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SECRETARIA ESTADUAL DA EDUCAÇÃO – SEED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA - UEPG

UNIDADE DIDÁTICA: ESTUDANDO A GEOMETRIA ATRAVÉS

DA CONSTRUÇÃO DE PIPAS

PROFESSOR PDE: PAULO SÉRGIO RUFINO PROFESSORA ORIENTADORA: JOSELI ALMEIDA CAMARGO

PONTA GROSSA – 2011

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APRESENTAÇÃO A unidade didática tem como estudo a Geometria das séries finais do

ensino fundamental, que muitas vezes é colocada em segundo plano ou

deixada para o último bimestre ou nem trabalhada, não só nas séries finais

mais também nas iniciais, contudo se nota a falta que faz para os alunos a

relação entre os conteúdos da Geometria e a Geometria que ele encontra no

seu cotidiano, por esses motivos é que escrevi este projeto e agora estou

implementando, visando com que os alunos venham a perceber que a

Geometria que eles aprendem na escola está relacionada àquela que eles

têm ao seu redor, onde quer que estejam: na rua, na sua casa, no seu quarto,

e isso passa despercebido por ele e pelo professor que deixa de explorá-la

neste contexto.

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UNIDADE DIDÁTICA

O ESTUDO DA GEOMETRIA ATRAVÉS DA CONSTRUÇÃO DE

PIPAS

Profº Paulo Sérgio Rufino¹ Profª MS. Joseli Almeida Camargo²

A Geometria utilizada pelos Egípcios e Gregos. Por Talles, Euclides e

Pitágoras, sofreu um gradual abandono nas últimas décadas no Brasil,

tornando-se um fato preocupante entre os educadores matemáticos brasileiros,

como relata Pavanello (1989) em sua obra “O abandono do ensino da

Geometria no Brasil: uma visão histórica”.

Nesta unidade didática a proposta é trabalhar a Geometria das séries

finais do ensino fundamental, através da confecção do artefato: pipas,

explorando os conteúdos matemáticos passo a passo junto com a sua

construção, desta forma proporcionando aos alunos uma maneira divertida de

aprender Geometria.

Para justificar a necessidade de se ter a Geometria na escola, bastaria o argumento de que sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou o raciocínio visual, e sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as situações de vida que forem geometrizadas, também não poderão utilizar-se da Geometria como fator altamente facilitador para compreensão e resolução de questões de outra área do conhecimento humano. Sem conhecer a Geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta a comunicação de idéias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida. (LORENZATO, 1995, p.20).

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e as

Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná, este

conteúdo deve ser trabalhado de maneira organizada, permitindo ao aluno

articulações consistente entre o conhecimento empírico e sua sistematização.

É nesse período que as primeiras deduções lógicas são construídas, sendo

que os processos e os resultados devem ser discutidos, sem a preocupação

com sua formalização, e sim explorando o conhecimento que o aluno adquiriu

durante as séries iniciais.

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Para propormos o ensino e a aprendizagem da Geometria de maneira

mais significativa, vamos nos respaldar teoricamente na Modelagem

Matemática, com ênfase na confecção de modelos, que possam facilitar a

compreensão da linguagem matemática bem como dos conteúdos

matemáticos.

Segundo Bassanezi (2002), a Modelagem Matemática pode ser utilizada como estratégia de ensino e aprendizagem, sendo um caminho para tornar a Matemática, em qualquer nível, mais atraente e agradável. A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o ensino da Matemática que pode ser aplicada no Ensino Fundamental, no Ensino Médio, no Ensino Superior e em Pós-Graduação.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Trabalhando a Geometria nas séries finais do ensino fundamental O estudo de conteúdos da Geometria nas séries finais do ensino

fundamental é importante para o aluno, pois proporciona ao mesmo refletir

fazendo uma relação com suas atividades diárias, com conteúdos tais como:

simetria, semelhança, proporção entre outros. Entretanto muitas vezes, estes

conhecimentos não são explorados, e quando trabalhados, são vistos de

maneira mecânica, e totalmente desvinculado de qualquer significado para o

aluno. Observando esta situação, durante os anos de magistério que já

percorri, a situação nos faz questionar: como conduzir o trabalho da Geometria

nas séries finais do ensino fundamental, proporcionando ao aluno condições

para que este perceba significados nas definições e aplicabilidade destes

conhecimentos?

