Inclinações das ruas e das estradas

PPuubblliiccaaddoo nnaa rreevviissttaa FFííssiiccaa nnaa EEssccoollaa,, SSããoo PPaauulloo,, 88((22))::1166--1188,, 22000077 http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol8/Num2/v08n02a04.pdf

Fernando Lang da Silveira - Instituto de Física da UFRGS

lang@if.ufrgs.br

Resumo. As inclinações máximas de ruas e estradas são bem menores do que aquelas imaginadas pela grande maioria dos nossos alunos. Inclinações em relação à horizontal superiores a 5º excepcionalmente são encontradas em rodovias. Ruas com inclinações próximas de 15º costumam ser raras e normalmente estão interditadas para a subida de caminhões. O limite teórico para a inclinação da rampa que um automóvel com tração em duas rodas pode galgar situa-se abaixo de 30º com pista seca e abaixo de 20º com pista molhada.

I. Introdução

Há anos temos discutido com nossos alunos sobre as inclinações das ruas e das estradas de rodagem. Ao lhes inquirir sobre a maior inclinação de ruas ou estradas que conhecem, invariavelmente obtivemos como resposta ângulos com a horizontal superestimados. Por exemplo, em 36 sujeitos (alunos do curso de Física que já cursaram as disciplinas de Física Geral, alunos do mestrado profissional em ensino de Física e inclusive doutores em Física) encontramos como resposta ângulos que variaram de 20º a 70º, ficando a média em 44º (mais de 80% dos respondentes indicaram ângulos maiores do que 30º). Ao avançarmos nessa discussão, lhes questionando sobre onde poderiam encontrar inclinações de 20º, a resposta é que tal declividade é comum em estradas e ruas.

Em livros texto de Física Geral costumamos encontrar planos inclinados com inclinações consistentes com as respostas de nossos alunos. As placas de sinalização em rodovias reforçam a idéia dos ângulos próximos ou maiores do que 30º em declives acentuados, conforme se observa nas fotografias da figura 1.

Figura 1 – Placas sinalizando os declives acentuados em rodovias.

A superestimativa da declividade das rampas está referida na interessante obra de Minnaert (1954), constituindo-se em um problema para a psicologia da percepção. O autor também nota que usualmente superavaliamos a elevação dos corpos celestes.

O objetivo deste artigo é o de demonstrar, por intermédio de algumas medidas realizadas a partir de fotografias, que a inclinação das ruas e das estradas é bem menor do que a avaliada pelos nossos alunos. Justificaremos teoricamente as razões pelas quais os aclives ou os declives com a declividade por eles imaginada são impraticáveis para automóveis e caminhões.

II. Medindo a inclinação A medida da inclinação das ruas em uma cidade pode ser realizada sem dificuldade com

auxílio de fotografias. Quando há construções no entorno de uma rua, é fácil se encontrar nas edificações linhas indicadoras da vertical e/ou da horizontal. A fotografia da figura 2 mostra uma das ruas muito inclinadas em Porto Alegre (nossos alunos costumam atribuir a esta rua – Lucas de Oliveira – inclinações superiores a 30º!!).

Figura 2 – Nas edificações no entorno da rua encontramos indicadores da vertical e/ou horizontal.

A fotografia da figura 3 mostra outra rua com grande declividade no centro de Porto

Alegre, interditada para a subida de caminhões por motivos de segurança. No dia em que a fotografia foi realizada, chovia e constatamos que os automóveis que por ali trafegavam costumavam patinar as rodas de tração.

Figura 3 – Rua muito inclinada no centro de Porto Alegre, interditada para a subida de

caminhões.

III. Inclinações máximas das rampas

O Departamento Nacional de Infra-estrutura de Transportes (DNIT, antigo DNER) dá recomendações para as inclinações máximas em estradas de rodagem (DNER, 1999). Uma maneira mais esclarecedora de referir a inclinação de uma rampa em relação à horizontal é através de sua declividade, isto é, da tangente do seu ângulo de inclinação. Na verdade as recomendações do DNIT para as rodovias são expressas desta forma, ao invés de especificar um ângulo. Uma rampa de 10°, por exemplo, é referida pela tangente de 10º, que é aproximadamente 0,18 ou 18%, sendo que na terminologia dos manuais técnicos esta declividade denomina-se como inclinação percentual. Encontramos a mesma nomenclatura também nas especificações técnicas para a capacidade máxima de subida de caminhões ou de outros veículos nos manuais dos fabricantes.

Em uma rampa inclinada por 10º, sobe-se cerca de 18 m para cada 100 m de deslocamento horizontal. Para ângulos pequenos sabe-se que a tangente e o seno do ângulo são aproximadamente iguais. Portanto também podemos interpretar esta declividade de 18% como subindo 18 m em cada 100 m de deslocamento sobre a rampa. Dar a informação desta forma auxilia a entender que não é usual nas ruas de uma cidade se encontrar rampas com tal declividade, pois implicaria que em uma extensão igual ao comprimento de um campo de futebol houvesse um desnível de mais de 4 andares!

Outro argumento sobre a inexistência das inclinações imaginadas pelos alunos diz respeito às escadas. É comum que os degraus tenham a altura igual a cerca da metade de sua largura. Se deitarmos uma prancha de madeira sobre a escada, estaremos constituindo uma rampa com declividade de 50% ou inclinação de 27º. A simples experiência de tentar subir por essa prancha é muito elucidativa, demonstrando que, se alguma rua tivesse essa inclinação, o

passeio para pedestres deveria ser em forma de escada e não de rampa. Nas rampas de acesso para pedestres é notória a ocorrência de inclinações muito menores do que em escadas.

As declividades máximas recomendadas pelo DNIT dependem da classe da estrada de rodagem; em estradas de Classe 0 – vias expressas – (onde o volume de tráfego é o mais alto) recomenda-se no máximo inclinações de 5% (cerca de 3º). Já nas rodovias de Classe IV (aquelas que possuem o mais baixo volume de tráfego) as inclinações máximas recomendadas são de 9% (cerca de 5º).

A principal razão subjacente a essas recomendações está na velocidade que os automóveis e, principalmente, os caminhões conseguem manter nos aclives. Rampas com inclinação de 3º não permitem que os caminhões pesados trafeguem com velocidades muito superiores a 20 km/h (vide a seção seguinte).

Em situações excepcionais encontraremos estradas onde essas inclinações máximas excedem as recomendações. É o caso, por exemplo, da Rodovia SC 438 no trecho que sobe a belíssima Serra do Rio do Rastro. Em apenas 8 km a rodovia passa por um desnível de 670 m, o que significa uma subida com uma inclinação média de 5º. Em alguns trechos desses 8 km encontram-se rampas excepcionalmente inclinadas. A fotografia da figura 4 mostra um desses trechos, onde ocorre a inclinação inusitada de cerca de 10º ou 18%.

Figura 4 – Rampa com inclinação excepcionalmente grande (10º ou 18%) em um trecho da Rodovia SC 480 na Serra do Rio do Rastro.

Na figura 4 o poste foi tomado como indicador da vertical. As fissuras nas escarpas da

montanha constituem outras linhas que indicam, aproximadamente, a vertical nesta bela paisagem. No detalhe ampliado do pavimento da estrada, observa-se que é constituído por placas de cimento com estrias. Devido à grande inclinação, faz-se necessário um pavimento antiderrapante, para minimizar a possibilidade de deslizamento dos pneus sobre o cimento, principalmente quando a pista está molhada ou até congelada. Caso os pneus deslizem, perde-se em força atrito pois, como é bem sabido, o coeficiente de atrito cinético dos pneus com o pavimento é menor do que o coeficiente de atrito estático. Esta perda em força de atrito é indesejável tanto na descida – quando a força de atrito é utilizada para frear os veículos –, quanto na subida – neste caso a força de atrito nas rodas de tração é a força tratora ou motora do veículo.

A rua mais inclinada do mundo, segundo a Wikipedia, é a Baldwin Street em Dunedin, Nova Zelândia. A sua inclinação é 19º ou 35%!

IV. Força de tração e potência de tração nos veículos em subidas

Um veículo com massa M, que se desloque com velocidade constante v, ascendendo por

uma rampa com inclinação θ com a horizontal, necessita que o seu motor desenvolva uma potência capaz de anular a potência das forças que resistem ao seu avanço. Além das forças de resistência exercidas pelo ar e pela pista de rolamento no veículo, a componente do peso do veículo paralela à pista (M.g.senθ) opõe-se ao seu movimento. Portanto, a potência desenvolvida pelo motor PMotor nas rodas de tração deve satisfazer a seguinte condição:

v.θsen.g.MPMotor > . (1)

Para um caminhão pesado (M = 40000 kg) deslocando-se com velocidade constante de 36

km/h ou 10 m/s por um aclive com inclinação de 3º, resulta que a potência desenvolvida pelo motor é tal que

w.sen.,.P o

Motor 2050001038940000 => , (2)

ou ainda,

cv cvPMotor 277740

205000=> . (3)

Ora, a potência mínima referida em (3) é comparável à (ou até maior do que a) potência

máxima nominal especificada pelos fabricantes de caminhões pesados e, portanto, a velocidade de 36 km/h suposta acima dificilmente poderá ser mantida por um caminhão em tal aclive. Desta forma, em aclives com 3º ou 5% de inclinação, um caminhão pesado jamais poderá se mover na velocidade usual do fluxo do tráfego, que é de 80 km/h.

Outro aspecto importante relativo ao tráfego de caminhões pesados diz respeito às descidas. Caso um caminhão pesado trafegue descendo por uma rampa com 3º de inclinação, a potência desenvolvida pela força gravitacional será uma potência motora! Ora, boa parte desta potência de algumas centenas de cavalos-vapor deverá ser dissipada então pelo sistema de frenagem do veículo (freios convencionais e freio-motor) sob pena da velocidade crescer (uma parte desta potência será dissipada pelas forças de resistência do ar e resistência ao rolamento). Por isto, junto às placas que sinalizam os declives prolongados há outras advertindo para o uso do freio-motor, sob pena de superaquecimento dos freios convencionais, não apenas nos caminhões mas também nos automóveis.

A força que traciona os veículos rampa acima é a força de atrito entre os pneus e o pavimento nas rodas de tração ( TA

r). A figura 5 representa um automóvel com tração dianteira

em um aclive. O módulo de TAr

deve exceder o módulo da componente do peso na direção paralela à rampa (M.g.senθ), para que o veículo trafegue com velocidade constante, pois há ainda outras forças que resistem ao avanço do veículo (estas outras forças de resistência não estão representadas na figura 5), conforme já notado anteriormente.

Figura 5 – Veículo subindo a rampa.

Portanto, temos:

senθ.g.MAT > . (4)

Caso as rodas de tração não deslizem (patinem) sobre a pista, o atrito entre os pneus e o

pavimento será estático (isto é desejável pois possibilita que a força tratora seja máxima). Neste caso, sendo o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o pavimento e eμ 2N a força normal exercida pelo pavimento nas rodas de tração, obtém-se:

2 . NμA eT ≤ . (5)

Assim, de (4) e (5), concluímos que M.g.senθ < AT ≤ μe .N2 (6) As forças normais ao pavimento exercidas sobre todas as rodas devem anular a

componente do peso perpendicular à pista de rolamento. Supondo que as rodas de tração estejam sob a ação de força normal com intensidade semelhante às outras rodas, podemos escrever:

2cos

2θ.g.M

N ≅ , (7)

que, após substituído na desigualdade (6), fornece:

2

tan eμθ < , (8)

e finalmente

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛<2

arctan eμθ . (9)

A expressão (9) nos permite estimar qual é a inclinação que pode ser galgada por um

veículo com tração em duas rodas. Se admitirmos que, em situação excepcionalmente boa, o coeficiente de atrito estático

seja aproximadamente igual à unidade, obtemos

oθ 2721arctan ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛< , (10)

donde concluímos que a inclinação máxima possível de ser vencida por um veículo com tração simples, independentemente de qual seja o torque que o seu motor transmita às rodas motrizes, é inferior a 30º.

Caso suponhamos uma situação envolvendo pista de asfalto ou cimento molhado ( 7 ), a inclinação máxima possível se reduz para aproximadamente 20º ou 35%. Este resultado teórico é consistente com o fato relatado na seção II, de que para alguns automóveis que trafegavam por uma rua molhada, com inclinação de 16º ou 29% no centro de Porto Alegre, verificava-se o deslizamento dos pneus de tração sobre o asfalto.

0,μe ≈

V. Conclusão

Constatamos com os nossos alunos que o tema das inclinações das ruas e estradas é um assunto que lhes desperta o interesse, não somente porque as suas avaliações sobre os ângulos estão em flagrante conflito com a realidade, mas também porque o assunto se presta para uma profícua discussão sobre tração e potência de veículos automotores, bem como sobre o papel de força motora ou tratora desempenhado pela força de atrito entre os pneus de tração e a pista de rolamento.

Os cálculos relativamente simples, que apresentamos na seção IV, além de estabelecer a potência mínima necessária para que um veículo possa se deslocar com uma certa velocidade por um aclive com uma dada inclinação, fixam um valor máximo para a inclinação de ruas e estradas, em função do coeficiente de atrito estático entre os pneus e o pavimento. Estes resultados justificam a inexeqüibilidade das inclinações superestimadas por aqueles que nunca foram esclarecidos com relação a este assunto, e confirmam as recomendações ditadas pelo DNIT para as inclinações máximas em estradas de rodagem.

Alguns de nossos discentes do mestrado profissional em ensino de Física (professores de ensino médio em serviço) já envolveram seus alunos na feitura de fotografias com o objetivo de determinar as inclinações de ruas, promovendo uma competição entre eles para encontrar a rampa mais inclinada. Essa atividade simples fora da sala de aula, além de ter um caráter lúdico, mostra que a Física pode ser ensinada de forma contextualizada. Agradecimento. Agradeço à Profa Maria Cristina Varriale do IM-UFRGS pela leitura crítica deste artigo e pelas sugestões apresentadas. Referências DNER. Manual de projeto geométrico de rodovias rurais. Rio de Janeiro: IPR Publicações,

1999. MINNAERT, M. The nature of light and colour in the open air. New York: Dover, 1954.

16 Física na Escola, v. 8, n. 2, 2007

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Inclinações das ruas e das estradas

Há anos temos discutido com nos-sos alunos sobre as inclinaçõesdas ruas e das estradas de roda-

gem. Ao inquirí-los sobre a maior incli-nação de ruas ou estradas que conhecem,invariavelmente obtivemos como respostaângulos com a horizontal superestimados.Por exemplo, em 36 sujeitos (alunos docurso de física que já cursaram as discipli-nas de física geral, alunos do mestradoprofissional em ensino de física e inclusivedoutores em física) encontramos comoresposta ângulos que variaram de 20° a 70°,ficando a média em 44° (mais de 80% dosrespondentes indicaram ângulos maioresdo que 30°). Ao avançarmos nessadiscussão, questionando-os sobre ondepoderiam encontrar inclinações de 20°, aresposta é que tal declividade é comum emestradas e ruas.

Em livros-texto de física geral costu-mamos encontrar planos inclinados cominclinações consistentes com as respostasde nossos alunos. As placas de sinalizaçãoem rodovias reforçam a idéia dos ângulospróximos ou maiores do que 30° em decli-ves acentuados, conforme observa-se nasfotografias da Fig. 1.

A superestimativa da declividade dasrampas está referida na interessante obrade Minnaert [1], constituindo-se em um

Fernando Lang da SilveiraInstituto de Física, Universidade Federaldo Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS,BrasilE-mail: lang@if.ufrgs.br

As inclinações máximas de ruas e estradas sãobem menores do que aquelas imaginadas pelagrande maioria dos nossos alunos. Inclinaçõesem relação à horizontal superiores a 5°excepcionalmente são encontradas em rodovias.Ruas com inclinações próximas de 15°costumam ser raras e normalmente estãointerditadas para a subida de caminhões. Olimite teórico para a inclinação da rampa queum automóvel com tração em duas rodas podegalgar situa-se abaixo de 30° com pista seca eabaixo de 20° com pista molhada.

problema para a psicologia da percepção.O autor também nota que usualmentesuperavaliamos a elevação dos corpos celes-tes.

O objetivo deste artigo é o de demons-trar, por intermédio de algumas medidasrealizadas a partir de fotografias, que a in-clinação das ruas e das estradas é bem me-nor do que a avaliada pelos nossos alunos.Justificaremos teoricamente as razões pelasquais os aclives ou os declives com a decli-vidade por eles imaginada são impraticáveispara automóveis e caminhões.

Medindo a inclinação

A medida da inclinação das ruas emuma cidade pode ser realizada sem difi-culdade com auxílio de fotografias. Quan-do há construções no entorno de uma rua,é fácil se encontrar nas edificações linhasindicadoras da vertical e/ou da horizon-tal. A fotografia da Fig. 2 mostra umadas ruas muito inclinadas em Porto Alegre(nossos alunos costumam atribuir a estarua - Lucas de Oliveira - inclinações su-periores a 30°!).

A fotografia da Fig. 3 mostra outrarua com grande declividade no centro dePorto Alegre, interditada para a subida decaminhões por motivos de segurança. Nodia em que a fotografia foi realizada, cho-

Figura 1. Placas sinalizando os declives acentuados em rodovias.

17Física na Escola, v. 8, n. 2, 2007 Inclinações das ruas e das estradas

via e constatamos que os automóveis quepor ali trafegavam costumavam patinaras rodas de tração.

Inclinações máximas das rampas

O Departamento Nacional de Infra-estrutura de Transportes (DNIT, antigoDNER) dá recomendações para as incli-nações máximas em estradas de rodagem[2]. Uma maneira mais esclarecedora dereferir a inclinação de uma rampa em re-lação à horizontal é através de sua decli-vidade, isto é, da tangente do seu ângulode inclinação. Na verdade, as recomenda-ções do DNIT para as rodovias são expres-sas desta forma, ao invés de especificarum ângulo. Uma rampa de 10°, porexemplo, é referida pela tangente de 10°,que é aproximadamente 0,18 ou 18%,sendo que na terminologia dos manuaistécnicos esta declividade denomina-secomo inclinação percentual. Encontramosa mesma nomenclatura também nas espe-cificações técnicas para a capacidade má-xima de subida de caminhões ou de outrosveículos nos manuais dos fabricantes.

Em uma rampa inclinada por 10°,sobe-se cerca de 18 m para cada 100 m dedeslocamento horizontal. Para ângulospequenos sabe-se que a tangente e o senodo ângulo são aproximadamente iguais.Portanto também podemos interpretar estadeclividade de 18% como subindo 18 m emcada 100 m de deslocamento sobre a

rampa. Dar a informaçãodesta forma auxilia a enten-der que não é usual nas ruasde uma cidade se encontrarrampas com tal declividade,pois implicaria que em umaextensão igual ao compri-mento de um campo de fu-tebol houvesse um desnívelde mais de 4 andares!

Outro argumento sobrea inexistência das inclinaçõesimaginadas pelos alunos dizrespeito às escadas. É co-mum que os degraus te-

nham a altura igual a cerca da metade desua largura. Se deitarmos uma prancha demadeira sobre a escada, estaremosconstituindo uma rampa com declividadede 50% ou inclinação de 27°. A simplesexperiência de tentar subir por essa pranchaé muito elucidativa, demonstrando que, sealguma rua tivesse essa inclinação, o pas-seio para pedestres deveria ser em formade escada e não de rampa. Nas rampas deacesso para pedestres é notória a ocorrênciade inclinações muito menores do que emescadas.

As declividades máximas recomenda-das pelo DNIT dependem da classe daestrada de rodagem; em estradas de Classe0 - vias expressas - onde o volume de trá-fego é o mais alto, recomenda-se no máxi-mo inclinações de 5% (cerca de 3°). Já nasrodovias de Classe IV (aquelas que pos-suem o mais baixo volume de tráfego) asinclinações máximas recomendadas são de9% (cerca de 5°).

A principal razão subjacente a essasrecomendações está na velocidade que osautomóveis e, principalmente, os cami-nhões conseguem manter nos aclives. Ram-pas com inclinação de 3° não permitem queos caminhões pesados trafeguem comvelocidades muito superiores a 20 km/h(vide a seção seguinte).

Em situações excepcionais, encontra-remos estradas onde essas inclinações má-ximas excedem as recomendações. É o caso,

por exemplo, da Rodovia SC438 no trecho que sobe abelíssima Serra do Rio doRastro. Em apenas 8 km arodovia passa por umdesnível de 670 m, o que sig-nifica uma subida com umainclinação média de 5°. Emalguns trechos desses 8 kmencontram-se rampas ex-cepcionalmente inclinadas.A fotografia da Fig. 4 mos-tra um desses trechos, ondeocorre a inclinação inusitadade cerca de 10° ou 18%.

Na Fig. 4 o poste foi tomado como indi-cador da vertical. As fissuras nas escarpasda montanha constituem outras linhas queindicam, aproximadamente, a vertical nestabela paisagem. No detalhe ampliado dopavimento da estrada, observa-se que ele éconstituído por placas de cimento com es-trias. Devido à grande inclinação, faz-senecessário um pavimento antiderrapantepara minimizar a possibilidade de desliza-mento dos pneus sobre o cimento, principal-mente quando a pista está molhada ou atécongelada. Caso os pneus deslizem, perde-se em força de atrito, pois, como é bemsabido, o coeficiente de atrito cinético dospneus com o pavimento é menor do que ocoeficiente de atrito estático. Esta perda emforça de atrito é indesejável tanto na descida- quando a força de atrito é utilizada parafrear os veículos -, quanto na subida - nestecaso a força de atrito nas rodas de tração é aforça tratora ou motora do veículo.

A rua mais inclinada do mundo, se-gundo a Wikipedia1, é a Baldwin Street,em Dunedin, Nova Zelândia. A sua incli-nação é 19° ou 35%!

Força de tração e potência detração nos veículos em subidas

Um veículo com massa M, que se des-loque com velocidade constante v, ascen-dendo por uma rampa com inclinação θcom a horizontal, necessita que o seu mo-tor desenvolva uma potência capaz deanular a potência das forças que resistemao seu avanço. Além das forças de resis-tência exercidas pelo ar e pela pista de

Figura 2. Nas edificações no entorno da rua encontramosindicadores da vertical e/ou horizontal.

Figura 3. Rua muito inclinada no centro de Porto Alegre,interditada para a subida de caminhões.

Figura 4. Rampa com inclinação excep-cionalmente grande (10° ou 18%) em umtrecho da Rodovia SC 480 na Serra do Riodo Rastro.

18 Física na Escola, v. 8, n. 2, 2007Inclinações das ruas e das estradas

rolamento no veículo, a componente dopeso do veículo paralela à pista (Mgsenθ)opõe-se ao seu movimento. Portanto, apotência desenvolvida pelo motor PMotornas rodas de tração deve satisfazer a se-guinte condição

Pmotor > Mgsenθ v. (1)

Para um caminhão pesado (M ===== 40000kg) deslocando-se com velocidade cons-tante de 36 km/h ou 10 m/s por um acli-ve com inclinação de 3°, resulta que a po-tência desenvolvida pelo motor é tal que

Pmotor > 4000 x 9,8 x sen 3° x 10 =205.000 W, (2)

ou ainda,

. (3)

Ora, a potência mínima referida naexpressão (3) é comparável à (ou até maiordo que a) potência máxima nominal especi-ficada pelos fabricantes de caminhões pesa-dos e, portanto, a velocidade de 36 km/hsuposta acima dificilmente poderá sermantida por um caminhão em tal aclive.Desta forma, em aclives com 3° ou 5% deinclinação, um caminhão pesado jamaispoderá se mover na velocidade usual dofluxo do tráfego, que é de 80 km/h.

Outro aspecto importante relativo aotráfego de caminhões pesados diz respeitoàs descidas. Caso um caminhão pesado tra-fegue descendo por uma rampa com 3° deinclinação, a potência desenvolvida pelaforça gravitacional será uma potênciamotora! Ora, boa parte desta potência dealgumas centenas de cavalos-vapor deveráentão ser dissipada pelo sistema defrenagem do veículo (freios convencionaise freio-motor) sob pena da velocidade cres-cer (uma parte desta potência será dissipadapelas forças de resistência do ar e resistênciaao rolamento). Por isto, junto às placas quesinalizam os declives prolongados há outrasadvertindo para o uso do freio-motor, sobpena de superaquecimento dos freiosconvencionais, não apenas nos caminhões,mas também nos automóveis.

A força que traciona os veículos ram-pa acima é a força de atrito entre os pneuse o pavimento nas rodas de tração (AT). AFig. 5 representa um automóvel com tra-ção dianteira em um aclive. O módulo deAT deve exceder o módulo da componentedo peso na direção paralela à rampa(Mgsenθ), para que o veículo trafegue comvelocidade constante, pois há ainda outrasforças que resistem ao avanço do veículo(estas outras forças de resistência nãoestão representadas na Fig. 5), conformejá notado anteriormente.

Portanto, temos

AT > Mgsenθ. (4)

Caso as rodas de tração não deslizem(patinem) sobre a pista, o atrito entre ospneus e o pavimento será estático (isto édesejável, pois possibilita que a força tra-tora seja máxima). Neste caso, sendo μe ocoeficiente de atrito estático entre os pneuse o pavimento e N2 a força normal exer-cida pelo pavimento nas rodas de tração,obtém-se

AT ≤ μe N2. (5)

Assim, das expressões (4) e (5), con-cluímos que

Mgsenθ < AT ≤ μe N2. (6)

As forças normais ao pavimento exer-cidas sobre todas as rodas devem anulara componente do peso perpendicular à pis-ta de rolamento. Supondo que as rodasde tração estejam sob a ação de força nor-mal com intensidade semelhante às outrasrodas, podemos escrever

, (7)

que, após substituído na expressão (6),fornece

, (8)

e finalmente

. (9)

A expressão (9) nos permite estimarqual inclinação pode ser galgada por umveículo com tração em duas rodas.

Se admitirmos que, em situação ex-cepcionalmente boa, o coeficiente de atritoestático seja aproximadamente igual àunidade, obtemos

, (10)

donde concluímos que a inclinação má-xima possível de ser vencida por um veí-culo com tração simples, independente-mente de qual seja o torque que o seumotor transmita às rodas motrizes, é in-ferior a 30°.

Caso suponhamos uma situaçãoenvolvendo pista de asfalto ou cimentomolhado (μe ≈ 0,7), a inclinação máxima

Referências

[1] M. Minnaert, The Nature of Light andColour in the Open Air (Dover, NewYork, 1954).

[2] DNER. Manual de Projeto Geométrico deRodovias Rurais (IPR Publicações, Riode Janeiro, 1999).

possível se reduz para aproximadamente20° ou 35%. Este resultado teórico é con-sistente com o fato relatado anteriormentede que para alguns automóveis que tra-fegavam por uma rua molhada, com in-clinação de 16° ou 29% no centro de PortoAlegre, verificava-se o deslizamento dospneus de tração sobre o asfalto.

Conclusão

Constatamos com os nossos alunosque o tema das inclinações das ruas e es-tradas é um assunto que lhes desperta ointeresse não somente porque as suasavaliações sobre os ângulos estão em fla-grante conflito com a realidade mas tam-bém porque o assunto se presta para umaprofícua discussão sobre tração e potênciade veículos automotores, bem como sobreo papel de força motora ou tratora de-sempenhado pela força de atrito entre ospneus de tração e a pista de rolamento.

Os cálculos relativamente simples queapresentamos, além de estabelecer a potên-cia mínima necessária para que um veí-culo possa se deslocar com uma certa velo-cidade por um dado aclive, fixam um valormáximo para a inclinação de ruas e es-tradas em função do coeficiente de atritoestático entre os pneus e o pavimento. Taisresultados justificam a inexeqüibilidade dasinclinações superestimadas por aqueles quenunca foram esclarecidos com relação a esteassunto, e confirmam as recomendaçõesditadas pelo DNIT para as inclinaçõesmáximas em estradas de rodagem.

Alguns de nossos discentes do mes-trado profissional em ensino de física (pro-fessores de ensino médio em serviço) jáenvolveram seus alunos na feitura de fo-tografias com o objetivo de determinar asinclinações de ruas, promovendo umacompetição entre eles para encontrar arampa mais inclinada. Essa atividade sim-ples fora da sala de aula, além de ter umcaráter lúdico, mostra que a física podeser ensinada de forma contextualizada.

Agradecimento

À profa Maria Cristina Varriale do IM-UFRGS pela leitura crítica deste artigo epelas sugestões apresentadas.

Nota1h t t p : / / e n . w i k i p e d i a . o rg / w i k i /Baldwin_Street,_Dunedin.

Figura 5. Veículo subindo a rampa.