Salviano de Araujo Leao - teses.usp.br · • Aos profess ores Dr. Valmir A. Chitta e Dr. Liderio...

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO

INSTITUTO DE FfsICA DE SAO CARLOS

DEPARTAMENTO DE FfsICA E CrENCIA DOS MATERIAlS

ESTUDOS DOS ESTADOS ELETRONICOS

EM

SISTEMAS QUASE-UNIDIMENSIONAIS

Salviano de Araujo Leao

Tese apresentada ao Instituto de Fisica deBao Carlos, Universidade de Bao Paulo,para obten<;ao do Titulo de Doutor emCiencias "Fisica Basica"

USP IlFQSe / SBl

111111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 1111 III!

8·2"001126

Leao, Salviano A.

Estudo dos estados eletronicos em sistemas quase-unidimensionais

jSalviano A. Leao.-Sao Carlos, 1997.

113 p.

1. Semicondutores. 2. Sistemas quase-unidimensionais. 3. Pro-

priedades eletronicas e de transporte. I. Titulo.

r~~ = UNIV~RSIDADEw-~~_~.~:JDE SAO PAULOAv. Dr. Carlos Botelho, 1465CEP 13560-250 - Sao Carlos - SPBrasil

Fane (016) 272-6222Fax (016) 272-2218

MEMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA TESE DE DOUTORADO DESALVIANO DE ARAUJO LEAO APRESENTADA AO INSTITUTO DE FfslCA DE SAOCARLOS, UNIVERSIDADE DE SAO PAULO, EM 22/01/1997.

Prof. Dr. Marp6sJ1en~que De~g~i (U

"k~~-) //-------------"---~-------/'-------------------- -------------Profa. DrJ8.Marilia Junqueira Caldas/IFUSP

__~ili\Jr\~~~ ~~_~_~Profa. Dra. Maria Cristina dos Santos/UNICAMP

~. Dr. Gilmar~ue~~~;-----------

___________~2_~~!~~~ _

Aos meus pais Edmar e Rosa,a minha tia Luzia e a minha esposa Sylvia.

Agradecimentos

• Ao professor Dr. Marcos H. Degani pela sugestao do tema, orientaQao segura e peloapoio nos momentos que se fizeram necessarios.

• Aos profess ores Dr. Valmir A. Chitta e Dr. Liderio C. Ioriatti Jr. pelas proveitosasdiscussoes.

• Aos amigos Marcio Adriano R. Souza e Washington L. C. Lima pelas discussoes esugestoes que muito contribuiram para a realizaQao desse trabalho.

Este trabalho [oi financiado pela FAPESP econtou com 0 apoio do Centro Nacional deSupercomputa<;;ao - UFRGS

,Indice

2 0 Metodo Numerico e 0 CaIculo Autoconsistente 102.1 Solu<;aoda Equa<;ao de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Evolu<;ao da Fun<;ao de Onda em Tempo Real . . . . 112.1.2 Evolu<;ao da Fun<;ao de Onda em Tempo Imagimirio . 16

2.2 Sistemas Unidimensionais 182.2.1 0 Ca1culo Autoconsistente . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Solu<;aoda Equa<;ao de Schrodinger: Propaga<;ao em Duas Dimens6es 212.3.1 Metodo da Transformada de Fourier 22

2.4 Solu<;aoda Equa<;ao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.1 Condi<;6es de Contorno para a Equa<;ao de Poisson 27

3 Fios Quanticos do tipo "V-Groove" 303.1 Sistemas Quase-1D Corrugados . . . . . . . . 303.2 Modelo Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Efeitos da Densidade de Impurezas Doadoras . 403.4 Efeitos do "Spacer" 483.5 Efeitos da Temperatura. 533.6 Conclus6es........ 57

4 Fios Quanticos por Confinamento Eletrostatico 584.1 Introdu<;ao............. 584.2 Sistema Investigado . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Estados Eletronicos para T = 0 K . . . . . . . . . 68

4.3.1 Estudo do Confinamento para Nd = 4.0 X 1018 cm-3 . 684.3.2 Estudo do Corifinamento para Nd = 4.5 X 1018 cm-3 . 72

4.4 Transi<;ao de urn Sistema Quase-2D para urn Quase-1D 75

4.5 Calculo da Condutancia e da Capacitancia4.6 Conclus6es..................

B Simula<;ao Semi-Chissica de Difusao e DerivaB.1 Equa<;ao de Poisson . . . . . . . . . . . .B.2 Equa<;6esde Continuidade das CorrentesB.3 Equa<;6es das Densidades de Correntes .

103103103104

Lista de Figuras

2.1 Discretiza<;ao da rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152.2 Condi<;6es de contorno para 0 potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272.3 Representa<;ao esquematica do perfil de potencial de uma heteroestrutura

de AlxGa1_xAs/GaAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

3.1 Canais de diferentes formas geometric as obtidos por diferentes processosde corrosao quimica. 31

3.2 Super-rede de po<;osqwlnticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 323.3 Corte secional da estrutura n - AlxGa1-xAs/u - GaAs, mostrando uma

interface que apresenta urn perfil de potencial peri6dico do tipo dentes deuma serra. A regiao (A) e regiao concava do GaAs e a regiao (B) e a regiaoconvexa do GaAs , 34

3.4 Potencial obtido pOI Sawada et al. [1] e usado pOI Vacek et al. [2] paraca1cular os niveis de energia deste sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34

3.5 Diagramas de energia calculados nos pontos A (0) (regiao concava doGaAs) eB (e) (regiaoconvexadoGaAs) 36

3.6 (a) Densidade de probabilidade do estado fundamental. (b) curvas de nivelda densidade de probabilidade do est ado fundamental. Resultado de Vaceket al. [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36

3.7 Representa<;ao esquematica da heteroestrutura n - AlxGa1_xAs / GaAs cor-rugada com dopagem modulada, e com urn gate aplicado ao topo da hete-roestrutura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38

3.8 Representa<;ao esquematica da forma<;aodo gas de eletrons quase-bidimen-sional, na interface da heteroestrutura n-AlxGa1_xAs/GaAs, com as re-spectivas condi<;6esde contorno usadas em sua simula<;ao. . . . . . . . . ., 39

3.9 Representa<;ao esquematica do potencial autoconsistente de uma hetero-estrutura n - Alo.3GaO.7As/ GaAs com interface corrugada de dopagemmodulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 39

3.10 Curvas de niveis das densidades de probabilidades dos quatro primeirosestados da heteroestrutura corrugada, com T = 0, eND = 0.025 X 1018 cm-3. 42

3.11 Sec<;6es transversais do potencial ao longo da dire<;ao y, com cortes emx = 0 A e x = 400 A, para uma temperatura 0 K e ND = 0.025 X 1018 cm-3. 42

3.12 Curvas de niveis das densidades de probabilidades dos quatro primeirosestados da heteroestrutura corrugada, com T = 0, e ND = 0.05 X 1018 cm-3. 43

3.13 Sec<;6es transversais do potencial ao longo da dire<;ao y, com cortes emx = 0 A e x = 400 A, para uma temperatura 0 K e ND = 0.05 X 1018 cm-3. 43

3.14 Curvas de niveis das densidades de probabilidades dos quatro primeirosest ados da heteroestrutura corrugada, com T = 0, eND = 0.025 X 1018 cm-3. 44

3.15 Sec<;6estransversais do potencial ao longo da diregao y, com cortes emx = 0 A e x = 400 A, para uma temperatura 0 K e ND = 0.075 X 1018 cm-3. 44


3.17 Secg6es transversais do potencial ao longo da dire<;ao y, com cortes emx = 0 A e x = 400 A, para uma temperatura 0 K e ND = 0.01 X 1018 cm-3. 45






3.23 Secg6es transversais do potencial ao longo da diregao y, com cortes emx = 0 A e x = 400 A, para uma temperatura 0 K e ND = 0.075 X 1018 cm-3. 50

3.24 Curvas de nlveis das densidades de probabilidades dos quatro primeirosest ados da heteroestrutura corrugada, com T = 0, eND = 0.1 X 1018 cm-3. 51

3.25 Sec<;6estransversais do potencial ao longo da dire<;ao y, com cortes emx = 0 A e x = 400 A, para uma temperatura 0 K e ND = 0.1 X 1018 cm-3. 51

3.26 Curvas de nlveis das densidades de probabilidades dos quatro primeirosestados da heteroestrutura corrugada, com T = 0, e ND = 0.15 X 1018 cm-3. 52




3.30 Curvas de niveis das densidades de probabilidades dos quatro primeirosestados da heteroestrutura corrugada, com T = 4, e ND = 0.1 X 1018 cm-3. 56


4.1 Diferentes configurag6es de "gate" que saG usadas para impor gradientesde potencial lateral a urn 2DEG [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61

4.2 Se<;6estransversais de heterojun<;6es de GaAs-AlxGa1-xAs obtidas atravesde processos de corrosao (etching) [3] 61

4.3 Representagao de fios qwinticos cujo 0 confinamento em umas das dire<;6ese devido a urn potencial eletrostatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

4.4 Perfil do potencial de fios quanticos cujo 0 confinamento em umas dasdire<;6ese devido a urn potencial eletrostatico. . . . . . . . . . . . . . . .. 63

4.5 Perfil do potencial da heteroestrutura de Ah_:z;Ga:z;AsjGaAs, em urn cortetransversal paralelo a direQao de crescimento da amostra. (a) Aqui mos-tramos a heteroestrutura com a estrutura de gate, e em (b) mostramos 0

perfil do potencial em uma regiao sob 0 gate e em urna sem 0 gate. 634.6 Visao do topo do dispositivo utilizado por Okada et al [4] para investigar

a transiQao de urn gas de eletrons quase-2D para urn quase-1D. . . . . . .. 654.7 SeQao transversal do dispositivo investigado por Okada et al. . . . . . . .. 654.8 Thancondutancia versus voltagem aplicada ao gate. Resultado experimen-

tal obtido por Okada et al. [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 664.9 Thanscondutancia versus voltagem aplicada ao gate, e a derivada segunda

da corrente de dreno versus voltagem aplicada ao gate. Resultados experi-mentais obtidos por Okada et al. [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67

4.10 Capacitancia versus voltagem aplicada ao gate. Resultado experimentalobtido por Okada et al. [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67

4.11 FunQ6es de onda em k:z; = 0, para T = 0 K, Nd = 4.0 X 1012 cm -2 e Vg = 300mY 70

4.12 RelaQao de dispersao para T = 0 K, Nd = 4.0 X 1018 cm-3 e Vg = 300 meV. 704.13 FunQ6es de onda em k:z; = 0, para T = 0 K, Nd = 4.0 X 1012 cm-2 e Vg = 600

mY 714.14 RelaQao de dispersao para T = 0 K, Nd = 4.0 X 1018 cm-3 e ~ = 600 meV. 714.15 RelaQao de dispersao para duas diferentes voltagens aplicadas ao gate. . .. 734.16 FunQ6es de onda em k:z; = 0, para T = 0 K, Nd = 4.5 X 1012 cm-2 e ~ = 300

mV 744.17 FunQ6es de onda em k:z; = 0, para T = 0 K, Nd = 4.5 X 1012 cm -2 e ~ = 600

mV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.18 Densidade de probabilidade em k:z; = 0, para ~ = 0.0 my. 784.19 RelaQao de dispersao para Vg = 0.0 my. . . . . . . . . . . . 784.20 Densidade de probabilidade em k:z; = 0, para ~ = 100 my. 794.21 RelaQao de dispersao para ~ = 100 my. 794.22 Perfil de potencial paralelo a direQao y, em dois pIanos distintos, 0 primeiro

passando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. ~ = 100 mY. 804.23 Perfil de potencial paralelo a direQao x. ~ = 100 mV. . . . 804.24 Densidade de probabilidade em k:z; = 0, para ~ = 200 my. 814.25 RelaQao de dispersao para ~ = 200 my. 814.26 Perfil de potencial paralelo a direQao y, em dois pIanos distintos, 0 primeiro

passando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. ~ = 200 mV. 824.27 Perfil de potencial paralelo a direc;ao x. Vg = 200 mV. . . . 824.28 Densidade de probabilidade em k:z; = 0, para ~ = 300 my. 834.29 RelaQao de dispersao para ~ = 300 my. 834.30 Perfil de potencial paralelo a direQao y, em dois pIanos distintos, 0 primeiro

passando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. ~ = 300 mV. 844.31 Perfil de potencial paralelo a direQao x. ~ = 300 mV. . . . 844.32 Densidade de probabilidade em k:z; = 0, para ~ = 400 my. 854.33 RelaQao de dispersao para ~ = 400 my. 85

4.34 Perfil de potencial paralelo a dire<;aoy, em dois pianos distintos, 0 primeiropassando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. ~ = 400 mV. 86

4.35 Perfil de potencial paralelo a dire<;aox. Vg = 400 mV. . . . 864.36 Densidade de probabilidade em kx = 0, para Vq = 500 my. 874.37 Rela<;ao de dispersao para Vg = 500 my. 874.38 Perfil de potencial paralelo a dire<;aoy, em dois pianos distintos, 0 primeiro

passando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. Vq = 500 mV. 884.39 Perfil de potencial paralelo a dire<;aox. Vq = 500 mV. . . . 884.40 Densidade de probabilidade em kx = 0, para ~ = 600 my. 894.41 Rela<;ao de dispersao para Vg = 600 my. 894.42 Perfil de potencial paralelo a dire<;aoy, em dois pianos distintos, 0 primeiro

passando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. ~ = 600 mV. 904.43 Perfil de potencial paralelo a dire<;aox. Vg = 600 mV " 904.44 Condutancia versus voltagem para uma temperatura de 4.0 K. . . . . . .. 934.45 Logaritmo da condutancia versus voltagem para uma temperatura de 4.0 K. 934.46 (a) Aqui temos a popula<;ao total do sistema em fun<;ao da voltagem apli-

cada aos gates. (b) Temos a capacitancia versus voltagem aplicada aosgates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95

Lista de Tabelas

3.1 Energias e ocupa<;ao dos quatro primeiros niveis de eneriga do sistemacorrugado para uma temperatura zero e urn spacer de 0 A. . . . . . . . .. 41

3.2 Energias e ocupa<;ao dos quatro primeiros niveis de eneriga do sistemacorrugado para uma temperatura zero e urn spacer de 50 A. 49

3.3 Energias e ocupa<;ao dos quatro primeiros niveis de eneriga do sistemacorrugado para uma temperatura 4 K e urn spacer de 0 A. .... . 54

4.1 Energias e popula<;ao dos quatro primeiros niveis de energia em kx = 0,para uma temperatura 4 K e urn spacer de 50 A. 75

Resumo

Estudamos as propriedades eletronicas de dois sistemas quase-unidimensionaisdistintos, resolvendo autoconsistentemente as equa<;6es de Schrodinger e Poisson. 0metodo usado para calcular a estrutura eletronica deste sistema e baseada na solu<;aoda equa<;ao de Schrodinger dependente do tempo usando a tecnica do Split-Operator. Noprimeiro sistema estudamos os efeitos da corruga<;ao peri6dica da interface da estruturan - AlxGa1_xAs / GaAs na densidade eletronica ao longo desta interface. A forma geome-trica desta interface e do tipo dente de serra. Nas camadas de inversao convencionais, oseletrons estao distribuidos uniformemente ao longo da interface plana da heteroestrutura,mas devido a forma dente de serra desta estrutura, os eletrons se distribuem de maneiranao uniforme ao longo da interface, produzindo urn gas de eletrons quase-unidimensional.A estrutura que investigamos possui urn periodo de 806 A e urna densidade residual uni-forme de impurezas aceitadoras da ordem de 1015 cm-3. Calculamos a estrutura eletronicado gas de eletrons unidimensional confinado na interface corrugada em fun<;aoda voltagemaplicada ao gate, da densidade de impurezas doadoras e da temperatura. Os resultadosobtidos para a densidade eletronica mostram que, dependendo da densidade de impurezasdoadoras, haveni a forma<;ao de urn gas de eletrons quase-unidimensional nos vertices daestrutura dente de serra. 0 segundo sistema que estudamos e constituido por urn gas deeletrons bidimensional, formado na interface de urna camada de Al1-xGaxAs com umacamada de GaAs, sobre a qual, temos urna estrutura peri6dica de "gates". Aplicando-seuma voltagem negativa sobre os "gates" teremos a forma<;ao de flos quanticos nas regi6esentre os "gates". Neste sistema observamos a transi<;ao de urn sistema quase-bidimensionalpara urn quase-unidimensional. Investigamos suas propriedades eletronicas em fun<;aodatemperatura, da voltagem aplicada aos "gates" e da densidade de impurezas doadoras.

