Segmentos Orientados e Vetores

7/28/2019 Segmentos Orientados e Vetores

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Segmentos Orientados e VetoresExerccios Propostos (pg. 19)

09) A figura representa um hexgono regular ABCDEF, de centro em O. Pede-seescrever a soma de vetores (B-A)+(C-A)+(D-A)+(E-A)+(F-A) em funo do vetor

(O-A).Obs: o centro do hexgono o pontoO.

A B

F O C

E DQuando no exerccio pedido em funo de (O-A), porque na resposta deve terapenas o vetor (O-A), ento vamos somar todos os vetores e deixar como resultadoapenas o vetor (O-A). Sabemos que um vetor a soma dos que esto em suavolta, e se no alterarmos a direo e o sentido podemos mov-lo que ele continuasendo o mesmo vetor, ento vamos por parte identificando os vetores.

A B Vamos dar nomes aos vetores para quefique mais fcil trabalhar:(O-A)=x (O o centro do hexgono)(B-A)=u(C-A)=w

F C (D-A)=v(E-A)=t(F-A)=z

E D

u=x-zw=u+x w=(x-z)+x w=x-z+x w=2x-zv=w+z v=(2x-z)+z v=2x-z+z v=2x

t=x+zz=t-x z=(x+z)-x z=x+z-x z=z

Agora somamos os resultados de todos vetores:(x-z)+(2x-z)+(2x)+(x+z)+(z) = x-z+2x-z+2x+x+z+z = 6x ou seja 6.(O-A)


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10) Dado um quadriltero qualquer ABCD, plano ou reverso, demonstre que ospontos mdios dos seus lados so os vrtices de um paralelogramo.Quadriltero qualquer figura com quatro lados,

A (B-A)=u

B (C-B)=wM (D-C)=tQ N (A-D)=v

(M-Q)=a(M-N)=b

C (N-O)=dD O (Q-O)=c

Temos que provar que a=d, e b=c

a=1/2v+1/2u d=-1/2t-1/2w

a=-1/2v-t-w-1/2u d=1/2t+v+u+1/2w

somando as duas: somando as duas:

2a=-t-w 2d=v+ua=-t-w d=v+u

2 2a=-1/2t-1/2w d=1/2v+1/2u

a=d d=a

b=-1/2w-1/2u c=1/2t+1/2vb=1/2w+t+v+1/2u c=-1/2t-w-u-1/2v

somando as duas: somando as duas:

2b=t+v 2c=-w-ub=t+v c=-w-u

2 2b=1/2t+1/2v c=-1/2w-1/2u

b=c c=b

11) Considere um tringulo qualquer ABC, e seja X um ponto pertencente ao ladoAB, de tal maneira que(X-A)=3/4(B-X). Escreva o vetor (X-C) em funo dosvetores (A-C) e (B-C). Interprete graficamente o resultado obtido.

C

A BX


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Se (X-A)=3/4(B-X), significa que para construir o vetor (X-A) foi usado de (B-X),considerando o vetor (B-A), podemos afirmar que (B-X)=4/7(B-A) e (X-A)=3/7(B-A).Ento vamos identificar o vetor (X-C):

(X-C)=(A-C)+3/7(B-A)

(X-C)=(B-C) -4/7(B-A)

Como no queremos na resposta (B-A), podemos sumir com ele multiplicando aprimeira linha por 4 e somar com a segunda multiplicada por 3.

4(X-C)=4(A-C)+12/7(B-A)3(X-C)=3(B-C) -12/7(B-A)

Somando as duas temos:

7(X-C)=4(A-C)+3(B-C)(X-C)=4/7(A-C)+3/7(B-C)

12) Sabendo que M e N so os pontos mdios das diagonais de um trapzio ABCD,prove que (N-M)=1/2[(C-D)-(B-A)].

