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Robtica Prof. Reinaldo Bianchi 2012

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8 a Aula Parte A

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Objetivos desta aula n Controle de de Robs manipuladores: Relembrando controle Controle por Linear por Posio Controle no linear Controle por Fora. n Captulos 7, 9 e 11 do Livro do Craig.

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Introduo

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Controle de Manipuladores n Com o que j foi visto, agora temos os meios para calcular o histrico das posies de juntas que correspondem a movimentos desejados do manipulador. n Comeamos agora a discutir como fazer com que o manipulador realmente executar esses movimentos desejados.

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Controle Linear de Manipuladores n Controle Linear = o mais simples. A utilizao de tcnicas de controle linear vlida somente quando o sistema em estudo pode ser modelado por equaes diferenciais lineares. n Mas a dinmica dos manipuladores no linear Controle linear uma aproximao Muito usada na prtica industrial.

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Controle por realimentao Controlando um manipulador por feedback.

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Controle por realimentao n Um manipulador pode ser modelado como um mecanismo: com sensores em cada junta para medir o ngulo e um atuador em cada junta para aplicar um torque sobre o elo vizinho (prximo superior). n Corresponde maioria dos manipuladores industriais.

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Controle por realimentao n Visto que desejamos que as articulaes sigam uma trajetria prescrita, mas os atuadores so comandados em termos de torque, temos de utilizar algum tipo de sistema controIe para calcular os comandos que vo realizar o movimento desejado: Feedback control!

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Definindo o controle n O rob tem como entrada um vetor de torques das juntas,, vindo do sistema de controle. n Os sensores do manipulador permitem ao controlador ler um vetor de posies de juntas,, e de velocidades,. n Todos os sinais na figura representam vetores N x 1 (onde N o nmero de juntas).

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Sistema de controle

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Bloco de controle n Que algoritmo pode ser implementado no bloco control system? n Podemos utilizar as equaes do movimento, tratadas na aula de dinmica, para relacionar posio, velocidades e aceleraes com o torque:

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Basta isso? n Basta utilizar a equao do movimento para controlar o manipulador? Infelizmente no n Ento, precisamos relembrar teoria de controle

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Relembrar viver

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Sistemas Lineares de segunda ordem n Antes de considerar o problema de controle manipulador, vamos relembrar um sistema mecnico de simpIes: Sistema massa-mola n A figura a seguir mostra um bloco de massa m, ligado a uma mola de rigidez k e sujeitas ao atrito de coeficiente b.

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Sistema massa-mola

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n Um diagrama das foras agindo sobre o bloco conduz diretamente equao de movimento: n A soluo para a equao diferencial acima uma funo de tempo, x(t), que especifica o movimento do bloco Esta soluo depender das condies iniciais do sistema (posio e vel inicial).

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Soluo da equao n Do estudo de equaes diferenciais, sabemos que a soluo para uma equao desta forma depende das razes da sua equao caracterstica:

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Raizes da equao caracterstica n As raizes so: Onde s 1 e s 2 so os polos do sistema

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Polos n O local dos plos do sistema no plano real-imaginrio ira ditar a natureza do movimento no sistema: Real e diferentes: sistema superamortecido, frico domina. Real e iguais: sistema criticamente amortecido Raizes Complexas: sistema subamortecido, comportamento oscilatrio

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Solues para os sistemas n Cada um destes tipos possui uma soluo para a equae do movimento diferente. n A soluo desejada geralmente o sistema criticamente amortecido, pois o que leva a posio estvel mais rapidamente. n As 3 solues so descritas a seguir.

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Sistema com raizes reais e diferentes n A soluo dada pela equao: n Onde: s1 e s2 so dadas pelas equaes das raizes c1 e c2 so determinados a partir das condies iniciais.

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Sistema com raizes reais e diferentes

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Sistema com raizes complexas n A soluo se transforma (usando a formula de Euler para nmeros complexos) em: n Onde: a parte real, e a parte imaginria da soluo s1 e s2, e c1 e c2 so determinados a partir das condies iniciais.

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Sistema com raizes complexas

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n Outra forma comum de descrever sistemas de segunda ordem oscilatrios em termos de taxa de amortecimento e frequncia natural: n onde: a taxa de amortecimento e n a frequncia natural do sistema

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Sistema com raizes complexas n e n possuem relao com os componentes reais e imaginrios dos polos, sendo: n Em um sistema sem amortecimento, zero, e em um criticamente amortecido igual a 1

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Raizes reais e iguais n No caso onde n A equao fica: n E o resto continua igual.

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Raizes reais e iguais

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Sistema superamortecido

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Sistema criticamente amortecido

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Sistema subamortecido

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Controle de sistemas lineares de segunda ordem n Imaginem que o comportamento do sistema massa mola no o que desejamos n Por meio do uso de sensores, um atuador e um sistema de controle podemos modificar o comportamento de sistemas conforme o desejado.

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Controle de sistemas lineares de segunda ordem n Se temos um atuador, a equao de movimento fica: n Podemos propor uma lei de controle: onde a posio e velocidade so dadas por sensores, e kp e kv so os ganhos do sistema. Sistema regulador de posio.

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O sistema

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O controle

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A dinmica do sistema n Juntando as duas equaes, podemos derivar a equao de movimento do sistema: n ou n onde: b= b + k v e k = k + k p Amortecimento crtico obtido usando

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Fim do relembrar viver Voces j tiveram tudo isso, certo?

