Sistemas de Numeração - decom.ufop.br§ão.pdf · Sistema Binário de Numeração –Conversão...
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UNIPAC – Sistemas DigitaisUNIPAC – Sistemas Digitais
Sistemas de Numeração
Engenharia da Computação– 3° Período
Alex Vidigal Bastos
1
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Agenda
� Objetivos
� Introdução
� Sistema Binário
� Sistema Octal
� Sistema Hexadecimal
� Aritméticas no Sistema Binário
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Objetivos
� Fundamentar os principais Sistemas de Numeração utilizados no
ambiente computacional e de eletrônica
� Fornecer e exercitar, de forma consistente, as técnicas de conversão
entre sistemas de numeração
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Introdução
Ao longo dos tempos foram desenvolvidos, pelo homem, inúmeros sistemas de
numeração, em função da sua necessidade de quantificar. Dentre os quais, nesta
disciplina, estudaremos os principais até então desenvolvidos:
� Sistema Decimal
� Sistema Binário
� Sistema Octal
� Sistema Hexadecimal
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário de Numeração - Conceito
Trata do sistema de numeração no qual existem apenas 2 algarismo:
� o algarismo 0 (zero)
� o algarismo 1 (um)
Como exemplo, a tabela abaixo exibe a sequência de numeração do sistema
binário até a quantidade nove:
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário de Numeração – Conversão Binário x Decimal
Este tipo de conversão é necessária, pois é complicado percebermos, de prontidão, a
quantidade que um número binário representa. Principalmente se o mesmo possuir vários
bits. Para explicar a conversão, utilizaremos, como exemplo, o número decimal 594.
594 = 5 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1
centena dezena unidade
5 x 10² + 9 x 10¹ + 4 x 10
Ou seja, de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no
somatório de cada algarismo correspondente multiplicado pela base (neste caso a base 10)
elevada por um índice conforme posicionamento do algarismo no número (...+ X . BaseY +....) .
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário de Numeração – Conversão Binário x Decimal
Considerando o conceito de formação básico de um número, podemos, para um
número binário, obter a mesma equivalência. Convertendo assim o número binário
para o sistema decimal. Tomemos como exemplo o número binário – 101:
0
0
Nota: a partir de agora, para melhor identificação do
número, colocaremos como índice a base do sistema
ao qual o número pertence. Ex: 510 = 1012
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário de Numeração – Conversão Decimal x Binário
Tal como a conversão do sistema binário para o sistema decimal, é necessário
que façamos a conversão inversa, ou seja, sistema decimal para o sistema binário.
Neste caso, utilizaremos o método conhecido como: Divisões Sucessivas – que
consiste em:
� efetuar-se sucessivas divisões pela base a ser convertida (no caso o 2)
até o último quociente possível;
� compor o número, convertido, a partir do último quociente e todos os
restos encontrados, considerando a ordem inversa às divisões;
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário de Numeração – Conversão Decimal x Binário
Para exemplificarmos esta conversão, vamos utilizar o número 47.
O último quociente será o algarismo mais
significativo e ficará colocado à esquerda. O
demais algarismos seguem na ordem até o 1º
resto (algarismo menos significativo)
1011112 = 4729
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário de Numeração – Conversão Binário Fracionário x Decimal
E se aparece um número binário fracinonário????
Para exemplificar esta questão, tomemos como exemplo o número 10,510 e
apliquemos o conceito de formação básico de um número:
Para números binários agimos da mesma
forma, tomemos como exemplo o número
101,1012:
101,1012 = 5,62510
10
-10
0 -1
0 -1 -2 -3
0 -1 -2 -3
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário de Numeração – Conversão Decimal Fracionário x Binário
Agora, façamos a conversão inversa, ou seja, decimal fracionário para binário.