A B vamos darnomes aos vetores:(N-M)=x

M N (C-D)=c(B-A)=a(C-A)=u

D C (B-D)=v

Temos que provar que: x=

x=1/2v-a+1/2ux=-1/2m+c-1/2n

somando as duas equaes:

2x=-a+c

x= ou seja (N-M)=1/2[(C-D)-(B-A)]

13) Os polgonos das figuras seguintes so formados por associaes de hexgonosregulares. Determine geometricamente o vetor soma dos vetores em cada figura,em funo dos vetores u e v

u x=(v+u),temos trs figuras iguais,Soma:3(v+u+x)=

v x 3v+3u+3x=3v+3u+3(v+u)=3v+3u+3v+3u=6v+6u


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uSoma:

v -x v+u-x+v+u+x-v+u+x=v+u-(v+u)+v+u+(v+u)-v+u+(v+u)=v+u-v-u+v+u+v+u-v+u+v+u=2v+4u

14) Seja ABCD um quadriltero qualquer, O um ponto qualquer e P o ponto mdiodo segmento que une os pontos mdios M e N das diagonais AC e BD. Prove queP=O+1/4[(A-O)+(B-O)+(C-O)+(D-O)].

O

A B

M NP

D C

(P-O)=(A-O)+1/2(C-A)+1/2(M-N)

(P-O)=(B-O)+1/2(D-B)-1/2(M-N)(P-O)=(D-O)-1/2(D-B)-1/2(M-N)(P-O)=(C-O)-1/2(C-A)+1/2(M-N) somando as 4 linhas teremos:

4(P-O)=(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)(P-O)=1/4[(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)]P=O+1/4[(A-O)+(B-O)+(D-O)+(C-O)]


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15) Determine geometricamente o vetor soma dos vetores representados em cadaum dos paraleleppedos seguintes: primeirovamos dar nomes aos vetores,

aa b b

c cc c

aa -b b

-a b-a -b -b

-c -c c -c

-a-a -b

Soma=a+b+c+b+a+c+a+c-b+c+a+b-a-b-c-a-b-c-a-b+c-a+b-c = C

16) Considere um tringulo qualquer ABC e seja X um ponto pertencente ao ladoAB, de tal maneira que: (X-A)=3/4(B-A). Identifique a alternativa correta.A)(X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C)B)(X-C)=3/4(A-C)+1/4(B-C)C)(X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C)D)(X-C)=2/4(A-C)+1/3(B-C)E)(X-C)=5/4(A-C)-1/4(B-C)

C

A X B

(X-C)=(A-C)+3/4(B-A) somar L1+3(L2)(X-C)=(B-C)-1/4(B-A)

4(X-C)=(A-C)+3(B-C)(X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C) Alternativa A

17) Sejam o tringulo qualquer ABC e o ponto X sobre o lado AB, tal que4(X-A)=(B-X). Escrevendo o vetor (X-C) como uma combinao linear dos vetores(A-C) e (B-C) obtm-se:

A)(X-C)=1/5(A-C)+4/5(B-C)B)(X-C)=4/5(A-C)+1/5(B-C)C)(X-C)=(A-C)+4(B-C)D)(X-C)=1/4(A-C)+3/4(B-C)E)(X-C)=3/4(A-C)+1/4(B-C)


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C

1/5 4/5

A X B

(X-C)=(A-C)+1/5(B-A) Somar 4L1+L2(X-C)=(B-C)-4/5(B-A)

5(X-C)=4(A-C)+(B-C)(X-C)=4/5(A-C)+1/5(B-C) Alternativa B

18) Na figura ABCD um paralelogramo, M o ponto mdio do lado AB, e ospontos N e P dividem o lado DC em trs segmentos de mesma medida. Escrevendo

os vetores (N-M) e (P-M) como combinaes lineares dos vetores u=(C-D) e v=(A-D), obtm-se:

A 1/2 M 1/2 B

1/3 1/3 1/3

D N P C

A)(N-M)=-1/6u+v; (P-M)=-1/6u-vB)(N-M)=1/6u+v; (P-M)=-1/6u+vC)(N-M)=-1/6u-v; (P-M)=1/6u-vD)(N-M)=1/6u-v; (P-M)=1/6u+vE)(N-M)=u+v; (P-M)=(u-v)

(N-M)=-1/2u-v+1/3u somar L1+L2(N-M)=1/2u-v-2/3u

2(N-M)=-2v-1/3u(N-M)=-v-1/6u

(P-M)=1/2u-v-1/3u somar L1+L2(P-M)=-1/2u-v+2/3u

2(P-M)=-2v+1/3u(P-M)=-v+1/6u

Alternativa C

19) Seja o tringulo ABC qualquer e o ponto X sobre o lado AB, tal que (X-A)=2(B-X). Escrevendo o vetor (X-C) como uma combinao linear dos vetores (A-C) e(B-C) obtm-se:A)(X-C)=1/3(A-C)-2/3(B-C)

B)(X-C)=-1/3(A-C)+2/3(B-C)C)(X-C)=-1/3(A-C)-2/3(B-C)


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D)(X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C)E)(X-C)=(A-C)+2/3(B-C)

C

A 2/3 1/3 BX

(X-C)=(A-C)+2/3(B-A) somar L1+2L2(X-C)=(B-C)-1/3(B-A)

3(X-C)=(A-C)+2(B-C)(X-C)=1/3(A-C)+2/3(B-C) alternativa D

20) Na figura seguinte ABCD um trapzio, onde (B-A)=2a; (C-D)=a e (A-D)=b. Oponto E tal que (E-B)=1/3(C-B). Escrevendo o vetor (E-D) como C.L. dos vetoresa e b obtm-se:

D a C

2/3b

E1/3

A B2a

A)(E-D)=2/3a+5/3bB)(E-D)=2/3a-5/3bC)(E-D)=5/3a-2/3bD)(E-D)=-5/3a-2/3bE)(E-D)=5/3a+2/3b

(E-D)=a+2/3(B-C) somar L1+2L2(E-D)=b+2a-1/3(B-C)

3(E-D)=5a+2b(E-D)=5/3a+2/3b alternativa E

21) Considere trs pontos quaisquer O,P e Q. Seja R o ponto mdio de PQ.Chamando a=(P-O), b=(Q-O) e c=(R-O), correto afirmar que:A) c=1/2(a+b)B) b=1/2(a+c)C) a=1/2(b+c)D) c=1/2(a-b)E) c=1/2(b-a)

Q c=b+1/2(P-Q)c=a-1/2(P-Q) somar L1+L2

b R

c 2c=a+bO a P c=1/2(a+b),alternativa A


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22) A figura constituda por nove quadrados congruentes (de mesmo lado).Considere as seguintes igualdades: I:BC=OP ; II:AO=MG ; III:JO=LD ; IV:AJ=3LAe V:LC=EP. Assinale a alternativa correta:

A)I,II,IV e V so verdadeiras. A B C DB)I e III so verdadeiras.

C)Somente II verdadeira.D)Somente I e III so falsas. L M EE)Somente I e IV so falsas.

P O

J G

Alternativa C, poisI:BC o oposto de OP,II:AD=MG, (correto),III:JOLD,

IV:AJ o oposto de 3LA,V:LC o oposto de EP.