Partindo do pressuposto de que para tornar o ensino da Geometria

mais atraente ao aluno, faz-se necessário explorar os conteúdos de Geometria

de uma forma mais alegre e divertida; assim proponho neste estudo a

confecção de pipas para ensinar e aprender Geometria. Pois partimos da

hipótese de os alunos tenham um interesse maior pelos conteúdos da

Geometria, quando são trabalhados de maneira atraente para o aluno,

deixando de lado a forma tradicional.

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Ao ensinar Matemática, o professor deve buscar e criar alternativas

para tornar suas aulas atrativas e interessantes ao aluno quebrando aquele

velho bordão que a Matemática é muito difícil e só alguns consegue entende-la.

Atualmente as Diretrizes Curriculares da Educação Básica, do estado

do Paraná, apontam as seguintes Tendências Metodológicas para Educação

Matemática: Resolução de Problemas, Investigações matemáticas, Mídias

tecnológicas, Etnomatemática, História da Matemática e a Modelagem

Matemática, que estão subsidiadas em vários autores como: Dante, Smole,

Diniz, Polya, Ponte, Bocardo, Oliveira, D’Ambrosio, Barros, Miguel e Miorim.

PROCEDIMENTOS O trabalho será desenvolvido nas séries finais do ensino fundamental

(8ª série ou 9º ano), no contra turno, sendo que serão selecionados doze

alunos, o tempo previsto para cada atividade será de três encontros, ou seja,

nove horas e mais dois encontros (seis horas) para as conclusões finais.

ATIVIDADES Atividade nº1 Objetivo da atividade: resgatar conteúdos já trabalhados nas séries

anteriores.

Tempo previsto para atividade: três encontros (nove aulas). Conteúdos - Medidas de comprimento (Sistema métrico decimal);

- Ponto, a reta, o plano, a semi-reta e os segmentos de reta;

- Medida de ângulos;

- Polígonos (arestas e vértices, diagonais);

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Desenvolvimento: Construir uma pipa com duas varetas de mesma medida, com formato

quadrangular, sendo que durante a construção estaremos explorando as

propriedades matemáticas existentes e relacionando-as.

Obs. Após cada passo da construção, o aluno desenhará no seu caderno, isso

proporcionará ao mesmo aprender como usar: a régua, o jogo de esquadros, o

compasso, o transferidor.

Construindo a pipa e explorando a matemática: - Obter duas varetas de mesma medida, neste caso de 40 cm de

comprimento e 2 mm de espessura.

- Medi-las e marcar um ponto indicando a metade de cada uma das

varetas.

- Colocar uma sobre a outra no ponto marcado.

- Amarrar com fio, de forma a obter quatro ângulos de mesma medida.

- Unir as extremidades das varetas obtendo uma forma quadrangular.

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AVALIAÇÃO

Observando a construção e identificando os conteúdos matemáticos:

1- Ao medir as varetas utilizamos uma unidade de medida, você já

conhecia esta unidade, e a que sistema ela pertence?

2- Marcando a metade de cada uma das varetas, encontramos um

ponto, este ponto recebe um nome especial, você sabe qual é este nome?

3- Observando as varetas, podemos considerá-las, segmentos de reta?

4- Com suas palavras, descreva o que é um segmento de reta?

5- Amarrando as duas varetas, notamos que elas se interceptaram e

um único ponto, formando quatro ângulos de mesma medida, qual a medida

deste ângulo, e como podemos chamar a intercepção das varetas?

6- Unindo as quatro extremidades das varetas formamos uma figura

quadrangular, qual o nome desta figura, quantas arestas, quantos vértices, ela

tem, identifique-os, com uma letra maiúscula do nosso alfabeto?

7- Considerando a figura, e observando suas arestas, podemos

considerá-las, semi-retas, pegando-as duas a duas vamos analisá-las e

descobrir qual relação possuem?

8- Observando as duas varetas em relação à figura, podemos constatar

que elas passam por dois vértices não consecutivos, portanto leva um nome

especial, você pode citar qual é este nome?

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Respostas e questionamentos:

Um pouco de história A história das pipas é recheada de mistério, lendas, símbolos e mitos,

mas principalmente de muita magia e encantamento. Tudo deve ter começado

quando o homem primitivo se deu conta de sua limitação diante da capacidade

de voar dos pássaros. Essa frustração foi o mote para que ele desse asas à

imaginação.

O primeiro vôo do homem está registrado na mitologia grega e conta

que Ícaro e seu pai, Dédalo, aprisionados no labirinto de Creta pelo rei Minos,

tentaram, alcançar a liberdade voando. Construíram asas com cera e penas e

conseguiram escapar. Apesar das recomendações do pai e embevecido pela

possibilidade de dominar os ventos, Ícaro negligenciou a prudência e chegou

muito perto do sol, que derreteu a cera das asas e precipitou-o ao mar,

matando-o.

De qualquer forma, o homem não parou por aí. Mesmo levando em

conta o estranho acidente da lenda de Ícaro, ele continuou a ousar, desafiando

a natureza com sua imaginação. As pipas nascem dessa tentativa frustrada de

voar, quando o homem transferiu para um artefato de varetas, papel, cola e

linha sua vontade intrínseca de planar, de alçar vôo da terra firme.

Teorias, lendas e suposições tende a demonstrar que o primeiro vôo de

uma pipa ocorreu em tempos e em várias civilizações diferentes, mas com toda

certeza, a data aproximada gira em torno de 200 anos antes de Cristo. O local:

China.

Atividade nº2 Objetivos da atividade: - resgatar conteúdos trabalhados nas séries anteriores;

- trabalhar conteúdos das séries finais do ensino fundamental.

Tempo previsto para atividade: três encontros (nove aulas).

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Conteúdos - Medida e classificação e identificação de ângulos em um polígono;

- Simetria;

- Perímetro e área de um polígono;

- Semelhança entre polígonos;

- Segmentos proporcionais.

Desenvolvimento: Desafiando o grupo A proposta é construir uma pipa utilizando três varetas, cabendo aos

alunos encontrarem os conteúdos matemáticos elencados pelo professor.

Sendo que o passo a passo da construção é basicamente o mesmo utilizado

anteriormente.

Com orientação do professor o desafio será construir uma pipa em

forma de estrela.

Obs. Após cada passo da construção, o aluno desenhará no seu caderno, isso

proporcionará ao mesmo aprender como usar: a régua, o jogo de esquadros, o

compasso, o transferidor.

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AVALIAÇÃO

Observando a construção e identificando os conteúdos matemáticos:

1- Identifique a medida dos ângulos formados pela interseção das

varetas e o nome dado a essa interseção?

2- Após confeccionar a armação da pipa indique: quantos vértices,

quantas arestas, nomear cada um dos vértices com letras maiúsculas do nosso

alfabeto.

3- Ao observarmos a armação, podemos identificar quantos pontos de

interseção entre as varetas e as linhas.

4- Olhando para armação diga: ela é simétrica, se é simétrica quantos

eixos de simetria possui?

5- Calcule o perímetro e a área, para descobrir o quanto de seda será

preciso para cobrir-la?

6- Identifique quantas figuras geométricas você consegue identificar em

sua armação, e diga se há semelhança entre elas?

7- Explorando sua armação encontre ângulos; agudo, obtuso e reto?

8- Medindo os segmentos de reta, escreva sua razão, mostre se eles

são proporcionais.

Respostas e questionamentos:

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Um pouco de história No Egito, hieróglifos antigos já contavam de objetos que voavam

controlados por fios. Os fenícios também conheciam seus segredos, assim

como os africanos, hindus e polinésios. Até o grande navegador Marco Pólo

(1254 – 1321), explorou as potencialidades, embora levado por motivos menos

lúdicos. Conta-se que, em suas andanças pela China, ao ver-se encurralado

por inimigos locais, fez voar uma pipa carregada com fogos de artifício presos

de cabeça para baixo, que explodiram no ar em direção a terra, provocando o

primeiro bombardeio aéreo da história da humanidade.

Nos países orientais, foi e continua sendo grande a utilização das pipas

com motivos religiosos e místicos, como atrativos da felicidade, sorte

nascimento, fertilidade e vitória. Exemplos disso são as pipas com pinturas de

dragões, que atraem a prosperidade: com uma tartaruga (longa vida); coruja

(sabedoria) e assim por diante.

Outros símbolos afastam maus espíritos, trazem esperança, ajudam na

pesca abundante e as pinturas com grandes carpas coloridas representam e

atraem o desenvolvimento dos filhos. Nesses aspectos místicos religiosos,

continua sendo muito grande a utilização de pipas como oferenda aos deuses

nos países orientais.