Abstract

We have studied the electronic properties of two different quasi-one-dimensionalsystems solving self-consistently the Schrodinger and Poisson equation. The methodwe use to calculate the electronic levels is based on the solution of the time-dependentSchrodinger equation using the split-operator technique. In the first system we have stud-ied, we present a theoretical calculation of the electronic structure of v-groove quantumwires confined in modulation-doped n-AIGaAs/GaAs. The system investigated is saw-tooth corrugated by bendings with period of 850 A. Results of the electronic structure areobtained as a function of the gate voltage and the donor impurity density. The electronicdensity shows the existence of a quasi one-dimensional electron gas. The second systemstudied here is composed by a two-dimensional electron gas confined at the interface of anAh-xGaxAs/GaAs heterostructure, on top of which there is a periodic structure of gates.When a negative voltage is applied to the gates, the regions at the interface beneath themare depleted and quantum wires are formed. We have calculated the electronic structureof subband of that system. We investigated the electronic properties of the quantum wiresas a function of gate voltage, from which we determine the threshold between the 2D andID transitions, the temperature and the ionized donor density.

Capitulo 1

Introdu<.;ao

Ao considerarmos 0 movimento de eletrons na materia condensada, estamos

tratando de descrever 0 problema do movimento de urn grande numero de eletrons e

nucleos (cerca de 1023 partfculas por cm3) obedecendo as leis da mecanica quantica. De-

vido ao grande numero de partfculas e a complexidade das interaQ6es envolvidas, urn

tratamento preciso e completo destes sistemas, torna-se impraticavel. E necessario entao,

desenvolver modelos aproximados com 0 objetivo de resolver 0 problema. 0 tipo de

aproximaQao utilizada depende do problema especifico a ser estudado e das propriedades

nas quais estamos interessados. Entao, para se elaborar urn modelo teorico que descreva

razoavelmente bem 0 sistema a ser estudado, devemos utilizar os resultados experimen-

tais para ajusta-lo. Desta forma, torna-se muito importante termos conhecimento dos

trabalhos experimentais que estao sendo desenvolvidos no sistema que nos interessa, e de

seus resultados, os quais terao urn papel indispensavel no progresso das hipoteses, nas

quais baseamos 0 modelo. As propriedades observadas nos solidos podem ser explicadas

baseadas em uma descriQao cuja a implementaQao requer a incorporaQao de urn Hamil-

toniano bastante reaHstico (que descreva bem os termos de interaQao relevantes para as

propriedades que se deseja observar) apropriado para as interaQ6es eletrostaticas e eletro-

magneticas entre as particulas. 0 desenvolvimento da maioria dos trabalhos realizados

atualmente, surge de uma interaQao estreita entre a fisica teorica e a fisica experimental.

o estudo teorico de urn sistema com urn grande lllimero de particulas interagindo

objetiva-se nao apenas em tentar estimar 0 est ado fundamental do sistema, mas tambem,

em calcular os est ados excitados cujas energias diferem ponco do estado fundamental. Os

trabalhos experimentais estao associ ados a resposta do sistema a urn estimulo extemo.

Tais experiEmcias modificam 0 estado do sistema para urn estado de maior energia. Como

grande numero das propriedades do sistema surgem dessa mudan<;:ade estado, entao para

analisarmos os resultados experimentais e importante que conhe<;amos estes estados.

Nos ultimos anos temos testemunhado urn extensivo desenvolvimento dos metodos

teoricos e computacionais de caJculo da estrutura eletr6nica e propriedades da materia

condensada. Ra evidentemente dois fatores que contribuiram de forma mais relevante

para este desenvolvimento. 0 primeiro deve-se ao uso mais intenso da teoria do funcional

da densidade, qne toma possivel a partir de uma unifica<;ao conceitual basica descrever

os estados eletr6nicos em varias especies de materia, e 0 segundo deve-se ao progres-

so no campo da fisica computacional que tomou possivel uma analise quantitativa das

propriedades fisicas dos sistemas complexos.

Para se calcular a estrutura eletr6nica de solidos urn dos metodos mais importante

e 0 calculo autoconsistente, isto e, a obten<;:aodo potencial efetivo autoconsistente usando

a teoria do funcional da densidade. Isto ocone porque ha urn grau de incerteza na

formula<;ao do potencial efetivo nos calculos sem autoconsistEmcia. 0 problema e que na

teoria do funcional da densidade 0 processo de obten<;:aodo potencial em uma analise final

reduz-se ao calculo da densidade eletr6nica, na qual, ela e expressa atraves das fun<;6es

de onda at6micas ou i6nicas.

Os calculos autoconsistentes da estrutura eletr6nica de solidos, que usam 0 for-

malismo da teoria do funcional densidade, saG os mais usados e os que apresentam os

melhores resultados. Este tipo de calculo se caracteriza pelo fato de que 0 potencial

efetivo result ante e obtido atraves da densidade eletr6nica, a qual e expressa em termos

das funt;6es de onda ionicas e atomicas. Devido a esta caracteristica e muito importante

obtermos as funt;6es de onda de urna maneira bastante precisa. 0 maior esfort;o dos

caIculos autoconsistentes se concentram na obtent;ao da estrutura eletronica, portanto,

o metodo te6rico empregado para este prop6sito devera ser bastante eficiente, ou seja,

devera minimizar 0 esfort;o computacional enquanto mantem uma boa precisao, ja que as

funt;6es de onda participam diretamente do processo autoconsistente.

Os sistemas eletronicos quase-unidimensionais (gas de eletrons quase-unidimen-

sional) 1DEG nos Ultimos anos tem sido alvo de intensas investigat;6es, tanto te6ricas

quanto experimentais, devido ao seu grande potencial tecnol6gico. Experimentalmente

com 0 atual est ado da arte, pode-se confinar os portadores (eletrons e buracos) espacial-

mente em estruturas semicondutoras em urna (pOt;OSquanticos), duas (fios quanticos) e

tres dimens6es (pontos quanticos ou " quantum dots") com urn controle da ordem de uma

monocamada atomica. Toda tecnologia de fabricat;ao destas estruturas semicondutoras

se deve aos avant;os das tecnicas de crescimento de cristais [3,5-12] tais como: Molecu-

lar Beam Epitaxy (MBE) e Metalorganic Chemical Vapor Deposition (MOCVD), com as

quais pode-se construir estruturas semicondutoras compostas por camadas ultra-finas (da

ordem de 20 A) geralmente constituidas por elementos do grupo III-V ou II-VI. Com a

utilizat;ao de materiais semicondutores de diferentes gaps entre as bandas de valencia e

condut;ao, e possivel construir seqiiencias de barreiras de potenciais e POt;os quanticos.

Para aqueles semicondutores cujos parametros de rede sao muito pr6ximos, como e para

o GaAs e 0 AlGaAs, e possivel construir amostras com interfaces abruptas cuja a for-

ma do potencial resultante pode ser descrita por uma sucessao de barreiras e de POt;OS

quadrados. A dopagem destas estruturas com impurezas aceitadoras e/ou doadoras de

forma controlada nos possibilita obter os mais variados perfis de potencial na diret;ao de

crescimento.

o crescimento de heteroestruturas semicondutoras combinado com as tecnicas

de nanolitografia e com 0 "etching" quimico (corrosao quimica) tern propiciado a possi-

bilidade de realizarmos urn confinamento em duas (fios quanticos) ou ate tres dimens6es

(pontos quanticos ou " quantum dots") nas mais variadas formas geometricas. Geralmente,

as dimens6es envolvidas nestes sistemas sac companiveis ao comprimento de onda de de

Broglie dos eletrons, revelando assim a natureza quantica dos portadores presente nesses

sistemas. Devido ao confinamento nest as dimens6es, os portadores apresentam estados

discretos e exibem propriedades eletricas nao usuais. 0 entendimento do comportamento

dos portadores confinados nest as regi6es muito pequenas e de grande interesse devido ao

seu grande potencial de aplicagao tecnol6gica.

Os efeitos quanticos, devido ao tamanho das dimens6es envolvidas, que surgem em

dispositivos semicondutores, dependem da forma do potencial de confinamento e de suas

dimens6es laterais. Diferentemente do caso mais conhecido, 0 pogo quantico retangular

bidimensional, os pogos quanticos unidimensionais e zero-dimensionais (quase-ID e quase-

OD respectivamente) de diferentes formas podem ser obtidos dependendo da tecnica de

fabricagao. Portanto, a tecnologia de fabricagao tern urn papel crucial na determinagao

do fenomeno de quantizagao que se deseja.

A redugao do tamanho da geometria dos dispositivos eletronicos e 0 meio mais

efetivo de aumentarmos a velocidade de operagao e a densidade de empacotamento dos

circuitos integrados. A atual tecnologia de nanofabricagao e capaz de definir estruturas

com dimens6es mais estreitas do que escalas de comprimento de processos fisicos perti-

nentes. Neste regime temos uma mistura de transporte classico e quantico. Investigar as

propriedades eletronicas de dispositivos ultrapequenos pode indicar 0 tamanho limite dos

dispositivos convencionais e pode conduzir a futuros dispositivos eletronicos que explorem

os efeito quanticos que sur gem devido as pequenas geometrias. Os sistemas de maior inte-

resse atualmente sac os quase-ID (fios quanticos) e os quase-OD (pontos quanticos). Nestes

sistemas as energias do eletron e quantizada nas direg6es do confinamento produzin-

do uma mudanc;a dramatica nas suas propriedades fisicas. A quantizaC;ao em sistemas

quase-ID foi verificada em experimentos atraves de medidas de capacitimcia [4,13--15],

condutancia [16-18], magnetocondutancia [19-22] e propriedades 6pticas [6,23-30].

Por exemplo, e esperado que fios quanticos semicondutores exibam caracterfsticas

6pticas llnicas devido ao confinamento quantico dos seus port adores de carga quase-

lUlidimensionais [3,6,8,9,23,27,28.30-34] . Estas caracterfsticas induem uma absor<;ao

aguda. urn espectro de ganho e de reflac;ao, aumento na energia de ligac;ao de excitons

e impurezas e urn acoplamento eletron-fonon modificado. Tais propriedades tornam os

fios quanticos atrativos para aplicac;ao em novos dispositivos opto-eletronicos, pois estes

oferecern perspectivas de novas funcionalidades e de aperfeic;oamento da performance de

certas caracterfsticas de outros tip os de dispositivos. Maiores ganhos 6pticos e urn perfil

espectral de ganho estreito devem ser particularmente llteis em lasers de fios quanticos

mostrando uma corrente limiar extremamente baixa, uma reduzida sensibilidade a tem-

peratura, uma alta velocidade de modulac;ao e urn espectro de larguras de linha estreito.

Espectro de absorc;ao e refrac;ao agudos podem ser empregados em moduladores 6pticos

e chaves de baixa voltagem, assim c:omo, em foto-detectores de alta velocidade.

Portanto. as heteroestruturas de fios quanticos habilitadas para tais aplic:ac;6es

opto-eletronic:as devem reunir urn ccrto 1l1lmerode qualidades estruturais. A formac;ao de

sub-bandas quase-ID distintas no espectro de energia, requer que 0 poc;ode potencial que

define os fios seja 0 suficientemente estreito e uniforme, para produzir uma separac;ao en-

tre as sub-bandas tais que 6.E > J{ BT, c flutuac;6es bE na sub-bandas de energia devido

aos defeitos da interface (a nao uniformidade do poc;o de potencial) as quais bE « 6.E.

Alem disso. 0 nivel de Fermi Ef deve ser 0 suficientemente baixo para evitar que os esta-

dos excitados do fio quantico sejarn populados. Enquanto as restri~'6es acima devern ser

rnantidas para quaisquer intenr;6es de se produzir estrutmas de baixa dimensionalidade.

existem vinculos adic:ionais impostos aos fios quantic:os aceitaveis para aplica~'6es opto-

eletronicas. Primeiro, as interfaces de fios qwinticos nao podem ter defeitos, pois estes

poderiam minimizar os efeitos das recombinaQ6es nao radiativas na interface, os quais

reduzem a eficiencia quantica e 0 tempo de vida dos portadores. Para alcanQarmos este

objetivo, as tecnicas de fabricaQao nas quais os fios saG farmados completamente in situ

durante 0 crescimento epitaxial saG muito atraentes. Segundo, para assegurarmos uma

interaQao adequada entre os portadores confinados e os feixes opticos, deseja-se urn ar-

ranjo unifarme e de alta densidade de fios quanticos. E terceiro, urn mecanismo eficiente

de captura dos partadores em torno da barreira para 0 pOQOde potencial do fio quantico

e essencial para utilizarmos eficientemente os partadores em excesso. ConsideraQ6es sim-

ilares tambem se aplicam ao caso de heteroestruturas de pontos quanticos, quase-OD.

