SEGMENTOS PROPORCIONAIS

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1

AS RESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXERCÍCIOS. Segmentos Proporcionais

1. Quais pares de segmentos são incomensurá-veis? a) AB = 2cm; CD = 9cm

CDAB =

92 . Logo são comensuráveis porque a

razão entre eles é um número racional. b) AB = 3 5 m; CD = 5 m c) AB = 5 2 m; CD = 5m d) AB = 3 cm; CD = 6 cm

2. Os segmentos AB , CD , EF e GH , nessa or-dem, são proporcionais. Determine x:

a) AB = 2m; CD = 5m; EF = 6m; GH = x

CDAB =

GHEF →

52 =

x6 → x = 15

Resposta: x = 15m

b) AB = 4m; CD = 7cm; EF = x; GH = 28cm

c) AB = 5cm; CD = x; EF = 10cm; GH = 16cm d) AB = x; CD = 3cm; EF = 12cm; GH = 9cm e) AB = 8cm; CD = 6cm; EF = 4cm; GH = x

3. Determine a razão CDAB , nos seguintes casos:

a) AB = 3cm e CD = 4cm

b) AB = 15cm e CD = 5cm

c) AB = 2 cm e CD = 3 2 cm

d) AB = 5 3 cm e CD = 5 cm 4. Observe a figura abaixo e determine as razões entre os segmentos indicados: u = 1cm u u u u u u u u A B C

a) AB e BC b) AB e AC c) BC e AC 5. Divida o segmento AB em dois outros segmen-tos, na razão indicada:

a) AB = 60cm; razão = 75

O segmento será dividido em 12 partes iguais (5 + 7). Logo: 60:12 = 5

Os segmentos pedidos serão: 5.5 = 25cm e 5.7 = 35cm

Note que os fatores que multiplicam o valor en-contrado na divisão são os componentes da ra-

zão.

b) AB = 28cm; razão = 43

c) AB = 36cm; razão = 51

d) AB = 48cm; razão = 31

e) AB = 72cm; razão = 53

6. Qual é a razão entre os segmentos AB e CD da figura?

A 4c m B C 8c m D

7. Qual é a razão entre os segmentos AB e BC da figura abaixo?

A 3c m B 6c m C

8. Determine a razão dos segmentos AB e CD que medem, respectivamente:

a) 28cm e 4cm b) 20cm e 2m c) 1m e 5dm

9. Determine a razão dos segmentos AB e CD que medem, respectivamente:

a) 4cm e 12cm b) 10 3 cm e 2 3 cm c) 40cm e 3dm

10. Sabendo que AB =5cm, RS =8cm e PQ =15cm, determine as razões:

a) RSAB b)

ABRS c)

PQRS d)

ABPQ

11. Se M é ponto médio de um segmento AB ,

determine a razão MBAM .

12. Na figura abaixo, u é uma unidade de medida que cabe 9 vezes em AB . Calcule a razão entre os segmentos AP e PB .

u u u u u u u u u A P B

13. Sendo a//b//c, determine x: a)

r s

a 3 4 b 6 x c

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b) 9 12 s

a x

14 b

c r c)

s

5 8

x

a b c 12

14. Sendo a//b//c, calcule os elementos indicados por letras:

a) r s a 21 x 4 b y 3c

b)

a s r

b 12 8 6 yc x 4

15. Sendo r e s transversais de um feixe de para-lelas, calcule x e y:

a) r s a x 4 b 21 y 10

c

b) a b c d r

3 4s 5

y

x

2

16. Sendo a//b//c//d, determine x, y e z:

a) b c d a

r

st

z 6

3y

2

5x

4

b)

s t a r 6 b

x 3 c 1 2 z 4 d y

17. Nas figuras, sendo r//s//t, determine x:

a) m n r 3 6 s x 14 t

b) 4 12 m

n x r s 18 t

c) n r

m 10 s x 5 t

15

d)

m n r x +1 2x - 6 s 4 6 t

18. Nas figuras, sendo r//s//t, determine x e y:

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a) 3 9 m

n 24 x r s y t

b) m n r x 4 s y 36 8 t

c) m n r 3 x s 4 21 y t

d)

4 5 m

n 27 x r s y t

19. Resolva os problemas seguintes: a) Dois segmentos medem, respectivamente, 5cm e 10cm. Determine a razão do primeiro para o segundo. b) Os segmentos AB , CD , EF e GH , nessa ordem, são proporcionais. Sendo AB = 10cm, CD = 15cm e EF = 6cm, determine GH .

c) Divida um segmento de 35cm em dois ou-

tros segmentos, na razão 43 .

d) Um feixe de 3 retas paralelas determina, numa transversal, os pontos A, B e C; em ou-tra transversal, determina os pontos D, E e F. Se AB = 4cm, BC = 7cm e DE = 8cm, determine EF . e) Duas transversais cortam um feixe de 3 pa-ralelas. Uma dessas transversais corta as para-lelas nos pontos A, B e C, e a outra corta as paralelas nos pontos D, E e F. Se AB = 5m, BC = 10m e DE = x, EF = y e x + y = 21m, determine x e y.

f) Duas transversais partem de um ponto A e encontram duas paralelas. Uma das transver-sais corta as paralelas em B e C, e a outra transversal as corta em D e E. Se AB = 4cm, BC = 12cm e AD = 6cm, determine a medida de AE . g) A paralela a um lado de um triângulo de-termina, sobre o segundo lado, segmentos de 7cm e 12cm. Calcule as medidas dos segmen-tos correspondentes sobre o terceiro lado

20. Determine x, nas figuras seguintes, sendo r // s // t:

a)

m n r 5 10 s 7 x t

b)

r s t 8 3 m n x 16

c)

n r s tm

6

x 21

7

d)

r s t 9 10m

n x 20

21) Resolva os seguintes problemas:

a) Num triângulo ABC, seja AD a bissetriz do ângulo interno A. Sabendo que AB = 24cm, AC = 36cm e BD = 18cm, determine o perí-metro desse triângulo. b) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ân-gulo interno A. Calcule BD e BC .