23) No tringulo ABC qualquer, tem-se AX=1/3AB e AM=1/2AB. Assinale aalternativa correta:A)CM=1/2AC+1/2BC CB)CM=1/3AC+2/3BCC)CM=CA+CBD)CM=1/2CA+1/2CBE)CX=2/3AC+1/3BC

AX M B

(M-C)=(A-C)+1/2(B-A) somar L1+L2(M-C)=(B-C)-1/2(B-A)

2(M-C)=(A-C)+(B-C)(M-C)=1/2(A-C)+1/2(B-C) alternativa D

24) Considere as seguintes afirmaes, onde os vetores u, v e w no so nulos:I) Se u=v, ento |u|=|v|. (correto)II) Se |u|=|v|, ento u=v. (errado, ex:u=(1,2,3)v=(3,2,1), mas possuem mesmomd.)III) Se o vetor u paralelo ao vetor v, ento u=v.(errado, pois podem ser paralelosmas terem comprimentos diferentes.)IV) Se u=v, ento u paralelo a v. (correto)V) Se w=u+v, ento |w|=|v|+|u|.(errado)Alternativa correta: E

25) O quadriltero ABCD um paralelogramo, sendo M e N os pontos mdios doslados DC e AB, respectivamente. Assinale a alternativa correta:A)(B-M)+(A-M)=(N-M)B)(B-M)+(D-M)=(N-M) D M CC)(B-M)+(D-M)=(M-N)D)(M-B)-1/2(C-D)=(C-B)E)(A-M)+(C-B)=(C-M)

A N B


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Alternativa B, pois sendo um paralelogramo (D-M)=(N-B)

M

N B

26) O vetor X da figura ao lado:A) o vetor v-u.B) o vetor u+v.C) o vetor u-v. u xD) o vetor u-v. vE)No pode ser escrito como combinao linear de u e v.

Alternativa D, que o mesmo que v+u.

27) Se 3x+2u=1/2v+x, ento:A)X=1/2v-uB)X=v-1/2uC)X=-u+1/4vD)X=1/2v-2uE)X=v-1/4u

3x-x=1/2v-2u2x=1/2v-2uX=1/4v-u alternativa C.

28) O quadriltero ABCD um paralelogramo, os pontos M e N so mdios dos

lados AB e AD, respectivamente, e os pontos R e S dividem o lado BC em trssegmentos de mesmo comprimento. Sejam os vetores u=(B-A), v=(A-D), a=(M-N),b=(R-N) e c=(S-N). correto afirmar:A)a=1/2u+1/2v ; b=u+5/6v ; c=u+7/6v A M BB)a=1/2u-1/2v ; b=u+1/6v ; c=u-1/6v RC)a=1/2u-1/2v ; b=u+5/6v ; c=u-1/6v ND)a=1/2u+1/2v ; b=u+1/6v ; c=u-1/6v SE)a=1/2u+1/2v ; b=u-1/6v ; c=u+1/6v D C

Alternativa D

A M u B

v a b RN

cS

D C

Por ser um paralelogramo (A-D)=(B-C), e (C-D)=(B-A).


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29) A figura um paraleleppedo retngulo. Sendo os vetores u=(B-A) ; v=(G-F) eW=(C-D), correto afirmar que:A)(D-A)=u+v+w ; (G-C)=u+w ; (F-C)=-u-v+wB)(D-A)=u+v+w ; (D-B)=v+w ; (C-F)=u+v+w C w DC)(D-A)=u+v-w ; (C-G)=u+w ; (F-C)=-u-v-wD)(D-B)=v+w ; (G-B)=v-u-w ; (F-C)=-u-v-w B E

E)(C-A)=u+v ; (G-B)=v+w-u ; (A-D)=-u-v+w

uv G

Alternativa C. AF

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

30)Dados os pontos A,B e C, escreva o vetor (X-B) em funo dos vetores u=(A-B)e v=(C-B), nos casos :

A

u

B X

vC

(C-A)=-u+v(X-A)=(X-B)-u

(C-X)=v-(X-B)(X-C)=-v+(X-B)(A-C)=u-v(A-X)=u-(X-B)

A)1/2(X-A)+2/3(C-X)=(C-A)1/2[(X-B)-u]+2/3[v-(X-B)]=-u+v1/2(X-B)-1/2u+2/3v-2/3(X-B)=(-u+v) achar o MMC[3(X-B)-3u+4v-4(X-B)=-6u+6v]/6-(X-B)-6u+6v+3u-4v-(X-B)=-3u+2v(X-B)=3u-2v

