋅⋅−⋅+⋅
⋅=
εφσ.
Fazendo uso das equações de equilíbrio da Estática na seção para
determinação dos coeficientes da reta, temos o equilíbrio de forças horizontais:
0=∑i
iX ⇒ 0=⋅⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
⋅+⋅
⋅ ∑∑∑∑i i
iicsi
i i
iioi
ii
i
ii
i i
ii
q
AE
q
Az
q
AEB
q
AEA
εφσ.
Adotando-se para origem das distâncias z, o centro de gravidade da grandeza
⋅
i
ii
q
AE, tem-se 0=
⋅∑i i
ii
q
AE. Logo,
∑
∑∑⋅
⋅⋅+
⋅⋅
=
i i
ii
i i
iicsi
i i
iioi
q
AEq
AE
q
A
A
εφσ
.
No equilíbrio dos momentos em relação a um pólo, escolhido como o centro
de gravidade da grandeza
⋅
i
ii
q
AE, tem-se 0=⋅∑
iii zX ,
02 =⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
−⋅⋅
⋅+⋅⋅
⋅ ∑∑∑∑i
ii
iicsii
i i
iioi
ii
i
ii
ii
i
ii zq
AEz
q
Az
q
AEBz
q
AEA
εφσ
∑
∑∑
⋅⋅
⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=
ii
i
ii
ii
i
iicsii
i i
iioi
zq
AE
zq
AEz
q
A
B2
εφσ
.
Desta forma consegue-se os coeficientes da reta que exprime a deformada da
seção devido à retração e deformação lenta, que aplicados nas equações que
fornecem os esforços em cada prisma, permitem montar a redistribuição de tensões
como também calcular as perdas progressivas nos cabos.
3 – EXEMPLO NUMÉRICO [4]
3.1 – Apresentação do problema
Avaliação da redistribuição de tensões numa viga pré-moldada protendida de
seção constante, já submetida a um estado de tensões prévio, onde é concretada
posteriormente uma laje para formar uma seção “T”. Os dados da seção transversal,
como também do estado inicial de tensões, são fornecidos a seguir:
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Viga pré-moldada protendida: σco1,inf = -14 MPa ; σco1,sup = -8 MPa
Ec1= 30 GPa ; εcs1 = -0,0001 ; φ1 = 2,00
Laje concretada posteriormente: σco2,inf = σco2,sup = 0
Ec2= 24 GPa ; εcs2 = -0,0002 ; φ2 = 3,00
Armaduras de protensão: σpo = 1200 MPa ; Ep = 200 GPa ; χ = 0,05
Ap1 = 35,52 cm2 ; Ap2 = 11,84 cm2 ; Ap3 = 11,84 cm2 ; Ap4 = 11,84 cm2
2520
80 802532,5 32,5
250
90
laje concretada posteriormente
viga pré-moldada protendida
2030
40
Figura 02 – Seção Transversal do Exemplo Numérico
Med
idas
em
[cm
]
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3.2 Resolução
3.2.1 Características das seções
Viga pré-moldada protendida:
Ac1 = 1,15125 m2 ; I1 = 1,12484 m4 ; i1 = 0,98846 m
y1,inf = 1,2922 m ; y1,sup = -1,5578 m ; W1,inf = 0,87048 m3 ; W1,sup = -0,72207 m3
adotando k=0,82 ⇒ q1=1+0,82⋅2,00 ⇒ q1=2,64
Laje concretada posteriormente:
Ac2 = 0,625 m2 ; I2 = 0,0032552 m4 ; i2 = 0,0721688 m
y2,inf = 0,125 m ; y2,sup = -0,125 m ; W2,inf = 0,0260416 m3 ; W2,sup = -0,0260416 m3
adotando k=0,82 ⇒ q2=1+0,82⋅3,00 ⇒ q2=3,46
Armaduras de protensão:
adotando k=0,82 ⇒ qa=1+0,82⋅0,05 ⇒ qa=1,041
3.2.2 Prismas equivalentes
Viga pré-moldada protendida, prismas 1 e 2:
y1 = 0,98846 m ; y2 = -0,98846 m ; A1 = 0,575625 m2 ; A2 = 0,575625 m2
Mpao 19861,985,2
56934,0681 =⋅−−=σ ; Mpao 36055,13
85,2
54626,2682 =⋅−−=σ
