Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos...
Transcript of Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos...
![Page 1: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/1.jpg)
Sistemas Discretos Lineales
Introducción
Cesareo Raimundez
Depto. de Ingenierıa de Sistemas y Automatica
ETSII-Vigo
Sistemas Discretos Lineales– p. 1/23
![Page 2: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/2.jpg)
TEMA 9 - Sistemas Discretos
• Introducción.
• Muestreo y reconstrucción.
• Teorema de muestreo.
• Aliasing y filtrado.
• La transformada Z.
Sistemas Discretos Lineales– p. 2/23
![Page 3: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/3.jpg)
Motivación
Los sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua quehistóricamente está respaldada por su implementación.
Las leyes de control eran realizadas a través de sub-sistemas de electrónica analógica,(amplificadores operacionales) hidráulicos, (suspensión hidro-neumática) o electro-mecánicos(motores CC, frenos magnéticos) que poseen evolución continua.
Con caída de precios de la electrónica digital y de los procesadores, las leyes de control se puedenrealizar a través de programas almacenados en micro controladores que se comunican con el mundoexterior a través de códigos digitales (numéricos).
El control moderno se efectúa utilizando actuadores electro-mecánicos, hidráulicos, térmicos, etc.cuya evolución se describe a través de leyes en tiempo continuo, actuando sobre plantas quetambién evolucionan de modo continuo, pero cuyas leyes de control se realizan a través deordenadores, micro-controladores, etc., que procesan datos en forma digital codificada (mododiscreto).
En este contexto se hacen necesarios elementos de interfase entre modos: continuo-discreto ydiscreto-continuo.
Sistemas Discretos Lineales– p. 3/23
![Page 4: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/4.jpg)
Esquema Típico de Control Moderno
Sistemas Discretos Lineales– p. 4/23
![Page 5: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/5.jpg)
Tecnologías Comparadas
Sistemas Discretos Lineales– p. 5/23
![Page 6: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/6.jpg)
Elementos Esenciales en el Control Moderno
S-HPlantaHold
Transduc.
D/AA/DPC
Reloj
Actuador
A/D convertidor Analógico-Digital D/A convertidor Digital-AnalógicoHold Mantenedor S-H Muestreo y MantenedorActuador Aplica energía a la Planta PC Procesador (Ordenador)Transduc. Transductor (Observador) Reloj Cadencia de muestreo
Sistemas Discretos Lineales– p. 6/23
![Page 7: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/7.jpg)
Operadores Básicos en el Muestreo
RELOJ Elemento esencial que impone la cadencia de muestreo ysincroniza los tiempos de entrada y salida en el procesador. Demodo general esta cadencia es fija y se conoce como período demuestreo (T ).
MUESTREO Colecta el valor instantáneo de la variable analógica queestá siendo muestreada. La operación de muestreo conlleva auna pérdida de información sobre la señal muestreada.
MANTENEDOR Mantiene el valor (constante) durante un periodo demuestreo.
A/D Convierte una señal analógica (tensión) en un valor digital base 2.
D/A Convierte un valor digital base 2 en una grandeza analógica(tensión).
Sistemas Discretos Lineales– p. 7/23
![Page 8: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/8.jpg)
Señales Comparadas
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7x 10
−3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7x 10
−3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7x 10
−3
Las figuras arriba ilustran el proceso de muestreo con periodo de T = 0.1[s] (segunda figura deizquierda a derecha) y la reconstrucción a través del mantenedor (tercera figura de izquierda aderecha).
Sistemas Discretos Lineales– p. 8/23
![Page 9: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/9.jpg)
Pérdida de Información
En el muestreo de señales puede ocurrir pérdida de información como puede observarse en elejemplo que sigue:
f(t) = 3 cos(2πt) + cos(20πt+π
3)
efectuando muestreo con periodo T = 0.1 queda:
f(kT ) = 3 cos(0.2kπ) + cos(2kπ +π
3) = 3 cos(0.2kπ) + 0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Sistemas Discretos Lineales– p. 9/23
![Page 10: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/10.jpg)
Pérdida de Información
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−3
−2
−1
0
1
2
3
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−3
−2
−1
0
1
2
3
Sistemas Discretos Lineales– p. 10/23
![Page 11: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/11.jpg)
Teorema de Reconstrucción (Shannon)
Si las frecuencias que componen la señal f(t) son limitadas por lafrecuencia ωm, para que la reconstrucción de la señal después delmuestreo no presente pérdida de información es necesario ysuficiente que el muestreo se efectúe con una frecuencia ωs queobedezca la relación
ωs ≥ 2ωm
En la práctica se utiliza
ωs ≥ 5ωm
Sistemas Discretos Lineales– p. 11/23
![Page 12: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/12.jpg)
Operación de Muestreo
La señal f(t) después de someterse a muestreo con cadencia T indicada por f(t)∗ se transformaen
f∗(t) =
k=∞∑
k=0
f(kT )δ(t− kT )
donde δ(t) es la función impulso. Transformando Laplace el conjunto, se obtiene
L[f∗
(t)] = F∗
(s) =
k=∞∑
k=0
f(kT )e−skT
llamando z = esT se puede representar también
F∗(s) =
k=∞∑
k=0
f(kT )z−k = Z[f(t)]
Sistemas Discretos Lineales– p. 12/23
![Page 13: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/13.jpg)
Ejemplos de TransformadaZ
La transformación Z[f(t)] = F∗(s) =∑k=∞
k=0 f(kT )z−k se llama transformada Z de la funciónf(t) con periodo T . Supondremos que |z| > 1.