Estas estruturas nos possibilitam entao investigar a Ffsica em sistemas com di-

mens6es reduzidas da ordem de dezenas de angstrons. Para entendermos 0 comportamento

dos portadares (eletrons e buracos) confinados nestas estruturas e para podermos avaliar

a viabilidade tecnologica das mesmas devemos resolver urn problema de muitos corpos;

cerca de 1023 partfculas par cm3.

Como vimos anteriormente os sistemas quase-unidimensionais para aplica<;aoem

dispositivos opto-eletronicos devem reunir uma serie de caracterfsticas e para avaliarmos

estas devemos responder quest6es tais como: Qual e 0 espaQamento energetico das sub-

bandas quase-1D? Quantos estados estao populados? Quao confinado esta 0 sistema?

etc.. Fornecer uma resposta teorica a estas quest6es e em geral urn problema bastante

complicado. Devido a isto, torna-se necessario resolvermos as equa<;6esde Schrodinger e

Poisson autoconsistentemente em duas dimens6es. D. Jovanovic et al. [35]investigaram a

ocorrencia do espalhamento ressonante intersub-banda de fOnonsopticos em urn arranjo de

fios quanticos em altas temperaturas. Para entender os resultados experimentais obtidos

par Ismail, D. Jovanovic et al. [35] fizeram urn calculo autoconsistente das equag6es de

Schrodinger e Poisson e posteriarmente, urn calculo de Monte Carlo do espalhamento

eletronicas. Primeiro, as interfaces de fios qwinticos nao podem ter defeitos, pois estes

poderiam minimizar os efeitos das recombinagoes nao radiativas na interface, os quais

reduzem a eficiencia quantica e 0 tempo de vida dos portadores. Para alcangarmos este

objetivo, as tecnicas de fabricagao nas quais os fios sao formados completamente in situ

durante 0 crescimento epitaxial sao muito atraentes. Segundo, para assegurarmos uma

interagao adequada entre os portadores confinados e os feixes 6pticos, deseja-se urn ar-

ranjo uniforme e de alta densidade de fios quanticos. E terceiro, urn mecanismo eficiente

de captura dos portadores em torno da barreira para 0 pogo de potencial do fio quantico

e essencial para utilizarmos eficientemente os portadores em excesso. Consideragoes sim-

ilares tambem se aplicam ao caso de heteroestruturas de pontos quanticos, quase-OD.

Estas estruturas nos possibilitam entao investigar a Fisica em sistemas com di-

mensoes reduzidas da ordem de dezenas de angstrons. Para entendermos 0 comportamento

dos portadores (eletrons e buracos) confinados nestas estruturas e para podermos avaliar

a viabilidade tecno16gica das mesmas devemos resolver urn problema de muitos corpos;

cerca de 1023 particulas por cm3.

Como vimos anteriormente os sistemas quase-unidimensionais para aplicagao em

dispositivos opto-eletronicos devem reunir uma serie de caracteristicas e para avaliarmos

estas devemos responder questoes tais como: Qual e 0 espagamento energetico das sub-

bandas quase-1D? Quantos estados estao populados? Quao confinado esta 0 sistema?

etc .. Fornecer uma resposta te6rica a estas questoes e em geral urn problema bastante

complicado. Devido a isto, torna-se necessario resolvermos as equagoes de Schrodinger e

Poisson autoconsistentemente em duas dimensoes. D. Jovanovic et al. [35]investigaram a

ocorrencia do espalhamento ressonante intersub-banda de fOnons6pticos em urn arranjo de

fios quanticos em altas temperaturas. Para entender os resultados experimentais obtidos

por Ismail. D. Jovanovic et al. [35] fizeram urn caJculo autoconsistente das equagoes de

Schrodinger e Poisson e posteriormente, urn calculo de Monte Carlo do espalhamento

intersub-banda e encontraram urn forte acoplamento ressonante entre as sub-bandas e os

fonons polares opticos na voltagem do gate indicada pelos dados experimentais. Calculos

de propriedades eletronicas, com aproxima<;6es de diversas natureza, tern sido feitos nos

mais variados sistemas quase-unidimensionais [33-65].

o objetivo deste trabalho consiste no calculo autoconsistente dos estados eletro-

mcos de sistemas quase-unidimensionais 1DEG (gas de elE~tronsquase-unidimensional)

[34,35,37,41-51,53-58,60-65]. Para resolvermos a equa<;ao de Schrodinger utilizamos

a tecnica do Split-Operator, a qual recentemente foi adaptada com sucesso da fisica

atomica [66-69] para a fisica da materia condensada por Degani [70-73] para calculos

de estrutura eletronica. Com esta tecnica essencialmente, podemos resolver a equa<;ao

de Schrodinger dependente do tempo possibilitando 0 estudo de propriedades dinamicas

de diversos sistemas. Para resolvermos a equa<;ao de Poisson bidimensional geralmente

usa-se urn algoritmo numerico iterativo [74-78], 0 que nao e conveniente numericamente

(esfOI<;ocomputacional) em urn calculo autoconsistente. Para contornarmos est a dificul-

dade, restringimos os sistemas estudados a aqueles que possam ser descritos, em ao menos

uma das dimens6es, pOI condi<;6esde contorno periodicas. Ao fazermos esta restri<;ao, a

solu<;aonumerica da equa<;aode Poisson se limita a transformadas de Fourier e a invers6es

de uma matriz tridiagonal. Na solu<;aonumerica de to do 0 processo autoconsistente que

utilizamos, a parte que exige urn maiOI esfOI<;ocomputacional e aquela que faz uso dos

algoritmos da "Fast Fourier Transform" e da inversao de uma matriz tridiagonal com-

plexa.

Para termos uma ideia da grande variedade de problemas onde podemos aplicar

este algoritmo nos 0 utilizamos no calculo das propriedades eletronicas de dois sistemas

de grande interesse por parte dos pesquisadOIes, cuja a natureza do confinamento dos

portadores e bastante distinta, e que possuem urn grande numero de panimetros a serem

investigados e que tern algum interesse tecnologico. Como os sistemas que iremos estudar

saGfios qwinticos, entao urn ca1culo autoconsistente destas estruturas e importante porque

ele nos fomece uma func;ao de onda mais precisa, 0 que vem a ser muito importante nos

ca1culos de propriedades 6pticas (vide por exemplo [35]).

Recentemente urn novo metodo de preparac;ao de fios qwinticos foi propos to, e

este consiste basicamente do crescimento epitaxial de poc;os quanticos diretamente em

substratos padronizados nao planares. 0 mecanismo basico e que 0 crescimento epitaxi-

al em semicondutores III- V ocorre preferencialmente nas superficies vicinais em vez da

direc;ao (100). Para obtermos fios qwinticos, 0 crescimento epitaxial de poc;os qwinticos de

GaAs/AlGaAs devera ser feito em urn substrato de GaAs, no qual, 0 padrao dos canais

tenha sido obtido atraves de uma corrosao quimica. Vma grande variedade de estruturas

podem ser obtidas hoje devido ao desenvolvimento das tecnicas de crescimento epitaxial,

litografia e da corrosao quimica.

No capitulo 2, apresentaremos 0 metodo numerico utilizado para calcular a equac;ao

de Schrodinger e as aproximac;oes envolvidas. Mostramos como e realizada numericamente

a soluc;ao da equac;ao de Poisson e como saG impostas as condic;oes de contomo.

No capitulo 3, iremos estudar as propriedades eletronicas de fios quanticos do

tipo v-groove, usando 0 metodo apresentado no capitulo 2. Recentemente este tipo de

sistema tern sido bast ante investigado tanto experimentalmente [7,10-12,79-82], quanta

teoricamente [1,2,28,34,47,48,55,83-86]. Investigamos os efeitos da temperatura, da

densidade de impurezas doadoras e do "spacer " (uma estreita camada nao dopada,

tipicamente da ordem de 100 A, a qual separa espacialmente os portadores da regiao de

impurezas ionizadas, evitando assim a presenc;a de centros espalhadOIes) nas propriedades

eletronicas dos fios qwinticos, onde verificamos que a densidade de impurezas doadoras e

o parametro mais relevante para as propriedades eletronicas do sistema estudado.

No capitulo 4 estudamos uma estrutura que e constituida por uma super-rede de

fios quanticos em heterojunc;oes de GaAs-Al1_xGaxAS. Esta heterojunc;ao e formada pOI

urna camada de GaAs, seguida de uma de Al1-xGa':)As (0 "spacer "), e posteriormente

seguida por uma camada de n-Ah-x GaxAs dopada com impurezas doadoras. Os eletrons

das impurezas doadoras migram para a interface do GaAs com 0 Al1-x GaxAs nao do-

pado formando urn gas de eletrons bidimensional. Com a formaC;aodo gas de eletrons

bidimensional na interface do GaAs com 0 Al1-x GaxAs, pode-se criar fios qwinticos nesta

interface por meio de urn potencial eletrostatico aplicado aos "gates". Aplicando-se uma

voltagem negativa aos "gates " os eletrons procuram regi6es de menor energia ficando

confinados nas regi6es entre os "gates", formando nesta regiao urn gas de eletrons que

dependendo da voltagem pode ser unidimensional (urn canal eletronico), ou seja, urn fio

quantico.

Calculamos a estrutura de sub-bandas eletronicas para este sistema em funC;aoda

voltagem aplicada ao gate e da temperatura. Tambem observamos, que 0 gas de eletrons

sofre uma transiC;aode urn sistema quase-bidimensional para urn quase-unidimensional em

funC;aoda voltagem aplicada. Esta transiC;ao foi observada experimentalmente por Smith

et al. [13] em 1987 e por Okada et al. [4] em 1988, atraves de medidas de capacitancia e

de transcondutancia.

No capitulo 5, apresentamos as conclus6es e propostas trabalhos futuros, dando

prosseguimento ao trabalho iniciado aqui.

Capitulo 2

o Metodo Numerico e 0 CalculoAutoconsistente

Neste capitulo apresentaremos 0 algoritmo autoconsistente usado para calcular

as propriedades eletronicas dos sistemas quase-unidimensionais estudados neste traba-

lho. Devido a uma limitagao computacional (tempo de CPU) provenientes da solugao da

equagao de Poisson, 0 algoritmo que usamos esta restrito a sistemas os quais, em ao menos

uma das dimensoes, as condigoes de contorno sejam peri6dicas. Os metodos numericos

utilizados para se resolver a equagao de Poisson [74,75] em duas dimensoes com condigoes

de contorno finitas em ambas as diregoes sao iterativos, 0 que requer urn esforgo muito

grande. 0 fato do sistema ser peri6dico em uma das diregoes possibilita-nos utilizar 0 al-

goritmo da Fast Fourier Transform [87]nos calculos, otimizando 0 tempo computacional

mas, por urn outro lado, precisamos usar uma malha com uma discretizagao uniforme. Ja

os sistemas bidimensionais com condigoes de contorno peri6dicas em ambas as diregoes nao

oferecern dificuldades do ponto de vista numerico, e a principio convergem rapidamente.

2.1 Solu<;ao da Equa<;ao de Schrodinger

Agora iremos discutir 0 metodo do Split-Operator, 0 qual foi utilizado para re-

solvermos a equagao de Schrodinger. Este metodo inicialmente usado em dinamica mo-

lecular [66-69] foi adapt ado para 0 uso em fisica da materia condensada [70], onde tern

2.1.1 Evoluc;ao da Fuuc;ao de Ouda em Tempo Real

2.1.1 Evoluc;aoda Func;aode Gnda em Tempo Real

p2H= -+V(x)

2m

2.1.1 Evoluc;;ao da Fuuc;;aode Ouda em Tempo Real

w(x, t) = exp ( -* it H dt) w(x, 0),

(i jt+llt )

w(x, t + l:::.t)= exp -h t Hdt w(x, t),

w(x, t + l:::.t)= exp ( -*Hl:::.t) w(x, t),

[il:::.t (V(x) p2 V(x))]w(x, t + l:::.t)= exp -Ii: -2- + 2m + -2- w(x, t).

Com 0 auxl1io da identidade eA+B+A = eAeB eA, que e valida para dois opera-

dores A e B que satisfac;am as relac;6es de comutac;ao [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, a

~ [iV(X)l:::.t] [iP2 l:::.t] [iV(X)l:::.t]w(x, t + l:::.t)= exp - 2ft exp - 2mft exp - 2ft w(x, t).

c~;r[V(X), [~ ,v(X)]] = 0

(il:::.t)3[P2 [P2 ]]_- - - V(x) -0.

2ft m' m'

2.1.1 Evolw;ao da Fun~ao de Onda em Tempo Real

termos da ordem de (~t)3 devem ser desprezados introduzindo assim urn erro na equac;ao (2.6)

devido a nao comutatividade dos operadores energia cinetica e potencial. E importante

numero de pontos levaria a urn maior tempo de computac;ao.

lnicialmente, multiplica-se exp[- iV~x~~t] pela func;ao de onda inicial w(x, t):

[iV(X)~t]~(x, t + ~t) = exp - 2n W(x, t).

[iP2~t]7](x, t + ~t) = exp - 2mn ~(x, t + ~t).

Para que esta operac;ao possa ser efetuada, devemos decompor 0 operador contendo a

• .,. A (p2 p2 p2 p2) Cenergla cmetIca nas suas tres componentes 2m = 2~ + 2:'n + 2:n . omo as componentes

[iP2~t] [iP2~t] [iP'3~t]7] (x, t + ~ t) = exp - x n exp - Y exp - " ~(x, t + ~ t ) .2m 2mn 2mn

2.1.1 Evolu<;ao da Fun<;ao de Onda em Tempo Real

Agora devemos aplicar uma componente de cada vez, e para cada componente 0

It a2

operador energia cinetica e escrito como K,i = i- a 2 assim:2m Xi

(~t P2)

exp -in 2:n

(. It~t a2

) ( K,i~t) ( K,i~t)-lexp '/,---- ~ 1+-- . 1---2m ax; 2 2

(It~t a2

) (It~t a2)1 - i- a 2 • 'T7(x, t + ~t) = 1 + i- a 2 . ~(x, t + ~t)

4m Xi 4m Xi

2.1.1 Evoluc;ao da Fuuc;ao de Ouda em Tempo Real

~. 1~-•••• •

i-I 'l

•••••i+l n-l

on+l

LMi,j'rJj = 8i, (2.17)j

ou seja,

1vlu M12 0 0 0 0 'rJ1 81lv121 lvh2 lv123 0 0 0 'rJ2 82

0 lvh2 lvh3 1v134 0 0 'rJ3 830 0 lv143 lv144 M45 0 'rJ4 84 (2.18)0 0 0 lvh4 M55 775 85

Mn-1,n0 0 0 0 0 Mn,n-1 Mnn 'rJn 8n

onde a soma em (2.17) e feita sobre todos os pontos da rede e,

2.1.2 Evoluc;ao da Fuuc;ao de Ouda em Tempo Imagimirio

J = ~

j=i+l

j=i-l

outros valores de j

(V(X)~t)w(x, t + ~t) = exp -i 2fi TJ(x, t + ~t).