φ1 = φ2 = 2,00 ; q1 = q2 = 2,64 ; εcs1 = εcs2 = -0,0001 ; E1 = E2 = 30 GPa
Laje concretada posteriormente, prismas 3 e 4:
y3 = 0,0721688 m ; y4 = -0,0721688 m ; A3 = 0,3125 m2 ; A4 = 0,3125 m2
σo3 = σo4 = 0
φ3 = φ4 = 3,00 ; q3 = q4 = 3,46 ; εcs3 = εcs4 = -0,0002 ; E3 = E4 = 24 GPa
Armaduras de protensão, prismas 5, 6, 7 e 8:
A5 = 0,003552 m2 ; A6 = A7 = A8 = 0,001184 m2 ; σo5 = σo6 = σo7 = σo8 = 1200 MPa
φ5 = φ6 = φ7 = φ8 = 0,05 ; q5 = q6 = q7 = q8 = 1,041 ; εcs5 = εcs6 = εcs7 = εcs8 = 0
E5 = E6 = E7 = E8 = 200 GPa
Tomando como referência a borda inferior, encontramos as coordenadas z,
conseguindo o valor da ordenda do centro de gravidade me relação a
⋅
i
ii
q
AE:
z1 = 0,30374 m ; z2 = 2,28066 m ; z3 = 2,9028312 m ; z4 = 3,0471688 m
z5 = 0,10 m ; z6 = 0,30 m ; z7 = 0,60 m ; z8 = 1,00 m ; zcg = 1,61336 m
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Com os dados acima, sendo zcg a nova origem para as coordendas z, define-
se os coeficientes A e B, e encontra-se os valores de X i :
A = -0,000617779 ; B = 0,000150512
A i φ i q i σ oi ε csi Ε i z i borda inf z i cg
0,575625 2,00 2,640 -13,36055 -0,0001 30000 0,303740 -1,309619
0,575625 2,00 2,640 -9,19861 -0,0001 30000 2,280660 0,667301
0,312500 3,00 3,460 0,00000 -0,0002 24000 2,902831 1,289472
0,312500 3,00 3,460 0,00000 -0,0002 24000 3,047169 1,433810
0,003552 0,05 1,041 1200,00000 0,0000 200000 0,100000 -1,513359
0,001184 0,05 1,041 1200,00000 0,0000 200000 0,300000 -1,313359
0,001184 0,05 1,041 1200,00000 0,0000 200000 0,600000 -1,013359
0,001184 0,05 1,041 1200,00000 0,0000 200000 1,000000 -0,613359
Σ1 Σ2 Σ3 Σ4 Σ5 Σ6 X i
-5,82626 -0,65412 6541,19318 7,63019 0,85665 11218,81700 1,150010
-4,01133 -0,65412 6541,19318 -2,67676 -0,43649 2912,72997 1,281411
0,00000 -0,43353 2167,63006 0,00000 -0,55902 3604,20077 -0,484893
0,00000 -0,43353 2167,63006 0,00000 -0,62159 4456,23528 -0,437802
0,20473 0,00000 682,42075 -0,30982 0,00000 1562,91833 -0,781753
0,06824 0,00000 227,47358 -0,08963 0,00000 392,37202 -0,253737
0,06824 0,00000 227,47358 -0,06915 0,00000 233,59193 -0,243465
0,06824 0,00000 227,47358 -0,04186 0,00000 85,57773 -0,229770
-9,42814 -2,17529 18782,48798 4,44296 -0,76046 24466,44303
X1 = 1150,010 kN ; X2 = 1281,411 kN ; X3 = - 484,893 kN ; X4 = -437,802 kN
X5 = -781,753 kN ; X6 = -253,737 kN ; X7 = -243,465 kN ; X8 = -229,770 kN
Pode-se assim determinar as tensões finais em cada prisma, usando-se o
estado inicial de tensões e esforço normal Xi devido à retração e deformação lenta:
2704,1136255,13360575625,0
010,11501 m
kN−=−=σ ; 2489,697261,9198575625,0
411,12812 m
kN−=−=σ
2658,15513125,0
893,4843 m
kN−=−
=σ ; 2966,14003125,0
802,4374 m
kN−=−
=σ
288,9799111200000003552,0
753,7815 m
kN=+−
=σ ; 210,9856951200000001184,0
737,2536 m
kN=+−
=σ
278,9943701200000001184,0
465,2437 m
kN=+−
=σ ; 250,10059371200000001184,0
770,2298 m
kN=+−
=σ
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3.2.3 – Interpretação dos Resultados