Z[1(t)] =k=∞∑
k=0
z−k =
z
z − 1
Z[t1(t)] = T
k=∞∑
k=0
kz−k
= −Tzd
dz
k=∞∑
k=0
z−k
= Tz
(z − 1)2
y para eαT < |z|
Z[eαt
1(t)] =
k=∞∑
k=0
eαTk
z−k
=
k=∞∑
k=0
(eαT
)kz−k
=z
z − eαT
Sistemas Discretos Lineales– p. 13/23
![Page 14: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/14.jpg)
Propiedades Importantes deZ
Z[y1 ± y2] = Z[y1]±Z[y2]
Z[αy] = αZ[y]
Z[yk−n] = z−nY (z)
Z[yk+n] = zn(Y (z)−∑
k=n−1
k=0yk)
Z[αkyk] = Y (α−1z)
lımk→0 yk = lımz→∞ Y (z)
lımk→∞ = lımz→1(1− z−1)Y (z)(?)
Y1(z)Y2(z) = Z[∑
n
k=0ykyn−k] = Z[y1 ∗ y2]
(?) si (1 − z−1)Y (z) no tiene polos en |z| ≥ 1
Sistemas Discretos Lineales– p. 14/23
![Page 15: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/15.jpg)
Ecuaciones de Diferencias Lineales
Las ecuaciones de diferencias lineales tienen la estructura
yk+1 + a1yk + a0yk−1 = b1uk + b0uk−1
donde a1, a0, b1, b0 son constantes. Aplicando la transformada Z a esta ecuación y teniendo encuenta que:
∞∑
k=0
yk+pz−k = z
p∞∑
j=0
yjz−j = z
pZ(y)
(se utilizó la substitución j = k + p y se supuso que yj = 0 para j = 0, 1, · · · , j − 1
representando las condiciones iniciales de la ecuación) obtendremos:
(z + a1 + z−1
a0)Z(y) = (b1 + z−1
b0)Z(u) (cc.ii nulas)
y entonces
Z(y)
Z(u)=
b1z−1 + b0z
−2
1 + a1z−1 + a0z−2
Sistemas Discretos Lineales– p. 15/23
![Page 16: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/16.jpg)
Discretización de Operadores Diferenciales
La discretización de operadores diferenciales con período de muestreo T constante, generaecuaciones de diferencias. La discretización de Euler conlleva a:
dy
dt
∣
∣
∣
t=kT≈
y(kT ) − y((k − 1)T )
T=
yk − yk−1
T
Para el sistema mecánico masa muelle rozamiento perturbado con la fuerza u y coordinada x
tendremos:
{mx + νx + Kx = u} =⇒
{
m
T 2(xk − 2xk−1 + xk−2) +
ν
T(xk − xk−1) + Kxk = uk−1
}
Para el controlador PI tendremos:
{
u(t) = kpe(t) + ki
∫
e(τ)dτ
}
=⇒
uk+1 ≈ kpek + kiT
j=k∑
j=0
ej
que también puede ser representado como
uk+1 = uk + kp(ek − ek−1) + kiTek
Sistemas Discretos Lineales– p. 16/23
![Page 17: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/17.jpg)
Resolución de Ecuaciones de Diferencias
Sea el problema de determinar la respuesta a escalón (muestreado) de la función de transferencia
G(z) =b1z
−1 + b0z−2
1 + a1z−1 + a0z−2con T = 1, a1 = −1.1, a0 = 0.3, b1 = 1, b0 = 3.