Como exemplo, vamos transformar o número 8,375 ( 8 + 0,375). O método para
realizar esta conversão consiste em:
� Converter a parte inteira, de acordo com o método de divisões sucessivas;
� Converter a parte fraciónária, através da regra que consiste na
multiplicação sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, a ser
convertida (neste caso 2), até atingir zero;
� Compor o número fracionário convertido pelos algarismos inteiros
resultantes, de acordo com a ordem da multiplicação; 11
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário de Numeração – Conversão Decimal Fracionário x Binário
� Passo 1 (conversão da parte inteira)
810 = 10002
� Passo 3 (composição do número)
8,37510 = 1000,0112
� Passo 2 (conversão da parte fracionária)
Quando atingirmos o número 1, e a parte do número
após a virgula não for nula, separamos esta última e
reiniciamos o processo.
0,37510 = 0,0112
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Octal de Numeração – Conceito
Trata-se do sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos, assim enumerados:
� 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Atualmente, o sistema Octal praticamente não é utilizado no campo da
eletrônica digital. Abaixo é exiba a sequência de numeração do sistema
octal até a quantidade nove:
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Octal de Numeração – Conversão Octal x Decimal
Para realizar esta operação também é utilzado o conceito básico de formação de
um número. Tomemos como exemplo o número 144:
15
1448 = 10010
0
0
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Octal de Numeração – Conversão Decimal x Octal
O processo é análogo à conversão do sistema decimal para o binário, somente
que neste caso utilizamos a divisão por 8 (base do sistema octal).
16
9210 = 1348
Tomemos como exemplo o número 9210:
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Octal de Numeração – Conversão Octal x Binário
Para realizar esta conversão é utilizada a seguinte regra:
� Converter cada algarismo, do número a ser convertido, no seu
correspondente em binário (respeitar o número de bits do sistema);
� Compor o número em octal, de acordo com as conversões realizadas;
Tomemos como exemplo o número 278:
17
278 = 101112
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Octal de Numeração – Conversão Binário x Octal
Para realizar esta conversão é utilizada a seguinte regra:
� Separar o número a ser convertido em grupos de 3 bits a partir da direita;
� Efetuar a conversão de cada grupo diretamente para o sistema decimal;
� Compor o número com a junção dos algarismos encontrados
Tomemos como exemplo o número 1100102:
18
Grupo1: 110 Grupo2: 010
1100102 = 628
Nota: no caso do último grupo se
formar incompleto, adiciona-se 0
à esquerda, até completar 3 bits.
0
0
0
0
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal de Numeração – Conceito
Trata-se do sistema de base 16 no qual existem 16 algarismos, assim enumerados:
� 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Este sistema de numeração é muito utilizado na área de microprocessadores
e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais. Sendo
este aplicado em sistemas de software e hardware.
20
A seguir é exiba a sequência de
numeração do sistema hexadecimal até a
quantidade 20:
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal de Numeração – Conversão Hexadecimal x Decimal
Este tipo de conversão é análoga à de outros sistemas, porém utilizando a base
16. Tomemos como exemplo o número 3F16
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Sendo F16 = 1510 substituindo temos:
3F16 = 6310
0
0
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Sistema Hexadecimal de Numeração – Conversão Decimalx hexadecimal
Conforme nos casos anteriores, esta conversão se faz através de divisões
sucessivas pela base do sistema a ser convertido. Tomemos como exemplo o número
100010:
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Sendo 1410 = E16 substituindo temos:
100010 = 3E816
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal de Numeração – Conversão Hexadecimal x Binário
Esta conversão é análoga à conversão do sistema octal para o sistema binário,
porém com a particularidade de ser necessário 4 bits para representar cada algarismo
hexadecimal.
Tomemos como exemplo o número C1316:
23
C16 � 1210 , portanto; 116 � 110 � 00012 (considerando 4 bits)
316 � 310 � 00112 (considerando 4 bits)
C16 = 11002
C1316 = 1100000100112
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Sistema Octal de Numeração – Conversão Binário x Hexadecimal
Esta conversão é análoga à conversão binário x octal, porém, neste caso os
agrupamentos consideram 4 bits :
Tomemos como exemplo o número 100110002:
24
Grupo1: 1001
100110002 = 9816
Nota: no caso do último grupo se formar
incompleto, adiciona-se 0 à esquerda, até
completar 3 bits.
Grupo2: 1000
9 8
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Operações Aritméticas no Sistema Binário
A partir deste ponto serão estudadas a principais operações aritméticas no
sistema binário de numeração. Tais operações são de suma importância nas áreas da
eletrônica digital e dos microprocessadores (ex: ao estudarmos os circuitos
combinacionais aritméticos).
