CAMPUS DE GUARATINGUET

ROGRIA IRIS DE FRANA MOTTA BARBOSA

SOBRE OS MATEMTICOS DO PASSADO, PRESENTE E FUTURO

Guaratinguet

2015

ROGRIA IRIS DE FRANA MOTTA BARBOSA

SOBRE OS MATEMTICOS DO PASSADO, PRESENTE E FUTURO

Trabalho da disciplina Histria da Matemtica

Professor: Prof. Dr. Antnio Carlos de Souza

Guaratinguet

2015

RESUMO

No presente trabalho da disciplina Histria da Matemtica o intuito a investigao e o

devido estudo sobre a vida e obras do estudioso Gottfried Wilhelm Leibniz, famoso

matemtico criador do clculo diferencial e integral e autor de vrios outros trabalhos nos

campos da poltica, cincia e filosofia. pertinente tambm a este trabalho expor as pesquisas

do professor doutor Ernesto Vieira Neto, sendo este professor da Universidade Estadual

Paulista Jlio de Mesquita Filho, campus de Guaratinguet. Por fim, realizando um paralelo

com os tpicos anteriores, ser apresentado a breve trajetria da autora e suas futuras

aspiraes no campo acadmico.

SumrioCAPTULO 1 INTRODUO SOBRE GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ........................5

1.1 SOBRE A VIDA, PESSOA E OBRAS DE LEIBNIZ...............................................7

1.2 LEIBNIZ E O CLCULO.................................................................................10

CAPTULO 2 SOBRE O PROFESSOR DOUTOR ERNESTO VIEIRA NETO....................16

2.1 SOBRE O TRABALHO FORMAO DINMICA DOS SATLITES IRREGULARES DOS PLANETAS GIGANTES DO PROFESSOR ERNESTO.....................................17

CAPTULO 3 SOBRE A AUTORA DESTE TRABALHO................................................20

3.1 SOBRE MINHA INICIAO CIENTFICA.........................................................21

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................28

5CAPTULO 1 INTRODUO SOBRE GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

Pretende-se neste captulo introduzir as vrias facetas da vida e dos trabalhos do

estudioso Leibniz. Este que ficou famoso e devidamente reconhecido pela inveno do

clculo e pela disputa que esta descoberta causou com sir Isaac Newton, pois este tambm

havia criado o clculo, embora sob uma viso diferenciada. Hoje sabe-se que Newton chegou

ideia de derivada e integral e demais conceitos muitos anos antes do que Leibniz, mas no

publicou o trabalho, enquanto Leibniz tornou conhecida a sua descoberta, assim sendo, aos

dois atribuda a inveno de tal ferramenta matemtica. Sobre isso, ROQUE (2012)

escreveu

Muito j se disse sobre a disputa de prioridade na inveno do clculo e sobre os

contrastes entre os mtodos de Leibniz e Newton no que concerne s diferentes

concepes de quantidade varivel, ou s diferentes noes de continuidade. Nesse

ltimo caso, Newton deduzia a continuidade das propriedades fsicas, em ltima

instncia, da continuidade do decorrer do tempo. J Leibniz exprimia a lei de

continuidade em termos metafsicos e matemticos. Mas o conceito geomtrico de

quantidade garantia, de antemo, a continuidade das grandezas usadas. (ROQUE,

2012, p. 364).

Alm da diferena de muitos anos entre uma descoberta e outra, o clculo de Newton

baseia-se no movimento dos corpos e seu simbolismo matemtico demasiado confuso,

enquanto o clculo de Leibniz vem da noo de quantidades infinitamente pequenas e sua

rigorosidade quanto notao matemtica , sem dvida, perfeita. Esta notao criada por

Leibniz flui to bem nos clculos que at hoje comumente usada, alm de ser muito mais

elegante matematicamente. Como diria EVES (2004)

Leibniz tinha uma sensibilidade muito grande para a forma matemtica e discernia

com clareza as potencialidades de um simbolismo bem engendrado. Sua notao

para o clculo mostrou-se muito feliz e, inquestionavelmente, mais conveniente e

flexvel do que a de Newton. (EVES, 2004, p. 443).

Apesar de ser notavelmente inteligente contribuindo ento no somente na

matemtica, mas em muitas outras reas est presente em algumas obras da literatura que a

pessoa de Leibniz no seria devidamente agradvel. H relatos de que ele era o tipo de pessoa

6que faria quase qualquer coisa para conseguir prestgio entre a realeza. Deste modo, ele

procurava usar de sua inteligncia e maestria social para conquistar os cargos que almejava.

Aps se formar em Direito, em pouco tempo conseguiu o reconhecimento que

necessitava, e com isso fez vrias viagens como diplomata. Por fim tornou-se bibliotecrio-

chefe em Hanver, onde passou seus anos finais.