Y [z] =z−1 + 3z−2
1 − 1.1z−1 + 0.3z−2
1
1 − z−1=
z + 3
z2 − 1.1z + 0.3
z
z − 1
Expandiendo
Y [z] = −90
z − 0.6−
70
z − 0.5+
20
z − 1
anti-transformando con condiciones iniciales nulas
Z−1
[y] = −Z−1
[
z−1 90z
z − 0.6
]
+ Z−1
[
z−1 70z
z − 0.5
]
+ Z−1
[
z−1 20z
z − 1
]
∞∑
k=0
ykδ(t − k) = −90
∞∑
k=0
eα1k
δ(t − k + 1) + 70
∞∑
k=0
eα2k
δ(t − k + 1) + 20
∞∑
k=0
δ(t − k + 1)
con α1 = −0.51, α2 = −0.69
Sistemas Discretos Lineales– p. 17/23
![Page 18: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/18.jpg)
Resolución de Ecuaciones de Diferencias
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Sistemas Discretos Lineales– p. 18/23
![Page 19: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/19.jpg)
Reconstrucción
Sea la función Π(t) = 1(t) − 1(t − T ). La señal de f(t) reconstruida a partir del muestreo conperiodo T puede ser formulada como
H(f∗
(t)) = f(t) =
k=∞∑
k=0
f(kT )Π(t− kT )
que transformando Laplace
L[f(t)] =
k=∞∑
k=0
f(kT )L[Π(t)]e−skT
=1 − e−sT
s
k=∞∑
k=0
f(kT )e−skT
arreglando los términos se llega a
L[f(t)] = f(0)1(t) +k=∞∑
k=1
[f(kT ) − f((k − 1)T )]1(t− kT )
Sistemas Discretos Lineales– p. 19/23
![Page 20: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/20.jpg)
Evaluación deF ∗(s)
Sea δT (t) =
k=∞∑
k=0
δ(t − kT ). Se verifica:
f∗
(t) = δT (t)f(t) ∴ L[f∗
(t)] = ∆T (s) ∗ F (s) = F∗
(s)
donde
∆T (s) = 1 + e−sT
+ e−2sT
+ · · · =1
1 − e−sT
Se puede llegar a las expresiones equivalentes
F∗(s) =
k=∞∑
k=0
f(kT )e−kTs
F∗(s) =∑
polos F (λ)
{
residuos deF (λ)1
1 − e−T (s−λ)
}
F∗(s) =1
T
k=∞∑
k=0
F (s + jkωs) +f(0)
2
Sistemas Discretos Lineales– p. 20/23
![Page 21: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/21.jpg)
Evaluación deF ∗(s) - Ejemplo
Determinar F∗(s) siendo que:
F (s) =1
(s + 1)(s + 2)
F (λ)1
1 − e−T (s−λ)=
1
(λ + 1)(λ + 2)(1 − e−T (s−λ))
F∗(s) =∑
polos F (λ)
{
residuos de F (λ)1
1 − e−T (s−λ)
}
=∑
polos F (λ)
{
residuos de
(
1
(λ + 1)(λ + 2)
)
1
1 − e−T (s−λ)
}
=1
(λ + 2)(1 − e−T (s−λ))
∣
∣
∣
λ=−1+
1
(λ + 1)(1 − e−T (s−λ))
∣
∣
∣
λ=−2
=1
1 − e−T (s+1)−
1
1 − e−T (s+2)
Sistemas Discretos Lineales– p. 21/23
![Page 22: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/22.jpg)
Evaluación deF ∗(s) - Ejemplo
Determinar F∗(s) siendo que:
F (s) =β
(s2 + β2)=
β
(s − jβ)(s + jβ)
F∗(s) =∑
polos F (λ)
{residuos de }β
(λ − jβ)(λ + jβ)(1 − e−T (s−λ))
=β
(λ + jβ)(1 − e−T (s−λ))
∣
∣
∣
λ=jβ+
β
(λ − jβ)(1 − e−T (s−λ))
∣
∣
∣
λ=−jβ
=1
2j
(
1
1 − e−sT ejβT−
1
1 − e−sT e−jβT
)
=e−sT sin(βT )
1 − 2e−sT cos(βT ) + e−2Ts
Sistemas Discretos Lineales– p. 22/23
![Page 23: Sistemas Discretos Lineales - Universidade de Vigocesareo.webs.uvigo.es/Sistemas_Discretos.pdfLos sistemas tratados hasta el momento lo fueron dentro de una formulación continua que](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042109/5e89c0704f6f2455b6625d90/html5/thumbnails/23.jpg)
Relación entre el planoz y el plano s
Una vez que f∗(t) ⊂ f(t) se puede afirmar que si f(t) es una respuesta estable de un sistemalineal, f∗(t) lo será también de un sistema muestreado lineal estable. Los sistemas estables en el
plano s poseen sus polos en C−. Utilizando la transformación z = esT se concluye que los
sistemas muestreados estables deberán tener sus polos ubicados en |z| < 1. La representación dez es periódica pues
s = σ + jω =⇒ z = eσT
ejωT
siendo el periodo fijado por: ωs =2π
T
ωT
ω
eσT
|z| < 1ωs
2
−ωs
2
σ
C−
00⇐⇒
Sistemas Discretos Lineales– p. 23/23