Serão estudas as seguintes operações:
� Adição
� Subtração
� Multiplicação
� Divisão ?????26
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Operações Aritméticas no Sistema Binário - Adição
A adição no sistema binário, comporta-se conforme adição convencional, porém,
considerando somente os 2 algarismos existentes (0 e 1).
Tomemos como exemplos as adições 112 + 102 e 1102 + 1112
27
112 + 102 = 1012 1102 + 1112 = 11012
1
1 + 1 = 0 e transporta 1 (carry)
11
1
Nota: o transporte acumulado para a sequência 1 + 1 + 1 + 1 = 10
1
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Operações Aritméticas no Sistema Binário - Subtração
A subtração no sistema binário é análoga à subtração no sistema decimal.
Tomemos como exemplos as adições 112 + 102 e 1102 + 1112
2810002 - 1112 = 00012
carry
1
Nota: nesta operação temos uma particularidade: no caso 0 – 1, o
resultado será igual a 1, porém havendo um transporte (carry) para a
coluna seguinte, que deverá ser acumulado no subtraendo e, obviamente,
subtraído do minuendo. Tomemos como exemplo a subtração: 10002 - 1112
carry
1
1carry
1 1
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Operações Aritméticas no Sistema Binário - Multiplicação
A multiplicação no sistema binário procede como multiplicação no sistema
decimal.
Desta maneira temos:
29
1102 + 1112 = 11012
1
Tomemos como exemplo a multiplicação: 110102 x 102
Tabela Verdade da Porta And
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Operações Aritméticas no Sistema Binário - Divisão
A divisão de números binários é a mais complexa das operações aritméticas
binárias, pois abrange operações de multiplicação e subtração. A mesma não será
abordada neste curso, pois não a utilizaremos no estudo dos circuitos digitais.
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Notação dos Números Binários Positivos e Negativos
Vejamos, agora, como representar os números binários positivos e negativos
� Representação através do sinais “+” ou “-”
� Na prática tais sinais não podem ser utilizados, uma vez que os hardwares dos sistemas
digitais que processam operações aritméticas e microcomputadores, por exemplo, estes
sinais não são reconhecidos, visto que tudo deve ser codificado em 0 ou 1;
� Representação através do Sinal-módulo
� Representação através de um bit de sinal colocado à esquerda, na posição de algarismo
mais significativo. Se o número for positivo, o bit de sina será 0, se o número for negativo
este será 1
323510 = 1000112 � 01000112 / 7310 = 10010012 � 110010012
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Notação dos Números Binários Positivos e Negativos
� Representação através do complemento de 2 (binários negativos)
� Obter o complemento de 1 do número � se dá pela troca de cada bit do número pelo
seu inverso ou complemento;
� Somar 1 ao complemento de 1 do número binário inicial;
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Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Notação dos Números Binários Positivos e Negativos
A título de exemplo, a seguir é exibida uma tabela com a sequência de números binários positivos e
negativos (-910 a +1010), em 4 bits, utilizando a notação do complemento de 2:
34
Nota 1: através desta tabela é possível notar que os números positivos na notação do
complemento de 2 recebem representação normal. Desta maneira nos sistemas digitais, para
se efetuar uma diferenciação, utiliza-se um bit de sinal a mais, que colocado à esquerda do
número indica se este é positivo.
Nota 2: a conversão inversa, ou seja, complemento de 2 para binário normal é bem simples,
basta determinar novamente o complemento de 2 do resultado
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Notação dos Números Binários Positivos e Negativos - Complemento de 2 em Operações Aritméticas
A notação do complemento de 2 pode ser utilizada para efetuar operações diversas que
envolvam soma ou subtração, ou seja, operações que envolvem números positivos e negativos.
A solução é simples, basta determinar o complemento de 2 do número negativo, com o
mesmo número de bits do outro membro da operação e realizar a soma, desconsiderando, se
houver, o estouro do número de bits no resultado.
Tomemos como exemplo a operação: 110101112 + 1001012 (N1 + (-N2))
35
X
Estouro do nº de bits