B)1/3(X-C)-3/2(A-C)=(X-A)-v+(X-B)/3 3/2(u-v)=(X-B)-u achar o MMC[-2v+2(X-B)-9u+9v=6(X-B)-6u]/6-2v-9u+9v+6u=6(X-B)-2(X-B)7v-3u=4(X-B)7/4v-3/4u=(X-B)

C)2(X-C)+3(A-X)=o (vetor o)-2v+2(X-B)+3u-3(X-B)=0-(X-B)=2v-3u(X-B)=-2v+3u


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D)2/3(A-X)+1/5(A-C)=(X-C)2/3u-2/3(X-B)+1/5u-1/5v=-v+(X-B) achar o MMC[10u-10(X-B)+3u-3v=-15v+15(X-B)]/1510u+3u-3v+15v=15(X-B)+10(X-B)13u-12v=25(X-B)13/25u-12/25v=(X-B)

31) Escreva o vetor (X-A) em funo dos vetores u=(B-A) e v=(C-A), nos seguintescasos:A) 3 1

o o oB X C

A

u v

3 1B X C

(X-A)=u+3/4(C-B) somar L1+3L2(X-A)=v-1/4(C-B)

4(X-A)=u+3v(X-A)=1/4u+3/4v

B) 2 1o o o

X B C

A

u v

2 1X B C

(X-A)=v-(C-X) somar L1+L2(X-A)=u-2/3(C-X)

2(X-A)=v+u-5/3(C-X), como (C-X)= -(X-A)+v2(X-A)=v+u-5/3[-(X-A)+v]2(X-A)=v+u+5/3(X-A)-5/3v (achar o MMC)6(X-A)=3v+3u+5(X-A)-5v(X-A)=3u-2v


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C) 3 2o o oB C X

A

uV

B C X

(X-A)=u+(X-B) somar L1+L2(X-A)=v+2/5(X-B)

2(X-A)=v+u+7/5(X-B), como (X-B)= -u+(X-A)2(X-A)=v+u+7/5[-u+(X-A)]

2(X-A)=v+u-7/5u+7/5(X-A) (achar o MMC)10(X-A)=5v+5u-7u+7(X-A)3(X-A)=5v-2u(X-A)=5/3v-2/3u

D)A

2 3

B 2,4 X 1,6 C(X-A)=u+2,4(C-B) somar L1+L2(X-A)=v-1,6(C-B)

2(X-A)=u+v+0,8(C-B) , como(C-B)=-u+v2(X-A)=u+v+0,8(-u+v)2(X-A)=u+v-0,8u+0,8v2(X-A)=0,2u+1,8v

(X-A)=0,1u+0,9v


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E)A

2 h 3

m nB X C CB=4

(X-A)=(B-A)+(X-B)(X-A)=(C-A)+(C-X)

(X-B)=m/m+n(C-B)(C-X)=-n/m+n(C-B)

h2=22-m2 eh2=32-n2 igualamos os h,22-m2=32-n2

4-9=m2

-n-5=m-n (diferena de dois quadrados)-5=(m+n).(m-n)-5=4(m-n)-5/4=(m-n)

m-n=-5/4m+n=4 somando as duas equaes;2m=11/4m=11/4.1/2m=11/8

como m+n=411/8+n=4n=4-11/8n=21/8

voltando;(X-A)=(B-A)+(X-B)(X-A)=(C-A)+(C-X) somando as duas equaes;2(X-A)=(B-A)+(C-A)+(X-B)-(C-X)

Como (X-B)=m/m+n(C-B)(X-B)= .[-(B-A)+(C-A)]

(X-B)=11/8.1/4.[-(B-A)+(C-A)](X-B)=-11/32(B-A)+11/32(C-A), e

(C-X)=-(X-A)+(C-A)