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Sistemas de Controle Particionado

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Particionamento da lei de controle n Podemos particionar um controlador em uma parte baseada em modelo e uma poro servo. n O resultado que os parmetros de sistemas (ou seja, m, b e k) aparecem apenas na parte baseada no modelo, e a parte de servo independente desses parmetros.

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Particionamento n Queremos decompor a lei de controle em duas partes. n Para tanto, usamos a fora como: n onde:

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Particionamento n Substituindo os valores de e , a nova lei de controle fica: n Mas como A lei de controle fica sendo: n Usendo esta metodologia, o ganho dado sempre por

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Sistema particionado

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Controle de posio seguindo uma trajetria

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Seguindo trajetrias n Ao invs de apenas manter o bloco em um local desejado, podemos projetar um controlador para que o bloco siga uma trajetria. A trajetria uma posio em funo do tempo, x d (t). O erro entre a trajetria atual e a desejada e(t) = x d (t) - x.

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Controle para seguir trajetrias n Uma lei de controle que faz o sistema seguir uma trajetria dada por: n Mas se usarmos um sistema particionado, fica: n ou

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Controlador seguidor de trajetria

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Controle de uma junta 1R

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Modelando e controlando uma junta. n Desenvolveremos um modelo simplificado de uma nica junta rotativa de um manipulador. Motor eltrico DC com engrenagem Inercia constante Baixa ressonncia Indutncia do motor pode ser discartada n Restries compatveis com robs industriais reais.

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Para modelar o Manipulador 1R n necessrio modelar diversos aspectos: Torque do motor Inrcia do sistema Oscilao do sistema.

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Torque de um motor DC n Geralmente, o torque produzido por motor indicado por meio de uma constante que relaciona a corrente no motor com o torque de sada: n Isto uma simplificao que ignora que o motor tem uma indutncia, que existem efeitos de gerao de energia com a velocidade, etc

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Inrcia de uma junta rotacional Em uma junta rotacional com engrenagem existe uma relao de transmisso ( ) que provoca um aumento no torque e a reduo da velocidade da junta:

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Junta com motor e reduo

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Equao de torque-inrcia n Uma relao entre os torques existentes, considerando o torque do motor, : n Onde: I m a inrcia do motor I a inrica da carga b m o coeficiente de frico viscoso do motor e b o da carga.

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Equao de torque-inrcia n Substituindo os valores de torque do motor e velocidade nesta equao, temos: O primeiro termo chamado de inrcia efetiva, e o segundo de amortecimento efetivo. Em um conjunto altamente reduzido ( >> 1) a inrcia do rotor do motor domina.

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Oscilao e ressonncia n Visto que decidimos no modeIar as flexibilidades estruturais do sistema, ns deve ter cuidadosos para no excitar estas ressonncias. Regra: se a mais baixa frequncia estrutural res, a frequncia mxima do sistema de controle deve ser:

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Finalmente n Para controlar uma junta 1R, utilizamos um Sistema de Controle Particionado, controlando torque em vez de fora. n Assim, temos: n e

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A equao de controle dinmico n A equao de controle dinmico em lao fechado fica: n E os ganhos so:

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Entenderam alguma coisa?

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E levando em conta alguma no linearidade?

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Atrito de Coulomb n Para a maioria dos manipuladores de hoje, o atrito da articulao modelado com mais preciso utilizando o modelo de Atrito de Coulomb: A frico linear descrita por A frico de Coulomb dada por

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Atrito de Coulomb

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Sistema no linear n A equao dinmica no linear fica: n E as equaes de controle:

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Exemplo: Pndulo Invertido (1R) n Considere um manipulador 1R: A massa est localizada em um ponto na extremidade do link. O momento de inrcia ento ml 2, O atrito da junta dada por atrito de Coulomb E h uma carga devido a fora da gravidade.

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Exemplo: Pndulo Invertido (1R)

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Soluo no linear para 1R n O modelo do manipulador n E a soluo de controle : n onde n E o controle

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E o controle do manipulador todo? Faltam poucos slides

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O Problema de controle de manipuladores genricos n Vimos que as equaes de Newton- Euler so solucionadas simbolicamente para um manipulador, elas geram ur resultado que pode ser escrito como: n Esta a equao de espao-estado do manipulador.

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Relembrando: Equaes de movimento M uma ( n x n ) matriz de massas do manipulador, com termos dependentes da acelerao. V um ( nx1 ) vetor de foras centrfugas e de Coriolis, dependentes da velocidade. G uma ( nx1 ) vetor que contm todos os termos dependentes da gravidade.

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Relembrando: Exemplo 5: manipulador 2R se torna

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Adicionando Atrito de Coulomb n Podemos adicionar um termo de frio nesta equao, tornando o sistema no linear: n Esta a equao de espao-estado do manipulador.

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O Problema de controle dos manipuladores n O Problema de controle dos manipuladores resolvido da mesma maneira, utilizando controle particionado como visto n Neste caso: n onde

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Controle dos manipuladores n A lei de controle servo : n Onde n E o sistema caracterizado pela equao: Onde os ganhos so calculados como sempre

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Controle do manipulador.

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E se quisermos controlar a fora que o manipulador aplica?

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Controle de fora n O controle de posio como visto at aqu pode ser extendido para controlar a fora que o rob aplica em alguma direo. n Controle hbrido: Um controlador para posio. Um para a fora aplicada.

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Controle de fora

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Controle hbrido posio/fora

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Concluso do Controle n Vimos que em certos casos simples, no dificil projetar um sistema de controle. n O controle de um manipulador conseguido usando esses metodos. n Regra: Reduza o problema a um sistema linear que pode ser controlado usando o servo linear com controle particionado.

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Fim