Seja U ( Λ1 , a1 ) e U ( Λ2 , a2 ) duas transformações de Poincaré temos que

U ( Λ1 , a1 ) ¿ x ⟩=¿ Λ1 x+a1 ⟩ (1)

tomemos Λ1 x+a1=x1 temos agora que

U ( Λ2 , a2 )U ( Λ1 , a1 ) ¿ x ⟩=U ( Λ2 , a2) ¿ x1 ⟩=U ( Λ2 , a2 )¿ Λ1 x+a1 ⟩

¿U ( Λ2 , a2 ) ¿ Λ1 x+a1 ⟩=¿ Λ2 Λ1 x+Λ2a1+a2 ⟩(2)

ou seja

U ( Λ2 , a2 )U ( Λ1 , a1 )=U ( Λ2 Λ1 , Λ2a1+a2 )(3)

Consideremos agora o produto U ( Λ−1 ,−Λ−1a )U ( Λ ,a ) .Como Λ1=Λ , Λ2=Λ−1, a1=a e a2=−Λ−1 usando a expressão (3) obtemos

U ( Λ−1 ,−Λ−1a )U ( Λ ,a )=U ( Λ−1 Λ , Λ−1a− Λ−1a )=U (1,0 )(4 )

A expressão (4) nos diz que U ( Λ−1 ,−Λ−1a ) é a inversa de U ( Λ ,a ). Do mesmo modo tomando Λ1=Λ−1 , Λ2=1+ω, a1=−Λ−1a , a2=ε e usando a expressão (3) obtemos

U (1+ω,ε )U ( Λ−1 ,−Λ−1a )=U ( Λ−1+ω Λ−1 ,−Λ−1a−ω Λ−1a+ε )(5)

multiplicando a expressão (5) por U ( Λ ,a ) nos vemos que

U ( Λ ,a )U ( Λ−1+ω Λ−1 ,−Λ−1a−ω Λ−1a+ε )=¿

U (1+Λω Λ−1 , Λ ε−Λω Λ−1a )(6)

Para obter a expressão (6) nos usamos a1=−Λ−1a−ω Λ−1a+ε , Λ2=Λ ,a2=a e Λ1=Λ

−1+ω Λ−1 na expressão (3). As expressões (5) e (6) nos diz que

U ( Λ ,a )U (1+ω,ε )U−1 ( Λ ,a )=U (1+Λω Λ−1 , Λ ε−Λω Λ−1a )(7)

Em primeira ordem temos que

U (1+ω,ε )=1−12

(1+ω )ρσ Jρσ−ε ρP

ρ(8)

logo

U ( Λ ,a )(1−12 (1+ω )ρσ Jρσ−ε eρP

ρ)U−1 ( Λ ,a )=¿

1−12

(1+ω )ρσU ( Λ ,a ) J ρσU−1 ( Λ ,a )−εeρU ( Λ ,a )PρU−1 ( Λ ,a )(9)

por outro lado em primeira ordem temos também

U (1+ω Λ−1 , Λ ε−Λω Λ−1a )=¿

1−12

(1+Λω Λ−1 )μν Jμν−( Λε−Λω Λ−1a )μP

μ(10)

da expressão (7 ) , (9 ) e (10) chegamos a

12ωρσU ( Λ ,a ) J ρσU−1 ( Λ ,a )−ε eρU ( Λ ,a )PρU−1 ( Λ ,a )=¿

12

( Λω Λ−1 )μν Jμν− ( Λε−Λω Λ−1a )μP

μ(11)

o lado direito da expressão (11) ainda pode ser escrito como

12

( Λω Λ−1 )μν Jμν+( Λ ε )μ P

μ−( Λω Λ−1a )μPμ(12)

por outro lado temos que

( Λω Λ−1)μν=Λμαωαβ Λβν−1 (13 )

( Λω Λ−1a )μ= Λμαωαβ ( Λ−1 )ν

βaν (14 )

( Λε )μ=Λμα εα (15 )

ou seja(12 ) pode ser escrito como

12ωαβ Λμ

α Λβν−1 J μν−Λμ

αωαβ ( Λ−1 )νβaνPμ+ Λμ

α εα Pμ(16)

substituindo a expressão (16) na expressão (11) obtemos

12ωρσU ( Λ ,a ) J ρσU−1 ( Λ ,a )−ε eρU ( Λ ,a )PρU−1 ( Λ ,a )=¿

12ωαβ [Λμα Λβν−1J μν−Λμ

α ( Λ−1 )νβaν Pμ ]+ Λμα εα Pμ(16)

por fim comparando os termos em ωαβ e ε α do lado direito com o esquerdo de (16) obtemos

U ( Λ ,a ) J ρσU−1 ( Λ ,a )=[ Λμα Λβ ν−1 J μν−Λμα ( Λ−1 )ν

βaνPμ ] (17 )

U ( Λ ,a ) PρU−1 ( Λ ,a )=Λμα Pμ(18)

Seja agora ¿ p ,σ ⟩ um vector estado onde p representa o momento e σ representa outros graus de liberdade podendo ser continua ou discreta. Usando a equação (18) temos

PμU ( Λ ) ¿ p ,σ ⟩=U ( Λ )U−1 ( Λ )PμU ( Λ ) ¿ p ,σ ⟩=U ( Λ ) ( Λ−1 )νμPν ¿ p ,σ ⟩

¿ Λ νμ pνU ( Λ )∨p ,σ ⟩ (19 )

De (19 ) vemos que U ( Λ )∨p ,σ ⟩ é um vector próprio de Pμ com auto valor Λ νμ pν e logo U ( Λ )∨p ,σ ⟩ de ser combinação linear de auto estados ¿ Λ p ,σ ⟩ isto é

U ( Λ )∨p ,σ ⟩=Cσα ¿ Λ p ,α ⟩(20)

Podemos definir estados com momento p da seguinte forma

¿ p ,σ ⟩=N (p )U (L) ¿k ,α ⟩(21)

onde N (p )é uma constante de normalização e L é definido da seguinte forma

pμ=Lνμ k ν (22)

Multiplicando (21) por U ( Λ ) ficamos

U ( Λ ) ¿ p ,σ ⟩=N ( p )U ( Λ )U (L ) ¿k ,α ⟩=N (p )U ( Λ L ) ¿ k ,α ⟩

¿N (p )U [L−1 ( Λ p ) L ( Λ p ) Λ L( p)] ¿k ,α ⟩

¿N (p )U [L(Λ p)]U [L−1 ( Λ p ) Λ L( p)] ¿k ,α ⟩(23)

onde usamos que U ( Λ )U (L )=U ( Λ L ) que vem da definição de representações de grupos. Por outro lado

L−1 ( Λ p ) Λ L ( p ) kν=kν (24 )

já que L (p ) leva k ν á pν, Λ leva pν á ( Λ p )ν e da definição de L, L−1 ( Λ p )=k ν

De (24) vemos que L−1 ( Λ p ) Λ L ( p ) pertence ao subgrupo do grupo de Lorentz que deixam k ν invariante. Este subgrupo é chamado de pequeno grupo e os seus elementos serão denotados por W ou seja

W νμ kν=kμ(25)

De (20) e (25) vemos que

U (W )∨k ,σ ⟩=Dσα (W ) ¿k ,α ⟩(26)

por outro lado

U (W 2W 1 )∨k ,σ ⟩=U (W 2 )U (W 1 )¿k ,α ⟩=U (W 2 )Dλ α (W 1 )¿k ,α ⟩

Dσ λ (W 1 )Dλα (W 1 ) ¿k ,α ⟩=D σα (W 2W 1 )¿k ,α ⟩(27)

e logo

Dσα (W 2W 1)=Dσλ (W 1)D λα (W 1 ) (28 )

Se usarmos W=L−1 ( Λ p ) Λ L (p ) em (23) e usarmos (23) obtemos

U ( Λ ) ¿ p ,σ ⟩=N ( p )U [L (Λ p ) ]Dσα (W ) ¿k ,α ⟩(29)

ou ainda usando (21) obtemos

U ( Λ ) ¿ p ,σ ⟩=N ( p )Dσα (W ) ¿ Λ p ,α ⟩(29)