Um dos quatro elementos fundamental da civilização ocidental, o vento,

no caso das pipas, passou rapidamente de inimigo a aliado, pois, com um

domínio correto de suas correntes e velocidades, o homem conseguiu

inteligentemente chegar perto do sonho de voar. O grande mestre e

pesquisador de pipas e ação dos ventos é um eloísta, palavra criada a partir de

Elo, o deus dos ventos na mitologia grega. Quando Ulisses, famoso

personagem do livro Odisséia, de Homero, chegou à ilha Eólia. Foi muito bem

recebido pelo rei, que o hospedou e a seus companheiros durante um mês.

Ao partir, o herói recebeu uma caixa contendo todos os ventos e que

deveriam continuar aprisionados, com exceção de um, que, solto. Levaria o

navio diretamente de volta a Etapa, sua cidade natal. No caminho, os

companheiros de Ulisses imprudentemente abriram a tampa, pensando que

continha vinho. Saíram de dentro da caixa os ventos proibidos e furiosos que

tocaram o navio para trás. Elo, entendendo que aquela gente teria alguma

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oculta maldição dos deuses, não os ajudou e ainda por cima os expulsou da

Eólia.

A história das pipas data de muitos séculos e se confunde com a

própria história da civilização, sendo utilizada como brinquedo, instrumento de

defesa, arma, objeto artístico e de ornamentação. Conhecido como quadrado,

pipa, papagaio, pandorga, barrilete ou outro nome dependendo da região ou

país.

Atividade nº3 Objetivos da atividade: - Criar um ambiente de questionamento por parte dos alunos em relação aos

conteúdos.

Tempo previsto para atividade: três encontros (nove aulas). Conteúdos - Todos os conteúdos possíveis encontrados pelos alunos. Desenvolvimento:

Pipas: com três varetas Agora a proposta é dividir a turma, sendo que cada grupo

confeccionará as pipas com três varetas.

As varetas serão distribuídas para as equipes com medidas diferentes,

e os integrantes das equipes deverão medi-las e selecioná-las, conforme

medida fornecida pelo professor.

O objetivo é construir pipas de tamanhos diferentes.

Obs. Após cada passo da construção, o aluno desenhará no seu caderno, isso

proporcionará ao mesmo aprender como usar: a régua, o jogo de esquadro, o

compasso e o transferidor.

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AVALIAÇÃO Os alunos registrarão os conteúdos encontrados, e após o registro o

desafio será resolver alguns exercícios propostos pelos próprios alunos, sendo

que o as questões elaboradas por um grupo deve ser resolvida pelo outro e no

final as respostas serão compartilhadas.

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Um pouco de história Ciência descoberta, e pesquisas, além do aspecto lúdico, de lazer e

encantamento diante das possibilidades de fazer com que os ventos trabalhem

a nosso favor, as pipas, ao longo da história, tiveram importância fundamental

nas pesquisas e descobertas científicas.

O inglês Roger Bacon, no ano de 1250, escreveu um longo estudo

sobre as asas acionadas por pedais, tendo como base experiências realizadas

com pipas. O gênio italiano Leonardo da Vinci, em 1496, fez projetos teóricos

com nada menos que 150 maquinas voadoras, também baseados na

potencialidade das pipas.

No século XVIII, época das grandes descobertas, o brasileiro

Bartolomeu de Gusmão mostrou os projetos de sua aeronave Passarola ao rei

de Portugal, graças a estudos conseguidos através das pipas.

Em 1749, na Grã Bretanha, Alexandre Wilson empinou uma série de

seis pipas presas a uma mesma linha (trem), cada qual carregando um

termômetro, conseguindo determinar as variações de temperatura, em função

das diferentes altitudes.

Em 1752, uma experiência de Benjamin Franklin demonstrou

definitivamente a importância das pipas à História da Ciência. Prendendo uma

chave no fio da pipa, ele empinou-a num dia de tempestade. Aconteceu que a

eletricidade das nuvens foi captada pela chave e pelo fio molhado, descobrindo

o para-raio.

George Cayley, em 1809, realizou, através das pipas, o primeiro

pouso ascensional da História, experiência com fundamentos aeronáuticos que

mais tarde seria utilizada pela NASA através do engenheiro americano Francis

M. Rogallo com as naves Apolo, que criou assim o para quedas ascensionais

(parawings), que permitem ainda hoje um perfeito controle ao retorno à terra

das cápsulas espaciais.

Foi através das pipas que o grande Santos Dumont conseguiu voar no

famoso 14 Bis que, no final das contas, não deixa de ser uma sofisticada e

enorme pipa com motor.

Em 1894, B.F.S. Baden Powell, o irmão mais novo de Baden Powell, o

fundador do escotismo, elevou-se três metros do chão por um trem de quatro

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pipas hexagonais com 11 metros de envergadura cada, tornando-se o primeiro

homem a ser erguido do chão com auxilio de pipas, fato que mais tarde seria

repetido em escala militar por exercícios durante a 1ª Grande Guerra Mundial.

Em 12 de dezembro de 1921, Marconi utiliza pipas para fazer experiências com

a transmissão de rádio, testes que, mais tarde, seriam utilizados também por

Graham Bell em seu invento, o telefone.

Mais recentemente, durante a II Guerra, uma pipa em forma de águia

seria empregada pelos alemães para observar as movimentações das tropas

aliadas ou como alvo móvel para exercícios de tiros.

Os exemplos se multiplicam. Nós, brasileiros conhecemos as pipas

através dos colonizadores portugueses por volta de 1596 que, por sua vez as

conheceram através de suas viagens ao Oriente. Um fato pouco conhecido da

nossa História deu-se no Quilombo dos Palmares, quando sentinelas

avançadas anunciavam por meio de pipas quando algum perigo se aproximava

– mais uma prova de que a pipa já era conhecida na África há muito mais

tempo, pois, pois os negros já cultuavam como oferenda aos deuses. O

exemplo de Elo da mitologia grega, os negros também tinham o seu Deus dos

ventos das tempestades, personificados na figura de Iansã.

Através desses fatos, temos uma gama muito grande de utilização das

pipas através dos tempos. Elas simbolizam o poder espiritual dos homens, um

grande instrumento na busca de novas descobertas de objetos capaz de tornar

realidade o antigo desejo de voar, o sonho de Ícaro e de toda a humanidade.

PROPOSTA DE TRABALHO Ao término da implementação desse projeto, pretende-se apresentar

aos professores, equipe pedagógica, alunos e a todos que interessar os

resultados.

Lembrando que ao escrever o projeto o objetivo era propiciar aos

professores e alunos o ensino da matemática de forma atrativa e interessante

deixando de lado a forma tradicional e articulando os diversos conteúdos

trabalhados sem estar preso à série em que o aluno esta matriculado.

O projeto em si poderá ser implementado por qualquer professor na

sua totalidade ou em parte, também poderá estar sendo ampliado, pois os

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conteúdos colocados no mesmo não são todos, pelo fato de que o tempo de

implementação era curto.

Sugestão de conteúdos a serem trabalhados no ensino fundamental 5ª série ou 6º ano

Grandezas e Medidas Medidas de comprimento; Medidas de área; Medidas de ângulos

Geometrias Geometria Plana; Geometria Espacial.

6ª série ou 7º ano

Números e Álgebra Razão e Proporção.

Grandezas e Medidas Medidas de ângulos.

Geometrias Geometria Plana; Geometria Espacial

7ª série ou 8º ano

Grandezas e Medidas Medidas de Comprimento; Medidas de área; Medidas de ângulos.

Geometrias Geometria Plana; Geometria Espacial.

8ª série ou 9º ano

Grandezas e Medidas Relações Métricas no Triângulo Retângulo.

Geometrias Geometria Plana; Geometria Espacial.

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Educação Básica. Diretrizes curriculares da educação básica: matemática.

Curitiba: SEED, 2008.

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(Especialização em Instrumentalização para o Ensino de Matemática) – Universidade

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SKOVSMOSE, O. Educação matemática crítica. 2 ed. Campinas: Papirus,

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DANTE L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. São

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BRANDT, F. C.; BURAK Dom; KLÜBER E. T. Modelagem Matemática: uma

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BIEMBENGUT, S. M.; Modelagem Matemática & Implicações no Ensino

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Guelli, O. Matemática: Uma aventura do pensamento: livro do professor. São

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Dante, L.R. Tudo é Matemática: livro do professor. São Paulo, 2002. Ed. Ática.

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