Sistemas de equações lineares de 1a ordem

Sistemas de equações diferenciais simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis dependentes, cada uma das quais sendo uma função de uma única variável dependente. A variável independente será denotada por t e as dependentes por x1 , x2 , ... . Serão vistos os sistemas de duas ou mais equações diferenciais que sempre podem ser escritas como equações de primeira ordem.

Para transformar uma equação arbitrária de ordem n

y(n) = F(t, y, y’, y”, ..., y(n-1)) em um sistema de equações de primeira ordem, definimos as variáveis x1 , x2 , ..., xn por

x1 = y, x2 = y’, ..., xn = y(n-1).

Para transformar uma equação arbitrária de ordem n

y(n) = F (t, y’, y”, ... , y(n-1)) em um sistema de equações de primeira ordem, definimos as variáveis x1, x2, ... , xn por

x1 = y, x2 = y’, ... , xn = y(n-1). Segue imediatamente que

, x’1 = x2, x’2 = x3, ... , x’n-1 = xn, ou seja

x’n = F (t, x1, x2,, ... , xn).

O caso mais geral, temos:

x’1 = F1 (t, x1, x2,, ... , xn)

x’2 = F2 (t, x1, x2,, ... , xn)

.......................................

x’n = F1 (t, x1, x2,, ... , xn).

Dizemos que este sistema tem uma solução em I : < t <

Se existe um conjunto de n equações x1 = 1(t), x2 = 2(t), ..., xn = n(t) diferenciáveis em todo I e que satisfazem o sistema dado e podendo ainda constar as condições iniciais da forma x1(t0) = x1

0, x2(t0) = x20 , ... , xn(t0) = xn

0, onde to é um valor especificado de t em I e x1

0, x20 , ... , xn

0 são números dados.

Se as funções F1, F2, ... ,Fn são lineares das variáveis dependentes x1, x2

, ... , xn, então o sistema é dito linear; caso contrário, é não-linear. Assim, o sistema mais geral de n equações lineares tem a forma

x1’ = p11(t)x1 + p12(t)x2 + . . . + p1n(t)xn + g1(t)

x2’ = p21(t)x1 + p22(t)x2 + . . . + p2n(t)xn + g2(t)

...............................................................................

xn’ = pn1(t)x1 + pn2(t)x2 + . . . + pnn(t)xn + gn(t)

Se todas as g1, g2, . . . , gn forem identicamente nulas em I, então o sistema é dito homogêneo; caso contrário, ele é não-homogêneo.

Teorema: Se as funções p11, p12, . . . pnn, g1, g2, ... , gn são contínuas em um intervalo aberto I : < t < , então existe uma única solução x1 = 1(t), x2 = 2(t), ... , xn = n(t), do sistema acima que também satisfaz as condições iniciais onde

t0 é qualquer ponto em I e x10, x2

0 , ... , xn0 são números

arbitrários. Além disso, a solução existe em todo o intervalo I.

Exemplo: Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem u” + 0,5u’ + 2u = 0.

Solução: x1 = u, x2 = u’. Logo x1’ = x2 e como u” = x2

’, obtemos

x2’ + 0,5x2 + 2x1 = 0 ou seja

x1’ = x2

x2’ = -2x1 – 0,5x2

Sistemas de equações diferenciais ordinárias

Considere o método de variação de parâmetro

x’ = P(t)x + g(t) seja (t) uma matriz fundamental para o sistema x’ = P(t)x.

Como solução geral do sistema é (t)c temos

x = (t) u(t) onde u(t) é uma função vetorial em lugar de c.

Assim, ’(t) u(t) + (t) u’(t) = P(t) (t) u(t) + g(t) Como (t) é uma matriz fundamental, ’(t) = P(t)(t)

Logo resulta em (t) u’(t) = g(t) donde (t) u’(t) = -1(t )g(t)

Assim podemos selecionar como u(t) qualquer vetor na classe

de vetores que satisfaz esta equação.

Portanto, u(t) = -1(s)g(s)ds + c

Logo, x = (t)c + (t) -1(s)g(s)ds que é a solução do sistema inicial.

