Material -SISTEMAS NUMERAÇÃO - SDAC - Módulo I
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Manual de Apoio
Módulo 1 – Sistemas de numeração
Turma – 1TEI
\\\Ano letivo 2012 – 13 \\\ Prof.MJCunha
Unidade 1 – Sistemas de numeração Disciplina: SDAC
Prof.MJCunha
2
Índice
MÓDULO 1 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .......................................................................... 1
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .............................................................................................. 3
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL .............................................................................................. 3
SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIA ............................................................................................... 5
CONVERSÃO DECIMAL PARA BINÁRIO ........................................................................................... 6
SISTEMA DE NUMERAÇÃO OCTAL ................................................................................................. 9
SISTEMA DE NUMERAÇÃO HEXADECIMAL ..................................................................................... 12
NÚMEROS FRACCIONÁRIOS ...................................................................................................... 16
Unidade 1 – Sistemas de numeração Disciplina: SDAC
Prof.MJCunha
3
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Sistema de numeração decimal
No sistema decimal usamos como é sabido, dez símbolos, a que chamamos
algarismos decimais (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ), e que por combinações destes em
diferentes posições nos permite contabilizar e representar quantidades grandes
ou pequenas.
Em termos simples, podemos afirmar que: Os algarismos que formam um
número decimal, estão multiplicados por uma potência de 10 que determina a
posição relativa desses algarismos no número.
Como sabemos as potências na base 10 representam-se por:
10 n em que o número 10 é a base e n o expoente.
Na leitura corrente da numeração escrita ao ler-mos o número 27315, dizemos
simplesmente: “ vinte sete mil trezentos e quinze” , e não nos apercebemos
que o número é constituído por 2 dezenas de milhar, 7 milhares 3 centenas 10
dezenas e 5 unidades.
Quer isto dizer que o número decimal 27315 pode ser escrito na seguinte
forma:
20000 + 7000 + 300 + 10 + 5 ou 2* 10000 + 7*1000 + 3*100 + 1*10 + 5
Sabemos que pelo desenvolvimento das potências na base 10 que:
10 4 = 10*10*10*10 = 10000 ( 4 zeros )
10 3 = 10*10*10 = 1000 ( 3 zeros )
10 2 = 10*10 = 100 ( 2 zeros )
10 1 = 10 = 10 ( 1 zero )
10 0 = 10/10 = 1
10 -1 = 10/101 = 1/10 = 0,1
10 -2 = 10/102 = 1/(10*10) = 1/100 = 0,01
10 -3 = 10/103 = 1/(10*10*10) = 1/1000 = 0,001
Etc.
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Se o expoente n de um número for menor que zero, então o valor de n indica
as casa decimais desse número
Ex:
10 -4 = 0,0001 ; 10 -3 = 0,001 ; 10 -2 = 0,01 Então podemos escrever :
Nº 27315 da seguinte forma
27315 = 2*104
+ 7* 103 + 3*10
2 + 1* 10
1 + 5*10
0
Nº 342,3 da seguinte forma
342,3 = 3*102 + 4*10
1 + 2*10
0 + 3*10
-1
Exercícios
1- Converta os somatórios das seguintes potências de base 10 em números
decimais:
a) 8 105 + 5 10
2 + 3 10
0
b) 3 104 + 7 10
3 + 3 10
-2
c) 7 10-1
+ 3 10-2
d) 4 103 + 5 10
0 + 2 10
-1 + 7 10
–3
Resolução
a) 800503
b) 37000,03
c) 0,73
d) 4005,207
2- Desenvolva em potências de base 10 , os seguintes números:
a) 382,001
b) 73201,027
c) 0,010038
d) 739,00701
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Resolução
a) 3 102 + 8 10
1 + 2 10
0 + 1 10
–3
b) 7 104 + 3 10
3 + 2 10
2 + 1 10
0 +
2 10
-2 + 7 10
–3
c) 1 10 -2
+ 3 10 –5
+ 8 10 –6
d) 7 102 + 3 10
1 + 9 10
0 + 7 10
–3 + 1 10
–5
Sistema de numeração binária
Os números com que os sistemas informáticos operam, ao nível do hardware ou da
linguagem máquina, têm de se encontrar sempre convertidos para sistema de numeração
binário – é o sistema de numeração que opera com 2 dígitos: 0 e 1.
Fig. Correspondência entre os dígitos decimais e os respectivos números em binário
Potências de base 2
2 0
= 1
2 1
= 2
2 2
= 4
2 3
= 8
2 4
= 16
2 5
= 32
2 6
= 64
2 7
= 128
2 8
= 256
2 9
= 512
2 10
= 1024
Decimal Binário
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
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Conversão Decimal para Binário
Menor = 1
Maior = 0
Exercícios:
1. Converta o número 243(10) para a sua representação binária .
(128) (64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)
243 1 1 1 1 0 0 1 1
-128
115
-64
51
-32
19
-16
3
-2
1
-1
0
O nº 243(10) 11110011 (2)
2. Converta o número 78(10) para a sua representação binária .
(64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)
78 1 0 0 1 1 1 0
-64
14
-8
6
-4
2
-2
0
O nº 78(10) 1001110 (2)
< Conversão de decimal para binário pelo Método das divisões sucessivas >
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1. Converta o número 29 ( 10) _____________________? ( 2)
29 2
09 14
2
1 0 7 2
1 3 2
1 1 2
1 0
29 ( 10) = 11101 ( 2)
2. Converta o número 678 ( 10) _____________________? ( 2)
678 2
07 339 2
18 13 169 2
0 19 09 84 2
1 1 04 42 2
0 02 21 2
0 01 10 2
1 0 5 2
1 2 2
0 1 2
1 0
678 ( 10) = 1010100110 ( 2)
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Conversão Binário para Decimal
A correspondência entre a numeração binária e a numeração decimal é fácil de obter,
para tal podemos utilizar a seguinte regra:
1) Multiplicam-se todos os dígitos binários pelo valor decimal da potência de 2
correspondente ao peso de cada dígito.
2) Somam-se os resultados obtidos.
3) O resultado da soma, é o equivalente decimal do número binário.
Exercícios:
1. Converta o número 101110101 ( 2) ______________________________ ? ( 10)
(256) (128) (64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)
1 0 1 1 1 0 1 0 1
1
4
16
32
64
256
375
101110101 ( 2) = 373 ( 10)
2. Converta o número 1011101 ( 2) ______________________________ ? ( 10)
1011101=1*2
6 + 0*2
5 + 1*2
4 + 1*2
3 + 1*2
2 + 0*2
1 + 1*2
0
= 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 93
1011101 ( 2) = 93 ( 10)
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Sistema de numeração Octal
É um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a
representação de quantidade (0,1,2,3,4,5,6,7).
A aritmética deste sistema é semelhante á do sistema decimal e binário.
Conversão Decimal para Octal
Exercícios:
1.
Converta o número 500 (decimal) em octal ( pelo método das divisões sucessivas).
500 8
20 62 8
4 6 7 8
7 0
O n.º 500(10) 764(8)
2.
Converta o número 1992 (decimal) em octal ( pelo método das divisões sucessivas).
1992 8
39 249 8
72 09 31 8
0 1 7 3 8
3 0
O n.º 1992(10) 3710(8)
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Conversão Octal para decimal
Exercícios:
1.
Converta o número 764 (octal) em decimal .
764 = 7*8 2 + 6*8
1 + 4*8
0
(64) (8) (1)
7 6 4
pesos valor valor_total
0-1 4 4*1=4
1- 8 6 8*6=64
2- 64 7 64*7=448
500 O n.º 3710(8) 500(10
2.
Converta o número 4701 (octal) em decimal .
4701 = 4*8 3 +7*8
2 + 0*8
1 + 1*8
0
(512) (64) (8) (1) 4 7 0 1
pesos valor valor_total
0-1 1 1*1=1
1-8 0 8*0=0
2-64 7 64*7=448
3-512 4 512*4=2048
2497 O n.º 4701(8) 2497(10)
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Conversão Octal para Binário
Sistema octal Sistema binário
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
Exercício:
1.
Converta o número 1274 (octal) em binário.
001 010 111 100
1 2 7 4
O n.º 1274(8) 001010111100(2)
Conversão Binário para Octal
Exercício:
1.
Converta o número 001 010 111 100 (2) ________________? (8) .
001 010 111 100
1 2 7 4
O n.º 001010111100(2) 1274(8)
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Sistema de numeração Hexadecimal
O sistema hexadecimal, como o nome indica, é formado por 16 símbolos (dígitos)
diferentes. Estes símbolos são os dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 do sistema decimal e as
letras A,B,C,D,E,F.
Estas letras em correspondência com o sistema decimal equivalem aos
valores 10,11,12,13,14 e 15, respectivamente. Assim a correspondência
entre o sistema decimal, o sistema hexadecimal e o sistema binário para os
16 primeiros dígitos é o seguinte:
Sistema decimal Sistema
hexadecimal
Sistema binário
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111
Conversão decimal para hexadecimal
Exercícios:
1.
Converta o número 1256 (Dec.) em hexadecimal, (pelo método das divisões sucessivas).
1256 16
136 78 16
08 14 4
O n.º 1256(10) 4E8(16)
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2.
Converta o número 1710 (Dec.) em hexadecimal, (pelo método das divisões sucessivas)
1710 16
110 106 16
14 10 6
O n.º 1710(10) 6AE(16)
3. Converta o número 243 (Dec.) em hexadecimal.
Se o peso é Menor que o n.º = 1
Se o peso é Maior que o n.º = 0
(128) (64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)
243 1 1 1 1 0 0 1 1 -128
115 -64
51 -32
19 -16
3 -2
1 -1
0
1111 F 0011 3
0 n.º 143(10) F3(16)
4. Converta o número 243 (Dec.) em hexadecimal.
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
4 E 8
1256 Da esquerda para a direita
-1024
232……… O n.º 243(10) 4E8(16)
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Conversão hexadecimal para decimal
Exercícios:
1.
Converta o número 2CA(16) __________________? (10)
2CA = 2*16 2 + C(12)*16
1 + A(10)*16
0
(256) (16) (1)
2 C A
pesos valor valor_total
0-1 A (10) 1*10=10
1-16 C (12) 16*12=192
2-256 2 256*2=512
714 O n.º 2CA(16) 714(10)
2.
Converta o número E201(16) __________________? base(10)
E201 = E(14)*16 3+2*16
2 + 0*16
1 + 1*16
0
(512) (256) (16) (1)
E 2 0 1
pesos valor valor_total
0-1 1 1*1=1
1-16 0 16*0=0
2-256 2 256*2=512
3- 4096 E(14) 4096*14=57344
57857 O n.º E201(16) 578557(10)
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Conversão hexadecimal para Binário
Exercício:
1.
Converta o número 2B0D(16) __________________? Para base (2)
2(16) = 2 (10) = 0010 (2)
B(16) = 11 (10) = 1011 (2)
0(16) = 0 (10) = 0000 (2)
D(16) = 13 (10) = 1101 (2)
O n.º 2B0D1(16) 0010 1011 0000 1102 ( 2 )
Conversão hexadecimal para Octal
Exercício:
1.
Converta o número 1F4(16) __________________? Para base (8)
1 F 4
000 1 11 11 0 100
111 110 100
7 6 4
O n.º 1F4(16) 764 (8 )
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16
Conversão Octal para hexadecimal
Exercício:
1.
Converta o número 144(8) __________________? Para base (16)
1 4 4
001 10 0 100
0110 0100
6 4
O n.º 144(8) 64 (16 )
Números fraccionários
Conversão Binária para Decimal
Exercícios 1:
a) 0,1101 = 1 2-1
+ 1 2-2
+ 0 2-3
+ 1 2 –4
=
= 1 1/ 21 + 1 1/ 2
2 + 0 1/2
3 + 1 1/ 2
4
= (1/2) + (1/4) + (1/16) =
= 0,8125 (10)
0 n.º 0,1101(2) 0,8125 (10 )
b) 11001,00101 = 1 24 + 1 2
3 + 0 2
2 + 0 2
1 + 1 2
0 +
+ 0 2 -1
+ 0 2 -2
+ 1 2 -3
+ 0 2 –4
+ 1 2 -5
=
= 16+8+1+0,125 + 0,03125 = 25, 15625 (10)
O n.º 11001,00101 (2) 25, 15625 (10)
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Conversão Decimal para binária
Exercícios:
a) Converta o n.º 0,828125 (10) em binário _ _
0,828125 * 2 = 1 , 65625
0, 65625 * 2 = 1 , 3125
0 , 3125 * 2 = 0 , 625
0 , 625 * 2 = 1 , 25
0,25 * 2 = 0 , 5
0,5 * 2 = 1
O n.º 0,828125 (10) ) 0,110101 (2)
b) Converta o n.º 350,765625 (10) em binário
b1)
350 2
2
….
_ _ b2)
0,765625 * 2 = 1 , 53125
0, 53125 * 2 = 1 , 0625
0 , 0625 * 2 = 0 , 125
….
0 n.º 350,765625 (10) ) ………. (2)