Ento;2(X-A)=(B-A)+(C-A)+(X-B)-(C-X)2(X-A)=(B-A)+(C-A)+11/32(C-A)-11/32(B-A)+(X-A)-(C-A)(X-A)=21/32(B-A)+11/32(C-A)


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F)

A

2 3b

B m X n C CB=4

= (teorema das bissetrizes)

=

2(X-C)=3(X-B)2/3(X-C)=(X-B)

(X-A)=(B-A)+2/5(C-B) fazer 3.L1+2.L2(X-A)=(C-A)-3/5(C-B)

5(X-A)=3(B-A)+2(C-A)(X-A)=3/5u+2/5v

32) O ponto M o centro de um quadrado de vrtices nos pontos A,B,C e D.Demonstre que (B-A)+(C-A)+(D-A)=4(M-A)

B C(C-A)=2(M-A)(D-A)+(B-A)=(C-A), como (C-A)=2(M-A)

M 2(M-A)+2(M-A)=4(M-A)

A D

33) Em um tringulo de vrtices nos pontos A,B e C, o ponto M mdio do lado AB,o ponto N mdio do lado BC e o ponto P mdio do lado AC. Prove que:(P-B)+(M-C)=(A-N).

A

P M

C BN

(P-B)=-(B-A)+1/2(C-A) somar L1+L2(P-B)=-(B-C)-1/2(C-A)

2(P-B)=-(B-A)-(B-C)(P-B)=-1/2(B-A)-1/2(B-C)

(M-C)=-(C-A)+1/2(B-A) somar L1+L2(M-C)=(B-C)-1/2(B-A)


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2(M-C)=-(C-A)+(B-C)

(M-C)=-1/2(C-A)+1/2(B-C)

(A-N)=1/2(B-C)-(B-A) somar L1+L2(A-N)=-1/2(B-C)-(C-A)

2(A-N)=-(B-A)-(C-A)(A-N)=-1/2(B-A)-1/2(C-A)

(P-B)+(M-C)=[-1/2(B-A)-1/2(B-C)]+ [-1/2(C-A)+1/2(B-C)]=-1/2(B-A)-1/2(C-A)=(A-N)

34) O tringulo ABC e seu lado mede 6 cm. O segmento AM mede 4 cm e osegmento BN mede 2cm. Se X o ponto mdio do segmento MN, escreva o vetor(X-A) como C.L. dos vetores (B-A) e (C-A).

A 4M

6 2X

B 2 4 CN

(X-A)=(B-A)+1/3(C-B)-1/2(N-M) somar L1+L2(X-A)=2/3(C-A)+1/2(N-M)

2(X-A)=(B-A)+1/3(C-B)+2/3(C-A), como (C-B)=-(B-A)+(C-A)

2(X-A)=(B-A)+1/3[-(B-A)+(C-A)]+2/3(C-A)2(X-A)=(B-A)-1/3(B-A)+1/3(C-A)+2/3(C-A)2(X-A)=2/3(B-A)+(C-A)(X-A)=1/3(B-A)+1/2(C-A)

35) No tringulo ABC, o ponto mdio do lado AC. Se X o ponto mdio dosegmento BM, determine o vetor (X-M) em funo de (B-A) e (C-A).

A

MX

B C

(X-M)=-1/2(C-A)+(B-A)-1/2(B-M) somar L1+L2(X-M)=1/2(C-A)-(C-B)-1/2(B-M)

2(X-M)=(B-A)-(C-B)-(B-M)2(X-M)=(B-A)-[-(B-A)+(C-A)]-[-1/2(C-A)+(B-A)]2(X-M)= (B-A)+(B-A)-(C-A)+1/2(C-A)-(B-A)

2(X-M)=(B-A)-1/2(C-A)(X-M)=1/2(B-A)-1/4(C-A)

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