S P D naS M aculDaDeS FUVEST rova a –...
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1 CPV FUV2FJAN12 MATEMÁTICA 01. O polinômio p(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx – 8, em que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas. a) Determine a, b, c e as raízes de p(x). b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes. Resolução: a) Sendo p(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx – 8, com coeficientes reais e 1 + i raiz, também teremos como raízes 1 – i, α e –α (α e –α simétricas) Pelas relações de Girard, temos: α – α + 1 + i + 1 – i = –a \ a = –2 –α . α . (1 + i) (1 – i) = –8 \ α = +2 ou α = –2 (1 + i) (1 – i) + 2(1 + i) – 2(1 + i) – 2(1 – i) + 2(1 – i) = b \ b = –2 –2(1 + i) (1 – i) + 2(1 + i) (1 – i) – 4(1 + i) –4(1 – i) = –c \ c = 8 Logo: a = –2, b = –2 e c = 8 e as raízes são 1 – i, 1 + i, 2 e –2. b) Sendo as raízes de p(x), 1 + i, 1 – i, 2 e –2 e subtraindo 1 de cada uma dessas raízes, temos i, –i, 1 e –3. p'(x) = k(x – i) (x + i) (x – 1) (x + 3) p'(x) = k(x 4 + 2x 3 – 2x 2 + 2x – 3) com k Î 2 SEU PÉ DIREITO NAS MELHORES FACULDADES FUVEST – PROVA A – 10/ JANEIRO/2012
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1CPV fuv2fjan12
MATEMÁTICA
01. O polinômio p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx – 8, em que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x). b) Subtraia1decadaumadasraízesdep(x)edeterminetodosospolinômioscomcoeficientesreais,demenorgrau,que
possuam esses novos valores como raízes.
Resolução:
a) Sendo p(x) = x4 + ax3 + bx2+cx–8,comcoeficientesreaise1+iraiz,tambémteremoscomoraízes1–i,α e –α (α e –α simétricas)
Pelas relações de Girard, temos:
α – α + 1 + i + 1 – i = –a \ a = –2 –α . α . (1 + i) (1 – i) = –8 \ α = +2 ou α = –2
(1 + i) (1 – i) + 2(1 + i) – 2(1 + i) – 2(1 – i) + 2(1 – i) = b \ b = –2
–2(1 + i) (1 – i) + 2(1 + i) (1 – i) – 4(1 + i) –4(1 – i) = –c \ c = 8
Logo:a = –2, b = –2 e c = 8 e as raízes são 1 – i, 1 + i, 2 e –2.
b) Sendo as raízes de p(x), 1 + i, 1 – i, 2 e –2 e subtraindo 1 de cada uma dessas raízes, temos i, –i, 1 e –3.
p'(x) = k(x – i) (x + i) (x – 1) (x + 3)
p'(x) = k(x4 + 2x3 – 2x2 + 2x – 3) com k Î
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Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS
FUVEST – Prova a – 10/janeiro/2012
fuvEST – 10/01/2012 Seu Pé Direito naS MelhoreS FaculDaDeS2
CPV fuv2fjan12
a2
b ou b não convém= =−2 1515
155( )
cb
α
�
�
������������������
�
������������������
��
����������
�����������
02. NotriânguloacutânguloABC,ilustradonafigura,ocomprimentoBCdoladomede15/5,oângulointernodevérticeCmedeα,eoângulointernodevérticeBmede
α/2. Sabe-se, também, que
2 cos(2α) + 3cos α+1=0
Nessas condições, calcule
a) o valor de sen α; b) o comprimento do lado AC.
Resolução:
a) Considerandoaexpressãodada,temos:2cos(2α) + 3 cos α + 1 = 0 � ����� ����� 2 cos2 α– 1 2 (2 cos2 α – 1) + 3 cos α+ 1 = 0
4 cos2 α+ 3 cos α– 1 = 0 donde vem
cos α= – 1 (não convém) e cos α=14 (convém)
Sendo αagudo:sen2 α= 1 – 116
1516
=
sen α= 154
b) De cos 2x = 1 – 2 sen2 xa2
, vem sen α2
64
= a
AplicandoaLeidosSenosnotriângulodado,temos:
b
sen
csen
b
sen
cα α α2 2
154
= ⇒ = Þ c = b 52
AplicandoaLeidosCossenosnotriângulodado,temos:c2 = 155
2
+ b2 – 2 .
155 . b cos a
14
Donde vem b 52
155
2 2
=
+ b2 – 2 . 15
514
. .b Þ 15b2 + b 15 – 6 = 0
Portanto b ou b não convém= =−
2 1515
155( )
LogoAC = 2 1515
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fuv2fjan12 CPV
03. a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podemserseparadasnosgruposA, B, C e D,cadaumdelescom4 jogadores, sabendoqueosgruposA e C serão formadosapenaspormeninaseogrupoB, apenas por meninos?
b) Acontecidaafaseinicialdotorneio,afasesemifinalteráosjogosentreMariaeJoãoeentreMartaeJosé.Osvencedoresdecadaumdosjogosfarãoafinal.Dadoqueaprobabilidadedeummeninoganhardeumameninaé3/5,calculeaprobabilidade de uma menina vencer o torneio.
Resolução:
a) Para o grupo A,podemosescolher4meninasentre10: 410 10
4 6210( )= =
!! !
Para o grupo B,podemosescolher4meninosentre6: 46 6
4 215( )= =
!! !
Para o grupo C,podemosescolher4meninasentre6: 46 6
4 215( )= =
!! !
O grupo Dseráformadopelascriançasrestantes. O número de maneiras de escolher os 4 grupos é 210 . 15 . 15 = 47.250
b) Consideramosaprobabilidadedeumameninavencerdentreaspossibilidadesdecadafinalacontecer:
MariaxMarta: P(1)=2525
425
. =
MariaxJosé: P(2)=253525
12125
. . =
MartaxJoão: P(3)=253525
12125
. . =
A probabilidade de uma menina ser campeã é P(1) + P(2) + P(3) = 44125
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CPV fuv2fjan12
N M
H
P´
04. Abase do tetraedroPABCD é o quadrado ABCD de lado l, contido no plano α.Sabe-sequeaprojeçãoortogonaldovérticeP no plano αestánosemiplanodeα determinado pela reta BC
� ���
e que não contém o lado AC.Além disso, a faceBPC é um triânguloisóscelesdebaseBC cuja altura forma, com o plano α, umânguloθ, em que 0 < θ< π/2.SendoPB=l 2/2, determine, em função de l e θ,
a) o volume do tetraedro PABCD; b) aalturadotriânguloAPB relativa ao lado AB; c) aalturadotriânguloAPD relativa ao lado AD.
Resolução:
C M B
P
l 22
l 22
l
2l
2
PM PM22 2
12
22 2
+
=
⇒ =
l l
Obs:OenunciadofaladeumtetraedroPABCD,masafiguraapresentaumapirâmidepentaédricadebasequadrada.
a) NotriânguloPBC,temos:
SechamarmosaprojeçãoortogonaldeP sobre o plano α de P', temos θ=PMP'eaalturadapirâmidePABCDigualaPP'.
Daí: sen θ = PPPM
PP PP sen' ' '= ⇒ =l
l
22
. θ
OvolumedapirâmidePABCDserá:VPABCD = 13 2
23
. . . V . sen6PABCDl
l sen θ⇒ =
q
b) No ΔPP'H, temos:
l lsen PHθ2 2
2 22
+
= ⇒( ) PH 2 1 sen2= + θ
c) No ΔPP'N, temos
PN2 = l
l
lsen senθ θ2 2
2 2
+ +
Daí: PN = 5 + 4 cos
2q
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fuv2fjan12 CPV
05. Determine para quais valores reais de xéverdadeiraadesigualdade
| x2 – 10x + 21 | ≤| 3x – 15 |.
Resolução:
a) | x2 – 10x + 21 | – | 3x – 15 | ≤0 \
f(x) = x2–10x+21eg(x)=3x–15
Considerandoasraízesdefeg(x=3,x=7oux=5),podemosconstruiratabelaparaoestudodesinais.
3 5 7
| f | x2 – 10x + 21 –x2 + 10x – 21 – x2 + 10x – 21 x2 – 10x + 21
|g| –3x+15 –3x+15 3x–15 3x–15 |f|–|g| x2–7x+6 –x2 + 13x – 36 – x2+7x–6 x2 – 13x + 36
para x < 3 : x2–7x+6≤0 Þ 1≤x < 3
para 3 ≤x ≤5 : x2 + 13x – 36 ≤0 Þ 3 ≤x ≤4
para 5<x<7 : –x2+7x–6≤0 Þ 6 ≤x < 7
para x ≥7 : x2 – 13x + 36 ≤0 Þ 7≤x < 9
Portanto:
S = {x Î | 1 ≤x ≤4 ou 6 ≤x ≤9}
f� ������� �������
g� ���� ����
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CPV fuv2fjan12
06.
Nafigura,acircunferênciadecentro0étangenteàretaCD� ���
no ponto D,oqualpertenceàretaAO� ���
. Alémdisso,A e Bsãopontosdacircunferência,AB=6 3eBC=2 3. Nessas condições, determine
a) amedidadosegmentoCD; b) o raio da circunferência; c) aáreadotriânguloAOB; d) aáreadaregiãohachuradanafigura.
Resolução:
a) PelapotênciadopontoC,temos:
CD2=CB.CA=2 3 . 8 3
CD = 4 3
b) NotriânguloADC,sendoRoraiodacircunferência,temos:
AD2+CD2=AC2
(2R)2 + (4 3)2 = (8 3)2
R = 6
c) sen(DÂC)=4 38 3
Þ DÂC=30º
NotriânguloAOB,AOB+30º+30º=180ºÞ AOB=120º
AáreadotriânguloAOBpodesercalculadapor:
AAOB = 12 . 6 . 6 .sen(AOB)=18.
32
AAOB = 9 3
d) Aáreadaregiãohachuradapodesercalculadasubtraindo-seaáreadoΔAOBdaáreadosetorcircularde120º:
AHach = 13 . π(6)2 – 9 3
AHach = 12π – 9 3
AHach = 3(4π – 3 3)
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COMENTÁRIO DO CPV
Aprovado3o dia da 2afasedaFUVEST/2012mantevesuatradição,trazendoquestõestrabalhosasequeexigemdovestibulandoaltograudeconcentração.
É importante ressaltarmos que o estilo e a distribuição dos assuntos pouco mudam ano a ano, possibilitando uma adequada preparação por parte dos candidatos.
Naquestão4,notamosumequívocodabancaexaminadoraaochamaropentaedroapresentadonafiguradetetraedro.
Vistoqueaprovaforapreparadaparaumgrupoespecíficodevestibulandos,aequipedematemáticadoCPVacreditaqueabancaalcançará,novamente,seusobjetivos,selecionandoosmelhorescandidatos.