Para obter as tensões finais nas seções de concreto, aplica-se uma regra de
três às tensões encontradas nos pontos conjugados:
223,12037704,1136297692,1
30374,0215,4390inf,1 m
kN−=−⋅
−=σ ⇒ σ1, inf = -12,037 MPa
214,5708489,697297692,1
56934,0215,4390sup,1 m
kN−=−⋅
=σ ⇒ σ1, sup = -5,708 MPa
282,1606658,15511443376,0
0528312,0692,150inf,2 m
kN−=−⋅
−=σ ⇒ σ2, inf = -1,607 MPa
281,1345966,14001443376,0
0528312,0692,150inf,2 m
kN−=−⋅
=σ ⇒ σ2,sup = -1,346 MPa
As tensões nos prismas das armaduras de protensão quando comparadas
com a tensão inicial fornecem os valores das perdas:
1ª camada : σpo = 1200 MPa ; σpf = 979,91 MPa ⇒ perda de 18,34 %
2ª camada : σpo = 1200 MPa ; σpf = 985,70 MPa ⇒ perda de 17,86 %
3ª camada : σpo = 1200 MPa ; σpf = 994,37 MPa ⇒ perda de 17,14 %
4ª camada : σpo = 1200 MPa ; σpf = 1005,94 MPa ⇒ perda de 16,17 %
Abaixo são apresentados os diagramas de tensões normais na seção
estudada nos instantes to e t.
-14,000 MPa
-8,000 MPa
4262,40 kN
1420,80 kN
1420,80 kN
1420,80 kN
-12,037 MPa
-5,708 MPa
3480,65 kN
1167,06 kN
1177,34 kN
1191,03 kN
-1,607 MPa
-1,346 MPainstante to instante t
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3.2.4 – Ambiente Visual Basic
As capturas de tela apresentadas a seguir demonstram a sistematização do
cálculo das perdas progressivas no ambiente Visual Basic, tendo sido resolvido o
exemplo numérico pelo aplicativo.
Figura 03 – Apresentação do Aplicativo
Figura 04 – Entrada de Dados
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Figura 05 – Apresentação dos Resultados
4 – CONCLUSÃO
Neste trabalho podemos notar que o Método dos Prismas Equivalentes
apresenta grande praticidade e facilidade de sistematização do cálculo, seja por
planilha eletrônica ou em aplicativo no ambiente Visual Basic, podendo ser aplicado
como solução no método geral de cálculo para perdas progressivas da NBR 7197,
uma vez que permite a consideração de seções de concreto de idades distintas,
como também camadas de armaduras de protensão e passivas.
Pode-se citar também a utilidade desta sistematização para a avaliação da
redistribuição de tensões e das perdas progressivas, em diversas seções ao longo
da viga, assim como é feito na verificação do estado limite último à flexão; e também
a possibilidade de adaptar o processo para fins de cálculo de redistribuição de
esforços em estruturas hiperestáticas.
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5 – REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
[1] NBR 7197 – Projeto de Estruturas de Concreto Protendido – ABNT , 1989.
[2] Leonhardt, Fritz - Construções de Concreto Vol. 5 – Concreto Protendido , 1983.
[3] Figueiredo Ferraz, José Carlos & Almeida Castanho, José Lourenço Braga –
Efeito da laje concretada posteriormente sobre viga protendida – Boletim Técnico
BT/PEF 8904 , 1969.
[4] Ishitani, Hideki – Estruturas de Concreto Protendido – Notas de Aula PEF 5716 –
EPUSP , 1998.