2.1.2 Evoluc;;ao da Func;;ao de Onda em Tempo Imagimirio

I 'P~old) ( T )) - L (W; new) (T ) 1 if ~old) ( T ) ) 1 W; new) ( T ) )IW~new)(T)) = j_<i _

(<p~old) (T)I<p~old) (T)) _ LI(W;new) (T)I<p~old)( T)) 12

j<i

n 658.2~t ~ -- ~ -- ~ 0.3 fs~E 2.000 .

onde m* e a massa efetiva do eletron. As fungoes de onda cPn,kz

(x, y) que descrevem os

efeitos do potencial de confinamento e os respectivos autovalores En (kz) SaO obtidas a

Lz KBT2m*ar? se T =1= 0rrao h2 F-1/2(TJi,kJ

Nk = (2.28)1, z

2Lz 2m*a*2 .JCF - ci(kz)0 se T = 0

rrao h2

mi. F-1/2(TJi,kJ, e a fun~ao de Fermi-Dirac. oude TJi,kz = (cF - ci(kz))/ KBT. Por uma

2.3. Soluc;ao da Equac;ao de Schrodinger: Propagac;ao em Duas Dimensoes21

a 1.69742452b 1.495c 2.828427125

2.3 Soluc;;aoda Equac;;aode Schrodinger: Propagac;;aoem Duas Dimensoes

[iV(x, Y)!:lt] [iP2!:lt] [iV(X, Y)!:lt]'1'(x, Y, t+!:lt) = exp 21i exp 2mli exp - 21i '1'(x, Y, t) (2.30)

[iV(x, Y)!:lt]~(x,y,t+!:lt)=exp - 21i '1'(x,y,t),

[iP2!:lt] [iP2!:lt] [iP2!:lt]TJ(x,Y, t+!:lt) = exp - 2mli ~(x, Y, t+!:lt) = exp - 2~1i exp - 2~1i ~(x, Y, t+!:lt).

(2.32)

[iP2~t]

X(x, y, t + ~t) = exp - 2~n ~(x, y, t + ~t)

( n~t 82) ( n~t 82

)1 - i 4m 8y2 . X(x, y, t + ~t) = 1 + i 4m 8y2 . ~(x, y, t + ~t),

a solu<;ao e faeilmente eneontrada. Uma vez eneontrado X(x, y, t + ~t), dev('n'",C' ..,~l:

(iP2~t) . . ,o operador exp - x sobre ele. Se 0 sIstema for firnto em (1'"'2mn

devemos fazer e repetir 0 proeedimento anterior para a dire<;ao x <:;uClJU18 IllUlLlpllcaIlHOS

1 d (.V(x,y)~t) . f "d' d' - do resu ta 0 por exp -2 2n ' mas se 0 sIstema or perlO Ieo na lfe<;ao x evemos

usar 0 algoritmo da Fast Fourier Transform (FFT).

[ iP;~t]TJ(x, y, t + ~t) = exp - 2mn X(x, y, t + ~t),

F[X(x)] = X(k) = :L eikXX(X),

urn potencial peri6dico e 0 produto de urna onda plana eiqx por urna fun~ao uq(x) que

( n~t 82) 1 .TJ(x) = exp i-2-;:) 2 -:L e-tkXx(k),

m uX 2rrk

1:L ( n~t 82) .( k'TJ(x) = - exp i-- et q- )Xu(k)

2rr 2m 8x2k

1 ""k (n~t 2).TJ(X) = - ~ e-t x exp -i-(q - k) etqxu(k),2rr 2m

k , ,'V'

TJ(k)

T/(K) =L eiKx 2~ L e-ikx exp (-i~~t (q - k)2) eiqx L eikx' U(X')x k X'

T/(K) = 2~ Lexp (_i~~t(q - k)2) LeikX'u(X') Lei(K+q-k)Xk X' x.... v----~

27r8k,K +q

x(x)

(/i~t 2) ~ "K ,---;-'

T/(K) = exp -i 2m (K) 7' et x etqx u(x'), j

'V

x(K)

T/(x, y, t + ~t) = F-1 [exp ( -i ~~(k - q)2) F[X(X)]]

forma mais conveniente computacionalmente. Para obtermos w(x, y, t + ~t) basta multi-

( ) (V(x, y)~t) .

plicarmos 7] x, y, t + ~t par exp -i 2/i ' ou seJa,

2.4. Solw;ao da Equac;ao de Poisson

(V(x, Y).6.t)w(x, y, t + .6.t) = exp -i 2ft TJ(x, y, t + .6.t).

2.4 Soluc;ao da Equac;ao de Poisson

Para escrevermos a equa<;;ao acima em unidades adimensionais, devemos multi-e2

plica-la por 0~2 / Ry*, onde Ry* = -2 *' obtendo assim:00

0*3onde, p(x, y) = ~[Nd(X, y) - Na(x, y) - n(x, y)].

E

Devido ao fato do nosso problema ser peri6dico em uma dire<;;ao,podemos resolver

VH(X, y) = F[v(kx, y)] = 2~ L e-ikxxv(kx, y)kx

2.4. Solw;ao da Equac;ao de Poisson

p(x,y) = F[p(kx,Y)] = 2~ Le-ikxxp(kx,y),kx

onde escrevemos Vij em vez de v(kx, y) e Pij em vez de p(kx, y). A equu""

2.4.1 Condic;oes de Contorno para a Equac;ao de Poisson

6.Yj-l 6.Yj0 I I- • • • I I f-. • • I I 00 1 2 j-1 J j+1 N -1 Ny Ny + 1y

Figura 2.2: Condic;:6es de contorno para 0 potencial

1 2Vi.O87f tJ.Yo(tJ.Yo + tJ.Yl)

1 2Vi,Ny+l87f tJ.YNy(tJ.YNy-l + tJ.YxJ'

2.4.1 Condi~oes de Contorno para a Equa~ao de Poisson 28

b1 Cl 0 0 0 0 Vi,l Pi,l - P:,oa2 b2 C2 0 0 0 Vi,2 Pi,20 a3 b3 C3 0 0 Vi,3 Pi,30 0 a4 b4 C4 0 Vi,4 = 87r Pi,4 (2.54)0 0 0 as bs Vi,S Pi,S

CNy-l*0 0 0 0 0 aNy-l bNy Vi,Ny Pi,Ny - Pi,Ny

dv(kx, Ybulk) = 0dy

dv(kx, Ybulk) = 0dy

2.4.1 Condic;;oes de Contorno para a Equac;;ao de Poisson

_____ G_a_A_S _

VBulk

~ermi

--t---I------------I II'

YO 0 YBulk Y

Figura 2.3: Representac;:ao esquematica do perfil de potencial de uma heteroestrutura deAlxGal_xAs/GaAs.

Capitulo 3

Fios Quanticos do tipo "V-Groove"

Neste capitulo iremos estudar as propriedades eletronicas de fios quanticos do tipo

v-groove, ou seja fios formados na interface corrugada da heteroestrutura de AlxGal-xAs/

GaAs, usando 0 metodo apresentado no capitulo 2. Neste sistema investigamos a natureza

do confinamento do gas de eletrons, verificando se ele apresenta urn carater de gas de

eletrons quase-2D ou quase-1D, e a regiao onde ele ira ocorrer. Investigamos tambem os

efeitos da temperatura, da densidade de impurezas doadoras e do spacer nas propriedades

eletronicas dos fios quanticos, onde verificamos que a densidade de impurezas doadoras e

urn dos parametros mais relevantes para as propriedades eletronicas do sistema estudado,

ou seja, ela e 0 fator determinante na forma e localizac;ao do confinamento dos portadores

neste sistema.

3.1 Sistemas Quase-1D Corrugados

Vma grande variedade de estruturas semicondutoras podem ser obtidas hoje de-

vido ao desenvolvimento das tecnicas de crescimento epitaxial, litografia e da corrosao

quimica (ver figura 3.1). 0 atual estado da arte, esta na utilizac;ao conjunta destas

tecnicas, 0 que viabiliza a fabricac;ao de nanoestruturas com potenciais de confinamen-

to de formas geometricas variadas. Ha pouco tempo foi proposto urn novo metodo de

preparac;ao de fios quanticos, e este consiste basicamente do crescimento epitaxial de poc;os

3.1. Sistemas Quase-1D Corrugados

teorica [1,2,28,34,47,48,55,69,84-86] quanta experimental [7,10-12,30,79,80,82] par

Figura 3.1: Canais de diferentes formas geometricas obtidos por diferentes processos decorrosao qufmica.

3.1. Sistemas Quase-ID Corrugados

e muito sensfvel aos parametros ffsicos das camadas vizinhas de AlxGal-xAs. Todos os

resultados obtidos par eles foram para uma temperatura fuca de 4.2 K. Eles investigaram

a infiuencia da concentra<;ao de Al na forma<;ao do fio quantico, de tal forma que somente

o est ado fundamental estivesse populado.

Recentemente, Sawada et al. [1] propuseram e investigaram uma heteroestrutura

de 11, - AlxGal_xAs / u - GaAs (0 u - GaAs significa que a camada de GaAs possui

uma dopagem nao intencional, ou seja, "u11,doped" GaAs), com interface corrugada de

dopagem modulada (ver Fig. 3.3), esperando obter uma distribui<;ao nao uniforme de

eletrons na interface do 11, - AlxGal_xAs com 0 u - GaAs, a qual produziria urn gas de

eletrons unidimensional na regiao concava do GaAs, eles fizeram simula<;6essemi-classicas

de difusao e deriva (ver apendice B) para esta heteroestrutura, e os resultados obtidos por

eles para 0 potencial (ver figura 3.4) e para a densidade eletronica indicavam a natureza

quase-unidimensional do sistema eletronico.

Posteriormente, investigando as possfveis aplica<;6esda heteroestrutura corrugada

com dopagem modulada em dispositivos eletronicos de dimens6es da ordem de algumas

centenas de Angstrons, Vacek et al. [2], resolveram a equa<;aode Schrodinger com 0 intuito

de mostrar que deveriam existir est ados quanticos unidimensionais na heteroestrutura com

3.1. Sistemas Quase-ID Corrugados

interfaces corrugadas. Para resolver a equac;ao de Schrodinger eles usaram as seguintes

condic;6es de contorno rver Fig. 3.4 (a)]: Na direc;ao x as condic;6es de contomo sac

periodicas. Na direc;ao y a condic;ao de contomo usada foi a de paredes duras (potencial

infinito). Os parametros utilizados foram os seguintes: concentrac;ao de n - Alo.3GaO.7As

e 1.0 x 1018 cm-3, a densidade de portadores do tipo-p u - GaAs e 1.0 x 1014 cm-3, eo

angulo devido a corrugac;ao na interface e de 90°. 0 periodo do sistema na direc;ao x e

J2 x 600..4. ~ 845.5 A. A separac;ao das bandas de conduc;ao do GaAs e do Alo.3GaO.7As

e flEe = 0.224 eV. A area investigada foi de 845.5 ..4.x 845.5 ..4.,a qual para efeitos de

calculo numerico, foi discretizada em uma malha uniforme de 80 x 80 pontos.

A partir da forma geometrica do sistema, com urn perfodo de corrugac;ao (~

850..4.) muitas vezes maior do que a espessura da camada de inversao (~ 150..4.), Vacek et

al. [2] esperavam que os estados quanticos unidimensionais estivessem proximos uns dos

outros, separados somente por um pequeno gap de energia. Entretanto, os seus resultados

apresentam espac;amentos de energia entre as sub-bandas de energias unidimensionais

comparaveis a energia termica de ativac;ao KBT a uma temperatura de alguns kelvins,

ja que cada 1 meV equivale aproximadamente a uma temperatura de 11.60 K (ver figura

3.5).

3.1. Sistemas Quase-lD Corrugados

Figura 3.3: Corte secional da estrutura n - AlxGal_xAsju - GaAs, rnostrando umainterface que apresenta urn perfil de potencial peri6dico do tipo dentes de urna serra. A regiao(A) e regiao concava do GaAs e a regiao (B) e a regiao convexa do GaAs.

600-400

Figura 3.4: Potencial obtido por Sawada et a!. [1] e usado por Vacek et a!. [2]para calcularos nfveis de energia deste sistema.


Para este sistema eles encontraram que 0 est ado fundamental e 0 unico estado que

esta ocupado, como podemos ver na Fig. 3.5 , onde e apresentado urn diagrama de ban-

das obtido atraves de urn calculo semi-classico de difusao e deriva (ver [1] e ap€mdice B).

Este diagrama mostra que a distancia entre 0 fundo do potencial na camada de inversao

e 0 estado fundamental, assim como a distancia em energia entre 0 estado fundamental

e 0 primeiro estado excitado e muito grande. Eles atribuem estas grandes separac;6es

de energia como sendo causadas pelo potencial efetivo ao longo da camada de inversao

na heteroestrutura corrugada com dopagem modulada onde a profundidade do poc;o e

formada em torno do canto concavo da regiao do GaAs. Sem a dopagem modulada urn

sistema corrugado similar com uma largura de 150 A e urn periodo de 850 A teria niveis

de energia separados por menos de 1 meV, ou seja, ao resolvermos somente a equac;ao de

Schrodinger para urn potencial com estas dimens6es laterais, desprezando completamente

a distribuic;ao de impurezas no sistema, obtemos niveis de energia separados por menos

de 1 meV. Comparando os estudos teoricos [69,84] e experimentais [7] feitos em sistemas

corrugados nao dopados, estas grandes separac;6es dos niveis de energia como as apresen-

tadas na Fig. 3.5 , poderao ser vistas somente em urn gas de eletrons confinado em uma

area com dimens6es laterais menores do que 200 A.

Na Fig. 3.6, mostramos a func;ao de onda do estado fundamental, a qual mostra

urn pica agudo em torno do canto concavo do GaAs. A largura media deste pico e da

ordem de 100 A. 0 overlapping entre as autofunc;6es nas proximidades do canto concavo

do GaAs em distancias iguais ao periodo da corrugac;ao (~ 850 A) e desprezivel. Portan-

to, os eletrons na primeira sub-banda formam urn canal quantico unidimensional quase

ideal localizado proximo ao canto concavo do GaAs. 0 gas de eletrons esta densamente

condensado em unico modo da guia de onda.


0.1

~~-~ 0.0l.~=~

-0.1

E6= 25.0 meVE5= 15.1 meVE4= 13.7meVE]= 5.7meVE2= 3.8meVE1=-12.0meV

3 • _4. _-_f.-.-_-_-.2 _

-200 0 200Distance (A)

Figura 3.5: Diagramas de energia calculados nos pontos A (0) (regiao concava do GaAs)e B (.) (regiao convexa do GaAs) .

.3: 200>0

Figura 3.6: (a) Densidade de probabilidade do estado fundamental. (b) curvas de nfvel dadensidade de probabilidade do estado fundamental. Resultado de Vacek et al. [2].

3.2. Modelo Teorico

3.2 Modelo Teorico

o modelo investigado por Vacek et al. [2]e bem simples e portanto nao esperamos

que os seus resultados descrevam bem 0 sistema apresentado na Fig. 3.3, pois 0 mesmo

e bastante sensivel aos para.metros de fabricac;ao. Para obtermos urna descric;ao mais

realistica deste sistema usamos uma aproximac;ao autoconsistente para investiga-Io, ou

seja, resolvemos autoconsistentemente as equac;6es de Schrodinger e Poisson. A soluC;aoda

equac;ao de Schrodinger e baseada na tecnica do Split-Operator (ver capitulo 2), enquanto

a da equac;ao de Poisson leva em conta 0 fato do sistema ser peri6dico na direc;ao x.

o sistema que iremos investigar neste capitulo e constituido por urna heteroes-

trutura de n - Alo.3Gao.7As/ GaAs com urna interface corrugada de dopagem modulada

(ver Fig. 3.7) e com urn gate aplicado ao topo da heteroestrutura. Ao incluirmos uma

voltagem aplicada ao gate, obtemos urn para.metro com 0 qual podemos controlar a popu-

lac;ao dos nlveis de energia. Com 0 spacer, obtemos urn gas de eletrons com urn minimo de

centros espalhadores, aurnentando assim sua mobilidade. Estamos considerando que as

impurezas aceitadoras estao distribuidas uniformemente sobre todos 0 sistema, e que as

impurezas doadoras estao distribuidas uniformemente somente sobre urna camada finita,

tipicamente da ordem de 400 A, nao indo necessariamente ao bulk. 0 sistema que esta-

mos investigando esta uniformemente dopado com uma densidade residual de impurezas

aceitadoras ionizadas de NA = 5.0 X 1015 cm-3• Nossos calculos foram realizados con-

siderando que esta heteroestrutura possui urn periodo de corrugac;ao de 806 A e que 0

angulo entre as faces na interface da heteroestrutura e de 90° (ver figura 3.4).

Resolvendo somente a equac;ao de Poisson para este sistema verificamos que 0

mesmo e muito sensivel a densidade de impurezas doadoras, ja que a regiao de con-

finamento depende muito mais da densidade de impurezas doadoras do que de outros

parametros tais como voltagem aplicada ao gate, spacer, ou largura (tamanho) da ca-

Figura 3.7: Representa<;:aoesquematica da heteroestrutura n - AlxGal_xAs/GaAs corru-gada com dopagem modulada, e com um gate aplicado ao tope da heteroestrutura.

___ Ga_AS __

VBulk

Vi> !~enni

I •v V

Figura 3.8: Representa~ao esquematica da forma~ao do gas de eletrons quase-bidimensio-nal, na interface da heteroestrutura n-AlxGal_xAs/GaAs, com as respectivas condi~6es decontorno usadas em sua simula~ao.

ND = 0.075 X 1018 cm-3

Spacer = 50 Angs.Vg= 910meV

T=OK

-400+ -200

~~ 4'~

"'Q 400~':!)

,.-..,

~ 1000'-",.-..,~~ 500'-"....

"-I:>

Figura 3.9: Representac;:aoesquematica do potencial autoconsistente de uma heteroestru-tura n - Alo3GaO.7As/ GaAs com interface corrugada de dopagem modulada.

3.3. Efeitos da Densidade de Impurezas Doadoras

3.3 Efeitos da Densidade de Impurezas Doadoras

Nesta heteroestrutura corrugada (figura 3.7), verificamos que e a densidade de

impurezas doadoras e que ira definir em que regia'o teremos a forma<;ao de urn gas de

eletrons quase-1D, se na concava ou na convexa. Para investigarmos, os efeitos da dens i-

dade de impurezas doadoras, iremos manter uma temperatura de 0 K, urn spacer de 0 A

e a largura da camada de impurezas doadoras de 400 A. A voltagem aplicada ao gate sera

usada para mantermos somente 0 est ado fundamental do sistema populado, ja que esta

nao tern urn efeito sobre a regiao onde ocorrera 0 confinamento. No sistema que estamos

investigando os pontos A e B da Fig. 3.4, tern respectivamente as seguintes coordenadas

(0,0) e (±400,400). 0 ponto A esta nos indicando a regiao concava do GaAs enquanto 0

ponto B a regiao convexa do GaAs.

Na tabela 3.1, para cada densidade de impurezas doadoras, apresentamos os nlveis

de energia com suas respectivas ocupa<;6es. Para cada sistema, procuramos encontrar uma

voltagem que deixasse somente 0 estado fundamental do sistema populado. Desta tabela

de energias pode se ver que a medida que aumentamos a densidade de impurezas doadoras

o espa<;amento em energia entre as diversas sub-bandas vai diminuindo e posteriormente

passa a aumentar. Por exemplo, para ND = 0.05 X 1018 cm-3 e ND = 0.1 X 1018 cm-3

temos que a energia do est ado fundamental dos dois sistemas estao bem pr6ximas, e 0

espa<;amento em energia entre 0 est ado fundamental e 0 primeiro estado excitado em cada

sistema diminuiu. Para N D = 0.05 X 1018 cm-3, temos a forma<;ao de urn gas de eletrons

quase-1D na regiao concava do GaAs, enquanto que para ND = 0.1 X 1018 cm-3 0 gas

de eletrons esta completamente estendido sobre 0 sistema. Esta mesma compara<;ao pode

ser feita para as densidades N D = 0.75 X 1018 cm-3 eND = 0.25 X 1018 cm-3, e iremos

encontrar que os nlveis de energia estao pr6ximos e que a separa<;ao em energia entre as

duas primeiras sub-bandas dos dois sistemas aumentou.


Tabela 3.1: Energias e ocupa~ao dos quatro primeiros nfveis de eneriga do sistema corrugadopara uma temperatura zero e um spacer de 0 A.

I Temperatura = a e Spacer = a A II ND (X1018 cm-3) I Vg (meV) I E1 (meV) I E2 (meV) I E3 (meV) I E4 (meV) I

0.025 980 -0.06493 20.8866 23.9764 43.8958Ocupac;ao 0.00012 0.0000 0.0000 0.0000

0.05 960 -0.42217 7.5491 10.6746 19.6813Ocupac;ao 0.00031 0.0000 0.0000 0.0000

0.075 900 -0.2026 3.2218 5.5925 12.4283Ocupac;ao 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

0.1 850 -0.4907 1.3486 4.4798 11.5896Ocupac;ao 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

0.25 405 -0.3616 12.3398 28.2292 43.0497Ocupac;ao 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

0.5 0.0 -11.0122 -4.8478 2.5822 12.6495Ocupac;ao 0.0016 0.0010 0.0000 0.0000

l'l'i(X, y)12, na qual vemos a formac;ao de urn gas de eletrons quase-1D na regiao concava

do GaAs, com urn raio medio da ordem de 100 A estando bem localizado nesta regiao.

Ja na figura 3.13, apresentamos duas sec;oes transversais do potencial ao longo da direc;ao

y, com cortes em x = a A e x = 400 A, para uma temperatura OK e ND = 0.025 X 1018


N. - 0D25 X lOll em's

Spacer- 0 Angs.V,- 980 meV

T-OK

Figura 3.10: Curvas de nfveis das densidades de probabilidades dos quatro primeiros estadosda heteroestrutura corrugada, com T = 0, e ND = 0.025 X 1018 cm-3.

ND= 0.025 x td8cm-3

Spacer = 0 Angs.Vg= 980 meV

T=OK

o 1000 2000 3000 4000 5000 6000Y (Angstrons)

Figura 3.11: See<;:6es transversa is do potencial ao longo da diret;ao y, com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 0 KeN D = 0.025 X lOb cm-3.


N. - o,Os X 10" cni'

Spacer- 0 Angs.

V1- 960 meV

T-OK

Figura 3.12: Curvas de nfveis das densidades de probabilidades dos quatro primeiros estadosda heteroestrutura corrugada, com T = 0, e ND = 0.05 X 1018 cm-3.

ND= 0.05 X 1(/8 cm-31400Spacer = 0 Angs.

1200 V~=960 meVT=OK

1000

>; 800>i"-c;.>OJ 600

400

200

0

2000 3000 4000Y (Angstrons)

Figura 3.13: Sec<;:6es transversais do potencial ao longo da dire<;:ao y, com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 0 K e ND = 0.05 X 1018 cm-3.


N. - OJJ75 x 10" cm3

Spacer- 0 Arl&'.

V.-900meVT-OK

Figura 3.14: Curvas de nfveis das densidades de probabilidades dos quatro primeiros estadosda heteroestrutura corrugada, com T = O. eND = 0.025 X 1018 cm-3.

140 Nn = 0.075 x lIis cm·3

Spacer = 0 Angs.120 Vg=900 meV

T=OK100

>; 800'It

'""C. 600>0>

400

o 1000 2000 3000 4000 5000 6000Y (Angstrons)

Figura 3.15: Seq:6es transversais do potencial ao longo da dire~ao y. com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 0 KeN D = 0.075 X 1018 cm-3.


ND - OJ X 10" em"'

!ipllCer - 0 Angs"V. -lI50meV

T-OK

Figura 3.16: Curvas de nfveis das densidades de probabilidades dos quatro primeiros estadosda heteroestrutura corrugada, com T = 0, eND = 0.1 X 1018 cm-3.

ND = 0.1 X 1018 cm-3

Spacer = 0 Angs.Vg=850 meV

T=OK

>; 800~

"""'">tJ) 600

400

o 1000 2000 3000 4000 5000 6000Y (Angstrons)

Figura 3.17: Sec<;6es transversais do potencial ao longo da dire<;aoy. com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 0 KeN D = 0.01 X 1018 cm-3.


ND - 0.25 x IOu eIIiI

Spacer - 0 Ang$.

V. - 405 meV

T-O K


140 ND= 0.25 x Id8 cm,3

Spacer = 0 Angs.120 Vg= 405 meV

T=OK

o 1000 2000 3000 4000 5000 6000Y (Angstrons)

Figura 3.19: See<;:oes transversais do potencial ao longo da direc;:ao y, com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 0 KeN D = 0.25 X 1018 cm-3.


No. 05 X 10" em"'

spacer· 0 Angs.V. -OmeV

T-OK

Figura 3.20: Curvas de nfveis das densidades de probabilidades dos quatro primeiros estadosda heteroestrutura corrugada. com T = O. eND = 0.5 X 1018 cm-3.

140 ND= 0.5 x Id8 cm-3

Spacer = 0 Angs.120 Vg=O meV

T=OK

o 1000 2000 3000 4000 5000 6000Y (Angstrons)

Figura 3.21: Sec<;:6es transversais do potencial ao longo da dire<;:ao y. com cortes em x = 0A e x = 400 A. para uma temperatura 0 KeN D = 0.5 X 101E> cm-3.

3.4 Efeitos do "Spacer"

Agora iremos avaliar 0 efeito de uma camada espa<;adora (spacer) sobre a forma

e a regiao do confinamento do gas de eh§trons.. Para isto iremos considerar uma camada

espa<;adora de 50 A (Alo.3Gao.7As), e uma camada de n - Alo3Gao.7As dopada com

impurezas doadoras de 350 A, na qual iremos variar a concentra<;aode impurezas doadoras.

Na tabela 3.2, apresentarnos os niveis de energia com suas respectivas ocupa<;6es,

para cada densidade de impurezas doadoras. Novamente controlamos a voltagem aplicada

ao gate para que somente 0 estado fundamental do sistema fosse populado. 0 compor-

tamento do espa<;amento de energia entre as sub-bandas se manteve, ou seja, a medida

que aumentamos a densidade de impurezas doadoras 0 espa<;amento em energia entre as

diversas sub-bandas vai diminuindo e posteriormente ele come<;aa aumentar. Por exem-

plo, para ND = 0.075 X 1018 cm-3 eND = 0.1 X 1018 cm-3 temos que a energia do est ado

fundamental dos dois sistemas estao bem proximas, enquanto 0 espa<;amento em ener-

gia entre 0 est ado fundamental e 0 primeiro estado excitado dos dois sistema diminuiu.

Para ND = 0.075 X 1018 cm-3, temos a forma<;ao de urn gas de eletrons quase-lD na

regiao concava do GaAs, enquanto que para N D = 0.1 X 1018 cm-3 0 gas de eletrons esta

completamente estendido sobre 0 sistema. Ao fazermos esta mesma compara<;ao para as

densidades NJ) = 0.15 X 1018 cm-3 eND = 0.25 X 1018 cm-3 encontramos que os niveis de

energia estao proximos e que a separa<;ao em energia entre as duas primeiras sllb-bandas

dos dois sistemas sofreu urn acrescimo.

Na figura 3.22 apresentamos as curvas de niveis da densidade de probabilidade

Iwi(x, y)12, na qual vemos a forma<;ao de urn gas de eletrons quase--1D na regiao concava

do GaAs, com urn raio medio da ordem de 100 A estando bem localizado nesta regiao.

Ja na figura ??, apresentamos duas se<;6estransversais do potencial ao longo da dire<;ao

y, com cortes em x = 0 A e x = 400 A, para uma temperatura 0 KeN D = 0.025 X 1018

Tabela 3.2: Energias e ocupac;:aodos quatro primeiros nfveis de eneriga do sistema corrugadopara uma temperatura zero e urn spacer de 50 A.I Temperatura = a e Spacer = 50 A I[ ND (X1018 cm-3

) I Vg (meV) lEI (meV) I E2 (meV) I E3 (meV) I E4 (meV) I0.075 910 -0.0133 13.8185 117.0233 28.0408

Ocupac;ao 0.0001 0.0000 0.0000 0.00000.1 880 -0.1176 2.1487 5.1765 11.7853

Ocupac;ao 0.0002 0.0000 0.0000 0.00000.15 760 -0.0344 8.5109 17.1163 26.2734

Ocupac;ao 0.0001 0.0000 0.0000 0.00000.2 630 -0.0430 14.3196 127.5485 40.5284

Ocupac;ao 0.0001 .0000 0.0000 0.00000.25 480 -0.0396 25.3097 \ 33.8643 56.6863

Ocupac;ao 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.5 0.0 -3.4496 6.3854 121.5778 36.5459

Ocupac;ao 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000

No - OD75 X 10" em·'

Spacer -5 0 Ares.V. - 910 meV

T-OK


140 ND= 0.075 x Hi8 cm-3

Spacer = 50 Angs.120 Vg = 910 meV

T=OK100

~ 800>t~ 600>0>

400200

11<0

o 1000 2000 3000 4000 5000 6000Y (Angstrons)

Figura 3.23: See<;:oes transversais do potencial ao longo da dire~ao y, com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 0 KeN D = 0.075 X 1018 cm-3.

N. - O~ x 10" em·'

~lI,eer - 50 Ares.V. -880 meV

T-OK


1400 ND= 0.1 x HYs cm-3

Spacer = 50 Angs.1200 Vg=880 meV

T=OK1000

>; 800>f""">0> 600

400

200

0

2000 3000 4000Y (Angstrons)

Figura 3.25: See<;:6estransversa is do potencial ao longo da dire~ao y. com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 0 K e ND = 0.1 X 1018 cm-3.

ND - 0~5 x 10" cni'

spacer - 50 ~s.V. - 760 meV

T-OK

Figura 3.26: Curvas de nfveis das densidades de probabilidades dos quatro orda heteroestrutura corrugada, com T = 0, eND = 0.15 X 1018 cm-3.

140 ND= 0.15 x Hi8 cm'3Spacer = 50 Angs.

120 Vg=760 meVT=OK

100>; 800>i"

"""" 600>tJJ

400

o 1000 2000 3000 4000 5000 6000Y (Angstrons)

Figura 3.27: Secc;:6estransversais do potencial ao longo da direc;:aoy, com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 0 KeN D = 0.15 X 1018 cm-3.

3.5. Efeitos da Temperatura

3.5 Efeitos da Temperatura

Nesta segao iremos apresentar os resultados obtidos quando investigamos esta

heteroestrutura corrugada (figura 3.7) com os seguintes panlmetros: uma temperatura de

4 K, urn spacer de 0 A e largura da camada de impurezas doadoras de 400 A. A voltagem

aplicada ao gate novamente foi usada para mantermos somente 0 estado flmdamental do

sistema populado. Verificamos que basicamente 0 efeito da temperatura e popular os

niveis de energia pr6ximos do nivel de Fermi.

Na tabela 3.3, apresentamos os niveis de energia com suas respectivas ocupa<;6es,

para cada densidade de impurezas doadoras. Novamente controlamos a voltagem aplicada

ao gate para garantir que iremos popular somente 0 estado fundamental do sistema. 0

comportamento do espa<;amento de energia entre as sub-bandas se manteve, ou seja, a

medida que aumentamos a densidade de impurezas doadoras 0 espa<;amento em energia

entre as divers as sub-bandas vai diminuindo e posteriormente ele come<;aa aumentar. Por

exemplo, para ND = 0.075 X 1018 cm-3 eND = 0.1 X 1018 cm-3 temos que 0 espa<;amento

em energia entre 0 estado fundamental e 0 primeiro est ado excitado dos dois sistema

diminuiu. Para N D = 0.075 X 1018 cm-3, temos a forma<;ao de urn gas de eletrons

estendido sobre todo 0 sistema, mas com urn pequeno confinamento na regiao concava

do GaAs como podemos ver nas figuras 3.28 e 3.29, enquanto que para ND = 0.1 X 1018

cm-3 0 gas de e1E~tronsesta completamente estendido sobre 0 sistema. Ao fazermos esta

mesma compara<;ao para as densidades ND = 0.1 X 1018 cm-3 e ND = 0.15 X 1018 cm-3

encontramos que os niveis de energia estao pr6ximos e que a separa<;ao em energia entre

as duas primeiras sub-bandas dos dois sistemas sofreu urn acrescimo.

Na sequ€mcia de figuras de 3.28 a 3.31, mostramos uma mudan<;a lenta na forma do

confinamento do gas de eletrons. Novamente vimos que realmente 0 fator mais importante

para a formagao de urn gas de eletrons nesta heteroestrutura e a densidade de impurezas


Tabela 3.3: Energias e ocupa<;ao dos quatro primeiros nlveis de eneriga do sistema corrugadopara uma temperatura 4 K e urn spacer de 0 A.

I Temperatura = 4 e Spacer = 0 A II ND (X1018 cm-3) I Vg (meV) I E1 (meV) I E2 (meV) I E3 (meV) I E4 (meV) I

0.075 940 -2.1355 0.2428 2.8173 9.6465Ocnpa<;ao 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000

0.1 855 -0.8035 1.1030 4.1320 11.2375Ocnpa<;ao 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000

0.15 730 -0.8313 3.4960 8.8818 15.6815Ocnpa<;ao 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000

0.2 630 -2.4920 1.7350 7.8327 15.2737Ocnpa<;ao 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000

0.25 490 -2.7191 3.0631 12.3636 23.2268Ocnpa<;ao 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000

0.5 0.0 -11.0103 -4.8453 2.5848 12.6520Ocnpa<;ao 0.0016 0.0010 0.0000 0.0000


N. - OD7SxlOU em'

spacer - 0 An&s.V1- 940 meV

T-4K

Figura 3.28: Curvas de nfveis das densidades de probabilidades dos quatro primeiros estadosda heteroestrutura corrugada. com T = 4. eND = 0.075 X 1018 cm-3.

1400 ND = O.075x1d8 cm'3Spacer = 0 Angs.

1200 Vg=940 meVT=4K

1000

~ 800>i"~>0. 600

400

200

0

2000 3000 4000Y (Angstrons)

Figura 3.29: Sec<;:oes transversais do potencial ao longo da dire<;:ao y. com cortes em x = 0A e x = 400 A. para uma temperatura 4 KeN D = 0.075 X 1018 cm-3.


N. - o~ X lO" em"

sp""er - 0 ArIes.V. - 855 meV

T-4K


1400 No=O.1 x Id8cm,3Spacer = 0 Angs.

1200 Vg=855 meVT=4K

1000

~ 800>t"'"'>OJ 600

400

200

0 ~

2000 3000 4000Y (Angstrons)

Figura 3.31: Secc;:6es transversais do potencial ao longo da direc;:ao y, com cortes em x = 0A e x = 400 A, para uma temperatura 4 KeN D = 0.1 X 1018 cm-3.

Neste capitulo, estudamos a forma<;;iiode urn gas de eletrons quase-lD, em fios

quanticos do tipo V-groove, e mostramos que este gas de eletrons quase-lD pode se for-

mar na regiiio concava ou convexa do GaAs. Utilizamos a voltagem aplicada ao gate

para controlarmos a popula<;;iiodas sub-bandas do sistema. Mostramos que a densidade

de impurezas doadoras tern urn papel determinante sobre qual regiiio ira ocorrer 0 confi-

namento do gas de eletrons quase-lD. Variando a voltagem e a densidade de impurezas

doadoras. encontramos estados estendidos sobre to do 0 sistema, os quais apresentam ca-

racteristicas dos sistemas quase-2D. A primeira caracterlstica esta no fato da densidade

de probabilidade estar estendida sobre todo 0 sistema e a segunda esta na diminui<;;iiodos

espa<;;amentosem energia entre as sub-bandas.

Capitulo 4

Fios Quanticos por ConfinamentoEletrostatico

potencial de confinamento e controlado pela voltagem aplicada aos gates. Verificamos

esta transi<;ao atraves do calculo das densidades de probabilidades I \IJ (x, y) 12, das rela<;6es

4.1 Introdu~ao

temas eletronicos quase-ID (fios quanticos) ou quase-OD (pontos quanticos) e fazermos

urn ataque quimico (etching) combinado com tecnicas de nanolitografia a uma heteroes-

trutura 2DEG padronizada. Os limites dos process os de litografia estao bem na regiao em

4.1. Introdu~ao

litognifica esta no intervalo de 10 nm. A maior vantagem deste tipo de procedimento esta

na sua grande aplicabilidade a qualquer especie de semicondutor, e a sua fiexibilidade em

definir heteroestruturas (fios e pontos quanticos) com diferentes formas geometricas. Por

outro lado, a desvantagem bcisica e devido aos danos que a corrosao (etching) causa nas

superficies livres, 0 que normalmente provoca a degrada<;ao das paredes laterais dos fios

e pontos quanticos, com a conseqiiente deteriora<;ao de suas propriedades 6pticas. A defi-

ni<;ao da difra<;ao nas mascaras e limitada e a corrosao (etching) induz danos limitando

a aplicabilidade destes metodos a nanoestruturas de tamanhos laterais da ordem de 40

nm [8,9].

Os danos introduzidos pelo procedimento de corrosao quimica (etching) usado

na transferencia de padr6es para estruturas semicondutoras, tornam-se relevantes quando

as dimens6es destes padr6es sac pequenas (da ordem de 40nm), pois nesta situa<;ao eles

passam a dominar as propriedades eletronicas destas estruturas. Urn dos efeitos dos danos

da corrosao mais verificados, e a depressao dos portadores para concentra<;oes padroes, a

qual se estende sobre 50 nm (ver [3,8] e referencias la contidas). Atualmente os materiais

baseados em GalnAs sac menos sensiveis a este efeito. Uma outra evidencia dos danos

esta no decrescimo da eficiencia da luminescencia devido aos numerosos defeitos nao ra-

diativos. 0 recrescimento sobre estruturas corroidas parece reparar parcialmente somente

alguns dos danos.

Para obtermos estruturas com menos danos, tecnicas de fabrica<;ao mais suaves

veem sendo pesquisadas (ver fig. 4.1 abaixo). Umas poucas tern se mostrado usuais,

embora apresentem uma resolu<;ao geometrica mais baixa do que as heteroestruturas

obtidas diretamente por corrosao (ver fig. 4.2 ):

1. Corrosao parcial do topo do material de confinamento fornecendo urn potencial

de confinamento lateral devido aos diferentes potenciais eletrostatico nas zonas de

4.2. Sistema Investigado

2. Gates tambem podem ser depositados sobre estas camadas de padrao de confina-

mento para obtermos urn controle sobre a densidade eletronica.

3. Aplicando camadas metalicas sobre as camadas de resiste padronizadas induziremos

tambem urn potencial peri6dico sobre urn gas de eletrons 2D como 0 potencial

Schottky da superficie.

4. Eletrodos split-gate fornecem urn po<;ode potencial abaixo do eletrodo controlado

pela voltagem. Estas estruturas saDmuito usadas em emissores de contato pontual

para transporte longitudinal e como po<;osde potenciais controlados para transporte

lateral.

Estas estruturas semicondutoras do tipo split-gate tern urn potencial de confina-

mento eletrostatico cuja a grande vantagem esta no fato dele poder ser controlado pela

voltagem aplicada aos gates, mas elas saD mais complexas para se fabricar e operar.

4.2 Sistema Investigado

Neste capitulo a estrutura que iremos estudar e constituida por uma super-rede

de flos quanticos em heterojun<;6es de GaAs-Ah_xGaxAs. Esta heterojun<;ao e formad~'

por urna camada de GaAs, seguida de urna de AlxGal_xAs, e posteriorn1\'::.i~0cF'

camada de AlxGal-xAs dopada com impurezas doadoras. Os eletrons das impurezas

doadoras migram para a interface do GaAs com 0 AlxGal_xAs nao dopado, formando

urn gas de eletrons bidimensional. A largura da camada de AlxGal-xAs nao dopada,

conhecida como spacer, e tipicamente da ordem de 80 A.

Se 0 spacer, for muito pequeno, os eletrons que estao na interface passam a

sentir a presen<;a das impurezas ionizadas, sendo espalhados por estas, ou seja, teriamos


Figura 4.1: Diferentes configurac;:6es de "gate" que sao usadas para impor gradientes depotencial lateral a um 2DEG [3].

Figura 4.2: Sec;:6es transversais de heterojunc;:6es de GaAs-AlxGal_xAs obtidas atraves deprocessos de corrosao (etching) [3].


~GaAs IDEG

Figura 4.3: Representa<;:ao de fios quanticos cujo 0 confinamento em umas das dire<;:6es edevido a um potencial eletrostatico.

tipicamente da ordem de algumas dezenas de Angstrons (geralmente entre 20 e 100 A).

dois cortes transversais do sistema na dire~ao y (paralela a dire~ao de crescimento).

Os resultados que iremos apresentar neste capitulo, foram obtidos considerando-


1400

1200

1000

800

600

400

Figura 4.4: Perfil do potencial de fios quanticos cujo 0 confinamento em urnas das dire~6ese devido a urn potencial eletrostatico.

SC\hot~~ale\

Oped AIGaAsI undo AlGaAs'I GaAs

Figura 4.5: Perfil do potencial da heteroestrutura de Ah_xGaxAs/GaAs. em um cortetransversal paralelo a dire~ao de crescimento da amostra. (a) Aqui mostramos a heteroestru-tura com a estrutura de ga te, e em (b) mostramos 0 perfil do potencial em uma regiao sob 0

gate e em uma sem 0 gate.


consideramos que as mesmas estao distribuidas uniformemente em uma pequena camada

cuja a largura varia entre 300 A e 350 A.

Esta super-rede de fios quanticos em heterojum;6es de Al1_xGaxAs/GaAs, cujo 0

potencial de confinamento em uma direc.;aoe devido a urn potencial eletrostatico aplicado

ao gate, e urn sistema bastante interessante tanto do ponto de vista experimental (pelas

raz6es expostas anteriormente) quanto do ponto de vista te6rico, ja que ele e urn sistema

bastante rico. Do ponto de vista experimental ele e bastante interessante, e isto deve-se

nao s6 ao fato do gas de eletrons ser extremamente puro, mas tambem ao fato de que

com uma unica amostra, ao se variar a voltagem aplicada ao gate, consegue-se investigar

diversos sistemas, os quais podem passar desde urn gas de eletrons quase-2D, posteriar-

mente par uma super-rede de fios quanticos ate chegar a uma serie de fios quanticos

completamente confinados e isolados (urn gas de eletrons quase-lD). Neste sistema ire-

mos investigar a transic.;ao de dimensionalidade do gas de eletrons que esta confinado

na interface da heterojunc.;ao de Ah_xGaxAs/GaAs, a qual ira ocorrer ao variarmos a

voltagem aplicada ao gate, quando ele ira passar de gas de eletrons quase-2D para urn

quase-ID. Esta transi<;ao ocorre de uma maneira continua, havendo urn intervalo de volta-

gem no qual 0 sistema apresenta ambas caracteristicas .. Neste capitulo iremos investigar

esta transic.;ao de dimensionalidade, assim como 0 intervalo de voltagem no qual ela ira

ocorrer. Experimentalmente esta transi<;ao foi observada por [4,18], atraves de medidas

da condutancia ao longo da dire<;aoperi6dica.

Okada et al [4] fabricaram e caracterizaram urn FET de GaAs/AlGaAs com

dopagem modulada e com urn gate corrugado, no qual 0 canal com 0 gas de eletrons foi

mudado de urn canal convencional com urn gas de eletrons bidimensional para urn arranjo

de canais com urn gas de eletrons unidimensional. As suas medidas foram feitas em uma

temperatura de 5 K. Nas figuras 4.6 e 4.7, apresentamos 0 sistema investigado par eles.

Na estrutura investigada par eles, cada canal com urn gas de eletrons quase-


200nmH

Top view of the device and SEM photomicrograph of the n+·OaAs stripes.

Figura 4.6: Visao do tope do dispositivo utilizado por Okada et al [4] para investigar atransi<;:ao de urn gas de eletrons quase-2D para urn quase-1D.

AI oote electrode

1 ~ / /n+-GoAs stripe.Mr-______ -_ N-AIGoAs- 2DEG-------------~ j-GaAs

I V ( ,·-GGAs stri,s

______ +--_ N-AIGoAs

'>. t - I-GoAs'" r--

IOEG


lQ.)

U=~t: 0.5::"'C

=ouVl=~:.

~

I O:e-dimensional 5 Ki channel regimeI

II

o oTransverse

FET-0.2

iI \/

!Longitudinal ..~FET '.

-0.4 \ -0.6 -0.8 ::'1.0Gate voltage (V)

Transconductance vs gate voltage at 5 K

Figura 4.8: Trancondutancia versus voltagem aplicada ao gate. Resultado experimentalobtido por Okada et al. [4]


2r-....

==~'-'I'l.lU;::~....u:::

"'0;::0u'";::~l..~

0-0.5

o -C\I"t:'

-0.6 -0.7 -0.8Gate voltage (V)

Transconductance vs gate voltage at 5 K, and secondderivative for drain current vs gate voltage at 5 K.

Figura 4.9: Transcondutancia versus voltagem aplicada ao gate, e a derivada segunda dacorrente de dreno versus voltagem aplicada ao gate. Resultados experimentais obtidos porOkada et al. [4]

l.L0.-3Q)uco=2uo0-o()

Q)-oC)

One-dimensionalchannel regime

Two-dimensional

channelregime

oo -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2Gate voltage (V)

Figura 4.10: Capacitancia versus voltagem aplicada ao gate. Resultado experimental obtidopor Okada et al. [4]

4.3. Estados Eletronicos para T = 0 K

4.3 Estados Eletronicos para T = 0 K

Nesta se<;aoapresentaremos os resultados para os estados eletronicos do sistema

apresentado na figura 4.3 para duas diferentes densidades de impurezas doadoras. Ini-

cialmente iremos considerar urna dopagem de impurezas doadoras de Nd = 4.0 X 1018

cm-3, distribufda uniformemente sobre urna camada de 350 A de largura. A largura do

"spacer", camada de AlxGa1_xAs nao dopado, e de 50 A. OS resultados a seguir foram

obtidos para uma temperatura de 0 K e urna densidade residual de impurezas aceitadoras

de NA = 5.0 X 1015 cm-3 distribufda uniformemente sobre todo 0 sistema.

Como as nossas condi<;6es de contorno na dire<;ao x saD peri6dicas, entao para

obtermos urn gas de eletrons quase-ID completamente confinado, devemos impor que

a penetra<;ao da fun<;ao de onda na barreira de potencial (regiao imediatamente abaixo

do gate) seja pequena comparada com a sua largura. Levando isto em conta, nossos

resultados foram obtidos considerando que a largura do gate e de 800 A (tamanho na

dire<;ao x), enquanto 0 tamanho do fio (canal do gas de eletrons quase-lD) e de 400 A ,

ou seja, Lx = 400 A .

4.3.1 Estudo do Confinamento para Nd = 4.0 X 1018 cm-3

Para esta densidade investigamos os efeitos devido ao potencial, ou seja, para duas

diferentes voltagens aplicadas aos gates. Para urn potencial de 300 mV aplicado aos gates,

verificamos que 0 sistema ainda apresenta urn carater bidimensional como e mostrado

pelo comportamento da rela<;ao de dispersao do sistema para esta voltagem (figura 4.12),

e tambem pelo comportamento das fun<;6esde onda (figura 4.11), principalmente a do

estado fundamental a qual ainda esta estendida sobre 0 sistema. Para esta voltagem

aplicada aos gates vemos da rela<;ao de dispersao que 0 sistema ainda esta fortemente

acoplado, pois mesmo 0 est ado fundamental do sistema esta interagindo com os outros

fios. A rela<;ao de dispersao ainda apresenta urn comportamento parab6lico caracterfstico

do sistema livre, ou seja, sem urn potencial de confinamento (Vg = 0 mY).

Ja para uma voltagem de 600 mV aplicada ao gate (figura 4.14) podemos ver

porque 0 sistema e interessante do ponto de vista experimental, ja que mudando somente

a voltagem aplicada ao gate podemos mudar completamente 0 comportamento do sistema.

Esta mudan<;a de comportamento na sua rela<;aode dispers8n (figura 4.14) se refiete nas

suas propriedades 6pticas e de transporte. Da rela<;aode dispersao para est a voltagem

(figura 4.14) vemos que ela e praticamente linear para 0 estado fundamental, indicando

o carater quase-1D deste sistema. Quanto ao segundo estado deste sistema podemos

ver da rela<;ao de dispersao que ele apresenta uma pequena dispersao, a qual pode ser

vista na sua fun<;aode onda (figura 4.13). Quanto aos outros estados podemos ver pelo

comportamento da sua dispersao que eles possuem urn carater bidimensional, ou seja, eles

estao interagindo com os fios que estao ao seu lado, mas eles nao definem 0 comportamento

do sistema ja que nao estao populados.


N =4.oxl012 cm-2D

Vg= 300 meV

T=OK

Figura 4.11: Func;:6esde onda em kx = 0, para T = 0 K, Nd = 4.0 X 1012 cm-2 e Vg = 300mV.

10

9

8

7

~6

e 5

~ 4~ 3

2

1

0

-1 0.0KI Kmax.

Figura 4.12: Relac;:aode dispersao para T = 0 K, Nd = 4.0 X 1018 cm-3 e Vg = 300 meV.


Nn=4.0::d012 an,2

Vg= 600 meV

T=OK

Figura 4.13: Func;:6es de onda em kx = 0, para T = 0 K, Nd = 4.0 X 1012 cm-2 e ".~ = 600mV.

9

8

7

6

~5

S 4

~ 3~2

1

0

-10.0

KI Kmax.

Figura 4.14: Relac;:ao de dispersao para T = 0 K, Nd = 4.0 X 1018 cm-3 e v~= 600 meV.



Agora iremos investigar 0 caso em que a densidade de impurezas doadoras da

estrutura apresentada na figura 4.3 e de ND = 4.5 X 1012 cm-2. Nos resultados que apre-

sentaremos a seguir, foram obtidos utilizando-se os seguintes parametros: uma densidade

de impurezas doadoras de N D = 4.5 X 1012 cm-2 distribuida uniformemente sobre uma

camada de n - Alo.3GaO.7As de 350 A, uma densidade residual de impurezas aceitadoras

de NA = 5.0 X 1015 cm-3 distribuida uniformemente sobre todo 0 sistema, urn spacer de

50 A, uma distancia entre os gates de 400 A (tamanho lateral do fio quantico), a 18ffT'1"'''''

dos gates e de 800 A e uma temperatura zero.

Para urn potencial de 300 mV aplicado aos gates, VCL. ...,"",LeWd

apresenta urn caniter bidimensional como e mostrado pelo comportamento da sua relac;ao

de dispersao do sistema para esta voltagem (ver Fig. 4.15), ou ainda pelo comportamento

de sua func;ao de onda para os diversos k (ver figura 4.16). Para esta voltagem aplicada

ao gate vemos da relac;ao de dispersao que 0 sistema ainda esta fortemente acoplado,

pois mesmo 0 estado fundamental do sistema esta interagindo com os outros fios. Ja

para urn potencial de 600 mV aplicado aos gates, verificamos que 0 sistema apresenta

urn carater unidimensional como e mostrado pelo comportamento praticamente linear da

relac;ao de dispersao do estado fundamental (figura 4.15), ou ainda pelo comportamento

de suas func;6es de onda (figura 4.17), principalmente a do est ado fundamental a qual esta

confinada na regiao entre os gates.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

o-1

-2

Figura 4.15: Rela~ao de dispersao para duas diferentes voltagens aplicadas ao gate.

Figura 4.16: Fun<;:6es de onda em kx = 0, para T = 0 K, Nd = 4.5 X 1012 cm-2 e 11g = 300mV

Figura 4.17: Fun<;:6es de onda em kx = 0, para T = 0 K, Nd = 4.5 X 1012 cm-2 e i(q = 600mV

4.4. Transi«;;aode urn Sistema Quase-2D para urn Quase-1D

4.4 Transi<;aode urn Sistema Quase-2D para urn Quase-ID

os parametros utilizados foram os seguintes: urna densidade de impurezas doadoras de

ND = 4.5 X 1012 cm-2 distribuida uniformemente sobre urna camada de n - Alo.3GaO.7As

de 350 A, urna densidade residual de impurezas aceitadoras de NA = 5.0 X 1015 cm-3

distribulda uniformemente sabre todo 0 sistema, urn spacer de 50 A, urna distancia entre

os gates de 400 A (tamanho lateral do fio quantico), a largura dos gates e de 800 A e

Tabela 4.1: Energias e populac;:ao dos quatro primeiros nlveis de energia em kx = 0, parauma temperatura 4 K e urn spacer de 50 A.

ND = 4.5 X 1012 cm-2; Temperatura = 4 K e Spacer = 50 A II Vg (mV) lEI (meV) I E2 (meV) lEa (meV) I E4 (meV) I

0.0 -1.860977 1.185097 1.389457 10.34193Populac;ao 0.00164 0.00002 0.00001 0.00000

100 -1.551317 1.556643 1.614421 10.48138Populac;ao 0.00149 0.00001 0.00001 0.00000

200 -1.210008 1.570844 2.136789 10.61896Populac;ao 0.00128 0.00001 0.00000 0.00000

300 -0.7401829 1.163743 2.913058 10.56472Populac;ao 0.00096 0.00002 0.00000 0.00000

400 -0.3966212 0.8042826 7.748846 7.748882Populac;ao 0.00069 0.00006 0.00000 0.00000

500 -0.3451211 11.99650 34.47954 71.37720Populac;ao 0.00064 0.00000 0.00000 0.00000

600 -0.3346216 13.15707 36.38385 74.83471Populac;ao 0.00064 0.00000 0.00000 0.00000

4.4. Transic;;aode um Sistema Quase-2D para um Quase-ID

Agora iremos apresentar as densidades de probabilidades l\l1i,k", (x, y)12 em kx = 0,

e a rela<;ao de dispersao de cada sistema, para podermos identificar onde ocorreni a tran-

si<;aode urn sistema quase-2D para urn quase-1D. Nas figuras de 4.18 it 4.43, mostramos

como as densidades de probabilidades, as rela<;6es de dispersao e os perfis de potencial

nas dire<;6esx e y, evoluem quando aurnentamos gradativamente a voltagem aplicada aos

gates.

Quando a voltagem aplicada aos gates e zero, temos que 0 sistema esta livre na

dire<;ao x, 0 que pode ser visto nas densidades de probabilidades mostradas na figura

4.18 e na sua rela<;ao de dispersao (figura 4.19). A densidade de probabilidade do est ado

fundamental est a completamente estendida sobre todo 0 sistema, mostrando que 0 gas de

eletrons e quase-2D. Ja a sua rela<;ao de dispersao mostra que nao ha confinamento na

dire<;ao x, pois ela e completamente parab6lica e nao apresenta gaps entre as sub-bandas.

Na bordas as dispers6es de cada sub-banda estao sendo simplesmente rebatidas, ou seja,

-K---+K.

Para urna voltagem de 100 mV (~ = 100 mY), vemos da figura 4.20 que a densi-

dade de probabilidade do estado fundamental ainda esta estendida sobre todo 0 sistema.

A figura 4.21 da rela<;ao de dispersao apresenta urn gap mais evidente somente entre a

terceira e quarta sub-banda, mas todas as sub-bandas ainda apresenta urn comport amen-

to parab6lico. Na figura 4.23 temos 0 perfil de potencial na dire<;ao x, 0 qual nos mostra

que esta voltagem aplicada aos gates criou somente urn pequena perturba<;ao ao potencial

na dire<;ao x.

Para as voltagens de 200 e 300 mV, vemos das rela<;6esde dispersao (figuras 4.25

e 4.29) que 0 sistema simplesmente esta aumentando 0 gap entre as sub-bandas, mas estas

ainda apresentam urn comportamento parab6lico, e que as densidades de probabilidade

(figuras 4.24 e 4.28) ainda estao estendidas sobre to do 0 sistema. Ja para urna volta-

gem de 400 mV aplicada aos gates, a densidade de probabilidade do estado fundamental

4.4. Transi~ao de urn Sistema Quase-2D para urn Quase-ID

(figura 4.32) esta confinada enquanto ados outros estados ainda apresentam urn carater

estendido.

Para urn voltagem aplicada aos gates de 500 mV, a figura 4.36 nos mostra que

o sistema ja esta completamente confinado e isto pode ser verificado pelo relagao de

dispersao (figura 4.37) a qual esta completamente plana e linear em todas as sub-bandas.

Desta forma podemos dizer que para Vg = 500 mV 0 sistema e urn gas de eletrons quase-

ID, ou seja, e nesta voltagem e que houve a transigao de urn sistema quase-2D para urn

quase-ID.

Ao acompanharmos a evolugao das densidades de probabilidades e das relag6es de

dispersao, pode-se notar que para voltagens acima de 500 mV as densidades de probabili-

dades estao completamente localizadas comportando-se como urn sistema quase-lD, 0 que

e confirmado pelo comportamento linear da relagao de dispersao em todas as sub-bandas.

4.4. Transic;ao de urn Sistema Quase-2D para urn Quase-ID

Sp aeer = 50 Angs.

Nn=4.5xl012 em-2

V = 0.0 meVg

T = 4K

1110

98

>' 7QJ= 6::;'5:.::4'-'""" 3

21o

-1-2

Spacer - 50 Angs.No -4.5x1 012 cm·2

Vg- 0.0 meV

T-4K

.---.---.--.----.-.-.- -.~0.0 0.5

K I Kmax.


Spacer = 50 Angs.

ND=4.5xl012 cm-2

V = 100meVg

T=4K

1110987

>' 6~c- 52' 4~ 3

21o

-1-2

Spacrr = 50 Angs.ND=4.5XI012 crn-2

V~=lOOmtV

0.0 0.5K I Kmax.

4.4. Transic;;ao de urn Sistema Quase-2D para urn Quase-1D

2000 3000 4000

Y (Angstrons)

Figura 4.22: Perfil de potencial paralelo a direc;:ao y, em dois pl-passando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. Vg =-

30~

Y, = 120

20

10Y, = 90

0 Y, = 60

I·10

·20~ Y, = ">"x

-30:> Spacer = 50 Angs.-40 ND=4.5:xl012 cm-2

V=lOOmeV-50 •T=4K Y,=o

-60

·70-600 -400 ·200 0 200 400 600

X (Angstrors)


Spacer = 50 Angs.ND=4.5xl012 cm-2

Vg= 200 meV

T=4K

1110987

~ 6'-' 5? 4~

321o

-1

0.0 0.5K I Kmax.

4.4. Transi<;ao de urn Sistema Quase-2D para urn Quase-ID

1,wO Spacer = 50 Angs.No=4.5X1012 cm-2

1200 Vg=200meVT=4K

1000

~ 800g..-.. 600~x:> 400

200

0

0 1000 2000 3000 4000Y (Angstrons)

Figura 4.26: Perfil de potencial paralelo a dire<;:aoy, em dois pianos distintos, 0 primeiropassando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. Vg = 200 mY.



V = 300 meVg

121110987654

321o

-1-10

Spae..- ~ 50 Ani'.ND=45xl012 em':

V~300meV•T~4K

.~.-.-.-. E_._.-.- -.-._._ F

-.-.-.-.-.-.-.- -.-.-.-.-.-.-.-o

K I Kmax.


2000 3000 4000

Y (Angstrons)

Figura 4.30: Perfil de potencial paralelo a direc;:aoy, em dois plan0~~''''Lvs, 0 pnrnbrOpassando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. Vg = 300 mY.

60

40Yo= 120

20Yo= 90

I 0 y, = 60

~ ·20 Yo= 30x::>

-40 y,:::

-60

-80

-600 -400 ·200 0 200 400 600X (Ang;trons)


Sp acer = 50 Angs.

Nn = 4.5xlly2 cm-2

V = 400meVg

T = 4 K

Rela~ao de dispersaoI .~._.'• .-- ---e ••_e_e-e-e- ~.-.-.~._.

Spacer = 50 An&s.No = 4.5xl012 cm-2

V, = 400 meVT=4 K

e-e-e-e-e_e_ ._.~.-.-.-.--., ..-..........---..--.............-./

0.0

K I Kmax.


1400 ND = 4.5xl012 crn-2

1200Spacer = 50 Angs.

V,= 400mt:V

1000 T=4K

'""' 800...~'"'!l

600j;>

400

200 EF

0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

y (Angstrons)

Figura 4.34: Perfil de potencial paralelo a direc;:aoy, em dois pianos distintos, 0 primeiropassando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. Vg = 400 mV.

80

60Spacer = 50 Angs.

ND=4.5xlOI2 an-2

40 V,=400meV

T=4K20

:;- 0III.s

·20~x -40:>

·60

·80

·100

·600 -400

Yi= 120Yi=90

y; = 60YI =30

Yi= 0

·200 0 200X (Angstrons)



Vg= 500 meV

T=4K

50

~ 40'-'

~ 30~

Rela~ao de dispersaoI ,.-.-.-.-.-.-.-e-e-.-.-e-e-.-.-.-.

Spacu = 50 Angs.N

D=4.5x1012 an-2

Vc=500mrV

T=4K

0.0 0.5K I Kmax.


1600 Spacer = 50 Angs.

1400 Nn=4.5xl012 an-2

Vg= 500 rntV1200 T=4K

1000-~ 800~>" 600

400

200 EF0

·2002000 3000 4000

Y (Angstrons)

Figura 4.38: Perfil de potencial paralelo a dire<;:aoy, em dois pianos distintos, 0 primeiropassando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates. Vg = 500 mV.

150Spactr = 50 Angs.

12 -2Nn=4.5xI0 an100 Vg= 500 rntV

T=4K

50

1~ 0x:so

-50

·100

·200 0 200X (AllgStJOIlS)



Vg= 600 meV

T=4K

60

$'~ 40-=-2''-';.iI

20

Rela~ao de dispersaoI

.-e-e-.-e-.-.-e-e-e-e-e-.-e-e-e-.SPlIttl" = 50 Angs.Nn=4.5X1011 cm-1

V =600mtV,T=4K

0.0 0.5K I Kmax.


1600

1400Spacer = 50 Angs.ND=4.5Xl012crn,2

1200 V,= 600 meVT=4K

1000-~ 800~>'" 600

400

200EF

0

2000 3000 4000

Y (Angstrons)

Figura 4.42: Perfil de potencial paralelo a dire<;:aoy, em dois pianos distintos, 0 primeiropassando pelo gate e segundo em na regiao entre os gates, ~q = 600 mY.

200 Spacer = 50 Angs. '"No=4.5Xl012crn,2

150 V =600meV,T=4K

100

5'50

~ ~ = 120 ~=90~x 0:> ~=

-50 ~=30

·100~=O

·150~O -400 ·200 0 200 400 600

X (Ang;trm;)

4.5. CaIculoda Condutancia e da Capacitancia

4.5 Calculo da Condutancia e da Capacitancia

L (8eat")) 2 . (3 . f(£n) . [1 - f(c:n)]k",nL (8eat,,)r .8(£ - £f)k",n

4.5. CaJ.culoda Condutancia e da Capacitancia

Na figura 4.44 nao temos condi<;6es de identificar a mudan<;a do gas de eletrons

de urn regime quase-2D para urn quase-lD, porque esta mudan<;a de regime do gas de

eletrons afeta muito a condutfmcia, 0 que dificulta a localiza<;ao da regiao onde a mesma

ocorre. Para identificar tal mudan<;a devemos olhar para 0 grafico do logaritmo da con-

dutancia (figura 4.45) no qual vemos que ocorre uma mudan<;a de comportamento para

uma voltagem de 500 mV. Esta mudan<;a de comportamento refiete a transi<;ao de urn

gas de eletrons, e a mesma coincide com 0 resultado obtido na analise qualitativa feita na

se<;aoanterior. Com a capacitancia temos melhores condi<;6es de determinar esta regiao

onde ocorre a mudan<;a de regime.

4.5. CaIculo da Condutancia e da Capacitancia

.-< 1.5

~--~.-~ 1.0

<~-="'0

=o 0.5U

Spacer = 50 Angs.12 -2N:o-4.5xlO cm

T=4K

o -100 -200 -300 -400 -500 -600V (meV)

g

100-« 1(}-3

=> 10""6--ns 10-9

CJC 10-12

ens.•...~ 10-15

"CC0 10-18

U_ 10-21

C)0-I 10-24

10-27

0

•............ N = 4.5x1012 cm-2.....•.•..•.• D

"'" Spacer = 50 Angs."'" T=4K

•

.~--100 -200 -300 -400 -500 -600

V (mV)9

4.5. Ccilculo da Condutancia e da Capacitancia

cionada com a geometria do gas de eh~trons, entao as caracterfsticas geometricas do gas

citancia e praticamente a mesma. Em Vg = -300 mV a capacitancia decai abruptamente,

refletindo a redu<;ao da area efetiva quando 0 sistema eletronico e contraido em canais

4.5. Calculo cia Conciutancia e cia Capacitancia

-- 0.040t'l

I

e 0.035~t'l- 0.0300~~'-' 0.0250

l~CJ.. 0.020~-=~ 0.0150

~0.010

6--.~ 5.='-'~ 4....•~= 3(~...•......•c:J 2~~~ 1U

0

~ = 4.5 X 10 cm2

Spacer = 50 Angs.T=4K

.~.~.~.~e--e, __

(b) e__e

-100 -200 -300 -400 -500 -600V (mV)

g

Figura 4.46: (a) Aqui temos a popula<;:ao total do sistema em fun<;:ao da volta gem aplicadaaos gates. (b) Temos a capacitancia versus voltagem aplicada aos gates.

Neste capitulo investigamos as propriedades eletronicas e de transporte de uma

super-rede de fios quanticos (figura 4.3), em fun<;ao da voltagem, da densidade de im-

purezas doadoras e da temperatura. Nesta heteroestrutura investigamos a transi<;ao de

urn gas de eletrons quase-2D para urn quase-lD, atraves das densidades de probabilidades,

das rela<;6es de dispersao, da condutancia e da capacitancia. Verificamos tambem, que

os nossos resultados concordam qualitativamente com os resultados experimentais para a

condutancia e capacitancia, obtidos par Okada et al. [4].

Capitulo 5

Conclusao

Neste trabalho estudamos dois sistemas quase-unidimensionais com potenciais de

confinamento com origens diferentes. No capitulo 3 estudamos a formaQao de urn gas de

eletrons quase-1D, em fios quanticos do tipo V-groove, os quais possuem urn potencial de

confinamento do tipo dentes de serra. Neste sistema nossos resultados mostram que ha

formaQao de urn gas de eletrons quase-unidimensional, tanto na regiao concava quanto

convexa do GaAs e que ela s6 depende da densidade de impurezas doadoras (a posiQao

do confinamento). A regiao onde e realizado 0 confinamento nao e sensivel a voltagem

aplicada ao gate, ela nao muda com a voltagem, 0 que muda com a voltagem e a ocupa<;ao

de cada nivel e portanto 0 quao confinado pode estar 0 sistema. Utilizamos a voltagem

aplicada ao gate para controlarmos a populaQao das sub-bandas do sistema, tentando

sempre que possivel manter somente 0 primeiro estado populado. Variando a voltagem e

a densidade de impurezas doadoras, encontramos estados estendidos sobre todo 0 sistema,

os quais apresentam caracteristicas dos sistemas quase-2D. A primeira caracteristica esta

no fato da densidade de probabilidade estar estendida sobre todo 0 sistema e a segunda

esta na diminui<;ao dos espa<;amentos em energia entre as sub-bandas. Investigamos os

efeitos da voltagem aplicada aos gates, da densidade de impurezas doadoras ionizadas e

da largura do spacer.

No capitulo 4, 0 sistema estudado possui urn potencial de confinamento de origem

eletrostatica, permitindo desta forma controhi-lo atraves da voltagem aplicada aos gates.

Neste sistema investigamos as propriedades eletronicas e de transporte da heteroestrutura

apresentada na figura 4.3, em fun<;ao da voltagem, da densidade de impurezas doadoras

e da temperatura. Nesta heteroestrutura investigamos a transi<;ao de urn gas de eletrons

quase-2D para urn quase-1D, atraves das densidades de probabilidades, das rela<;6esde

dispersao, da conduUincia e da capaciUincia. Verificamos tambem, que os nossos resulta-

dos concordam qualitativamente bem com os resultados experimentais para a condutfmcia

e capacitancia, obtidos por Okada et al. [4].

o calculo autoconsistente dos est ados eletronicos destes sistemas quase-unidimen-

sionais foi feito utilizando a tecnica do Split-Operator cuja a caracterlstica mais importante

desta tecnic:a e a possibilidade de estudarmos a evolu<;8'otemporal dos sistema em tempo

real, ainda nao foi estudada mas sera 0 proximo passo.

Para continuidade a este trabalho pretendemos introduzir urn campo magnetico

paralelo aos gates com urn gauge adequado, para verificarmos quais sao os seus efeitos

no confinamento, principalmente em regi6es de campo magnetico onde nao se pode usar

teoria de perturbac,,:aopara realizar uma investiga<;aomais precisa. Ao variarmos 0 campo

magnetico aplicado ao sistema teremos uma competi<;ao entre 0 potencial de confina-

mento lateral devido aos gates e 0 do campo magnetico. Pretendemos tambem calcular a

magneto-capacitancia e a magneto-condutancia para diversos valores de campo magnetico

e comparar com os resultados experimentais de Drexler et al. [15].

Apendice A

Evolu<;ao da Fun<;ao de Onda emTempo Imaginario

1'lJ(t)) = :L an exp (_/~t) l<Pn)'n

1'lJ(T)) = :Lanexp (- C~T) l<Pn)'n

('!'(t) I'!'(t)) ~ J ]'!'(f, r)]'d3r ~ ~ lanl' exp ( - 2€~r) ~ "~2' (A.3)

Lan exp ( - c~r) I¢n)n ,L lanl2 exp ( _ 2c;r)n

1'l1(r))norm = ao exp (-T) I¢o) + al exp (-T) I¢l) + ,ao exp (-T) 1+ 1;;12 exp (2(E:O~E:l)T) + .

lim 1'l1(r))norm = I¢o) .T--+OO

1\If1(r)) = l'Pl(r)) - (\IfO(r)I'Pl(r))I\Ifo(r)) .V('Pl(r)I'Pl(r)) -1(\Ifo(r)I'Pl(r))!2

L bn e-E:nT/h IcPn) - bo e-E:QT/Il IcPo)I \If 1(r)) = _n _

1\If1(r)) = _n_>O _

L Ibnl2 e-2E:nT/h

n>O

1\If1(r)) = b1 exp (-¥) IcPl) + b2 exp (-7) 102) + , (A.14)

b1 exp (-¥) 1+ 1~12 exp (2(El-;,E:2)T) + .

Apendice B

Simula<;ao Semi-Classica de Difusaoe Deriva

B.l Equa~ao de Poisson

Equa~oes de Continuidade das Correntes

v· J~ = -q. R

B.S. Equac,;oesdas Densidades de Correntes

onde .In e J~ san respectivamente o~ vetores densidade de corrente eletronica e de buraco,

eRe a taxa de recombinaGao Shockley-Read-Hall, com a suposiGao de que 0 tempo de

vida media dos portadores e de 1.0 ns.

Equac;oes das Densidades de Correntes

onde 11n e Pp san as mobilidades dos eletrons e dos buracos, eOn e CfJp sao os quase niveis de

Fermi dos eletrons e dos buracos. Muitas simulaGoes usam urn algoritmo 0 qual e baseado

no quase nive! de Fermi dos eletrons e dos buracos em YeZde calcula-Ios diretamente

atraves das concentraGoes dos eletrons e dos buracos,

As cqna<;oes (B.l), (B.2), (B.3), (B.4) e (B.5) san discretizadas pelo metodo das

diferenGas finitas e resolvidas autoconsistentementes, usando 0 esquema de Gummel [96].

As densidades dos eletrons e dos buracos san dadas pelas scguintes expressoes:

B.3. Equa<;oesdas Densidades de Correntes

onde ni e a densidade de port adores intrinsecos, VT e a voltagem termica (VT = K BT/ q),

1 1 (Nv)e = -In + X + -E - -V;T ·In -YO 2 9 2 Nc'

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