Series de Tempo´ - josefajardo.com · abaixo de zero o que faz com que as laranjas congelem...

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Series de Tempo

Jose Fajardo

EBAPE- Fundacao Getulio Vargas

Agosto 2011

Jose Fajardo Series de Tempo

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Prf. Jose Fajardo

Ph. D in Mathematical Economics (IMPA-Brazil)Mathematical Finance, Financial Economics, BehavioralFinance and Game Theory.Researcher Level 1 of CNPqDirector of Brazilian Finance Society

http://www.josefajardo.com


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Objetivo

Prover instrumental estatıstica/econometrica de series detempo para analise de dados economicos e financeiros. Quenos permitirao fazer previsoes, as quais serao muito uteis natomada de decisoes.

Quando posible faremos implementacoes numericas noEviews.


ModelModel with Exogenous Collateral

Equilibrium

Que topicos serao discutidos no curso?

O estudo de series temporais pode ser dividido em doisgrandes topicos: Estimacao de efeitos dinamicos eProjecoesNo curso de Series de Tempo estudamos estimacao deefeitos dinamicos.O topico de projecoes e tratado num curso de Metodos dePrevisao.

Jose Fajardo Economia Financiera Avanzada

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Conteudo

Propriedades das Series de TempoModelos MA(p), AR(q) e ARMA(p,q).Identificacao e Funcao e Autocorrelacao ParcialSeries nao Estacionacionarias e Testes de Raiz unitariasVetores Autoregresivos (VAR)ARCH e GARCH


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Bibliografia

“Econometria de Series Temporais”. Bueno, Rodrigo,Cenage Learning. 2008.

“Elements of Forecasting”, Francis X. Diebold.South-Western College Pub. 4 edition, 2007.


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Bibliografia Adicional

“Time Series Analysis”. Hamilton, James. PrincetonUniversity Press. 1994.


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Avaliacion

Listas de exercıcios (20%)1 Prueba (40%)Term paper (40%)


Economia Financiera Avanzada

Jose Fajardo


Universidad del Pacıfico, Julio 5–21, 2011


Avaliacao

Listas de Exercıcios (20%)1 Proba (40%) dia 8 de Setembro.Term Paper a ser apresentado dia 6 de Outubro


Series de TempoIntroducao

Jose Fajardo


Agosto 2011


13

1. Por quê o estudo de séries de tempo é importante?

• Primeiro, porque muitos dados econômicos e financeiros aparecem na forma de séries de tempo, como PIB, inflação, taxa de câmbio, taxa de juros, preços de ativos, etc.

• Segundo, porque com séries de tempo podemos estimar modelos dinâmicos, o que com dados em cross-sectionnão é possível dado que não existe a dimensão temporal.

14

2. A análise de dados em ST é diferente da análise de dados em CS?

• Séries de tempo têm uma ordenação temporal que dados em cross-sectionnão têm.

• Séries temporais têm propriedades muito diferentes de dados em cross-section, como, por exemplo, a presença de tendência.

• Isso tem implicações importantes na modelagem econométrica de séries de tempo.

15

Exemplo: Preço do suco da Laranja, (Stock e Watson, 2006)

• A cidade de Orlando nos Estados Unidos é o centro do cultivo da laranja no estado da Flórida. Normalmente, o clima na região é quente e ensolarado.

• Entretanto, de vez em quando a temperatura cai abaixo de zero o que faz com que as laranjas congelem acarretando em perdas na safra.

• Se a temperatura fica abaixo de zero por muito tempo, as árvores congelam e o dano é muito maior. Depois de uma temporada de mau tempo, a oferta do suco de laranja concentrado se reduz, e consequentemente o seu preço aumenta.

16

• Entretanto, o timingdo aumento de preços écomplicado pelo fato do suco de laranja concentrado ser um produto estocável em seu estado congelado.

• O preço do suco de laranja concentrado édeterminado pela sua oferta corrente e pela sua expectativa de oferta futura.

• Mau tempo no presente significa que a oferta futura de suco de laranja concentrado éreduzida, o que poderia levar a um aumento no preço do suco concentrado no presente.

17

• Entretanto, como os estoques podem ser usados para abastecer o mercado hoje e no futuro, o impacto imediato do mau tempo no preço do suco de laranja pode ser bastante reduzido, ou ainda o impacto no preço pode ocorrer com alguma defasagem.

• Saber precisamente qual é o tamanho do impacto no preço do suco de laranja concentrado quando o tempo é ruim é uma questão empírica, e para responder a essa pergunta vamos analisar o seguinte modelo:

18

ttt

ttt

ttLaranja

t

uFDDFDD

FDDFDDFDD

FDDFDDP

+++++

+++=∆

−−

−−−

−

6655

443322

110%

βββββ

ββα

19

• Onde %∆Pt é a variação % no preço real do suco de laranja concentrado.

