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Sistemas Digitais Módulo 8
Introdução aos Circuitos Aritméticos
Graduação em Sistemas de Informação
Disciplina: Sistemas Digitais
Prof. Dr. Daniel A. Furtado
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação
Prof. Daniel A. Furtado
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Operações XOR e XNOR - Relembrando
XOR – Exclusive-OR
• O resultado é verdadeiro sempre que as duas entradas forem opostas;
• Representação: ⊕,
• 𝐀 𝐁 + 𝐀𝐁 = 𝐀⊕𝐁
XNOR – Exclusive NOR
• Negação do XOR
• O resultado é verdadeiro sempre que as duas entradas forem iguais;
• Porta XNOR:
• 𝐀𝐁 + 𝐀 𝐁 = 𝐀⨁𝐁
Prof. Daniel A. Furtado
A B 𝐀 ⊕ 𝐁
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B 𝐀 ⊕ 𝐁
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Adição Binária – Relembrando
Ref.: Prof. Daniel Abdala Prof. Daniel A. Furtado
1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
+ 1 1 0 0 0 0 0 0
Bits da 1ª parcela
Bits da 2ª parcela
Bits de carry (“vai um”)
Bits do resultado
FA0
Bn
An
C𝑖𝑛
Sn
Cout Representação do procedimento de soma dos bits na n-ésima posição de dois números (capaz de resolver uma coluna na soma ilustrada acima)
𝐶𝑖𝑛 = “vai um” gerado pela última adição (à direita de n); 𝐶𝑜𝑢𝑡 = “vai um” gerado pela adição dos bits da posição n; 𝑆𝑛 = Bit do resultado (soma) de 𝐴𝑛 com 𝐵𝑛.
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Somador Binário Paralelo
Prof. Daniel A. Furtado
FA0
B0
A0
C0
S0
FA0
B1
A1
C1
S1
FA0
B2
A2
C2
S2
FA0
B3
A3
C3
S3
FA0
B4
A4
C4
S4
C5
Bits da 2ª parcela a ser somada
Bits da 1ª parcela a ser somada
Bits do resultado da soma
• 𝐶0, 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, 𝐶5 são bits de carry (“vai um”)
• FA = Full Adder (somador completo)
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Projeto de um Somador Completo
Prof. Daniel A. Furtado
Bit da 1ª parcela a ser
somada
Bit da 2ª parcela a ser
somada
Entradas de bits do carry
Bit de saída do resultado da
soma
Bit de saída do carry
A B Cin S Cout
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
S = A B Cin + A BC in + AB C in + ABCin
Cout = A BCin + AB Cin + ABC in + ABCin
Somador
Completo
(FA)
B
A
Cin
S
Cout
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Projeto de um Somador Completo - Simplificando
Prof. Daniel A. Furtado
𝐒 = A B Cin + A BC in + AB C in + ABCin
= A B Cin + BC in + A B C in + BCin
= A B⊕ Cin + A(B⊕ Cin)
= A ⋅ X + A ⋅ X (fazendo 𝑋 = 𝐵⊕ 𝐶𝑖𝑛)
= A⊕ X
= 𝐀 ⨁ (𝐁 ⨁ 𝐂𝐢𝐧)
𝐂𝐨𝐮𝐭 = A BCin + AB Cin + ABC in + ABCin
= A BCin + AB Cin + ABC in + ABCin + ABCin + ABCin
= BCin A + A + ACin B + B + AB C in + Cin
= 𝐁𝐂𝐢𝐧 + 𝐀𝐂𝐢𝐧 + 𝐀𝐁
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Projeto de um Somador Completo
Prof. Daniel A. Furtado
S = 𝐀 ⨁ (𝐁 ⨁ 𝐂𝐢𝐧)
Cout = 𝐁𝐂𝐢𝐧 + 𝐀𝐂𝐢𝐧 + 𝐀𝐁
Somador Completo
Representação 1 (entradas à esquerda e saídas à direita)
FA0
Bn
An
C𝑖𝑛
Sn
Cout
Representação 2 (entrada superior, inferior e à direita)
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E se tivéssemos utilizado o mapa K para simplificar?
Observe que a saída S não pode ser simplificada com o mapa de Karnaugh;
Entretanto, para a saída 𝐶𝑜𝑢𝑡, encontramos uma expressão igual àquela obtida com o método algébrico.
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Somador Paralelo de 2 Bits
Prof. Daniel A. Furtado
𝐶0 𝐶1 𝐶2
𝐵1 𝐵0
𝑆0 𝑆1
𝐴1 𝐴0
Bits do 1º número
Bits do 2º número
Bits do resultado da soma
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Somador Completo x Meio Somador
Conforme observado, um somador completo opera com três entradas para gerar uma soma e um carry como saídas;
Em alguns casos, é necessário somar apenas os dois bits de entrada, para gerar uma soma e um carry como saídas;
Esse circuito é denominado meio somador (half adder, HA).
Prof. Daniel A. Furtado
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Diagrama de um Meio Somador
Prof. Daniel A. Furtado
Meio
Somador
(HA)
B
A
S
Cout
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Projeto de um Meio Somador
Prof. Daniel A. Furtado
Bits da 1ª parcela a ser
somada
Bits da 2ª parcela a ser
somada
Saída de bits do resultado
da soma
Saída de bits do carry
A B S Cout
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
1 0
1 0
0 1
S = A B + AB = A⊕ B
Cout = AB S
Cout
B
A
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Subtração Binária – Relembrando
Semelhante à subtração de números decimais;
Exemplos:
1 0 0 1 0 1 (37) 0 0 1 0 1 1 (11) −
1
0 1 1 0 1 0 (26)
1 1
1 0 0 1 1 1 0 0 (156) 0 1 0 1 0 0 1 1 (83) −
1
0 1 0 0 1 0 0 1 (73)
1 1 0 0 0 0
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Projeto de um Subtrator Completo
Prof. Daniel A. Furtado
Bits minuendo
Bits do subtraendo
Carry de entrada (“descontar do emp. á direita”)
Carry de saída (“pegar emprestado
da esquerda”)
Resultado da subtração
A B Cin Cout S
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
S = A B Cin + A BC in + AB C in + ABCin
𝐒 = 𝐀 ⨁ (𝐁 ⨁ 𝐂𝐢𝐧)
Cout = A B Cin + A BC in + A BCin + ABCin
Cout = A B + A Cin + BCin
Subtrator
Completo
(FS)
B
A
Cin
S
Cout
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Circuito de um Subtrator Completo
Prof. Daniel A. Furtado
A
B
𝐶𝑖𝑛
𝐶𝑜𝑢𝑡
S
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Subtração no Sistema de Complemento de 2
Prof. Daniel A. Furtado
𝐵1 𝐵0
𝑆0 𝑆1
𝐴1 𝐴0
𝐶0 = 1
Inversão dos bits do subtraendo
Fazendo 𝐶0 = 1, adicionamos 1 ao subtraendo invertido (complemento de 2)
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Subtração no Sistema de Complemento de 2
Prof. Daniel A. Furtado
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Referências e Recomendações
TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: princípios e aplicações. 11.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
• Leitura recomendada: páginas 269-273; 275-278
CAPUANO, F. G.; IDOETA, I. V. Elementos de Eletrônica Digital. 40.ed. São Paulo: Érica, 2008.
• Leitura recomendada: páginas 210-220.
Prof. Daniel A. Furtado