Exemplo: Determine a solução do sistema

)('2

3

1

2

2

1

tgAxxxte

t

A solução geral deste sistema homogêneo é

t

t

t

t

e

e

e

e

t3

3

)(

e a matriz fundamental x = (t)u(t), onde u(t) satisfaz

(t)u’(t) = g(t), ou

tt

t

t

t

e

t

u

u

e

e

e

e

t2

3

'1

'2

3

3

)(

Obtendo u1’ = e2t – (3/2)te3t e u2

’ = 1 + (3/2)tet

Logo u1(t) = (1/2) e2t – (1/2)te3t + (1/6) e3t + c1

u2(t) = t + (3/2)tet - (3/2) et + c2 e x = (t)u(t)

4

5

1

2

1

1

1

1

1

12

31

11 )3/1()2/1( teteececx tttt

Autovalores e autovetores:

Sejam os sistemas Ax = y (1) e Ax = x (2), fator de proporcionalidade, onde y = x.

Assim podemos escrever (A - I)x = 0. Esta equação possui soluções não nulas se e somente se for escolhido de modo que det(A - I) = 0.

Os valores de são chamados autovalores de A e as soluções não nulas das equações (1) e (2) obtidas usando um tal valor de são chamadas autovetores.

Exemplo: Determine todos os autovalores e autovetores de

05

03

21

21

xx

xx

Solução: Como (A - I)x = 0, temos

0

0

15

13

1

2

x

x

A

15

13

)det(

IA

Ou seja, (5 - ) (1 - ) + 3 = 0 e consequentemente

1 = 2 e 2 = 4 são os autovalores procurados.

Determinando os autovetores. Para 1 = 2

0

0

1

2

x

x

13

13

Se x1 = c, como x2 = 3x1, temos x2 = 3c. Logo

03

03

21

21

xx

xx

1

3

)1(1

3

)1( 0, xouccx

Onde x(1) é um autovetor de A.

Similarmente, para 2 = 4, temos

1

1

)2(1

1

)2( 0, xouccx

Logo, x(2) um autovetor de A.

Teoria básica de sistemas de equações lineares

Considere o sistemas na forma:

x1’ = p11(t)x1 + p12(t)x2 + . . . + p1n(t)xn + g1(t)

x2’ = p21(t)x1 + p22(t)x2 + . . . + p2n(t)xn + g2(t)

...............................................................................

xn’ = pn1(t)x1 + pn2(t)x2 + . . . + pnn(t)xn + gn(t)

Ou seja, x’ = P(t)x + g(t)

As homogêneas x’ = P(t)x, g(t) = 0. (3)

)(

)(

)()(

)(

)1(111

1

)()(tx

txk

ktx

tx

k

n

txtx

Tal que xij(k) = xij(k) denota a a i-ésima componente da j-

ésima solução x(j)(t).

Teorema: Se as funções vetoriais x(1) e x(2) são soluções do sistema x’ = P(t)x, g(t) = 0, então a combinação linear c1x(1)

+ c2 x(2) também é solução quaisquer que sejam as constantes c1 e c2..

Como consequencia deste teorema temos que, se x(1) , x(2) , ... , x(k) são soluções de x’ = P(t)x então

x = c1x(1)(t) + c2 x(2)(t) + ... + ckx(k) também é solução quaisquer

sejam as constantes c1, c2 , ... ,ck

Sistemas lineares homogêneo com coeficientes constantes

Consideremos o sistema na forma x’ = Ax, A é uma matriz 1xn (1). Se n =1, o sistema fica dx / dt = ax cuja solução é x = ceat.

Para determinar a solução de x’ = Ax, procedemos como para equação da segunda ordem, isto é, procuramos soluções da forma x = ert onde r é um vetor constante e deve ser determinado.

Assim, temos rert = A ert ou A = r. Logo, (A – rI) = 0, onde I é a matriz identidade nxn. Isto significa dizer que para resolver o sistema de equações diferenciais (1) precisamos resolver os sistema algébrico (A – rI) = 0 que consiste em encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.

Exemplo: Considere o sistema

.'11

14

xx

temos 01

2

11

14

r

r

1,3032 212

11

14

rrrr

r

r

Logo, para r1 = 3, temos - 21 + 2 = 0 2 = 21 donde

1

2

)1(

Para r2 = -1, temos 21 + 2 = 0 2 = - 21 donde

1

2

)2(Então

tt eteet xx

1

2

)2(31

2

)1()()(

x = c1x(1)(t) + c2x(t)

Ou

tt ececx

1

22

31

21

c1 e c2 constantes.