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Equacoes Diferenciais lineares de ordem superior
Aula: Equacoes diferenciais lineares de ordemsuperior
MAT 340 - Equacoes Diferenciais Ordinarias I
Profa. Ariane Piovezan EntringerDMA - UFV
MAT 340 - Equacoes Diferenciais Ordinarias I Aula: Equacoes diferenciais lineares de ordem superior
Equacoes Diferenciais lineares de ordem superior
Problema de Valor Inicial - EDO de ordem n
Problema de Valor Inicial - EDO de ordem n
an(x) dnydxn + an−1(x) dn−1y
dxn−1 + · · ·+ a1(x) dydx + a0(x)y = g(x)
y(x0) = y0
y ′(x0) = y0,1
y ′′(x0) = y0,2
. . .y (n−1)(x0) = y0,n−1,
onde y0, y0,1, . . . , y0,n−1 sao constantes.
Teorema [Existencia e Unicidade de Solucao]
Sejam an(·), an−1(·), . . . , a1(·), a0(·), g(·) funcoes contınuas em umintervalo I com an(·) 6= 0 para todo x em I . Se x0 ∈ I , entao existe umaunica solucao y = y(x) para o PVI acima no intervalo I .
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Exemplo: 3y ′′′ + 5y ′′ − y ′ + 7y = 0y(1) = 0y ′(1) = 0y ′′(1) = 0
Solucao.
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Equacoes Diferenciais lineares de ordem superior
Dependencia e Independencia Linear
Um conjunto de funcoes f1, f2, · · · , fn e linearmente dependente em umintervalo I se existem constantes c1, c2, · · · , cn nao todas nulas tais que
c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cnfn(x) = 0,
para todo x ∈ I .
Se o conjunto f1, f2, · · · , fn nao e linearmente dependente no intervalo,dizemos que este conjunto e linearmente independente (L.I.).
Exemplo.
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Criterios para independencia linear de funcoes
Sejam f1(·), f2(·), · · · , fn(·) funcoes diferenciaveis ate a ordem n − 1 (pelomenos). Se o determinandte (Wronskiano)
W (f1(x), f2(x), · · · , fn(x)) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1 f2 · · · fnf ′1 f ′2 · · · f ′nf ′′1 f ′′2 · · · f ′′n
. . .
f(n−1)
1 f(n−1)
2 · · · f(n−1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I , entao asfuncoes f1, f2, · · · , fn sao linearmente independentes neste intervalo.
Exemplo.
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Princıpio da Superposicao - Eq. Homogeneas
Sejam y1, y2, · · · , yk solucoes para a EDO linear de ordem n homogenea
an(x)dny
dxn+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1+ · · ·+ a1(x)
dy
dx+ a0(x)y = 0 (1)
em um intervalo I . Entao a combinacao linear
y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ ckyk(x),
com ci constante arbitratia para cada i = 1, 2, · · · , k , e tambem solucaono intervalo.
O conjunto de solucoes y1, y2, · · · , yn, com n solucoes para a EDO linearhomogenea acima e L. I. se, e somente se,
W (y1, · · · , yn) 6= 0, ∀ x ∈ I .
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Qualquer conjunto y1, y2, · · · , yn, com n solucoes linearmenteindependentes para a EDO linear homogenea de ordem n e chamadoconjunto fundamental de solucoes desta EDO no intervalo I .
Teorema
Toda solucao Y (x) para (1) e uma combinacao linear de n solucoes L. I.,y1, y2, · · · , yn. Ou seja, existem constantes c1, · · · , cn tais que
Y (x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x).
Teorema
Existe um conjunto fundamental de solucoe para a EDO (1) em umintervalo I .
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Portanto,
A solucao geral para a EDO (1) no intervalo I e definida por
y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)
onde c1, · · · , cn sao constantes arbitrarias e y1, y2, · · · , yn sao solucoes de(1) linearmente independentes no intervalo I .
Exemplo.
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Equacoes lineares nao homogeneas
an(x)dny
dxn+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1+ · · ·+ a1(x)
dy
dx+ a0(x)y = g(x) (2)
Definicao
Seja yp uma solucao para a EDO (2) em um intervalo I . A solucao geralpara esta EDO no intervalo I e definida por
y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x) + yp(x) = yc(x) + yp(x).
Exemplo.
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Princıpio de superposicao
Teorema [Princıpio da Superposicao - Equacoes nao homogeneas]
Seja ypi uma solucao particular para a equacao diferencial ordinaria den-esima ordem
an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·+ a1(x)y ′ + a0(x)y = gi (x),
em um intervalo I , para cada i = 1, 2, · · · k . Entao
yp = yp1(x) + yp2(x) + · · ·+ ypk(x)
e uma solucao particular para
an(x)y (n)+an−1(x)y (n−1)+· · ·+a1(x)y ′+a0(x)y = g1(x)+g2(x)+· · ·+gk(x).
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Exemplo
Verifique que
X yp1 = −4x2 e uma solucao particular paray ′′ − 3y ′ + 4y = −16x2 + 24x − 8,
X yp2 = e2x e uma solucao particular para y ′′ − 3y ′ + 4y = 2e2x ,
X yp3 = xex e uma solucao particular para y ′′ − 3y ′ + 4y = 2xex − ex .
