Circuitos EltricosSenoides e Fasores

Alessandro L. Koerich

Engenharia de ComputaoPontifcia Universidade Catlica do Paran (PUCPR)

Introduo

Corrente contnua x corrente alternada. Ver War of Currentes

Anlise de circuitos onde a fonte de tenso ou correntevaria no tempo.

Em particular, nosso interesse em fontes variantes no tempo de forma senoidal.

Uma senoide um sinal que tem a forma de uma funoseno ou coseno.

Introduo

Uma corrente senoidal normalmente chamda de corrente alternada (ca) (alternating current ac).

A corrente revertida em intervalos de tempo regularese tem, alternadamente, valores positivos e negativos.

Senides

Considere a tenso senoidal =

onde Vm = amplitude da senide = frequncia angular em radianos/s t = argumento da senide

A senide se repete a cada T segundos, logo T chamado deperodo da senide.

Temos a relao:

= 2

Senides

Como v(t) se repete a cada T segundos:

Uma funo peridica aquele que satisfaz para todo t e para todos inteiros n.

Vamos considerar agora uma expresso mais geral para a senoide:

onde o argumento e a fase.

Senides

Considerando duas senides:1 2

2 ocorre primeiro tempo. Portanto 2 est na frente de1 por ou 1 est atrasada de 2 por .

Senides

Se 0, 1e 2esto fora de fase. Se = 0, 1e 2esto em fase.

Uma senoide pode ser expressa tanto na forma de seno e cosseno. Podemos usar as seguintes identidadestrigonomtricas:

= cos cos = cos cos sen

Com estas identidades 180 = 180 = 90 = 90 =

Senides

Para adicionar duas senoides de mesma frequncia:

onde2 2

Fasores

Senoides podem ser expressar em termos de fasores, que so convenientes para trabalhar com funes senoe cosseno.

Fasor um nmero complexo que representa a amplitude e fase de uma senoide.

Um nmero complexo z pode ser escrito na forma retangular como:

onde ; x a parte real de z; y a parte imaginria de z.

Fasores

O nmero complexo z pode ser escrito na forma polar como: = =

onde r a magnitude de z e a fase de z. z pode serrepresentado em trs formas:

retangular: = + polar: = exponencial: =

Se conhecemos x e y, a relao entre a forma polar e retangular :

= 2 + 2 =

Fasores

Se conhecemos r e , podemos obter x e y:

Ento, z pode ser escrito como:

Fasores

Operaes:

OBS: notar que =

Fasores

A idia da representao por fasores baseada naidentidade de Euler:

O que mostra que podemos tratar e como as partes real e imaginria de . Podemos escrever:

Dada uma senoide , podemosexpress-la por:

Fasores

ou = Re( )

ento = Re()

onde = =

V portanto a representao fasorial da senoide v(t).

Fasores

Suprimindo o fator tempo, transformamos a senoide do dominio do tempo para o dominio do fasor:

Note que fator foi suprimidoe a frequencia no aparece nofasor, pois constante, porm aresposta depende dela, por isso,o domnio fasor tambmconhecido como domnio dafrequencia.

Fasores

Fasores

Das equaes anteriores temos:

= Re = + ento:

= + = + + 90

= Re = Re

Isso mostra que:

Do mesmo modo:

Fasores

As equaes anteriores so teis para encontrar a soluo em regime permanente, sem precisar conheceras condies iniciais das variveis envolvidas.

As diferenas entre v(t) e V so:1. v(t) a representao instantnea ou no domnio do tempo,

enquanto V a representao fasor ou no domnio da frequencia.

2. v(t) dependente do tempo, enquanto V no .3. v(t) sempre real sem termo complexo, enquanto V

geralmente complexo.

Ateno! A anlise de fasores somente se aplicaquando a frequncia constante e a mesma para doisou mais sinais senoidais.

Fasores e Elementos de Circuitos

Transformar a relao tenso-corrente do domnio do tempo para o domnio da frequncia.

Novamente, assumimos a conveno de sinais para oselementos passivos.

Para o resistor, assumindo que a corrente atravs dele , a tenso sobre ele ser:

= = + = Mas a representao fasor da corrente = , ento:

=

Fasores e Elementos de Circuitos

Relao tenso-corrente para o RESISTOR no domnio do tempo e da frequncia.

Diagrama de fasores para o RESISTOR:

Fasores e Elementos de Circuitos

Para o indutor, assumindo que a corrente atravs dele , a tenso sobre ele ser:

= = + = + + 90o

Sendo a representao fasor:

= () = = + 90o Mas a representao fasor da corrente = e = ,

ento:

=

Fasores e Elementos de Circuitos

Relao tenso-corrente para o INDUTOR no domnio do tempo e da frequncia.

Diagrama de fasores para o INDUTOR:

Fasores e Elementos de Circuitos

Para o capacitor, assumindo que a tenso sobre ele , a corrente sobre ele ser:

= Seguindo os mesmos passos anteriores, temos a representao

fasor:

= =

Fasores e Elementos de Circuitos

Relao tenso-corrente para o CAPACITOR no domnio do tempo e da frequncia.

Diagrama de fasores para o CAPACITOR:

Fasores e Elementos de Circuitos

Resumo das relaes tenso-corrente:

Impedncia e Admitncia

A partir da relao tenso-corrente para os trs elementos passivos:

= = = temos:

=

=

=

Podemos ento obter a lei de Ohm na forma fasor para qualquer tipo de elemento, como:

= ou =

onde Z uma quantidade dependente da frequencia conhecida comoimpedncia, medida em ohms ().

Impedncia e Admitncia

A impedncia Z de um circuito a relao entre a tenso fasor V e a corrente fasor I, medida em ohms ().

Da tabela, temos que para = 0 ( = 0, ) e para ( , = 0), assim:

Impedncia e Admitncia

Sendo uma quantidade complexa, a impedncia pode ser expressa naforma retangular:

= + onde = Re() a resistncia e = Im() a reatncia.

Observe que a reatncia pode ser positiva (reatncia indutiva) ounegativa (reatncia capacitiva), pois:

=

ento: = + (reatncia indutiva corrente atrasada em relao a tenso) = (reatncia capacitiva corrente adiantada em relao a tenso)

A impedncia Z pode tambm ser escrita na forma polar:

=

Impedncia e Admitncia

onde:

= + =

e:

= + =

= =

As vezes conveniente utilizar o reciproco da impedncia, chamadade admitncia.

Impedncia e Admitncia

A admitncia Y reciproca impedncia, medida em siemens (S).

= 1 =

e pode ser escrita:

= + onde = Re() a condutncia e = Im() a susceptncia.

Relacionando Y e Z:

+ = 1 + temos os termos real e imaginrio:

= + =

+

Leis de Kirchhoff no Domnio da Frequncia

Para analisar circuitos no domnio da frequncia devemos expressar as Leis de Kirchhoff no domnio da frequncia:

+ + + = 0 No regime permanente senoidal:

cos( + ) + cos( + ) + + cos( + ) = 0Re( ) + Re( )++Re( ) = 0

Re[( + + + )] = 0 Se = , ento:

Re[( + + + )] = 0 Como 0, ento:

+ + + = 0uu seja, a LTK se mantm para fasores.

Leis de Kirchhoff no Domnio da Frequncia

Podemos adotar um procedimento similar para mostrar que a LCK se mantm para fasores:

+ + + = 0 Se I1, I2, , In so a forma fasor das senoides i1, i2, , in, ento:

+ + + = 0

que a LCK no domnio da frequncia.

Combinao de Impedncias

Em srie:

= + + + = 0 Em paralelo:

=

1 +

1 + +

1

= + + + = 0

Combinao de Impedncias

Transformaes Delta-Y e Y-Delta: