Rotação de Eixos

z

x

direção depropagação

kj

zxyy

kjyy

euuEuE

euEuEE

senˆcosˆˆ

ˆˆ

E

Rotação de Eixos

z

x

x sen

z cos

sencossenˆcosˆˆ

ˆˆxzkj

zxyy

kjyy

euuEuE

euEuEE

Incidência sobre condutor perfeitoE no plano de incidência (TM)

z

E+E-

H+ H- ’

x

’

kjkj eEeEE

Incidência sobre condutor perfeitoE no plano de incidência (TM)

kjkj eEeEE

cossencossen coscos, zxkjzxkjx eEeEzxE

cossencossen sensen, zxkjzxkjz eEeEzxE

cossencossen, zxkjzxkj

y eEeEzxH

Em z = 0, Ex deve se anular, portanto:

0

sensen

e

0coscos0,

y

xkjxkjx

HEE

eEeExE

sen0 cossencos2, xkj

yx ezkHjzxE

sen0 coscossen2, xkj

yz ezkHzxE

sen0 coscos2, xkj

yy ezkHzxH

Incidência sobre condutor perfeitoH no plano de incidência (TE)

z

H+H-

E+ E-

’

x

’

kjkj eEeEE

Incidência sobre condutor perfeitoH no plano de incidência (TE)

kjkj eEeEE

cossencossen coscos, zxkjzxkjx eEeEzxH

cossencossen sensen, zxkjzxkjz eEeEzxH

cossencossen, zxkjzxkjy eEeEzxE

Em z = 0, Ey deve se anular, portanto:

0

sensen

e

00,

y

xkjxkjy

EEE

eEeExE

sen0 cossen2, xkj

yy ezkEjzxE

sen0 coscoscos2, xkj

yx ezkEzxH

sen0 cossensen2, xkj

yz ezkEjzxH

Conclusões• Componentes de E paralelas à interface se

anulam em z = n d e o mesmo ocorre para Hz.

• Componentes de H paralelas à interface se anulam em z = d/2 n d e o mesmo ocorre para Ez.

cos2

d

Incidência a 45 graus:

Componente Ey

Incidência a 80 graus:

Componente Ey

Incidência a 10 graus:

Componente Ey

Velocidade de fase

cos;

sen

cos;sen, cossen

vvvv

kkeEeEzxE

zfz

xfx

zx

zxjzxkj zx

Impedância característica da onda

• Modo TM • Modo TE

cosy

x

y

xz H

EHEZ

secx

y

x

yz H

EHE

Z

z

E+

H+

x

E+cos z

E+

H+

x

H+cos

Incidência oblíqua sobre dielétrico

z

H+ H-

E+ E-

’

x

”

1, 1

2, 2

zxj

zxjzxj

zx

zxzx

eEE

eEEeEE22

1111

202

101101 ;

Incidência oblíqua sobre dielétrico

2121

11

211

sensensensen

sensen:

vv

xxx

Para meios sem perdas e não magnéticos (=0):

2

1

2

1

1

2

sensen

nn

vv

Para satisfazer condições de contorno em z = 0 para todo x:

zxj

zxjzxj

zx

zxzx

eEE

eEEeEE22

1111

202

101101 ;

Reflexão e Transmissão• Impedância de onda em z = 0: Z(0)=ZZ2

• Zz2=2 (cos 2)1; Zz1=1 (cos 1)1

• Coeficiente de reflexão em z =0:

12

2

,1

,2

12

12

1

1

,1

,11

200

00

00

0

zz

z

yx

yx

zz

zz

z

z

yx

yx

ZZZ

zEzE

ZZZZ

ZZZZ

zEzE

Ângulo de Brewster• Se Zz1 =Zz2 não teremos reflexão no meio 1:

1

21

21

21

021

2112

12121

22

1

221

21

tansen

:

sen

sen1cos

coscos

p

p

vv

solução temnão:

sen

sen1sec

secsec

21

2112

12121

22

1

221

21

p

vv

• TM • TE

Reflexão Total• Para onda vindo de um meio mais refringente para

um menos refringente, existe um ângulo a partir do qual Zz2 torna-se imaginário:

100

sensen1

21

2

21

2

11

11

221

21221222

z

z

z

z

z

z

ZXZX

ZXjZXj

XjZvvvvZ

• Esse ângulo é denominado ângulo crítico:

1221sen vvc

1=0; 1= 4 0; 2= 0

incidência TMcampo magnético

1=20; 1= 4 0; 2= 0

incidência TMcampo magnético

1=26,6; 1= 4 0; 2= 0

incidência TM - ângulo de Brewstercampo magnético

1=32; 1= 4 0; 2= 0

incidência TM – reflexão total (c=30 ) campo magnético