Assim, pelo Teorema anterior,
y = yp1 + yp2 + yp3 = −4x2 + e2x + xex
e uma solucao para
y ′′ − 3y ′ + 4y = −16x2 + 24x − 8 + 2e2x + 2xex − ex .
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Equacoes Lineares Homogeneas com CoeficientesConstantes
any(n) + an−1y
(n−1) + · · ·+ a1y′ + a0y = 0, (3)
onde ai e constantes, para todo i = 0, 1, 2, · · · , n.
Assim como para equacoes lineares de ordem 1 e 2 homogeneas comcoeficientes constantes, todas as solucoes de (3) sao funcoesexponenciais ou construıdas a partir de funcoes exponenciais.
Equacao auxiliar
Se tentarmos uma solucao da forma y = emx , substituindo y , y ′ e y ′′ em(3), obtemos a equacao auxiliar
anmn + an−1m
n−1 + · · ·+ a2m2 + a1m + a0 = 0. (4)
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Se todas as raızes de (4) sao reais e distintas, entao a solucao geralpara (3) e
y = c1em1x + c2e
m2x + · · ·+ cnemnx .
Os demais casos nao sao tao simples de resumir porque as raızes deuma equacao auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer comvarias combinacoes.
Por exemplo:
Uma equacao de grau 5 pode ter:
cinco raızes reais e distintas,ou tres raızes reais e distintas e duas raızes complexas,ou uma raiz real e quatro complexas,ou cinco raızes reais e iguais,ou cinco raızes reais, sendo duas iguais, etc.
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Quando m1 e uma raiz de multiplicidade k de uma equacao auxiliar degrau n (isto e k raızes sao iguais a m1), pode ser mostrado que assolucoes linearmente independnetes sao
em1x , xem1x , x2em1x , · · · , xk−1em1x
e a solucao geral tem de conter a combinacao linear
c1em1x + c2xe
m1x + c3x2em1x + · · ·+ xk−1em1x .
Exemplos.
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Equacoes lineares nao homogeneas de ordem n - solucaoparticular
Coeficientes a determinar
Analogo ao aplicado as EDOs lineares de 2a ordem nao-homogeneas.Pode-se utilizar o Teorema 10.
Exemplos.
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Equacoes lineares nao homogeneas de ordem n - solucaoparticular
Variacao dos ParametrosPode-se generalizar o que fizemos para EDOs lineares de 2a ordemnao-homogeneas, desde que coloque-se a EDO (3) na sua formapadrao
y (n) + Pn−1(x)y (n−1) + · · ·+ P1(x)y ′ + P0(x)y = f (x). (5)
Se y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn e a funcao complementar de (5),entao uma solucao particular e
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2 + · · ·+ un(x)yn,
em que os u′ks sao determinados pelas n equacoes
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y1u′1 + y2u
′2 + . . . + ynu
′n = 0
y ′1u′1 + y ′2u
′2 + . . . + y ′nu
′n = 0
...
y(n−1)1 u′1 + y
(n−1)2 u′2 + . . . + y (n−1)
n u′n = f (x).
As primeiras n − 1 equacoes sao suposicoes feitas para simplificar asprimeiras n − 1 derivadas de yp.
A ultima equacao resulta da substiuticao em (5) da derivada de ordem nde yp e as derivadas de ordem menor simplificadas.
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Pela Regra de Cramer, obtemos
u′k =Wk
W, k = 1, 2, . . . n,
em que W e o Wronskiano de y1, y2, . . . , yn e Wk e o determinanteobtido substituindo a k-esima coluna do Wronskiano pela coluna
00...0
f (x)
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Equacoes Diferenciais com Coeficientes Variaveis
Equacao de Cauchy-Euler
EDO da forma
anxny (n) + an−1x
n−1y (n−1) + · · ·+ a1xy′ + a0y = g(x),
onde ai e constante para todo i = 0, 1, 2, · · · , n.
Metodo de solucaoProcurar solucao da forma y = xm, onde m deve ser determinado.Substituindo y e suas derivadas ate ordem n na equacao acima,chegamos na equacao auxiliar, que e um polinomio em m de grau n.
Tres casos possıveis:
Raızes reais e distintasNeste caso, se m1, m2, · · · ,mn sao as raızes da equacaoauxiliar,entao as solucoes da EDO sao y = xmi , com i = 1, 2, · · · , n.Raızes reais e repetidasRaızes complexasEstes dois ultimos casos nao sao tao simples, pois dependem damultiplicidade das raızes e etc.
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Exemplo:
Resolva x3y ′′′ + 5x2y ′′ + 7xy ′ + 8y = 0.Solucao.
Observacao: Para resolver uma equacao de Cauchy-Eulernao-homogenea, usa-se o metodo de variacao de paramentros, uma vezque o metodo dos coeficientes a determinar nao se aplica, em geral, aequacoes com coeficientes variaveis.
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Referencias Bibliograficas
Zill, Dennis G. Equacoes diferenciais com aplicacoes em modelagem.2a Edicao. Sao Paulo: Cengage Learning, 2014.
Zill, Dennis G., Cullen, Michael R. Equacoes diferenciais, vol. 1, 3a
Edicao. Sao Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
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