Noções básicas de computação – Sistemas de Numeração

Profª Jocelma RiosMar/2012

O que pretendemos hoje:

● Contar um pouco sobre a origem dos números e dos sistemas de numeração

● Apresentar alguns sistemas de numeração utilizados no passado e atualmente

● Mostrar as possibilidades de conversão entre os sistemas de numeração vinculados à computação

● Refletir sobre a relação entre os sistemas de numeração estudados e o processamento computacional

A origem dos números

Na pré- história, será que os homens já contavam?

A origem dos números

● Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos conhecer um pouco da história humana, que pode ser feito através de:

– estudo das ruínas de antigas civilizações– estudo de fósseis – estudo da linguagem escrita – avaliação do comportamento de diversos

grupos étnicos desde o princípio dos tempos

A origem dos números

A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, voltadas para sua “civilização”, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo

O homem começou a produzir alimentos, construir casas e domesticar animais, aproveitando-se dos mesmos através do uso da lã e do leite, tornando-se criador e desenvolvendo o pastoreio... tudo isso trouxe profundas modificações na vida humana

A origem dos números

Olhando ao redor, podemos observar como é grande a presença dos números...

A origem dos números

● As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, desenvolveram-se há cerca de 10 mil anos na região que hoje fica o Oriente Médio

● A agricultura passou a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua, e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário

A origem dos números

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho.

Assim, eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

A origem dos números

No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro.

No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco.

Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais, e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra.

A origem dos números

● A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa “pedrinha”

● A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação

Representação numéricaCom o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos

O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental

Numeração egípcia

Os egípcios usavam um sistema de agrupamento Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.simples, com base 10.

Numeração Maia

Senso numérico

● Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção

● O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental

"Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números."

História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.

Senso numérico

Temos também alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades

Existe um exemplo célebre sobre um corvo que um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidade...tinha capacidade de reconhecer quantidade...

Um corvo que sabia contar...

Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. corvo saía do ninho.

Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. do ninho.

De uma árvore distante, ele esperava atentamente De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho.ao ninho.

Um corvo que sabia contar...

Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2 Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2 homens entraram na torre, um ficou dentro e o homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com 3 e 4 homens, ainda sem nos dias subsequentes com 3 e 4 homens, ainda sem sucesso.sucesso.

Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes, Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz de Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente ao distinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente ao ninho e foi surpreendido.ninho e foi surpreendido.

Sistema de numeração egípcio

● Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dezbase dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:

Sistema de numeração egípcio

● Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33

Saiba mais: http://nucibmlenematematica.blogspot.com.br/2009/06/um-pouco-da-historia-da-matematuca.html

Sistema de numeração babilônico

● Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado há, aproximadamente, 4 mil anos

Sistema de numeração indo-arábico

● Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão

● O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade; o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade; e o número 3 significava muitos, multidão

Saiba mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

Sistema de numeração hindu

● Evolução aos longo da história

Sistema de numeração - comparativo

Ábaco● Antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem que podem fazer-se deslizar livremente

● Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos, apesar dos chineses também serem apontados como seus inventores

● Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez

Saiba um pouco mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco

Ábaco

● No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais

● No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular

Sistemas de numeração

● Como existem infinitas quantidades, não é possível criar um símbolo para cada uma. Assim, para resolver este problema, foram desenvolvidos os sistemas de numeração

● Portanto, um sistema de numeração é um conjunto sistema de numeração é um conjunto finito de símbolos somado a uma lei de formação finito de símbolos somado a uma lei de formação que permite representar qualquer quantidadeque permite representar qualquer quantidade

● Podem ser classificados em:– Sistemas de Numeração Posicionais– Sistemas de Numeração Não Posicionais

Sistema de numeração não-posicional

● Neles, cada símbolo, independente da posição, representa um único valor, como é o caso do sistema romano

É composto de um conjunto de sete símbolos {I,V,L,C,D,M} capazes de representar uma grande variedade de números, com base numa lei de formação, porém não é possível representar qualquer quantidade como o zero por exemplo

Sistema de numeração não-posicional

● Sistema romano – é dito não-posicional...por exemplo, IV e

VI representam 4 e 6 respectivamente, contudo I e V representam 1 e 5 em ambos os numerais

– No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso, a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado, em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa

Sistemas de numeração posicional

● Nos sistemas de numeração posicionalsistemas de numeração posicional, o valor do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número

– 1989 = 1000 + 900 + 80 + 9– 1989 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100

● Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito

● Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária

– 1989,4 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100 + 4*10-1

Sistemas de numeração posicional● A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos

Bases de sistemas de numeração

● A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação

● A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada

● No comércio, pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de parafusos (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60)

● Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como a base 16 ou sistema hexadecimal ou eventualmente ainda a base 8 ou sistema octal

Bases de sistemas de numeração

● Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

● Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1● Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades

● Generalizando, temos que uma Generalizando, temos que uma base bbase b qualquer qualquer disporá de disporá de bb algarismos, variando entre 0 e (b-1) algarismos, variando entre 0 e (b-1)

Bases de sistemas de numeração posicional

● Sistema Decimal → Base 10→ Base 10

→ alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}● Sistema Binário → Base 2 → Base 2

→→ alfabeto {0, 1}● Sistema Octal → Base 8 → Base 8

→→ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}● Sistema Hexadecimal → Base 16 → Base 16

→→ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Bases de sistemas de numeração posicional

Conversão de basePassagem de uma Base R para a base Z

● Consiste em decompor o número de acordo com a estrutura posicional, usando operações de produtos, divisão e somas

● Para facilitar o cálculo das operações de conversão de base, vale a pena relembrar as potências das bases numéricas mais utilizadas na teoria da computação

– 2– 10– 8– 16

Conversão de base

● Potência de 2:

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1.024

● Potência de 8:

80 181 882 6483 51284 4.09685 3276886 262.14487 2.097.152

88 16.777.21689 134.217.728810 10.73.741.824

Conversão de base

● Potência de 10:

100 1101 10102 100103 1.000104 10.000105 100.000106 1.000.000107 10.000.000108 100.000.000109 1.000.000.0001010 10.000.000.000

● Potência de 16:

160 1161 16162 256163 4.096164 65.536165 1.048.576166 16.777.216167 268.435.456

168 4.294.967.296169 68.719.476.7361610 1.099.511.627.776

Conversão de base

Passagem de uma Base R para a base 10● Converte-se a base e cada dígito do número para o equivalente decimal

● Decompõe-se o número de acordo com a estrutura posicional e, usando aritmética decimal, efetua-se as operações de produtos e somas

Notação: (...)R ler como o número do parêntesis expresso na base R

– (1101)2=1*23 + 1*22+ 0*21 + 1*20 = 8+4+0+1=>13

– (2B0)16=2*162 + (11)*161+ 0*160= 512+176+0=>688

Conversão de base

Passagem de uma Base 2 para base 10● Basta multiplicar cada dígito pela potência e 10 correspondente a sua posição

Conversão de base

Passagem de uma Base 16 para base 10● Basta multiplicar cada dígito pela potência e 16 correspondente a sua posição

Conversão de base

Passagem de uma Base 10 para a base R● Parte inteira: algoritmo da divisão repetida● Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero

● Os restos das divisões sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R

(341)10 = (2331)

5

Conversão de base

Passagem de uma Base 10 para base 2● Basta dividir o número repetidas vezes por 2, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1

Conversão de base

Passagem de uma Base 10 para base 16● Basta dividir o número repetidas vezes por 16, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1

Conversão de base

Passagem de uma Base 10 para a base R● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida

● A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O processo é repetido até que se obtenha um número com parte fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente.

● As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a última, formam a parte fracionária do número transformado

Conversão de base

Passagem de uma Base R para a base 10● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida

● Exemplo: transformar 0,4375 para a Base 2– 0,4375*2 = 0,8750– 0,8750*2 = 1,7500– 0,7500*2 = 1,1500– 0,5000*2 = 1,0000

resultado → 0,0111resultado → 0,011122

Conversão de base

Passagem de uma Base 2 para base de potência 2 (8 ou 16 p.ex.)

● A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato 2n

– Se essa base for 8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 = 23

● Formam-se grupos, a partir da direita do número binário, contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do sistema para o qual se quer a transformação.

Para refletir...

Por que o sistema de numeração hexadecimal é

também largamente utilizado na computação, se os

computadores só conseguem compreender 0 e 1?

Referências

● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.

● Gongora, Miriam; SODRÉ, Ulysses. Introdução sobre a origem dos números. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm>. Acesso em: 01 ago 2011.