71.1 SOBRE A VIDA, PESSOA E OBRAS DE LEIBNIZ

Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig, cidade do estado da Saxnia,

Alemanha, em 1 de Julho de 1646 (DE CARVALHO, 2007). Seu pai era um professor de

filosofia moral, por isso Leibniz, desde sua tenra infncia, teve contato na biblioteca de sua

famlia paterna com as grandes obras de autores famosos de eras passadas. A citar alguns

como Plato (428-347 a.C.), Aristteles (384-322 a.C.) e Virglio (70-19 a.C.) e com a

filosofia e teologia escolsticas. Bastante criana aprendeu latim e grego por conta prpria; e

aos doze anos de idade j dominava todo o conhecimento correte de matemtica, filosofia,

teologia e leis publicado pelos textos da poca. (EVES, 2004, p. 442). Com seus 15 anos

comeou ento a ler Bacon (1561-1650) e Galileu (1564-1642), dedicando mais de seu tempo

ao estudo da Matemtica.

Aos 17 anos, j cursando Direito na Universidade de Leipzig e a que seu interesse

pela Matemtica aumentou consideravelmente, interesse este desenvolvido nas aulas de

filosofia (DE CARVALHO, 2007) escreveu um trabalho sobre individuao. Um pouco

mais tarde resolveu aprofundar seus estudos em Matemtica com o matemtico Ehrard Wigel.

Nesta poca Leibniz estava se dedicando a um trabalho em especial no campo da filosofia,

sua "Dissertao Sobre a Arte Combinatria. Neste, Leibniz se preocupou em vincular e

harmonizar as duas reas, matemtica e filosofia, procurando encontrar leis fundamentais e

inalterveis em uma, assim como o so existentes em outra.

Em 1666, ainda com seus joviais 20 anos, recebeu a titulao de doutor em Direito

pela Universidade de Altdorf, j que a Universidade de Leipzig no lhe deu o ttulo pois o

achavam novo demais (DE CARVALHO, 2007). Aps isso, em Nuremberg, filiou-se

sociedade secreta Roza-Cruz. Acredita-se que esta admisso tenha-lhe favorecido mais tarde a

seguir carreira poltica, como assim desejava, alm do recebimento de uma penso.

Por conhecer bem os meandros da alta sociedade, Leibniz sabia muito bem o que dizer

e fazer para conseguir vantagens. Por isso, em 1667, Leibniz dedicou um trabalho onde

tratava da importncia de uma filosofia e uma aritmtica de direito ao prncipe-eleitor de

Mogncia. Por isto ele foi convidado a revisar o "corpus juris latini" (leis jurdicas).

No ano de 1670 recebeu a nomeao de conselheiro da alta corte de justia de

Mogncia, entrando ento, nesta fase de sua carreira, em uma intensa vida de viagens

diplomticas. Nestas muitas viagens teve contato com vrios estudiosos e cientistas famosos

da poca, como Arnauld (1612-1694) e Huygens (1629-1695). Foi no ano de 1672 que

8Leibniz convenceu o cientista Huygens a lhe dar aulas de matemtica (EVES, 2004). Chegou

tambm a participar de reunies da Sociedade Real, onde acabou por tornar-se scio.

Entre 1673 e 1676 ocorreram dois grandes acontecimentos na vida de Leibniz. Foi

quando ele desenvolveu seu clculo diferencial e integral e tambm tornou-se bibliotecrio-

chefe em Hanver, onde passaria seus ltimos anos. Usou pela primeira vez o smbolo de

integral, um S alongado, derivado da primeira letra da palavra latina summa (soma) em 29 de

outubro de 1675. O objetivo era indicar uma soma de indivisveis. (EVES, 2004, p. 443).

Fundou a Academia das Cincias de Berlim e publicou vrios de seus trabalhos em jornais

eruditos da Frana e da Alemanha (DE CARVALHO, 2007). Empenhou-se em criar, tambm,

essas mesmas Academias em Dresden, Viena e So Petersburgo (EVES, 2004).

Aos poucos Leibniz foi perdendo todo seu prestgio, tendo feito mais algumas viagens

diplomticas anos antes e apresentado uma mquina de calcular de sua autoria. Veio a falecer

em 14 de Novembro de 1716, ento com seus 70 anos.

Se Leibniz era admiravelmente inteligente e hbil no saber, tendo sido um dos ltimos

estudiosos a ser integralmente sbio em vrias reas do conhecimento (BOYER, 1996), no se

podia dizer o mesmo de sua personalidade. Ele, acima de tudo, queria alcanar grande

prestgio dentro da corte, por isso procurava publicar os trabalhos que certamente lhe

proporcionariam reconhecimento social e garantissem cargos importantes, mesmo que isso

significasse no publicar seu melhor trabalho. No obstante, se este pode ser considerado um

fator negativo em seu carter, por outro lado Leibniz era um cristo enraizado. De acordo com

EVES (2004)