• A variável FDD, “freezing degree days”, é calculada da seguinte forma: ela é a soma do número de graus Fahrenheit que a temperatura mínima ficou abaixo de 32F (que corresponde a zero grau na escala Celsius) num dado dia do mês ao longo de todos os dias do mês.

• A temperatura é medida na região do aeroporto de Orlando. Por exemplo, em novembro de 1950, a temperatura no aeroporto ficou abaixo de 32F nos dias 25 (31F) e 29 (29F).

• Então o valor de FDD em novembro de 1950 é calculado da seguinte forma: (32-31)+(32-29)=4. Isto é, o número de dias-grau onde a temperatura ficou abaixo da temperatura de congelamento em novembro de 1950 é4.

20

3. Características Básicas de Séries de Tempo

• Definição: Uma série de tempo é um conjunto de observações ordenadas temporalmente.

• Podemos escrever uma série de tempo da seguinte forma:

{ }Tyyy ,...,, 21

21

População vs. Amostra

• Como podemos pensar em aleatoriedade com dados em séries de tempo?

– A série de tempo pode ser vista como uma variável aleatória. Quem sabe a inflação do mês que vem?

• População vs. Amostra: Quando coletamos dados em séries de tempo, obtemos uma realização de um processo estocástico.

22

• Um processo estocástico é um conjunto de variáveis aleatórias ordenadas temporalmente.

• O conjunto de todas as possíveis realizações de uma série de tempo faz o papel da população.

{ },...,...,,,,,... 21012 TYYYYYY −−

23

4. Equações em Diferenças Finitas

• A característica fundamental de uma série de tempo é a sua ordenação temporal.

• A sua dependência explícita na variável tempo calendário faz com que o estudo de séries de tempo se inicie naturalmente com o estudo de equações em diferenças finitas.

• Uma equação em diferenças finitas (EDF) é uma expressão que relaciona uma variável yt com seus valores passados.

24

• Por exemplo, a equação abaixo é uma EDF de primeira ordem.

• A equação acima é uma EDF linear de primeira-ordem.

• É de primeira ordem porque apenas a primeira defasagem de yt aparece, e é linear porque yt éuma função linear de yt-1.

ttt yy εφ += −1

25

Resolvendo uma EDF de 1º ordem

• Uma forma de resolver uma EDF de 1º ordem éatravés de substituições recursivas.

( ) tttt yy εεφφ ++= −− 12

( ) ttttt yy εφεεφφ +++= −−− 123

ttttt

t yy εφεεφεφφ +++++= −−−

112

01

0 ...

26

Multiplicadores Dinâmicos

jtjtjt yy +−++ += εφ 1

j

t

jtyφ

ε=

∂∂ +

jtjttj

tj

tj

tj

jt yy

+−++−

+−

−+

+

+++

+++=

εφεεφ

εφεφφ

122

11

11

...

27

• O multiplicador dinâmico depende somente de j, o período de tempo que separa o choque εt e o valor observado de yt+j.

• O multiplicador não depende de t, ou seja, não depende da data das observações. Isso é verdade para qualquer equação de diferenças finitas linear.

• Diferentes valores de φ geram diferentes padrões dos multiplicadores.

• Em particular, se |φ|<1o multiplicador tende àzero com o tempo. Nesse caso, dizemos que o sistema éestável.

28

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

25 50 75 100 125 150 175 200

A zul - Raiz -0.98V ermelho - Raiz 0.99

29

Choques permanentes vs. choques temporários

• Acima analisamos o caso de um choque temporário em εt, ou seja, assumimos que ε=1 no período t, e zero para todos os outros períodos.

• Entretanto, em alguns casos é de interesse saber o efeito de um choque permanente em ε. Isto é, assuma que εt, εt+1, εt+2, ..., εt+j, aumentem em uma unidade.

• Qual é o impacto em yt de um choque permanente de uma unidade em εt?

30

1...... 21

21

+++++=∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂

∂ −−

+

+

+

+

+

++ φφφφεεεε

jjj

jt

jt

t

jt

t

jt

t

jt yyyy

[ ]φ

φφφφ−

=+++++= −−∞→ 1

11...... 21 jjj

jLim

jtjttj

tj

tj

tj

jt yy +−++−

+−

−+

+ ++++++= εφεεφεφεφφ 122

11

11 ...

31

Efeito acumulado de um choque temporário é igual ao efeito de longo prazo de um choque permanente

...10yt

...00010εt

...t+3t+2t+1tt-1tempo

ttt yy εφ += −1

φ 2φ 3φ

φφφφ

ε −=++++=

∂∂

∑∞

=

+

1

1......1 2

0

j

j t

jty

1<φ

32

Operador Defasagem

• Suponha que a partir de uma série de tempo xt

criamos uma outra série yt cujo valor em cada tempo t é o mesmo valor de x no tempo t-1, ou seja, yt=xt-1.

• É assim que funciona o operador defasagem –ele mapeia yt em xt-1.Isto é,

Lx t=xt-1

L2xt=xt-2

Lnxt=xt-n

33

Equações em Diferenças Finitas e o Operador Defasagem

ttt yy εφ += −1

ttt Lyy εφ +=

tt Ly ε

φ−=

1

1∑∞

=−=

0jjt

jty εφ

1<φ

34

Equações em Diferenças Finitasde Ordem p

[ ] ttp

p yLLL εφφφ =−−−− ...1 221

tptpttt yyyy εφφφ ++++= −−− ...2211

35

Resultado

• Os autovalores da EDF acima satisfazem a seguinte relação:

• A equação acima é chamada equação característica. Suas raízessão chamadas de autovaloresou raízes características.

0...22

11 =−−−− −−

pppp φλφλφλ

tptpttt yyyy εφφφ =−−−− −−− ...2211

36

• Se todos os autovalores estão dentro do círculo unitário, isto é, |λi|<1, para i=1,…,p, dizemos que a equação éestacionária.

37

• Equivalentemente, a equação é estacionária se todos os valores de z que satisfazem a expressão abaixo estão fora do círculo unitário.

0...1 221 =−−−− p

pzzz φφφ

[ ] ttp

p yLLL εφφφ =−−−− ...1 221

38

Exemplo: EDF de 2ª ordem (estável)

tttt yyy ε++= −− 21 4.03.0

5.0,8.0 21 −=⋅= λλ

04.03.02 =−− λλ

tttt yyy ε=−− −− 21 4.03.0

39

Exemplo: EDF de 2ª ordem (estável)

tttt yyy ε++= −− 21 4.03.0

5.0/1

8.0/1

2

1

2

1

−====

z

z

λλ

04.03.01 2 =−− zz

2,25.1 21 −=⋅= zz

[ ] ttyLL ε=−− 24.03.01

40

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 100 150 200 250 300 350 400

Y

41

Exemplo: EDF de 2ª ordem com raízes explosivas

tttt yyy ε+−= −− 21 2.02.1

2.0,1 21 =⋅= λλ

02.02.11 2 =+− zz

5,1 21 =⋅= zz

02.02.12 =+− λλ

42

-30

-20

-10

0

10

20

30

50 100 150 200 250 300 350 400

X

43

5. Transformações de Séries de Tempo

1−= tt xLx

22)( −== ttt xxLLxL

nttn xxL −=

44

Operador de primeiras-diferenças

1−−=∆ ttt xxx

2112 2 −−− +−=∆−∆=∆ tttttt xxxxxx

L−=∆ 1

45

Taxa de Crescimento

• A primeira-diferença do logaritmo de Y éaproximadamente igual a taxa de crescimento de Y.

• Em termos percentuais, 1

11loglog

−

−−

−≅−t

tttt y

yyyy

)log(log*100log*100% 1−−=∆≅∆ tttt yyyy

46

Modelo de Defasagens Distribuídas

• No modelo de defasagens distribuídas uma ou mais variáveis explanatórias aparecem com seus valores correntes e defasados.

• Por exemplo, a equação abaixo representa um MDD de ordem dois.

ttttt uzzzy ++++= −− 221100 δδδα

47

• Assuma que z seja igual a uma constante c em todos os períodos com exceção do tempo t, quando leva um choque de uma unidade, isto é, no tempo t temos que z=c+1.

• Nesse caso dizemos que sofreu um choque temporário, dado que a variável retorna para o seu valor de equilíbrio um período após o choque.

48

• O coeficiente δ0 dá o impacto imediato em y de uma mudança de uma unidade em z; δ1 dá o impacto em y de uma mudança de uma unidade em z um período após o choque; e δ2 dá o impacto em y de uma mudança de uma unidade em z dois períodos após o choque.

• Chamamos os coeficientes δ de multiplicadores dinâmicosou multiplicadores de impacto.

• O impacto acumulado ou impacto de longo prazo é a soma dos multiplicadores dinâmicos, isto é, δ0+δ1+δ2.

49

Exemplo: Modelo de defasagensdistribuídas de ordem 6

ttt

ttt

ttLaranja

t

uFDDFDD

FDDFDDFDD

FDDFDDP

+++++

+++=∆

−−

−−−

−

6655

443322

110%

βββββ

ββα

50

Perguntas

• Interprete os coeficientes βs.

• Qual é o efeito total no preço do suco de laranja concentrado quando a temperatura fica abaixo de 32F em um grau por um dia no mês (ou seja, FDD=1 para um dado mês)?

• Qual é o efeito total no preço do suco de laranja concentrado quando a temperatura fica abaixo de 32F em um grau por 10 dias do mês?

51

Exemplos

• Operador lag, e de primeiras-diferenças

• Como gerar equações em diferenças finitas no Eviews

• Modelo de Defasagens Distribuídas do Preço do suco da laranja

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