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A

7 14

B C m D n = 6

c) Seja AD a bissetriz do ângulo interno A (figura abaixo). Calcule BD e CD .

B

6 m D 12A n

9 C

d) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ân-gulo interno A. Calcule CD e BC .

A

6 9

B C

m = 4 D n e) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângu-lo interno A. Calcule BD e CD .

A

B m n C D 18

22) Na figura abaixo, AD é a bissetriz de A e m + n = 15. Calcular m e n.

ˆ

B

8 m D 15 A n 12 C

23) Seja AD a bissetriz interna do ΔABC. Se AB = x + 9, AC = 2x, BD =12 e CD =15, de-termine x.

24) Se BD é bissetriz interna do ΔABC e sendo AD = 8cm, CD = 10cm, AB = 3x e BC = 4x +

riângulo. 3, determine os lados do t

tr 25) Um iângulo ABC tem os lados medindo AB = 18cm, AC = 15cm e BC = 12cm Calcule os segmentos determinados sobre o maior

. lado

pela bissetriz interna do ângulo oposto a ele. 26) Um triângulo tem os lados medindo 15cm, 12cm e 9cm. Calcule os segmentos determinados no menor lado pela bissetriz interna do ângulo oposto a este lado. 27) Um triângulo ABC tem lados medindo AB = 24cm, AC = 15cm e BC = 12cm. Calcule os segmentos determinados em AC pela bissetriz

28) i guem

interna do ângulo B. A bissetriz nterna do ân lo A de um triân-

gulo ABC divide o lado oposto dois segmen-tos de 9cm e 16cm. Sabendo que AB mede 18cm, determine a medida do lado AC .

29) Se AD é bissetriz externa do ΔABC. AB = 10cm, AC = 5cm e BC = 6cm. Determine CD .

30) Sendo AD a bissetriz externa do triângulo C, com AB AB 4cm, AC 2cm e BC = 3cm, = =

CD .determine

31) Sendo AD a bissetriz externa do triângulo ABC e se A = 5cm, C B = 6cm e C C = 10cm, determine o do

D la AB .

32) Um triângulo ABC tem lados AB = 9 cm, BC = 4cm e AC = 6c A bissetri xterna ao ângulo A encontr o

m. z ea prolongamento de BC no

ponto D. Calcule a medida de BD .

Um triângulo ABC tem lados AB = x cm, 33) BC = 6cm e AC = 5cm. A bissetriz externa ao ângulo A encontra o prolong enam to de BC no ponto D. Se CD = 10 cm, calcule x.

Num triângulo ABC de lados AB = 5 cm, 34) BC = 6cm e AC = 3cm. Sabe-se que as bissetri-zes interna e terna relativas ao ângex ulo A inter-ceptam o lado BC e seu prolongame o nos pon-

P e Q, res tivamente. Determine a medida de

nttos pec

PQ .

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Respostas 1) c e d 2) 5

c) 8cm d) 4cm a) 1 m b) 16cm

e) 3cm

3) a) 43 b) 3

c) 31 d) 15

4) a) 35 b)

85 c)

83

5) a) 25cm e 3 cm5 b) 12cm e 16cm

d) 12cm e 36cm

6)

c) 6cm e 30cm

e) 27cm e 45cm

21 7)

21

8) a) 7 b) 101 c) 2

9) a) 31 b) 5 c)

34

10) a) 85 b)

58

c) 15

d) 3 8

11 2) 1 1 ) 21

13) a) 8 b) 6 c) 2

15

14) a) x =12 e y = 9

b) x =38 y = 4 e

15) a) x = 6 e y =15

b) x =3

10 e y = 6

16) a) x = 38 , y =

415 e

z =524

b) x = 4, y = 8 e z

17) a) 7 b) 6

18) a) x = 6 e y = 18

y = 12

=12

c) 30 d) 15

b) x = 12 e y = 24 c) x = 9 ed) x = 12 e y = 15

19) a) 21 b) 9cm

0cm

=

m 20) a) 14 b) 6

8 18 21 105

c) 15cm e 2d) 14cm e)x = 7m e y 14m f) 24cm g) 21cm e 36c

c) 1 d) ) a) cm

b) BD = 3 e BC = 9

c) BD = 4,8 e CD = 7,2

d) CD = 6 e BC = 10

e) BD = 7,2 e CD = 10,8

24) 18cm, 36cm cm e 8cm 5cm 10cm

22) m = 6 e n = 923) 15

e 4525) 10cm26) 4cm e27) 5cm e

28) 32cm e 881 cm

9) 6cm 30) 3cm 31) 8cm 32) 12cm 33) 8cm 34) 11,25cm

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