Leibniz era um otimista inveterado. No s acreditava poder reunir as seitas

religiosas conflitantes de seu tempo numa nica Igreja universal, como tambm,

acreditava que podia encontrar um meio de cristianizar a China atravs do que ele

considerava ser a imagem da criao na aritmtica binria. Como Deus pode ser

representando pela unidade e o nada pelo zero, ele imaginava que Deus tivesse

criado o tudo do nada, assim como na aritmtica binria todos os nmeros se

expressam por meio da unidade e do zero. Essa ideia agradava tanto a Leibniz que a

comunicou ao jesuta Grimaldi, presidente do Conselho de Matemtica na China, na

esperana de que ele pudesse converter o imperador chins (que era muito ligado a

cincia) e, indiretamente, toda a China ao cristianismo. Um outro exemplo das

tendncias teolgicas de Leibniz se encontram na observao que fez a respeito dos

nmeros imaginrios que seriam como os espritos sagrados das Escrituras: espcies

de anfbios, entre coisas que so e coisas que no so. (EVES, 2004, p. 444).

9Leibniz possui vrios trabalhos publicados, e no somente na rea da matemtica,

onde seu clculo ficou famoso. Segue abaixo alguns dos trabalhos que tratam de poltica,

cincia e filosofia:

Sobre a arte combinatria;

Discurso de metafsica;

Novos ensaios sobre o entendimento humano;

Sobre a origem radical das coisas;

O que ideia;

Caracterstica universal;

Correspondncia com Arnauld;

Correspondncia com Clarke;

Sobre o verdadeiro mtodo em filosofia e teologia;

Sobre as noes de direito e justia;

Ensaio de teodicia;

Consideraes sobre o princpio da vida;

Sobre a sabedoria;

Sobre a liberdade.

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1.2 LEIBNIZ E O CLCULO

Sem dvida, o grande legado que Leibniz deixou cincia foi a inveno do clculo

diferencial e integral. Evidentemente, vale lembrar que Newton, anos atrs, j havia chegado

aos mesmos conceitos, mas Leibniz foi muito mais criterioso em sua notao matemtica,

sendo esta mais elegante e de fcil assimilao. Cabia pois a ele desenvolver linguagem e

notao adequadas para o novo assunto. Leibniz sempre teve uma percepo aguda da

importncia de boas notaes como ajuda ao pensamento, e sua escolha no caso do clculo foi

particularmente feliz. (BOYER, 1996, p. 277). interessante pensar que as expresses que

usamos hoje em dia, como clculo diferencial e clculo integral vm de calculus

differentialis e calculus integralis, respectivamente, expresses estas criadas por Leibniz

(BOYER, 1996).

Em 1684, Leibniz finalmente publica seu trabalho. Sobre isto, BOYER escreve

A primeira exposio do clculo diferencial foi publicado por Leibniz em 1684 sob

o longo mas significativo ttulo de Novo methodus pro maximis et minimis, itemque

tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur (Um novo mtodo para

mximos e mnimos e tambm para tangentes, que no obstrudo por quantidades

irracionais). (BOYER, 1996, p. 278).

Nesta publicao Leibniz apresenta as conhecidas frmulas para o clculo da derivada do

produto, do quociente e potncias.

ddx

(xy) = xdy + ydx

ddx

(x / y )= ydx xdyy2

ddx (x

n)= nxn1 dx

Mais tarde, em um documento intitulado Acta Eruditorum, Leibniz publica um dos

teoremas mais importantes do clculo: o teorema fundamental do clculo. Nesta publicao

ele mostra que diferenciao e integrao so operaes inversas (BOYER, 1996).

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Agora, para explicar melhor como Leibniz fez tal descoberta, necessrio conhecer

certas premissas, das quais ele partiu para chegar ao clculo que conhecemos hoje. Elas so

quatro: characteristica generalis (caractersticas gerais), sequncia de diferenas, tringulos

caractersticos e a transmutao.

A primeira delas caractersticas gerais trata de um conjunto de smbolos

matemticos que regeram seus estudos. Segundo Leibniz, uma vez traduzido um problema

em linguagem matemtica simblica, a aplicao das regras conduzir quase mecanicamente

a sua soluo (DE CARVALHO, 2007, p. 27).

A segunda parte tem incio em um problema onde o matemtico holands Huygens

props a Leibniz. Huygens sugeriu a Leibniz que resolvesse o problema de somar a srie

infinita onde os termos desta srie seriam os inversos dos nmeros triangulares (DE

CARVALHO, 2007).

Figura 1 Nmeros triangulares

Fonte: http://www.sitedecuriosidades.com/curiosidade/numeros-triangulares.html

Acima temos a representao grfica destes nmeros, onde o termo genrico n

encontrado pela frmula r (r+1)2

. Ou seja, o que Huygens queria que Leibniz calculasse

era a soma 1 + 13 +16 +

110 +

115 + ... +

2r (r+1)

r=1

2r (r+1)

. Foi a que Leibniz

fez uso de sua conhecida sequncia de diferenas.

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Segundo o raciocnio de Leibniz, primeiro tem-se uma sequncia conhecida an .

an = a1, a2, a3, a4 , ... , an

A partir desta sequncia uma outra construda, sendo que os elementos desta so diferenas

entre os elementos da primeira.

b1 = a1a2b2 = a2a3b3 = a3a4b4 = a4a5

...bn = anan+1

bn = b1 , b2 , b3 , b4 , ... ,bn

Realizando a soma dos elementos da sequncia bn , obtemos

Som(bn) = (a1a2) + (a2a3) + (a3a4) + ... + (anan+1)

Som(bn)= a1an+1

Leibniz, conhecendo este mtodo, aplicou-o ao problema de Huygens. Primeiramente

foi feita a decomposio 2r (r+1)

em uma diferena de fraes. Um mtodo atual para a

realizao de tal procedimento seria da seguinte forma

2r (r+1)

= Ar B

r+1=

A (r+1) Brr (r+1)

= Ar Br + Ar (r+1)

Ar Br + A = 2 (A B)r + A = 0 r + 2

A B = 0 e A = 2. Logo B = 2

Portanto 2r (r+1)

= 2r 2

r+1

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Sendo assim, conclui-se que

r=1

2r (r+1)

= r=1

(2r

2r+1 ) =

21

2n (neste caso n tende a infinito )

r=1

2r (r+1)

= 2

De acordo com BARON1 (1985 apud DANTAS, p. 4), Leibniz percebeu que

[...] uma analogia entre o clculo de diferenas finitas e somas, por um lado, e a

determinao de reas e de tangentes pelo outro: a adio das sequncias

correspondia quadratura de curvas; tomar as diferenas correspondia

determinao das tangentes. A relao inversa entre tomar somas e diferenas

sugeriu a Leibniz que as determinaes de reas e de tangentes tambm so

operaes inversas. (1985, p. 46)

O tringulo caracterstico algo fcil de ser construdo e visualizado. O tringulo

abaixo CC1 D o tringulo caracterstico.

1 BARON, M. E. Curso de Histria da Matemtica: origem e desenvolvimento do Clculo.Braslia, UnB, v.1/2/3/4/, 1985.

DANTAS, Srgio Carrazedo. Reinterpretando a construo do clculo diferencial eintegral de Leibniz com uso de recursos geomtricos.

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Figura 2 Construo do tringulo caracterstico

H ainda em outras literaturas relatos de que nesta fase do trabalho de Leibniz ele

buscou, na verdade, levar o raciocnio empregado no tringulo de Pascal aos crculos e curvas

diversas (DE CARVALHO, 2007).

Figura 3 Soma dos elementos do tringulo de Pascal

Fonte: http://dicasetutoriaisdematematica.blogspot.com.br/2015/03/propriedades-do-

triangulo-de-pascal.html

15

Figura 4 Tringulo de Pascal

Fonte: http://www.alunosonline.com.br/matematica/triangulo-pascal.html

E sobre a transmutao, DE CARVALHO afirma

A transmutao consiste em uma regra geral que permite transformar uma curva

dada em uma outra curva, obtida a partir das tangentes da curva dada em questo.

um mtodo interessante quando a curva encontrada pela regra de transmutao

mais simples que a curva dada. um processo que reduz a rea da curva dada rea

de uma outra curva. (DE CARVALHO, 2007, p. 31).

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CAPTULO 2 SOBRE O PROFESSOR DOUTOR ERNESTO VIEIRA NETO

De acordo com o texto informado pelo prprio professor em seu currculo Lattes:

Possui Bacharelado em Fsica pela Universidade Federal de Gois (1990), Mestrado em

Cincias Espaciais pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (1993) e Doutorado em

Engenharia e Tecnologia Espaciais pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (1998).

Fez um ano de ps-doutoramento (8/2007 a 7/2008) junto ao Grupo de Dinmica no Linear

da Universidade de Potsdam, Alemanha, com bolsa FAPESP. Obteve o ttulo de Livre

Docente em Dinmica Orbital pela Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho

em 2009. Atualmente professor adjunto 3 da Universidade Estadual Paulista Jlio de

Mesquita Filho e coordenador do programa de Ps-Graduao em Fsica da UNESP,

campus de Guaratinguet. Tem experincia na rea de Astronomia Dinmica e Engenharia

Espacial, com nfase em Astronomia de Posio e Mecnica Celeste, atuando principalmente

nos seguintes temas: captura gravitacional, formao de satlites de planetas e estudo de

fragmentao. membro da Sociedade Astronmica Brasileira, da International

Astronomical Union e da Associao Aeroespacial Brasileira.

O professor Ernesto recebeu seu ttulo de doutor em Engenharia e Tecnologia

Espaciais no ano de 1998 pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, INPE, com o

trabalho intitulado Estudo Numrico da Captura Gravitacional Temporria Utilizando o

Problema Restrito de Trs Corpos, sendo bolsista pela CAPES. Seu mestrado foi em

Cincias Espaciais, ttulo recebido tambm pelo INPE em 1993, com o trabalho Estimao

Sequencial de rbita utilizando o Modelo Unificado de Estados, sendo bolsista pelo CNPq.

Por fim, sua graduao se deu em Bacharelado em Fsica, pela Universidade Federal de

Gois, UFG, em 1990.

Em 2002 fez seu primeiro ps-doutorado pela Universidade Estadual Paulista Jlio de

Mesquita Filho, UNESP, tendo bolsa pela FAPESP. J em 2008 fez seu segundo ps-

doutorado pela University of Potsdam, tambm tendo bolsa pela FAPESP. Finalmente em

2009 recebeu o ttulo de livre-docente pela Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita

Filho, UNESP, com seu trabalho Captura Gravitacional e a Formao Dinmica dos Satlites

Irregulares.

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2.1 SOBRE O TRABALHO FORMAO DINMICA DOS SATLITES IRREGULARES

DOS PLANETAS GIGANTES DO PROFESSOR ERNESTO

Usando as mesmas palavras presentes no incio do trabalho, o Sistema Solar est

povoado de satlites (NETO, 2010, p. 51). E no somente de satlites, como tambm tantos

outros corpos, alguns exercendo uma maior influncia sobre outros. Por conta disso, a

International Astronomical Union (Unio Astronmica Internacional) em 2006 estabeleceu

certas diretrizes como classificao. No caso dos planetas, o que define estes so os seguintes

critrios: girar em torno do Sol, ser massivo o suficiente para que sua gravidade o torne

redondo e seja capaz de limpar a sua vizinhana de objetos menores que poderiam

compartilhar sua rbita (NETO, 2010). Com isto, temos apenas oito planetas em nosso

Sistema Solar sendo que quatro deles so rochosos (Mercrio, Vnus, Terra e Marte) e os

outros quatro so gasosos (Jpiter, Saturno, Urano e Netuno). Depois h os planetas anes,

que atendem aos dois primeiros critrios e os asteroides e cometas que atendem somente ao

primeiro (NETO, 2010). Dos 8 planetas do Sistema Solar, 6 possuem satlites. (NETO,

2010, p. 52). Os nicos que no possuem so Mercrio e Vnus.

Sobre a Lua, o satlite da Terra, NETO (2010) diz

Ela tem o tamanho exato e est no lugar correto de forma que tem o mesmo

tamanho aparente do Sol. Podemos notar esta peculiaridade quando ocorrem os

eclipses totais. Mas isto mera coincidncia, a Lua foi formada mais prxima da

Terra e devido as foras de mars planetria a Lua se afastou e est no lugar que se

encontra hoje. E ela continua se afastando a uma taxa aproximada de 1 cm por ano e

algum dia no teremos mais eclipses totais. (NETO, 2010, p. 53).

Outro efeito curioso das mars planetrias a sincronia entre o movimento de rotao da Lua

em torno de seu prprio eixo e o movimento que ela faz em torno da Terra. Estes dois

movimentos esto to sincronizados ou seja, com a mesma velocidade que exatamente

por isso que enxergamos somente a mesma superfcie da Lua (NETO, 2010).

Existem vrias teorias quanto formao da Lua, desde as que defendem que esta foi

formada juntamente com a Terra at as que dizem que a Lua na verdade foi capturada.

Atualmente, a hiptese mais aceita que um planeta do tamanho de Marte colidiu com a

Terra no perodo inicial de sua formao. Os detritos dessa coliso se agregaram e formaram a

Lua. (NETO, 2010, p. 53).

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Quanto a Marte, seus dois nicos satlites so Fobos e Deimos, ambos de propores

bem pequenas. Sabe-se que Fobos est se aproximando da Lua, tambm por efeito das mars

planetrias. At hoje no se sabe ao certo a origem destes dois satlites (NETO, 2010).

J os satlites dos planetas gigantes, h muito o que se descrever. Limitando-se

somente a Jpiter, este possui quatro grandes satlites, que so chamados de satlites

galileanos, em homenagem a Galileu, que os descobriu. Os satlites so Io, Europa, Ganmede

e Calisto (NETO, 2010). Apesar destes quatro satlites serem os maiores e mais notveis em

relao s suas caractersticas, sabe-se que atualmente existam 63 satlites orbitando Jpiter.

Algo interessante so as rbitas de todos estes satlites. Os galileanos possuem rbitas

circulares, todavia os demais possuem rbitas muito excntricas. Outra caracterstica que se

sobressai a classificao dos satlites quanto ao sentido de seu movimento, ou seja, se so

prgradas ou retrgradas. Quando um satlite gira em torno do planeta na mesma direo de

rotao do planeta, dizemos que sua rbita prgrada. Se o satlite gira em direo oposta

rotao do planeta, dizemos que sua rbita retrgrada (NETO, 2010, p. 57). O ltimo fator

importante para se saber sobre os satlites o plano de rotao. Se este estiver no mesmo

plano equatorial do planeta em questo, ento a inclinao do plano de zero graus (NETO,

2010).

De acordo com todos os critrios anteriormente descritos, possvel dividir os satlites

em dois grandes grupos. O primeiro deles engloba os satlites que possuem rbitas circulares,

esto prximos dos respectivos planetas e seus planos de rotao coincidem com o plano

equatorial; a estes satlites d-se o nome de Satlites Regulares. Evidentemente, os satlites

com rbitas excntricas, distantes dos planetas e com planos de rotao diferente de zero

graus, recebem o nome de Satlites Irregulares (NETO, 2010).

Muito provavelmente, a resposta para a origem dos satlites regulares esteja na prpria

formao do planeta, que acabou originando o satlite no processo. Ou seja, foram formados

in situ. J a formao dos satlites irregulares no compatvel com esta teoria, pois uma

formao de satlite prximo regio do planeta no originaria um satlite retrgrado e de

excentricidade alta. A resposta para a formao dos satlites irregulares talvez esteja em sua

captura gravitacional aps a formao do planeta (NETO, 2010). Mas como essa captura

gravitacional ocorre? H vrios fatores que desencadeiam uma captura permanente, gerando

assim satlites irregulares. Uma delas a ruptura de binrios.

Os asteroides binrios so compostos por dois asteroides que orbitam um mesmo

centro de massa, ou seja, formam um s conjunto. Quando este par de asteroides passa

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prximo de um planeta, muito possvel que com a troca de energia entre os corpos, haja o

desligamento entre os asteroides, fazendo com que pelo menos um deles possa ser capturado

permanentemente pelo planeta, enquanto o outro expulso. Os problemas de trs e quatro

corpos explicam este fenmeno.

Existem algumas evidncias em nosso sistema solar que comprovam que os satlites

irregulares possam ter sido formados pelo desligamento de asteroides binrios. Por exemplo,

as crateras da Lua e de outros planetas, que de acordo com alguns estudos, foram produzidas

em uma mesma poca, onde provavelmente um bombardeamento de asteroides invadiu o

nosso sistema ainda em seu incio (NETO, 2010).

Ainda h vrias outras hipteses que podem explicar a origem dos satlites irregulares.

Provavelmente os satlites irregulares so frutos no de um tipo de formao, mas talvez de

uma combinao de hipteses. (NETO, 2010, p. 66).

Assim a cincia, a construo de modelos cada vez mais precisos de forma a

podermos olhar a natureza com os olhos da verdade. (NETO, 2010, p. 66).

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CAPTULO 3 SOBRE A AUTORA DESTE TRABALHO

Por influncia e o forte exemplo de meu pai, sempre tive algum interesse em seguir

carreira acadmica. Ele, que sempre esteve envolto em livros, estudos e clculos de algum

gnero. Tudo isso despertou minha curiosidade pela pesquisa. A princpio, assim como ele, eu

tinha o sonho de fazer qumica na USP. Mas acabei trilhando outros caminhos!

Sou tcnica em mecnica pela ETEC (Alfredo), tendo trabalhado um ano na rea em

uma metalrgica. Foi uma tima experincia. Por ter gostado tanto da profisso, decidi fazer

um curso preparatrio para o vestibular em 2010, pois havia decidido fazer engenharia

mecnica na FEG. Estudei durante todo o ano, e acredito que um ms antes da inscrio

mudei completamente de ideia e me inscrevi para fazer Licenciatura em Matemtica. E no

me arrependo de minha escolha. Minha mudana repentina se deu por trs motivos: primeiro,

minha me aconselhou-me a ser professora, pois para ela professores devem estudar o tempo

todo e exatamente assim que ela me v; uma pessoa que gosta de estudar. Segundo, certo dia

um casal de amigos meus me pediu ajuda com certo contedo de matemtica e eles me

elogiaram muito, pois eu havia conseguido faz-los entender a matria. E por ltimo, lembro

bem do dia que aprendi o teorema de Bhaskara. Fiquei fascinada e me perguntando de onde

aquilo vinha. Como algum, com tamanha inteligncia, havia descoberto uma frmula

universal que sempre encontraria as razes de uma funo quadrtica?! claro que na poca

no era pertinente a professora ensinar a demonstrao da frmula, mas desde ento sempre

tive vontade de aprender de onde vinham os teoremas e/ou frmulas matemticas.

J no segundo ano de faculdade consegui minha primeira bolsa pelo Ncleo de Ensino.

Foi a que tive meu primeiro contato com a sala de aula. Tnhamos que preparar aulas

diferenciadas e mostrar de uma outra forma e com o uso de certas TICs alguns contedos

matemticos, ou seja, trabalhvamos com calculadora cientfica e softwares, como o winplot,

que gera grficos de funes.

Sa do Ncleo e fui para o PIBID. Novas discusses, aprendizados, preparo de

projetos. Nesta fase sei o quanto foi importante as observaes feitas, pois com elas pude ver

o dia-a-dia de um professor de matemtica da rede pblica e o comportamento dos alunos

perante o professor e a matria.

Ao final de 2013 decidi procurar o professor Ernesto, pois tinha interesse em fazer

meu TCC com ele sobre algo relacionado com EDO. O professor havia ministrado esta

disciplina em 2012 para minha turma e eu havia gostado muito da matria. Ele ento disse que

21

j havia um projeto de iniciao cientfica pronto, com todo o cronograma estabelecido,

bastava um aluno disposto a pr em prtica. Resolvi aceitar. Foi e tem sido um grande desafio.

3.1 SOBRE MINHA INICIAO CIENTFICA

O ttulo do projeto Transferncia orbital usando uma sonda em dois estgios. O

resumo que consta em meu tcc encontra-se abaixo

Este trabalho visa o estudo sobre a viabilidade da transferncia orbital manobra com a

aplicao de alterar drasticamente a rbita de um objeto usando uma sonda composta por

dois estgios. Baseado nos estudos das equaes diferenciais que regem o problema de dois,

trs e quatro corpos e nos mtodos numricos empregados para a resoluo destas, ser feita

a modelagem da sonda em dois estgios. Usando programas computacionais sero obtidas

as trajetrias da sonda. Aps este primeiro momento, haver tambm a modelagem da

ruptura e a sua implementao computacional. Ao final ocorrer uma anlise sistemtica dos

resultados obtidos nessas simulaes. O objetivo principal encontrar as condies corretas

de modo que esta ruptura possa vir a gerar uma energia suficiente para transformar a

captura gravitacional temporria em permanente, ocasionando, dessa maneira, uma

economia de combustvel no instante da manobra.

No comeo do projeto tive que estudar o problema de dois, trs e quatro corpos e

encontrar as respectivas equaes de movimento.

d2 r 1dt 2

=Gm2

|r 1 r 2|3 . ( r 1 r 2)+

Gm3|r 1 r 3|

3 . ( r 1 r 3)

d2 r 2dt2

=Gm1

|r 2 r1|3 . ( r2 r 1)+

Gm3|r 2 r 3|

3 . ( r 2 r 3)

d2 r 3dt 2

=Gm1

|r 3 r 1|3 . ( r 3 r1 )+

Gm2|r 3 r 2|

3 . ( r3 r 2 )

22

Acima esto as equaes de movimento do problema de trs corpos. Para chegar

nestas equaes basta usar a segunda lei de Newton, a lei da gravitao universal e

esquematizar os vetores de foras atuantes nos corpos em questo.

F = ma F = GMmr2

Figura 5 Direes relativas aos corpos e ao centro de massa do conjunto

Figura 6 Direes relativas aos corpos e ao centro de massa do conjunto (vetores invertidos)

23

Esta foi a parte mais fcil indiscutivelmente mais fcil em comparao s outras

etapas do projeto.

Depois disso foi preciso entender o algoritmo responsvel pela integrao numrica

das equaes de movimento. Foi necessrio de minha parte uma reviso sistemtica dos

contedos vistos em programao de computadores e clculo numrico, e diga-se de

passagem duas disciplinas que no tive a menor afinidade e habilidade, a princpio. No

obstante, com toda a reviso feita, pude entender vrios tpicos aos quais no dei muita

ateno, e assim comecei a me interessar fortemente por programao e vislumbrar o quanto

esta importante nos dias de hoje (e tambm divertida).

Alm desta grande dificuldade me deparei com uma maior ainda, bem no incio da

pesquisa. Aps encontrar as equaes, o professor esperava que eu conseguisse compilar o

algoritmo que j havia sido escrito em C++ pelo prprio professor Ernesto mas a

compilao no estava dando certo pelo Windows. Como um bom orientador, o professor me

disse que s poderia me ajudar melhor caso eu usasse o sistema operacional Linux, pois com

este ele tinha muito mais familiaridade. At ento eu s tinha ouvido falar do tal Linux, mas

nunca me imaginei usando-o. Fiz vrias tentativas de compilar o programa no Windows, mas

nenhuma delas deu algum resultado. O tempo estava passando e havia todo um cronograma a

ser seguido, ento tive que sair completamente de minha zona de conforto e partir para o

estudo de um sistema operacional totalmente novo para mim. Com muita pesquisa na internet

e ajuda do google, aprendi a formatar um computador, criar um pen-drive bootavel com

Ubuntu (uma das muitas distros do Linux) e fazer dual-boot ou seja, ter dois sistemas

operacionais instalados na mesma mquina. Tendo o Ubuntu instalado, o professor Ernesto

pde me ajudar com a compilao do programa, mas meu aprendizado de um novo SO no

parou por a. Para facilitar todo o trabalho que ainda estava por vir, tive que me familiarizar e

aprender vrios comandos teis do terminal do Ubuntu (linha de comando). esta ferramenta

que agiliza e simplifica todo o trabalho de compilao e execuo dos programas escritos em

C++. Alm disso, tive que reaprender a usar programas que, no Windows, eram velhos

conhecidos para mim, como Word e Excel. Ao fim desta segunda etapa, estava apaixonada por

programao e pelo mundo do software livre!

Aps alguns resultados obtidos, era chegada a hora da modelagem do tirante. Este que,

quando rompido, o responsvel por gerar a energia esperada, fazendo com que pelo menos

um dos dois satlites, antes acoplados, possa sofrer uma captura gravitacional permanente.

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Figura 7 Esquematizao das foras atuantes nos dois satlites (modelagem do tirante)

Com esta esquematizao e vrios clculos, possvel chegar a nova equao de

movimento incluindo a modelagem do tirante.

d2 r4dt 2

=Gm2

|r2r 4|3 (r2r 4)

Gm3|r3r4|

3 ( r3r4) +ksm4

r3r 4|r3r 4|

Tendo chegado a este ponto foi possvel a plotagem de vrios grficos interessantes,

onde foi possvel constatar a captura ou no de um dos satlites envolvidos.

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Figura 8 Trajetria da lua (linha vermelha), trajetria do satlite capturado (linha verde) e

trajetria do outro satlite (linha azul)

Figura 9 Simulao anterior mas vista em trs dimenses

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Estes resultados foram obtidos com a modelagem em C++ das equaes antes

descobertas e com as vrias mudanas feitas nas muitas variveis envolvidas. Uma leve

alterao em apenas uma delas uma mudana de dcimos j o suficiente para reverter

uma captura gravitacional. Como no exemplo abaixo.

Figura 10 Trajetria da Lua e dos dois satlites que no foram capturados

Ao fim destas primeiras simulaes, foi possvel chegar a uma regio vivel, onde

sempre haver captura gravitacional.

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Figura 11 Regio vivel

Para encontrar esta regio, apenas duas das variveis foram alteradas (tempo de

ruptura da haste e o comprimento desta). Agora estou alterando a anomalia verdadeira para

obter uma nova regio.

Por conta de todo este aprendizado, minhas futuras aspiraes mudaram muito. Agora

tenho muito vontade de fazer uma nova graduao. Anlise e desenvolvimento de sistemas,

onde eu poderia aprender um pouco mais de C++ e outras linguagens de programao to

importantes quanto, como Java e HTML. Ou ento, se surgir uma oportunidade, fazer um

mestrado na rea de programao ou algo similar.

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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

GOTTFRIED Wilhelm Leibniz: vida e obra. So Paulo: Nova Cultura, 2004.

DE CARVALHO, Romeu Manuel. A inveno do Clculo por Newton e Leibniz e sua

evoluo para o Clculo Contemporneo. 2007. 52 f. Monografia (Curso de Especializao

em Matemtica para professores com nfase em clculo) Instituto de Cincias Exatas,

Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2007.

BOYER, Carl Benjamin. Clculo: tpicos de histria da matemtica para uso em sala de aula.

So Paulo: Atual, 1992. v. 6.

DE CARVALHO, Tadeu Fernandes; D'OTTAVIANO, Itala M. Loffredo. Sobre Leibniz,

Newton e infinitsimos, das origens do clculo infinitesimal aos fundamentos do clculo

diferencial paraconsistente.

BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. 2. ed. So Paulo: Edgard Blcher, 1996. 496 p.

ROQUE, Tatiana. Histria da Matemtica: uma viso crtica, desfazendo mitos e lendas. Rio

de Janeiro: Zahar, 2012. 511 p.

EVES, Howard. Introduo histria da matemtica. Campinas: Editora da UNICAMP,

2004. 843 p.

NETO, Ernesto Vieira. Formao dinmica dos satlites irregulares dos planetas gigantes.

Caderno de fsica da UEFS, 2010. Caderno 08.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Disponvel em:

. Acesso em: 08 maio 2015.

Gottfried Wilhelm von Leibniz. Disponvel em:

. Acesso em: 08 maio

2015.

29

Leibniz. Disponvel em: . Acesso em: 08

maio 2015.

Binmio de Newton. Disponvel em:

. Acesso em: 08 maio 2015.

Nmeros Binomiais. Disponvel em: . Acesso em: 08 maio 2015.

Leipzig. Disponvel em: . Acesso em: 10 maio 2015.

CAPTULO 1 INTRODUO SOBRE GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ1.1 SOBRE A VIDA, PESSOA E OBRAS DE LEIBNIZ1.2 LEIBNIZ E O CLCULO

CAPTULO 2 SOBRE O PROFESSOR DOUTOR ERNESTO VIEIRA NETO2.1 SOBRE O TRABALHO FORMAO DINMICA DOS SATLITES IRREGULARES DOS PLANETAS GIGANTES DO PROFESSOR ERNESTO

CAPTULO 3 SOBRE A AUTORA DESTE TRABALHO3.1 SOBRE MINHA INICIAO CIENTFICA

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS