Revista Historia da Matematica Set2015

1 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), Ano 2, n. 2, Set. 2015

HISTÓRIA DA MATEMÁTICAPARA PROFESSORES

REVISTA

RHMP

Revista de História da Matemática para ProfessoresAno 2 – nº 2, Setembro de 2015

ISSN 2317-9546

EXPEDIENTESociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat)Presidente: Sergio Roberto NobreVice-presidente: Clovis Pereira da SilvaSecretário geral: Iran Abreu MendesTesoureiro: Bernadete Morey

Editoras ResponsáveisBernadete MoreyLigia Arantes Sad

Comitê editorialIran de Abreu MendesSergio Roberto Nobre

Comitê Científico- Antonio Carlos Brolezzi (USP)- Antônio Henrique Pinto (IFES)- Antonio Vicente Marafiotti Garnica (UNESP)- Carlos Henrique Gonçalves (USP-ABC)- Circe Mary Silva da Silva Dynnikov (UFES)- Giselle Costa de Sousa (UFRN)- Iran de Abreu Mendes (UFRN)- John Andrew Fossa (UFRN)- Luciele Maria Trivizoli da Silva (UEM)- Moysés Siqueira Filho (UFES)- Romélia Mara Alves Souto (UFSJ)- Rosa Sverzut Baroni (UNESP)- Sergio Roberto Nobre (UNESP)- Tércio Girele Kill (UFES)- Ubiratan D’Ambrosio (UNIBAN/USP)- Wagner Valente (USP)

ASSESSORIA

Projeto gráfico e DiagramaçãoFabrício Ribeiro

CapaEdilson Roberto Pacheco


SEÇÕES

Editorial ............................................................................................................... 5Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad

Diálogo com um educadorEntrevistado: Professor Jarbas da Silva Entrevistadora: Marina Gomes dos Santos

Histórias da Matemática

Artigo 1: De Morgan, Brougham e a SDUK: Matemática a Serviço da Religião ..................................................................... 23John A. Fossa

Artigo 2: A contribuição da geometria dinâmica na resolução geométrica de equações do segundo grau como proposto por Descartes ........................... 33Rony C. O. Freitas; Lauro Chagas e Sá; Vito Rodrigues Franzosi

Artigo 3: Legitimação de um discurso matemático: um estudo sobre a Geometria Hiperbólica ........................................................................................ 43Camila Libanori Bernadino; Juliana Martins; Marta Figueredo dos Anjos

Sugestões para sala de aula

Proposta 1: A matemática por trás da balestilha ............................................ 53 Ana Carolina Costa Pereira e Antonia Naiara de Sousa Batista

Proposta 2: A História da Matemática subsidiando contextos de abordagem para a resolução de problemas: o caso do “truque de Fibonacci” ...................65Tercio Girelli Kill e Andressa Cesana

Proposta 3: A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática como uma Lente Metodológica para o Estudo de Funções ..................................... 73Davidson Paulo Azevedo Oliveira; Milton Rosa; Marger da Conceição Ventura Viana

Merece ser lido, visto, divulgado

A abordagem historiográfica presente no livro “A História dos grandes matemáticos: as descobertas e a propagação do conhecimento através das vidas dos grandes matemáticos”................................................................................... 83Tiago Bissi


EDITORIAL

Caro leitor,

Em nome da Sociedade Brasileira de História da Matemática – SBHMat, temos a satisfação de trazer à luz o terceiro número da

Revista de História da Matemática para Professores (RHMP), o segundo número a sair em 2015.

Na sequência das seções damos continuidade a apresentação de um conjunto de textos para servir de reflexão e propostas aos leitores, especialmente aos professores interessados nas perspectivas de conheci-mento, indicação de fontes e articulação didática entre a Matemática e a História da Matemática.

O entrevistado neste número da RHMP na sessão Diálogo com um educador é o Prof. Jarbas da Silva, que tem uma experiência de mais de 30 anos no ensino básico, grande parte como professor de matemá-tica em escolas públicas. Ele traz em suas narrativas desafios inerentes ao dia a dia da profissão, instigante a muitos colegas professores que viveram ou conhecem realidade semelhante ou até bem diversa, inclu-sive sobre a utilização da História da Matemática em sala de aula.

A sessão Histórias da Matemática traz três artigos: o primeiro fala sobre a visão de De Morgan sobre a matemática e sua ligação com a religião; o segundo é sobre o uso de tecnologias como recursos didá-ticos na educação e, para isto, discute uma parte do trabalho do filósofo e matemático René Descarte; o terceiro artigo nos conta como vários matemáticos contribuiram para consolidar a geometria hiperbólica.

A sessão Sugestões para sala de aula apresenta três propostas: o primeiro artigo propõe introduzir trigonometria em sala de aula aliada à história das navegações nos séculos XV e XVI; o segundo aborda

6 RHMP, Natal (RN), Ano 2, n. 2, Set. 2015

resolução de problemas e a História da Matemática entra como subsí-dio; por último, o terceiro artigo examina atividades a partir da perspec-tiva sociocultural da História da Matemática para o estudo de funções.

E fechando o presente número temos a resenha do livro“A História dos grandes matemáticos: as descobertas e a propagação do conhecimento através das vidas dos grandes matemáticos”.

Ao pensar sempre em como tornar nossa revista mais completa e atrativa, abrimos aqui chamada para uma nova sessão: a Sessão de Problemas Históricos.

Renovamos nossa expectativa de que professores com experi-ências de sala de aula, relacionadas à História da Matemática, possam valorizar esta revista e torná-la cada vez mais significativa aos colegas leitores, aceitando o convite para submeter propostas que sejam perti-nentes às seções das futuras publicações.

Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad


DÍALOGO COM UM EDUCADOR

Entrevista com Professor da Educação Básica

1) RHMP [Professora entrevistadora]: Por favor, diga seu nome, a for-mação inicial e acadêmica.

JARBAS - Jarbas da Silva, tenho 51 anos, trabalho na educação há 31 anos, completei esse ano [2015]; bastante tempo. Não todo em Matemática.

Trabalhei uma época com Educação Física, uns 10 anos e, depois, pela oportunidade que tive, aproveitei e fiz faculdade de Matemática. Gostei muito. Foi no Centro Universitário São Camilo, em Cachoeiro de Itapemirim, na época outro nome (...) Madre Gertrudes de São José.


É uma Faculdade específica para formação de professores, e eu me dei muito bem por que... o jeito como lecionava já indicava que eu tinha essa habilidade, ou esse dom ou esse talento de ensinar. Então, foi só me aperfeiçoar.

2) RHMP - Inicialmente, por que Educação Física?

JARBAS - Interessante... Por que em 1983, quando eu estava me pre-parando para um novo trabalho, eu tinha terminado o Ensino Médio e tinha sido presidente do Grêmio naquele ano de 1982, e, a nossa diretoria, da qual eu fazia parte, fez um trabalho muito bom, voltado para a área esportiva e cultural. A diretora da escola EEFM “Antônio Acha”, que assumiu em 1983, desconfiou que eu sabia Educação Física. Então, me deu a oportunidade, me chamando para trabalhar com Educação Física, mesmo sem formação, até que um novo pro-fessor comparecesse.

Por isso que trabalhei alguns anos, e esse professor demorou uns 5 anos para aparecer. Enquanto isso, fui dando aula de vôlei, hande-bol... Aprendendo e ensinando, foi assim. Fiz uns cursos preparató-rios de fins de semana.

3) RHMP - E você começa a lecionar matemática antes da graduação ou depois que você termina?

JARBAS - Muito interessante essa pergunta, porque as coisas foram tão “casadinhas”... Em 1989 o prefeito da cidade, na época, Fernando Resende, ofereceu bolsa de estudos para quem quisesse se habilitar. E eu embarquei nessa.

Quando eu estava concluindo a primeira fase do curso de Licenciatura curta, ah... uma professora estava se aposentando em Matemática.


E o governo do Estado estava fazendo uma alteração no quadro do magistério. Pois eu sou do regime jurídico único. Que era uma cate-goria de professores que tinham sido contratados sem habilitação e depois foram se habilitando no decorrer da sua trajetória profissio-nal. E foi o meu caso!

Então veja que tudo coincidiu. O governo querendo efetivar aqueles do regime jurídico único na área em que eram habilitados, eu me habilitando em matemática, e uma professora de matemática se apo-sentando na escola, tudo no mesmo momento. Então foi muito legal!

4) RHMP - Isso tudo em Cachoeiro [cidade do sul do Espírito Santo]?

JARBAS - Mimoso do Sul. Porque eu morava em Mimoso do Sul, uma cidade que fica, aproximadamente, a 55 km de Cachoeiro. Uma cidade pequena (...)

5) RHMP - E esse tempo que você leciona tanto Educação Física quanto Matemática é lá em Mimoso?

JARBAS - Em Mimoso, (...) Ah, o tempo total, 25 anos. Porque já tem 7 que estou lecionando aqui [em Pinheiros, cidade do norte do ES].

Mas eu passei um período também na direção de escolas – 3 anos na direção EEEF “Professor Carlos Mattos”, e, 2 anos na EEEM “Elizabete Nazário Laurentino”, lá em Mimoso, e depois retornei para a docência, porque não tem jeito, é o meu caminho. (...)

6) RHMP - Me responde outra coisa a esse respeito, como você esco-lheu Matemática para sua graduação?

JARBAS - Como que foi essa escolha (risos)?


Outra pergunta também curiosa. Percebe-se que muitos alunos ainda hoje chegam na fila para uma inscrição de uma faculdade, e alguns ainda indecisos.

Eu, na época, foi tão rápida essa decisão de bolsa de estudo e o dia do vestibular, pois, fiquei sabendo muito em cima da hora. E eu escolhi o curso por uma simples graduação. Pelo fato de não ser graduado na época, não tinha Educação Física em Cachoeiro de Itapemirim. Então, eu tinha que pelo menos me habilitar em alguma coisa.

E eu escolhi no dedo assim: - Ma... mamãe mandou...

Aí olhei no folder de inscrição dos cursos... ah... tinha lá: Ciências para o primeiro grau, 3 anos. Que era um curso de licenciatura curta, voltada para Física, Química, Biologia e Matemática para Ensino Fundamental.

Mas quando comecei a fazer o curso, eu me identifiquei pela Matemática. E aí fui me concentrando mais em Matemática. Depois dos três anos, eu imediatamente já completei os dois anos de espe-cíficos de complementação de carga horária em Matemática. Logo em sequência, também formamos um grupo na minha turma para já fazer a Pós-Graduação. Daí meu curso de 3 anos, escolhido assim aleatório, acabaram virando 7 anos, entre Pós-Graduação e a com-plementação do curso.

7) RHMP - Você já falou um pouco sobre seu período na docência. Então, esse tempo que você passou lecionando tanto em Mimoso do Sul, quanto aqui em Pinheiros, em quais níveis de ensino?

JARBAS - Ensino Fundamental e Médio somente.


8) RHMP - Você falou um pouco sobre as motivações que te condu-ziram para sala de aula, que fizeram com que você escolhesse lecio-nar. Mas, só foi a questão dessa paixão pela Matemática? Ou existia também o viés da facilidade com relação a disciplina de Ciências Exatas, ou alguma outra coisa nesse sentido?

JARBAS - Não... Eu creio que foi mais, essa paixão mesmo; quanto mais eu ensinava a Matemática no Ensino Fundamental, e, ao mesmo tempo trabalhando com Ensino Médio. Porque eu tenho carga horá-ria de 50 horas. Então, eu tinha esse privilégio de poder escolher turmas de Ensino Fundamental, ao mesmo tempo trabalhar com Ensino Médio.

Ver essa relação bacana que existe entre os conteúdos lecionados no Ensino Fundamental e Ensino Médio, e as possibilidades. Poder pre-parar um aluno para exercer isso, para fazer isso funcionar... tanto na sua vida prática, onde muitos conteúdos de matemática tem uma aplicação muito direta no dia-a-dia do aluno, como também a possi-bilidade de sei lá, abrir possibilidades para que ele visse algo mais na frente, e refletir: “Não, eu posso investir em um curso que me permita usar esses conhecimentos”.

Até porque, a gente sabe, que ainda hoje, a maioria dos vestibulares, ainda são muito conteudistas. Isso tudo me motivou. Eu via outras disciplinas trabalhando textos, trabalhando interpretações, que eu acho que isso ajuda demais a Matemática, a Matemática também é interpretativa.

9) RHMP - Você falou aí do Ensino Fundamental e Médio. Você gos-tava de dar aula para algumas séries específicas no ensino funda-mental? Ou não?


JARBAS - Não, não... Eu inclusive tenho uma filosofia gosto de apli-car, é que eu sempre gosto de pegar séries diferentes. Ultimamente eu tenho trabalhado com 1º e 3º ano no “Nossa senhora de Lourdes”, porque ali só tem o Ensino Médio. Mas para ano que vem, por exem-plo, eu já estou planejando pegar 1º e 2º ano.

10) RHMP - Você me falou que trabalhou 31 anos, quantos dedica-dos a lecionar matemática?

JARBAS – 21 (vinte e um). Eu trabalhei 10 anos com Educação Física. Então, são 21 anos só com Matemática.

11) RHMP - É nessa escola de Mimoso do Sul que você trabalhava com Educação Física e foi trabalhar com Matemática?

JARBAS - Exato. Exato... Eu estudei lá, trabalhei lá, e... enfim quando eu saí de lá em 2007, foi diferente... Sair de uma escola que trabalhei tanto tempo.

12) RHMP - Quando inicia um assunto ou no processo de ensino de algum conteúdo, você enquanto docente privilegia alguma meto-dologia para ensinar? (Por exemplo: Aula expositiva, seguida de exercícios, Resolução de problemas, Jogos, História da Matemática, Etnomatemática)

JARBAS - Olha, eu já fui muito conteudista. Eu já fui muito exposi-tivo. Houve um momento na minha carreira... E a Formação da gente muitas vezes é assim né? (...) Pouco se fala em metodologias. Então uma boa parte disso vai da sua criatividade, da sua pesquisa, você vai ter que buscar isso quase que sozinho. E para que eu busque alterna-tivas, dependendo do assunto, é muito legal... Você levar o aluno pra rua, para ele ver primeiro. Geometria, geometria espacial, primeiro,


nós fomos para praça Baiana. Olhar as estruturas, olhar o modelo do jardim, olhar a fachadas das lojas. Fotografamos. Os próprios alunos montaram um trabalho deles, tentando falar na linguagem deles o que tinham visto, né? (...) Depois nós partimos para os termos e as definições matemáticas.

Mas, tem determinados momentos que não dá tempo de você fazer isso. Então você tem que ser mais específico, aula expositiva. (...) Em outros momentos, a gente tem na nossa escola um quadro digital, que permite você fazer algumas investigações.

Ahh... o Lied [Laboratório da escola] atualmente está desativado. Por falta dos profissionais que atuam lá direto para dar assistência da Internet na escola. Então, você observa que tem hora que não dá pra caminhar muito. Nossa escola tem alguns materiais didáticos, de jogos, por exemplo. Eu amo utilizar jogos como introdução de algum conteúdo, ou no momento em que o conteúdo está andando. Às vezes para fixar uma determinada situação.

O Ensino Médio hoje você tem que retomar muitas vezes temas do Ensino Fundamental. O menino está lá estudando, ah... função exponencial, mas você precisa retomar potenciação, propriedades de potenciação, retomar frações, entre outras coisas. Nesse momento, permite que você use um vídeo, que você use uma vídeo-aula. Eu por exemplo, gosto de utilizar uma estratégia onde os próprios alunos reapresentem algum tema que eles estudaram. Como temas revisão. 3º ano eu gosto demais de fazer isso em algum momento. Na questão da pergunta... Eu acredito que é necessário a gente estar com esse olhar assim:

-Qual é o momento certo? Todo o conteúdo eu preciso utilizar uma estratégia? Ah! eu vou usar jogos, eu tenho que usar jogos sempre?


Eu tenho que mostrar material na sala sempre? Eu acho que isso vai muito da sua criatividade. Da percepção em ver qual é o momento mais ideal para usar isso ou aquilo.

13) RHMP - Me chamou atenção quando você falou da questão des-sas vídeo aulas. Onde você se apoia nesse sentido?

JARBAS - As próprias editoras estão montando alguns materiais interessantes sobre isso, né? Infelizmente o livro que nós estamos usando, atualmente, a editora não tem esse programa ainda. Mas, eu me lembro de uma editora que fez uma proposta para gente ano passado, onde ela tinha um site disponível com aulas, com alguns materiais de apoio para aulas já gravadas. Existe alguns sites confi-áveis, né? Inclusive, os livros trazem uma relação de sites voltados para Matemática. Veja bem, hoje pra que você pesquise, existe muita fonte confiável. O que antes a gente ficava muito limitado, por que você só tinha livros, livros, livros... Hoje o mercado tá muito legal. É só você saber onde procurar. E saber selecionar também o material que você quer.

14) RHMP - Pelas recentes Diretrizes Curriculares Nacionais, com reflexos nas matrizes curriculares, há uma proposta para as escolas básicas ensinarem os alunos a compreender o que é ciência, qual a sua história e a quem ela se destina. Portanto, pensando na ciência matemática, você vê importância de pensar o que é a matemática e qual a sua história?

JARBAS - Com certeza. Eu creio que ensinar o conteúdo só pelo conteúdo é como você esquecer os grandes personagens, as grandes pessoas, e filósofos e matemáticos que gastaram seu tempo pesqui-sando e inovando, propondo sugestões para que a gente pudesse ter


acesso a informação, e ao mesmo tempo criar e redescobrir em cima daquilo que já estava ali.

Então, não dá para esquecer a História da Matemática, não dá para deixar de falar nos caras que colocaram lá “os ossinhos” organizados, as pedrinhas organizadas. A Matemática já estava lá impregnada de certa forma.

(...) Muitas vezes a gente fica preso a repassar conhecimentos, e mui-tas vezes nos falta essa oportunidade, talvez essa iniciativa de criar novas coisas, criar novas metodologias, ou criar novas soluções, buscar novas soluções. A gente vive um momento muito corrido. E aí acaba que você não tem muito tempo voltado para pesquisa, para investigação. Mas, volto afirmar que não podemos esquecer a História da Matemática. (...) As grandes descobertas que nós usu-fruímos e aperfeiçoamos hoje, elas partiram de uma ideia às vezes simples.

15) RHMP - Já utilizou a História da Matemática na abordagem ou explicação de algum conteúdo em sala de aula?

JARBAS - Olha essa pergunta ela é intrigante, porque ela me faz tam-bém refletir a minha prática. (...) Às vezes em alguns conteúdos, você fala de Pitágoras, você fala de Tales. Os próprios livros hoje já trazem um resumo. É o resumo, do resumo sobre essas pessoas. Parece que é para atender à necessidade, a demanda dessa nova geração, a coisa tem que ser em 5 linhas. Assim, já não se lê mais tanto Matemática.

Um aluno esses dias me surpreendeu quando ele disse: - Professor achei um livro lá sobre a História da Matemática. Ele mostrou qual era a espessura do livro. E ainda brincou: Já pensou se só a História da Matemática é isso aqui, imagine o resto da Matemática!


É uma prática que eu admito precisar investir um pouco mais nela. Admitindo já, que eu sei da necessidade, mas, ao mesmo tempo, a prática vai fazendo a gente deixar isso um pouco de lado. Você está tão preocupado por vezes com o menino aprender o básico, que você acaba esquecendo que talvez essa história possa até ajudá-lo, né?

16) RHMP - Nesse tempo que você leciona, percebeu alguma mudança nas diretrizes do ensino de matemática?

JARBAS - Se você for olhar do ponto de vista do conteúdo, não vejo nenhuma mudança. Não vi assim mudanças muito relevantes, mudanças importantes. Agora, a forma de se trabalhar isso, sim. O grau de dificuldade desse ou daquela diretriz, daquele conteúdo. A aplicabilidade dele. Hoje muitos conteúdos são ensinados quase que superficialmente.

Eu vou trabalhar Função Exponencial, simplesmente para que o menino aprenda a analisar um gráfico de Função Exponencial, para que veja o que é uma curva exponencial? E todas as outras coisas que estão caminhando junto com a Exponencial? E aí, certo cuidado que nós professores de matemática temos que ter, que eu creio que nós temos que criar até certa resistência quanto a isso. Criar até uma barreira: - Espera aí, espera um pouquinho... Não dá pra ensinar mate-mática assim.

Não dá pra ensinar ao menino função e ir pulando etapas. Função, definição de função, de repente eu já estou lá em análise de gráfico, daqui a pouco eu já estou lá em construção de gráfico, já estou lá em máximos e mínimos. E todo o resto da função? E toda análise que ele tem que fazer. Às vezes, o menino não sabe nem marcar pontos no plano cartesiano. Ele tem dúvidas ali, faz confusão entre x e y, e eu


vou abandonar isso, e ensinar como já se fazia há alguns anos atrás: -Vamos ensinar os macetes da Matemática?

Quantos alunos que conhecemos, e até professores de Matemática, que resolvem as coisas por macetes. E quando você busca a Matemática, quem está por traz daquilo ali, ele encontra uma certa dificuldade em representar isso, em analisar, matematicamente falando.

17) RHMP - Como você hoje percebe e ao longo da sua trajetória na docência, a questão dos livros didáticos? Como você analisa os livros didáticos que são recebidos pela escola para auxiliar o processo ensino aprendizagem pelos alunos?

JARBAS - Eu amo livros didáticos. Tenho uma coleção que é fantás-tica. Cada vez que uma editora chega na escola e me oferece, me pre-senteia com uma coleção, eu fico muito satisfeito, por que livros são essenciais. Eu tenho um profundo respeito pelos autores dos livros. Não são pessoas que escreveram ao seu bel prazer, há pesquisa ali, fundamentação, estratégia, cuidado com a relação que eu estava te falando a pouco.

Quando você vai para um livro didático, existe uma sequência didá-tica. Embora se diga que o livro, e eu acredito nisso também, não é a minha única fonte, o livro não é a minha cartilha de sala de aula. Mas, creio que um bom autor de um livro didático segue uma sequência didática, ele segue um caminho do aprendizado. Nenhum autor e nenhum professor faria isso, ensinar trigonometria sem antes ensi-nar Teorema de Pitágoras, sem antes passar pelas Relações Métricas, por Semelhança de Triângulos, ensinar o menino a entender essa relação lá dos ângulos de um triângulo, para depois a fundamentação de Trigonometria.


E a gente que tem ter uma sequência, uma didática a ser seguida, para o ensino de qualquer conteúdo de Matemática, você se sente meio que pressionado. Por que parece que o sistema quer que você dê conta disso tudo. Mas... e o tempo do aluno? Então, isso me pre-ocupa muito. Tenho uma certa resistência a isso. Por isso, eu sigo a minha programação, sigo os meus alunos, meus alunos estão enten-dendo o que eu estou falando? Eu não me preocupo se eu chegar ao fim do ano, e alguém me questionar assim: - Poxa, você não con-cluiu o programa, o Plano de Ensino que você organizou no início do ano. E a minha resposta é sempre a mesma: - Isso aqui era um Plano de Ensino. Plano de Ensino é uma coisa, realização de ensino é outra coisa.

18) RHMP - Eu lhe pergunto outra coisa, nos livros que você foi rece-bendo ao longo do tempo, como você vai percebendo a questão da História da Matemática presente ali? Como era antes e como você vê isso agora nos livros didáticos?

JARBAS - Eu vejo que, alguns livros enfatizam mais. Alguns autores antecedem por vezes um conteúdo falando um pouco da história. Alguns autores, até fazem uma relação dessa história com outros momentos da História, não da História específica de Matemática, mas com a História Geral. E outros autores são mais sucintos nisso. Sinceramente, eu tenho livros que os autores não falam nada sobre História da Matemática.

(...) Matemática e a sua relação com a Física, com a Biologia, com História, com Geografia, alguns conteúdos, e ao mesmo tempo da história. Você vai começar Trigonometria, tem lá um “capitulozi-nho”, um trechinho, falando sobre Pitágoras. Você tinha Funções, por exemplo, ali um pouco da história disso. Enfim, vai de autor pra autor.


19) RHMP - Pegando esse gancho, se hoje algum professor chegasse pra você e falasse: - Jarbas, eu preciso preparar uma aula utilizando História da Matemática. Você indicaria a esse professor fazer isso de que maneira? Como?

JARBAS - Nossa! Primeiro é pesquisar bastante, eu confesso. Vai depender do tipo de pessoa. Acho que se fosse uma pessoa que já está inserida nessa didática, nessa dinâmica da sala de aula, ele já teria certo conhecimento disso.

Se fosse um professor que eu percebesse que tem o meu estilo, eu ia dizer pra você assim: - Olha, vamos pesquisar! Pois tem algumas coisas que eu sinceramente, mesmo tendo 31 anos de magistério, e 21 anos de professor de matemática, não vou usando ali no dia-a-dia, e aí tem que pesquisar de novo. Acho que a sugestão que eu daria é essa.

Se você quer História da Matemática, vamos procurar alguns auto-res, vamos procurar alguns sites. Porque a facilidade que a gente tem hoje de informação ela é grande, muito grande. (...) Acho que o caminho seria esse. Alguém que fosse querer conhecer História da Matemática, a indicação que eu daria seria essa: - Olha, vamos pro-curar juntos. Por que se você me perguntasse agora assim: - Me fala sobre... Eu teria certa dificuldade, entendeu?

20) RHMP - Nos livros utilizados quando você iniciou sua carreira e alguns anos após, como você percebia a História da Matemática? Existia? Não existia? Nesses livros do início da década de 1990.

JARBAS - Não, existia muito pouco. Quando eu queria algo mais específico, eu tinha que buscar, mesmo em História da Matemática. Os livros didáticos são muito sucintos. Eu acredito também, que


seja pelo próprio fato de que se você for inserir muita História da Matemática, acaba ampliando muito a obra. Quando eu que-ria alguma coisa mais específica, estudar um autor, por exemplo, Pitágoras (....) tinha que buscar outras fontes específicas.

Se você me pedir para buscar na memória, realmente não tem um livro que você possa falar: - Não, esse livro aqui se eu quiser História da Matemática, eu posso usar esse livro por que ele tem uma história. Não! Você vai ter que buscar fontes alternativas mesmo.

RHMP - Jarbas quero agradecer, não vou tomar mais seu tempo não! Muito obrigada!

HISTÓRIAS DA MATEMÁTICA


••• Artigo 1 •••

De Morgan, Brougham e a SDUK: Matemática a Serviço da Religião

John A. Fossa

Quando pensamos nas relações entre a matemática e outras dis-ciplinas geralmente pensamos nas ciências e na tecnologia.

Ocasionalmente podemos lembrar-nos das relações entre a geometria e a arte (pintura), mas dificilmente atinamos para a influência da mate-mática sobre a filosofia ou a religião. No entanto, a referida influência tem sido de grande importância, como pode ser constatada, no pri-meiro caso, por Erickson e Fossa (2006) e, no segundo, por Koetsier e Bergmans (2005). No presente trabalho, apresentaremos um exem-plo, do século XVIII, desta relação que não foi abordado em Koetsier e Bergmans (2005). Trata-se do pensamento de Augustus de Morgan e Henry Peter Brougham em referência à Sociedade para a Propagação de Conhecimento Útil (SDUK – Society for the Diffusion of Useful Knowledge).


De Morgan

Augustus De Morgan (Figura 1) nasceu, em 1806, em Madura no sul da Índia, onde seu pai, John De Morgan, era um coronel no exér-cito inglês. A família voltou para a Inglaterra quando De Morgan tinha sete meses de idade. Sofreu bullying na escola, devido ao fato de que havia perdido um olho e não podia participar nas brincadeiras dos outros alunos. Certo dia, contudo, pôs fim ao problema, dando uma surra num dos seus atormentadores. Formou-se na Universidade de Cambridge, em 1827, mas parecia que não poderia continuar na car-reira acadêmica, devido a escrúpulos religiosos. De fato, embora os pais fossem evangélicos convictos, De Morgan simpatizava com os unitaria-nos, um grupo dissidente cuja marca principal era a negação da Trindade de Deus. Era necessário, para continuar em Cambridge, jurar fidelidade aos 39 artigos da igreja anglicana e, visto que não podia fazer o jura-mento em sã consciência, decidiu entrar na profissão de direito.

Foi, no entanto, exatamente nesta época que se fundou uma nova universidade “secular”, a Universidade de Londres. De Morgan, recém-graduado e com apenas 21 anos de idade, venceu o concurso aberto pela nova instituição e, em 1828, foi contratado como o primeiro

Figura 1. Augustus De MorganFonte: O’Connor e Robertson (1996).

Figura 2. Henry BroughamFonte: Wikipedia (2013).


De Morgan

Augustus De Morgan (Figura 1) nasceu, em 1806, em Madura no sul da Índia, onde seu pai, John De Morgan, era um coronel no exér-cito inglês. A família voltou para a Inglaterra quando De Morgan tinha sete meses de idade. Sofreu bullying na escola, devido ao fato de que havia perdido um olho e não podia participar nas brincadeiras dos outros alunos. Certo dia, contudo, pôs fim ao problema, dando uma surra num dos seus atormentadores. Formou-se na Universidade de Cambridge, em 1827, mas parecia que não poderia continuar na car-reira acadêmica, devido a escrúpulos religiosos. De fato, embora os pais fossem evangélicos convictos, De Morgan simpatizava com os unitaria-nos, um grupo dissidente cuja marca principal era a negação da Trindade de Deus. Era necessário, para continuar em Cambridge, jurar fidelidade aos 39 artigos da igreja anglicana e, visto que não podia fazer o jura-mento em sã consciência, decidiu entrar na profissão de direito.

Foi, no entanto, exatamente nesta época que se fundou uma nova universidade “secular”, a Universidade de Londres. De Morgan, recém-graduado e com apenas 21 anos de idade, venceu o concurso aberto pela nova instituição e, em 1828, foi contratado como o primeiro

Figura 1. Augustus De MorganFonte: O’Connor e Robertson (1996).

Figura 2. Henry BroughamFonte: Wikipedia (2013).

Professor de Matemática da Universidade de Londres. Em 1831, porém, a Universidade demitiu o Professor de Anatomia sem explicação e De Morgan, indignado com tal procedimento, se demitiu. Foi, contudo, recontratado em 1836, depois de averiguar que a Universidade tinha reformado seus estatutos de forma satisfatória. Ficaria na Universidade de Londres para mais 30 anos, onde se dedicou à Matemática, à Lógica e à Educação Matemática. Faleceu em 1871 depois de alguns anos de enfraquecimento gradual.

Brougham e a Fundação da SDUK

Henry Peter Brougham nasceu, em 1778, em Edimburgo, na Escócia. Formou-se na Universidade de Edimburgo, onde ficou encan-tado com a matemática. Mesmo assim, estudou as humanidades e a filo-sofia, exerceu, por pouco tempo, a profissão de advogado e entrou na política, sendo eleito ao parlamento em 1810, em oposição ao governo. Através da sua habilidade em defender tais propostas como a abolição da escravidão e o fortalecimento da liberdade da imprensa, sua influ-ência cresceu bastante e, em 1830, foi designado, pelo Rei William IV, Lorde Chanceler. A posição é a segunda mais poderosa no gabinete inglês, pois o Chanceler é responsável pelo sistema judiciário e ainda, no século XIX, era presidente da Câmera dos Lordes. Manteve a referida


posição até 1834. Voltou ao parlamento por alguns anos, mas eventual-mente se dedicou a uma vida literária, escrevendo muitas crônicas para tais revistas como a Edinburg Review. Faleceu em 1868.1

Como vários outros pensadores da época, Brougham estava preocupado com a moralidade do povo inglês. Para melhorar a situa-ção, concebeu a formação de uma sociedade que forneceria materiais baratos, adequados para a autoinstrução, para os operários ingleses. O referido material, contudo, não rezaria sobre questões éticas e religiosas, mas sobre a matemática e a ciência, pois Brougham acreditava que a ciência, eleva o cientista do mundano para o divino.

Para efetuar seu plano, Brougham precisava de colaborado-res que confeccionariam o material proposto. Felizmente, ele também estava envolvido na organização da nova Universidade de Londres, onde De Morgan já estava enfrentando, segundo Richards2 (2002, p. 139), “o desafio fundamental ... de achar maneiras de redefinir a razão de forma que a compreensão religiosa pudesse ser separada de outros tipos de conhecimento”. Assim, a aliança entre Brougham e De Morgan foi quase inevitável; de fato, De Morgan se tornou um dos principais escritores da SDUK, produzindo, por exemplo, mais do que 850 artigos somente para a Penny Cyclopaedia, uma publicação da referida sociedade.

Antes de investigar mais cuidadosamente as ideias de Brougham e De Morgan sobre a relação entre a matemática e a religião, devemos observar que a caracterização da Universidade de Londres feita por Richards e citada no parágrafo anterior, não é completamente correta. Quando essa Universidade era chamada uma instituição “secular”, a intenção não era apontar para o afastamento dela da religião (que, aliás, não seria consoante com as ideias de Brougham e De Morgan), mas apenas o afastamento dela de uma ligação mais estreita com a igreja anglicana. De fato, Sophia De Morgan (2010, p. 25) indicou que a

1 Os dados sobre a vida de Brougham foram retirados de Hunt (2011).2 Todas as citações no presente trabalho são traduções minhas.


Universidade era, em primeiro lugar, para os “judeus e Dissenters3” e, em segundo lugar, para alunos de famílias que não podiam arcar com os custos das universidades tradicionais. Assim, não se trata da ausência da religião, mas da tolerância de várias formas de religião.

Matemática e Religião

Já vimos que a ideia básica de Brougham e De Morgan foi a de que a matemática e a ciência elevam o homem do mundano para o divino. Em si, a referida ideia era muito comum na história da huma-nidade, sendo compartilhada, por exemplo, pelos antigos pitagóricos e sendo também à raiz da prova cosmológica da existência de Deus. Assim, devemos investigar um pouco mais como a ideia básica foi ela-borada pelos dois mencionados pensadores ingleses. Phillips (2005) resume o pensamento deles nos seguintes termos:

1. A matemática revela a perfeição de Deus.

2. A matemática é prazerosa e, portanto, moralmente correta.

3. A matemática revela a glória de Deus.

Explicaremos cada um desses conceitos a seguir.

1. A matemática revela a perfeição de Deus.

A matemática é conhecimento perfeito, absolutamente claro e indubitável. Mas, toda a perfeição tem como fonte Deus, o ser perfeito. Portanto, o raciocínio racional é uma maneira de participar na perfeição divina. De Morgan insistiu sobre esse ponto em várias das suas produ-ções para a SDUK. Em De Morgan (1830, p. 2), por exemplo, ele afirma que “hábitos de investigação e julgamento apurado são mais úteis do que o conhecimento de qualquer fato”. Na verdade, ele continua, a

3 Isto é, cristãos que, como os unitarianos, não eram membros da igreja anglicana.


matemática seria útil mesmo se não tivesse qualquer aplicação prática, pois sua verdadeira utilidade consiste no fato de que promove o pensa-mento racional.

É interessante ver como a questão religiosa afetava a controvér-sia sobre os números negativos. Os anglicanos do século XIX, de modo geral, aceitavam os números negativos porque, como algo inexplicá-vel, refletiam, para eles, os mistérios de Deus. Nessas alturas, o prin-cipal defensor do repúdio aos números negativos era William Frend (1757-1841), sogro de De Morgan. Como unitariano, Frend rejeitava os números negativos, pois, como sendo menores do que o nada, eram inin-teligíveis. Assim, rejeitava o mistério dos números negativos da mesma forma em que rejeitava o mistério da Trindade. De Morgan, porém, um dos maiores matemáticos do seu tempo, não conseguia rejeitar os negativos, mas aceitava a rejeição de Frend de tudo que era “misterioso”. Assim, ele se empenhava, em De Morgan (1910), por exemplo, a fazer uma explicação absolutamente clara e racional dos referidos números.

2. A matemática é prazerosa e, portanto, moralmente correta.

Uma das mais importantes teorias éticas do século XIX era a de utilitarismo. Segundo a referida teoria, o moralmente correto é o que proporciona o maior prazer para o maior número de pessoas. O maior prazer, no entanto, para, entre outros, Brougham e De Morgan, era o que resultava do pensamento racional. De Morgan (em Anderson, 2006, p. 6) afirmou que “... os poderes de raciocínio, que todo mundo precisa usar para distinguir entre o certo e o errado, não são adequados para esse fim, a não ser que o hábito de usá-los corretamente tenha sido for-mado previamente”. Quando o referido hábito estiver alcançado, porém, o homem sentirá o prazer em racionalmente discernir o que é moral-mente correto, o que, por sua vez, promove comportamento moral.


3. A matemática revela a glória de Deus.

Finalmente, a matemática nos ajuda a compreender a obra de Deus, ou seja, a criação. Isto proporciona ao homem a possibilidade de estabelecer relacionamentos apropriados com o próprio Deus e com a sua criação, infundindo, assim, a sua vida com o sagrado.

Conclusão

Em todo seu trabalho de Educação Matemática, De Morgan enfatizou que a matemática não é um conjunto de fatos, mas um pro-cesso de pensamento. É nesse sentido que a matemática é verdadeira-mente útil, pois eleva o homem do mundano para o divino, no sentido de que ele é levado a

1. pensar como Deus,

2. regozijar como Deus

3. e viver como Deus.

Desta forma, a religião fará parte da vida do homem no seu dia a dia, não como uma doutrina imposta por uma seita ou outra, mas como uma presença divina que regerá sua vida.4

Referências

ANDERSON, Ronald. Augustus De Morgan’s Inaugural Lecture of 1828. The Mathematical Intelligencer, v. 28, p. 19-28. 2006. [Contém transcrito do discurso de De Morgan.]

4 Agradeço à colega Enne Karol Venâncio de Sousa pelas sugestões referentes à correção gramatical do presente trabalho.


DE MORGAN, Augustus. Remarks on elementary education in Science. 1830. Disponível em <www2.bc.edu/anderso/demorgan.1828/a.demorgan.1830.html>. Acesso em: 14/02/2014.

______. On the Study and Difficulties of Mathematics. Chicago: Open Court, 1910. [Originalmente 1831.]

DE MORGAN, Sophia Elizabeth. Memoir of Augustus De Morgan. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. [Originalmente 1882.]

ERICKSON, Glenn W.; FOSSA, John A. A Linha Dividida: Uma Abordagem Matemática à Filosofia Platônica. Rio de Janeiro: Relume Dumará, 2006.

HUNT, William; BROUGHAM, Henry Peter. Dictionary of National Biography, v. 6. 2011. Disponível em <en.wikisource.org/wiki/Brougham,_Henry_Peter_(DNB00)>. Acesso em: 14/02/2014. [Originalmente 1895-1900.]

KOETSIER, T.; L. BERGMANS, Eds. Mathematics and the Divine. Amsterdam: Elsevier, 2005.

PHILLIPS, Christopher. Augustus De Morgan and the propagation of moral mathematics. Studies in the History and Philosophy of Science, v. 36, p. 105-133. 2005.

O’CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. Augustus De Morgan. 1996. Disponível em <www-history.mcs.st.andrews.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html>. Acesso em: 14/02/2014.

RICE, Adrian. Inspiration or desperation? Augustus De Morgan’s appointment to the chair of mathematics at London University in 1828. British Journal for the History of Science, v. 30, p. 257-274. 1997.

RICHARDS, Joan L. “In a rational world all radicals would be exterminated”: Mathematics, logic and secular thinking in Augustus De Morgan’s England. Science in Context, v. 15, p. 137-164. 2002.


STEPHEN, Leslie. De Morgan, Augustus. Dictionary of National Biography, v. 14. 2012. Disponível em <en.wikisource.org/wiki/De_Morgan,_Augustus_(DNB00)>. Acesso em: 14/02/2014. [Originalmente 1895-1900.]

WIKIPEDIA. Henry Brougham, 1st Baron Brougham and Vaux. 2013. Disponível em <en.wikisource.org/wiki/Henry_Brougham,_1st_Baron_Brougham_and_Vaux>. Acesso em: 14/02/2014.


••• Artigo 2 •••

A contribuição da Geometria Dinâmica na Resolução

Geométrica de Equações do Segundo Grau como proposto por Descartes

Rony C. O. Freitas (Instituto Federal do Espírito Santo) Lauro Chagas e Sá (Instituto Federal do Espírito Santo)

Vito Rodrigues Franzosi (Instituto Federal do Espírito Santo)

Introdução

Há algum tempo que o uso de tecnologias como recursos didá-ticos na educação tem sido objeto de estudos e pesquisas, seja

por causa do caráter motivador que esse uso tem sobre os estudantes, ou por poder introduzir novas formas de ensinar e aprender, haja vista, por exemplo, as mudanças incorporadas pelos softwares de geometria dinâmica. Contudo, a lenta inserção desses novos artefatos nas escolas, acrescida de dificuldades encontradas por professores, sobretudo por questões metodológicas, tem dificultado o processo de incorporação das tecnologias na educação. Isso tem levado a mudanças relativamente modestas na prática docente, que continua mergulhada em métodos tradicionais de ensino, os quais dificultam a inserção da tecnologia de forma a motivar a criatividade dos estudantes.


Os programas gráficos de Geometria Dinâmica fornecem ao professor meios ativos para abordar e explorar conceitos importan-tes como o comportamento de funções e seus gráficos. House (1995) defende que o efeito dessa mudança se fará sentir não apenas nas classes de matemática da escola secundária, mas também nos níveis anterio-res, no currículo pré-algebra, ou até na escola elementar. Alunos que planejam um fluxograma ou programam um algoritmo, que coletam dados para organizar com eles uma tabela, que acham o valor de uma expressão variável com o computador, ou que formulam perguntas “E se...”, como “E se mudasse o argumento da função?” ou “E se mudasse a hipótese para?” estão lançando fundamentos importantes para o estudo da álgebra. McConnell (1995) e Flanders (1995) também apontam que a influência da tecnologia se fará sentir tanto no currículo como no pro-cesso educacional.

O GeoGebra1 é um software de Geometria Dinâmica que rela-ciona geometria, álgebra e cálculo. Ele foi desenvolvido principalmente para o ensino e a aprendizagem da matemática nas escolas básicas e secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University. O GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica que permite construir vários objetos: pontos, vetores, seg-mentos, retas, secções cônicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinami-camente. Ainda assim, equações e coordenadas podem ser introduzidas diretamente com o teclado. As contribuições do GeoGebra permitem abordagem de diversos temas, paralelogramos (MENEGOTTO; DE LARA, 2011), cálculo diferencial e integral (RICHT et al., 2012) e até mesmo trigonometria (LOPES, 2011).

Trazemos nesse texto a proposta de uma atividade que faz uso do GeoGebra para discussão de álgebra, utilizando como contexto a

1 Para fazer o download do GeoGebra, acesse http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download


história da Matemática, mais especificamente a proposta de resolução geométrica de equações de segundo grau.

Pressupostos teóricos

Uma reflexão sobre a utilização da História na Educação Matemática nos conduz a uma escolha teórica. Os pontos de vista são variados e dependem da visão que cada professor e pesquisador tem da História e dos valores que estão presentes nesta metodologia. Dynnikov e Sad (2007) apresentam três opções para o emprego de fontes históri-cas em sala de aula: de modo factual, de modo processual e como fonte de significado. Neste último modo de se utilizar da História em sala de aula, que nos orienta metodologicamente, o papel das fontes históricas é produzir significados em meio às próprias experiências dos alunos, proporcionando, principalmente, uma ampliação da maneira com que eles entendem e lidam com a Matemática.

No âmbito curricular, respaldamo-nos nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), que defendem que a História da Matemática é uma rica fonte de experiências e produções humanas, que oportuniza um diálogo entre práticas atuais e fontes his-tóricas originais:

A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista como um elemento importante no processo de atribuição de significados aos conceitos mate-máticos. É importante, porém, que esse recurso não fique limitado à descrição de fatos ocorridos no passado ou à apre-sentação de biografias de matemáticos famosos. A recupera-ção do processo histórico de construção do conhecimento pode se tornar um importante elemento de contextualização dos objetos e de conhecimento que vão entrar na relação didática. (BRASIL, 2006, p. 86)


Quanto ao uso de tecnologias, destacamos que a informática pode contribuir para o cenário de ensino em diferentes situações. A sua utilização no contexto da Matemática é particularmente motivada por algumas facilidades, como capacidade computacional, visualização gráfica, cálculos algébricos, descoberta e confirmação de propriedades, possibilidades de executar experimentos com coleta de dados e modela-gem de problemas, especulações, entre outros.

As potencialidades tecnológicas podem ser notáveis se estru-turadas para realizar situações de aprendizagem significativas que envolvem ativamente os alunos no processo de construção do conhe-cimento, estimulando sua curiosidade, encorajando-os a explorar, des-cobrir, experimentar e provar os caminhos percorridos para encontrar a solução.

Gravina e Santarosa (1998) enfatizam que as tecnologias ajudam e aceleram o processo de construção do pensamento matemático.

O suporte oferecido pelos ambientes não só ajuda a supe-ração dos obstáculos inerentes ao próprio processo de construção do conhecimento matemático, mas também podem acelerar o processo de apropriação de conhecimento. (GRAVINA; SANTAROSA, 1998, p. 21).

Nesse cenário, propomos uma adequação do processo de reso-lução de equações polinomiais do segundo grau de Descartes a uma construção no software GeoGebra. Essa transposição é defendida por Mendes (2009), quando afirma que as informações históricas podem passar por “adaptações pedagógicas que, conforme objetivos almejados, devem se configurar em atividades a serem desenvolvidas em sala de aula” (idem, p.109).


Discussão da resolução proposta por Descartes

A atividade que discutiremos neste trabalho foi proposta origi-nalmente por René Descartes (1596-1650) no livro A Geometria, que foi publicado primeiramente como um apêndice de O Discurso do Método, em 1637. Essa obra é considerada um marco na história da Matemática e faz com que muitos considerem Descartes como o pai da Geometria Analítica, embora outros atribuam esse feito a Fermat (1601?-1665). Descartes dividiu A Geometria em três livros: Livro primeiro: Dos pro-blemas que podem ser construídos sem usar mais do que linhas retas e círculos. Livro segundo: Da natureza das linhas curvas. Livro terceiro: Da construção de problemas sólidos e supersólidos. A atividade aqui apresentada pode ser encontrada no Livro primeiro, que fala como as operações aritméticas se relacionam com operações geométricas, utili-zando apenas régua e compasso.

Descartes consegue aproximar álgebra e geometria ao propor a resolução de equações utilizando esquemas geométricos, o que denomi-nou “problemas planos”, aqueles que poderiam ser resolvidos utilizando nada mais do que segmentos de reta. Ele parte de equações algébricas de segundo grau e mostra como achar suas raízes geometricamente. Os problemas considerados por Descartes nessa categoria são todos aque-les que podem ser reduzidos à expressão z2 = az ± b2 (com a > 0 e b > 0) descartando as raízes negativas (chamadas de falsas) não consideradas por ele e pela maioria dos autores de sua época.

Para analisar as resoluções de Descartes, podemos classificar as equações em dois grupos, que podem ser escritas nas formas z2 = az + b2

e z2 = – az + b2 ou z2 = az – b2. Observe que as equações do tipo z2 = – az – b2 não estão contempladas. O motivo da exclusão desse tipo de equa-ções pode ser encontrado quando se as escreve na forma mais tradicio-nal, ou seja, como z² + az + b² = 0 e, a partir daí, se analisam os sinais de suas raízes. Sabemos que o produto e a soma das raízes dessa equação podem ser expressos como b2 e -a, respectivamente. Como premissa


básica, dada no parágrafo anterior, a e b são coeficientes positivos, o que implica que o produto das raízes seja positivo – tendo, portanto, sinais iguais – e que a soma seja negativa. Assim, podemos concluir que as raízes das equações do tipo z2 = – az – b² não são contempladas por serem todas negativas, o que é inviável em uma construção geométrica, pela impossibilidade de se trabalhar com medidas negativas.

A solução do primeiro tipo de equação (z2 = az + b2) foi assim descrita por Descartes:

Esta raiz ou linha desconhecida pode ser facilmente encon-trada. Eu construo um triângulo retângulo NLM com um cateto LM, igual a b, a raiz quadrada da quantidade conhe-cida b2, e o outro cateto, LN, igual a a

21 , isto é, a metade

da outra quantidade conhecida que estava multiplicada por z, a qual eu suponho ser a linha desconhecida. Então pro-longando MN, a hipotenusa desse triângulo, até o ponto O, encontramos a linha OM, onde OM é a linha procurada z. Ela se expressa dessa maneira: 22

41

21 baaz ++= (BOYER,

1974, p. 245).

A tradução do que foi dito por Descartes em desenho pode ser feita utilizando GeoGebra de acordo com as seguintes orientações:

• ConstruaumsegmentoderetaLM(equivalenteaovalordeb);

• PelopontoL,construaumaretaperpendicularaosegmentob;

• ObtenhaumpontoNsobreareta;

• CrieumacircunferênciacomcentroemNeraioNL;

• CrieumsegmentoNL(equivalenteaovalorde 2a

);

• TraceumaretadefinidapelospontosMeN;


• Definaas interseçõesentrea retaMNeacircunferênciaNLechame o ponto mais distante de M de O;

• CrieosegmentoMO(equivalenteaovalordez–raizpositiva–única aceita);

• Escondaasduasretascriadas(cliquecomobotãodireitosobrecada uma delas, escolha Propriedades e desmarque o quadrinho na frente de Exibir Objeto);

• Meça os segmentosNL, LM eMO (basta ir em propriedadespedir para Exibir Rótulo - Nome & Valor).

A construção deverá ficar como a Figura 1 mostrada a seguir:

Figura 1 – Solução Geométrica

Fonte: acervo dos autores


Por meio do desenho, é possível justificar que a medida do seg-mento MD é a raiz positiva da equação dada, uma vez que, geometrica-mente, é possível mostrar que essa medida pode ser expressa como

22

41

21 baaz ++=

.

Algumas conclusões

As equações quadráticas propostas por Descartes relacionam a geometria e a álgebra e nos fazem refletir sobre a contribuição da abor-dagem simultânea desses dois campos. Nesse sentido, a geometria dinâ-mica torna-se um importante meio através do qual se dá essa relação.

A oportunidade de manipulação promovida pelos softwares de geometria dinâmica contribui para que alunos se coloquem em posição ativa no processo de ensino e aprendizagem, despertando o interesse e a curiosidade. Além disso, por meio de atividades como a exposta neste trabalho, os alunos podem atribuir novos significados aos cálculos tra-dicionais com equações quadráticas, que muitas vezes são maçantes e mecanicamente realizados.

Neste trabalho, fizemos uso do software GeoGebra, mas há outros aplicativos livres, como DrGeo, CarMetal e Tabulae, que tam-bém permitem esse tipo de manipulações e que estão disponíveis para download na internet.

Referências

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BRASIL. Orientações curriculares para o Ensino Médio: Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEF, 2006.

DYNNIKOV, C. M. S. S.; SAD, L. A. Uma abordagem pedagógica para o uso de fontes originais em História da Matemática. Guarapuava: SBHMat, 2007.


FLANDERS, H. Softwares para álgebra: o que devem ser? In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs.). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p. 171-174.

HOUSE, P. A. Reformular a álgebra na escola média: por que e como? In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs.). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p.1-8.

LOPES, M. M. Potencialidades do software geogebra no ensino e aprendizagem de trigonometria. In: III Encontro Regional de Educação Matemática. 2011. Mossoró-RN. Anais. Mossoró, 2011.

McCONNELL, J. W. Tecnologia e álgebra. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs.). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p. 162-170.

MENDES, I. A.. Atividades Históricas para o ensino de Trigonometria. In: MIGUEL, A.. et. al. História da Matemática em Atividades Didáticas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009, pp 105-178.

MENEGOTTO, G.; DE LARA, I. C. M. Contribuições do Software Geoalgebra Para o Estudo de Paralelogramos. ALEXANDRIA Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.4, n.2, p.31-55, novembro 2011. Disponível em: <http://alexandria.ppgect.ufsc.br/files/2012/03/Giuliana.pdf>. Acesso em: 20 set. 2012.

RICHIT, A. et al. Contribuições do software GeoGebra no estudo de cálculo diferencial e integral: uma experiência com alunos do curso de geologia. Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo, v. 1, p. 90-99, 2012. Disponível em: <http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/article/view/8385>. Acesso em: 29 set. 2012.


••• Artigo 3 •••

Legitimação de um discurso matemático: um estudo sobre

a Geometria Hiperbólica

Camila Libanori Bernardino Juliana Martins

Marta Figueredo dos Anjos

Pensando o processo de legitimação de um discurso matemático

Ao negar uma visão de progresso científico ou progresso da razão, de superioridade do presente em relação ao passado, Foucault

revoluciona a história (VEYNE, 1995). De fato, Foucault apresenta a atividade histórica como inquietações de um olhar do presente. Busca por meio delas um estudo das práticas sociais em sua descontinuidade histórica, mergulhadas em relações de poder e produzidas discursiva-mente, e ao mesmo tempo, desta forma produtoras de discursos e de saberes (FISCHER, 2001).

Na história da matemática podemos ter acesso a vários exemplos que nos apresentam possibilidades de discussão a respeito das relações de poder estabelecidas na consolidação de um discurso matemático.Relações essas que, seguindo as discussões apresentadas por Foucault, atravessam as esferas políticas, econômicas e sociais. Nessa perspectiva, as forças atuam nas relações, entre indivíduos e grupos, de maneira sutil e móvel e dificilmente são percebidos pelos seus próprios agentes. A


própria tentativa de lançar o olhar sob o passado também é impregnado de ações que atuam como agentes de forças que forjam uma interpreta-ção dos acontecimentos.

Cientes desses pressupostos teóricos, assumimos o fazer histó-rico como possibilidades de compreensão do presente e como elemento provocador de discussão a respeito da construção de critérios que legi-timam um discurso na matemática.

Para Clareto e Fernandes (no prelo)o processo de legitimação passa por um inevitável jogo de negociações que envolve processos socioculturais, políticos, epistemológicos, históricos e pedagógicos. Assim, para um exercício que se destina a identificar algumas forças que atuam na consolidação de teorias matemáticas, examinaremos como se estabeleceu o discurso da geometria hiperbólica, no campo de pesquisa em matemática.

O caso da geometria hiperbólica

O discurso matemático construído diante da geometria de Euclides, ou, geometria Euclidiana, foi construído e continuamente reforçado, ao longo de muitos séculos, como exemplo de perfeição em matemática. Seu caráter dedutivo e a exposição pelo modelo axiomático a tornou, sem dúvida, um dos campos mais tradicionais na história da matemática. Essa geometria, forjada sob a filosofia platônica, tornou-se a base inquestionável e segura da matemática. Entretanto, em muitos momentos ao longo dos séculos, a estrutura e base sólida apresentadas por Euclides na obra Os Elementos (escritopor volta de 300 a.c) foram questionadas.

Nesse texto Euclides procura escrever a matemática de modo dedutivo, partindo das definições, postulados e noções comuns, ou seja, todas as afirmações não questionadas, para demonstrar as proposições. No todo a obra possui 465 proposições distribuídas nos treze livros que compõe Os Elementos (EVES, 2011).


Comenta-se que os questionamentos iniciaram-se na própria época de Euclides, quando os matemáticos não entenderamse o 5º pos-tulado do Livro I decorria das afirmações anteriores, sendo que sua própria escrita já se apresentava mais complexa do que as dos demais. Desse modo, a incapacidade de dedução, seguida de tentativas incan-sáveis de demonstração do famoso postulado das paralelas a partir dos quatro postulados anteriores, ocasionou o desenvolvimento de outras geometrias. Vejamos o que diz o quinto postulado:

E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângu-los interiores e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontra-rem-se no lado no qual estão os menores do que dois retos (EUCLIDES, 2009, p. 98)

Ocorre que até o século XVII as forças que atuaram na manu-tenção da ordem estabelecida do discurso da geometria euclidiana sobressaíram-se diante daquelas que causavam algumas inquietações.

Embora já se evidenciasse nesse episódio forças reacionárias, o momento histórico, o modo de existir e de fazer pesquisa estavam for-temente influenciadas pela filosofia Kantiana, isto é, as forças atuantes nos espaços acadêmicos mais importantes estavam impregnadas dessa forma de ver e de fazer pesquisa. Tal filosofia apoiava-se na geometria euclidiana, até então tida como verdade absoluta, além disso, conforme Barone (2011, p. 14), tais ideias foram absorvidas pela Igreja Romana e, devido a Inquisição, qualquer manifestação contrária à filosofia domi-nante poderia ser perigosa.

Nessa perspectiva, vozes destoantes ao tradicional podem nos fornecer indícios de composição de elementos que atuaram contra aquele discurso estabelecido.

Uma dessas vozes foi Girolamo Saccheri (1667 - 1733), um dos primeiros a investigar cientificamente o postulado das paralelas. De


acordo com Eves (2011), Saccheri ao ler Os Elementos se encantou com o poderoso método de reductio ad absurdum e, assim, teve a ideia de aplicar seu método preferido ao estudo do postulado das paralelas de Euclides.

Aceitando as 28 proposições iniciais dos Elementos de Euclides que não necessitavam do postulado das paralelas, em sua demostração Saccheri traçou as diagonais AC e BD e utilizou um teorema de congru-ência para mostrar que os ângulos C e D são iguais.

Sendo C e D iguais existem 3 possibilidade: ambos agudos, ambos retos ou ambos obtusos. Saccheri queria mostrar que as pos-sibilidades de serem ambos agudos ou ambos obtusos eram contradi-tórias e assim, por absurdo ambos deveriam ser retos. Assumindo a infinitude da reta conseguiu eliminar a opção de ambos serem obtusos. Percebendo a dificuldade de eliminar a opção de ambos serem agudos, e provavelmente, influenciado pelos pressupostos da época, forçou uma contradição para chegar ao resultado que era seu objetivo desde o prin-cípio. Caso não tivesse forçado uma contradição poderia ter sido um dos primeiros a desenvolver a geometria não euclidiana.

Por volta de 1832, longe dos ambientes intelectualmente “vicia-dos”, um jovem húngaro Janos Bolyai (1802-1860), resolveu substituir o Axioma das Paralelas por uma de suas negações. Desse modo, admite--se que por um ponto fora de uma reta passam pelo menos duas retas paralelas à reta dada, com isso Janos dá um passo importante em dire-ção à uma nova geometria. Além dele e, em alguns anos antes, outro


matemático, o russo Nikolai Lobachewski (1793-1856), sem manter contato algum com Janos, chega a resultados semelhantes ao do jovem húngaro.

Sobre os estudos de Lobachewski, Eves (2011) comenta: “devido às barreiras da língua e à lentidão com que as informações de novas descobertas se propagavam naqueles dias, seu trabalho permaneceu ignorado na Europa Ocidental por vários anos” (p. 542). O matemá-tico russo possivelmente percebendo essa barreira escreveu em anos posteriores outros resultados sobre geometria em alemão e também em francês.

Um aspecto a ser considerado é o papel da autoridade legiti-madora da produção matemática, um exemplo é o aval de um mate-mático reconhecido pela comunidade acadêmica. Para ilustrar esse aspecto podemos tomar como exemplo o “silêncio” do matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855), também conhecido por “Príncipe dos Matemáticos”, que ao ter deduzido uma outra geometria autoconsis-tente preferiu arquivar suas descobertas.

Homem de estofo e talento matemáticos impressionantes, Carl Friedrich Gauss sobressai-se nos séculos XVIII e XIX como um Colosso de Rodes da matemática. Ele é univer-salmente considerado como o maior matemático do século XIX e, ao lado de Arquimedes e Isaac Newton, como um dos maiores de todos os tempos. (EVES, 2011, p. 519)

Atualmente e, graças a historiografia moderna da matemática, a glória da descoberta dessa geometria diferente da Euclidiana é dividida entre Bolyai e Lobachewsky, considerando-se que Gauss não publicou suas descobertas.

As forças que operaram para o estabelecimento dessa verdade são inúmeras e, como assumidas no início desse texto, se constituem de forma sutil e móvel. Entretanto, no exercício apresentado aqui, por meio


da história da, hoje chamada, Geometria Hiperbólica, revisitamos os eventos históricos de forma a considerar algumas relações de poder em meio ao processo de construção da legitimidade em matemática. Para finalizar essa seção destacamos a opinião do historiador da matemática Howard Eves (2011):

A criação das geometrias não-euclidianas, puncionando uma crença tradicional e rompendo com um hábito de pen-samento secular, desferiu um golpe duro no ponto de vista da verdade absoluta em matemática. Nas palavras de Georg Cantor: “A essência da matemática está em sua liberdade”. (EVES, p. 545, 2004)

Teria essa geometria se propagado e sido aceita mais rapida-mente se Gauss tivesse divulgado seus estudos? Um ponto a se pensar;

Pela história da geometria hiperbólica e, de acordo com os aspectos da prática discursiva de Foucault, podemos conjecturar alguns critérios para legitimação de um discurso matemático:

• Acoerênciaeaautonomiadodiscurso.

• Arelevânciadoavaldeummatemáticofamosoereconhecidopara a aceitação de um discurso.

• A existência de uma comunidade, no caso uma comunidadematemática, que deve aceitar e agregar um discurso às suas práticas.

• Existemforçassociaisepolíticasqueestãoatreladasepromovemum discurso.

• A linguagem,umponto relevantepara adisseminaçãodeumdiscurso em uma comunidade.

Para finalizar é relevante observar que as discussões apresenta-das nesse ensaio estão na esfera da prática da matemática acadêmica,


mas, evidentemente, esse conhecimento historicamente construído é atravessado pelas inúmeras forças, dentre elas as sociais, e particular-mente as advindas da escola, que podem ser encaradas como um agente social de manutenção e resistência de uma ordem estabelecida.

Referências

BARONE, K. da S. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. Curitiba: Editora CRV, 2011.

CLARETO, S. M; FERNANDES, F. S. Os infinitos e seus tamanhos: nos becosda sala de aula, que matemática acontece? In: MONTEIRO, Alexandrina; VILELA, Denise (Orgs). OsParadoxos do Infinito. São Paulo: Livraria da Física. no prelo.

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EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 5. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011.

FISCHER, R. M.B. Foucault e a análise do discurso em educação. Cadernos de pesquisa, São Paulo, s/v, n.114, p. 197 – 223,nov. 2001.Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/cp/n114/a09n114.pdf>Acesso: mar. 2015.

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VEYNE, P. M. Como se escreve a história: Foucault revoluciona a história. 3ª ed. Brasília: Ed. Unb, 1995.

SUGESTÃO PARA SALA DE AULA


••• Proposta 1 •••

A Matemática por trás da Balestilha

Ana Carolina Costa Pereira (Universidade Estadual do Ceará) Antonia Naiara de Sousa Batista (Universidade Estadual do Ceará)

Introdução

Há algum tempo temos pensado em como apresentar aos alunos do Ensino Médio uma matemática mais aplicável, que eles possam

visualizar a importância de conteúdos estudados na Educação Básica.

Neste momento pensamos que a História da Matemática pode entrar em sala de aula como uma atividade, que se refere à investigação de cópias de instrumentos antigos e outros artefatos, reconstruídos com base em fontes históricas. Quase todos os instrumentos de tecnologia antiga e moderna incorporam muita matemática, escondido no próprio instrumento e acessíveis só através de uma análise cuidadosa e intencio-nal. (BUSSI, 2000).

Após algumas leituras sobre a matemática portuguesa (PINTO, 2010; SAITO, 2014), vislumbramos a possibilidade de inserir conceitos matemáticos por meio da construção de instrumentos de medidas que foram utilizados no decorrer da história das Ciências. Muitos desses instrumentos, tais como, o quadrante, o astrolábio, a tábua da índia, o sextante e a balestilha estão ligados às navegações e a astronomia, utili-zados nos séculos XV e XVI.


A Balestilha é um instrumento de fácil construção e contém uma matemática bastante atrativa para quem a estuda. Sua constru-ção pode ser realizada, após ministrar o conteúdo sobre trigonome-tria no triângulo retângulo, razões trigonométricas na circunferência e transformações.

Nossa proposta é que o professor possa, a partir desse artigo, confeccionar o instrumento juntamente com os seus alunos, focando e explorando a matemática envolvida por traz da sua graduação e cons-trução física. Além disso, propor ao professor atividades diferenciadas que envolvam a história da Matemática e a aplicação do instrumento para uma melhor interação entre alunos, professor e conteúdo.

A Balestilha

A Balestilha teve grande importância nos séculos XVI a XVIII, pois sua dupla função lhe trouxe vantagens com relação a outros instru-mentos da época, como o quadrante e o astrolábio, que surgiram ante-riormente a ela e eram utilizados apenas para medir a altura dos astros. Sua primeira menção foi encontrada no Livro de Marinharia de João de Lisboa, onde consta algumas referências relacionadas à sua utiliza-ção para observações solares durante as viagens marítimas. No entanto, não havia data neste livro, mas que poderíamos possivelmente situá-lo no primeiro quartel do século XVI, não muito ulterior ao ano de 1514 (ALBUQUERQUE, 1988).

A função da Balestilha era medir a distância angular, ou seja, a altura de uma estrela em relação à linha do horizonte, ou também medir a distância entre dois astros. É de fácil construção, necessitando apenas de um virote (vara de madeira com secção quadrada) e soalhas (variados pedaços de madeira com tamanhos menores que o compri-mento do virote, com um orifício no seu centro e que deslizam sobre ele perpendicularmente).


Figura 1: Balestilha. Fonte: Morey e Mendes (2005)

Diante desta descrição, consideramos que é possível, apresentar aos alunos uma aplicação da trigonometria estudada no Ensino Médio, por meio da construção do virote, das soalhas e consequentemente, da Balestilha.

Nosso intuito aqui é tentar uma exposição lógica, o passo a passo da graduação do instrumento, via trigonométrica, na qual possa ser utilizada pelos professores do Ensino Médio. Ressaltamos que tam-bém é possível essa graduação por meio de conceitos encontrados no desenho geométrico, porém consideramos mais proveitoso para os alu-nos aprenderem pela trigonometria.

Material para a confecção da Balestilha

Para a confecção da Balestilha o professor pode utilizar com os alunos madeira ou isopor. Essa experiência foi vivenciada pelos autores quando ministraram um curso para a formação inicial e continuada de pro-fessores na Universidade Estadual do Ceará - UECE, envolvendo os con-teúdos de desenho geométrico e os conceitos de seno, cosseno e tangente, razões trigonométricas na circunferência, transformações e complemento de um ângulo. Para a construção da Balestilha utilizamos o seguinte mate-rial: isopor de espessura 2,5 cm, folhas de cartolina branca e papeis A4, cola de isopor e estilete. Para a soalha e para a marcação do virote foi utilizado, régua escolar e um petipé, que a seguir explicaremos como fazê-lo.


Figura 2: Balestilha construída com isopor. Fonte: Das autoras (2014).

Sugerimos para a construção do virote, 100 cm de compri-mento. Segundo Pimentel (1762) as soalhas deveriam ser construídas nas seguintes proporções: a primeira seria ½ do virote, a segunda ¼ do virote, a terceira 1/8 do virote e finalmente a quarta, chamada também de martinete, teria como medida 1/16 do mesmo. Logo, as medidas das soalhas serão: 50 cm, 25 cm, 12,5cm e 6,25cm.

Graduação do virote por via trigonométrica

Inicialmente definimos o tamanho do virote. Depois construiremos as soalhas: a primeira será 1/2 do virote, a segunda 1/4 do virote, a terceira 1/8 do virote e por último, a martinete terá tamanho igual a 1/16 do virote.

No primeiro momento vamos trabalhar com a primeira soa-lha de tamanho 1/2 do virote. Iremos dividir meia-soalha em 10 partes iguais que será no momento a nossa régua, ou petipé1, assim chamado por Pimentel (1762).

1 Régua composta por varias divisões utilizada para fazer medições.


Posteriormente, com o virote em mãos, iniciaremos sua divi-são a partir do ponto I (início da graduação) utilizando a meia-soalha (petipé), a uma distância R (meia-soalha) do cós2 do virote A. Então, iremos reparti-lo até B.

Observe a seguinte figura:

A: Cós do virote; AB: Virote;CD = 2R = Soalha; α: Distância angular;I: Início da graduação; AI = R = Meia soalha.IF = x = Distância da soalha em relação ao início da graduação;AF: Distância da soalha em relação ao cós do virote;

2 Local onde o observador coloca o olho para realizar a observação e assim encontrar a distância angular desejada.


Podemos notar que na figura,

Tg β=Tg(90°-α/2)=cotg(α/2)=AF/DF=(R+x)/R

Para obtermos a tangente no ciclo trigonométrico, assumimos o raio da circunferência igual a 1. Então,

Tg(90°-α/2)=cotg(α/2)=1+x→x=Tg(90°-α/2)-1=cotg(α/2)-1

(I)

Antes de iniciar a graduação no virote podemos utilizar uma Taboada ou “tábua” das Tangentes, que está contida no Livro “A Arte de Navegar” de Pimentel (1762, p. 144 – 148). Porém, vamos utilizar no momento apenas uma amostra dessa tabela. A mesma é de fácil cons-trução, podendo assim, o professor dar continuidade.

TABOADA DAS TANGENTES, QUE SERVEMpara graduar a Balestilha, abatido o Radio

Gr. M. Tangent. M. Gr.0 00 1000 00 90

1020304050

003006009012015

5040302010

1 00 018 00 891020304050

021024027030033

5040302010

2 00 036 00 88

(90°-a) x = Tag (90°-a/2) – 1x = Cotg a/2 – 1 a

Tabela 1: Taboadas das Tangentes. Fonte: Pimentel (1762).

Observando a tabela acima, notamos que ela nos fornece duas possibilidades de medida. Na coluna da esquerda, os graus estão expos-tos em ordem crescente de cima para baixo, isto é, graduando o virote a partir do ponto I e utilizando essa ordem, encontraremos com o uso da


balestilha a distância angular entre um astro e o Zênite3. Porém, se fizer-mos uso dos graus em ordem decrescente, da forma como está organi-zada na coluna da direta, de cima para baixo, encontraremos a distância angular do astro em relação à linha do horizonte.

Ressaltamos que o professor não precisa necessariamente cal-cular todos os ângulos desde 90° até 0°. Ele deverá apenas escolher os ângulos que deseja marcar no virote e, em seguida, substituí-los na expressão (I), no lugar de α. Então, encontraremos o valor de x que nos fornece a distância em relação ao início da graduação, onde o grau esco-lhido deverá ser registrado no virote.

Essa tabela foi construída supondo que meia soalha R teria sido dividida em 1000 partes iguais. Porém, pela dificuldade de execu-ção dessa divisão, chegamos à conclusão que seria mais viável, como já havíamos falado no início, dividir R em apenas dez partes iguais, sem perda de característica. No entanto, essa modificação gerou a necessi-dade de mudanças nos resultados da tabela. A seguir, justificaremos essa mudança.

Por exemplo, desejo marcar no virote 88º e o seu complemento 2º. Substituindo, α por 88º na expressão anterior (I), obtemos x = 0,036. Entretanto no desenvolvimento dos cálculos assumimos R igual a 1 e a tabela foi confeccionada supondo que R teria sido repartido em 1000 partes iguais, então para conseguirmos alcançar o resultado exposto na tabela devemos multiplicamos x por 1000, assim encontramos x = 36. Porém, no nosso caso meia soalha R, foi repartida em apenas 10 partes iguais, então vamos multiplicar x por 10. O professor que optar pelo uso da tabela deverá dividir todos os valores correspondentes aos ângulos por 100, porque houve uma redução na divisão da meia soalha de 1000 para 10 partes. Entretanto, quando não se fizer uso da tabela o valor do x encontrado através da expressão (I) deverá apenas ser multiplicado por

3 Ponto onde ocorre a intersessão da vertical de um lugar com a parte visível da esfera ce-leste, ou seja, o zênite se encontra acima da nossa cabeça.


10, pois, a meia soalha utilizada está fragmentada em apenas 10 partes iguais.

Agora podemos iniciar a nossa graduação. No primeiro momento queremos sinalar no virote 90º e o seu complemento 0º. Utilizando a tabela, encontro x = 1000 logo, vou dividi-lo por 100 e obtemos x =10 que seria a distância equivalente entre o cós do virote e o ponto I, ou seja, faremos a primeira marcação no início da gradu-ação. No entanto, sem o uso da tabela prossegue-se substituindo α por 90° na expressão (I), encontrando posteriormente x = 0. Em seguida, multiplicaremos o resulta por 10. Consequentemente, o resultado con-tinuará x = 0. Observe que quando utilizamos o valor correspondente a 90° graus na tabela, obtemos x = 10 e substituindo 90° na expressão (I) encontramos x = 0, isso acontece pelo fato de que a tabela somente neste grau não dispensou a distância entre o cós e o início da graduação. Posteriormente, os próximos valores de x correspondentes aos graus que se deseja sinalar no virote representaram exatamente a distância atual da soalha no grau escolhido em relação ao ponto I.

Em seguida, desejo marcar no virote 89º e o seu complemento 1º, recorrendo à tabela encontramos x = 18 dividindo-o por 100, obte-mos x = 0,18. Novamente, sem utilizar a tabela, vamos substituir 89º na expressão (I) e encontraremos x = 0,018. Sequencialmente multiplicare-mos o resultado por 10, encontrando assim, x = 0,18. Note que o resul-tado encontrado não passou de 1, então iremos marcar o grau desejado na primeira parte da divisão do virote. Para executar sua marcação no virote é necessário multiplicar 0,18 pelo tamanho desse primeiro espaço. E assim sucessivamente.

Quero sinalar no virote 84º e o seu complemento 6º, repa-rem na tabela que o valor de x = 111, então vamos dividi-lo por 100,


encontrando assim, x = 1,11. Observe que o número 1 representa uma parte inteira da divisão, realizada do ponto I até o extremo do virote B. O decimal 0,11 representa a porcentagem da segunda parte da divisão, onde será marcado o grau desejado.

É importante lembrar que essa graduação corresponde ao uso da soalha de tamanho 1/2 do virote. Não poderemos usar nesta face às outras soalhas. Cada face do virote possuirá uma graduação realizada de acordo com a soalha escolhida. Em relação às outras soalhas, a gradua-ção será realizada usando essa mesma sequência, porém de acordo com o tamanho da mesma.

Aplicação da Balestilha

Propomos depois de confeccionada a Balestilha, utilizá-la para aplicação em alguma situação do cotidiano. Uma delas seria incentivar os alunos a descobrir a altura de um poste, parede ou até mesmo uma torre, usando a trigonometria no triângulo retângulo e simultaneamente explorando os conceitos de seno, cosseno, tangente, complemento de um ângulo, razões trigonométricas na circunferência e transformações. No primeiro momento o professor que irá conduzir a atividade deverá apenas se preocupar com o objeto escolhido para a observação, pois é de fundamental importância que o local seja acessível para verificar se os resultados obtidos no final são válidos.

Inicialmente o observador deverá marcar a sua altura no poste. Em seguida, deverá se posicionar a uma distância do local. Com o ins-trumento em mãos, deverá colocá-lo na altura dos olhos, de forma que ao observar pelo cós do virote se consiga através da movimentação da soalha mirrar sua parte inferior no ponto marcado no poste equivalente


a sua altura e a parte superior da soalha coincida com o topo do poste. No final observamos em qual grau a soalha fixou-se no momento da mira do observador.

Um detalhe importante que nos possibilita realizar está aplica-ção e verificar a validade dos seus resultados, é o fato do cós virote e da parte inferior da soalha estarem inclinados sobre um mesmo plano de observação paralelo ao chão, para que se possa realmente formar um triângulo retângulo.

Figura 3: Aplicação da Balestilha. Fonte: Das autoras (2014).

É importante ressaltar que o instrumento nos fornece a distân-cia angular e não à distância em metros, por isso o nosso foco seria com o uso da Balestilha obter o ângulo que representa a distância angular entre um ponto e o outro, assim também devemos procurar conhecer a distância entre o observador e o local escolhido, para posteriormente construir o triângulo retângulo e efetuar os cálculos de maneira correta.

Outra sugestão de atividade seria levar os alunos a um observa-tório, ou a um local que ofereça uma visão nítida do céu estrelado para


então realizar a medição entre dois astros, ou seja, encontrar a distância angular que separa um astro do outro. Antes da aplicação do instru-mento, o observador precisa escolher duas estrelas, em seguida, deverá colocar a Balestilha novamente na altura dos seus olhos, e olhando pelo cós do virote movimenta a soalha até o momento no qual uma das extre-midades da mesma esteja coincidindo com um dos astros e consequen-temente a outra extremidade fixe no segundo astro. Posteriormente, observa-se o grau correspondente à posição da soalha no virote e assim obtem-se a distância angular entre os mesmos. Porém, no decorrer da observação pode acontecer da soalha que se está usando no momento não alcance os dois astros simultaneamente, então o observador deverá trocar a soalha por outra menor ou maior dependendo da necessidade no momento de utilização.

Advertimos ao professor que durante aplicação do instrumento pode ocorrer dificuldades na hora de realizar a distância entre dois astros, pois quando o céu está nublado se torna difícil mirrar em duas estrelas ao mesmo tempo. Devemos ressaltar também que o horário escolhido para realizar a observação é extremamente importante, pois o momento ideal é no final da tarde, mas jamais à noite, porque esse período dificulta visualizar a linha do horizonte.

Considerações Finais

Este é apenas um exemplo de metodologia diferenciada que pode fornecer um suporte para as futuras aulas dos professores de mate-mática e, além disso, o docente tem a possibilidade de enriquecer seu conhecimento e suas aulas diante do uso de tendências pedagógicas, como por exemplo, o uso da História da Matemática. O uso de idéias históricas que envolvem principalmente instrumentos utilizados na antiguidade, dispositivos e artefatos do passado pode complementar as aulas de matemática e atingir várias metas da educação.


Referências

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MOREY, Bernadete; MENDES, Iran Abreu. Conhecimentos matemáticos na época das navegações. Rio Grande do Norte: Sbhmat, 2005.

PIMENTEL, Manuel. Arte de navegar. Lisboa: na Officina de Miguel Manescal da Costa, Impressor do Santo Officio, 1762.

SAITO, Fumikazu. Instrumentos matemáticos dos séculos XVI e XVII na articulação entre história, ensino e aprendizagem de matemática. REMATEC, Natal (RN), ano 9, n.16, maio-ago., 2014, p. 25 – 47.



A História da Matemática subsidiando contextos de

abordagem para a resolução de problemas: O caso do “truque de Fibonacci”

Tercio Girelli Kill1 Andressa Cesana2

O recurso à história da matemática como forma de potencializar as abordagens didáticas no ambiente escolar, assunto abordado

por pesquisadores de várias partes do mundo, serviu de mote para a constituição deste texto, que envolve um matemático medieval, um curioso problema daqueles tempos e o estabelecimento de uma notá-vel sequência numérica. Os detalhes sobre a trama serão tratados num espaço específico deste texto. Precede uma pequena discussão acerca do uso da história da matemática pelo professor em sala de aula.

Especificamente no Brasil, o discurso a respeito das potencia-lidades pedagógicas da história da matemática é relativamente remoto. De acordo com Rocha (2001, p.173), já na década de 1930, o profes-sor Euclides Roxo defendia que o interesse dos alunos seria aguçado mediante “[...] ligeiras alusões a problemas clássicos e curiosos e aos fatos capitais da história da Matemática, bem como à biografia dos grandes vultos desta ciência”. Dentro desse mesmo espírito, Miguel e

1 Professor do DTEPE/CE – Universidade Federal do Espírito Santo2 Professora do DMA/CEUNES – Universidade Federal do Espírito Santo


Miorim (2004, p. 61) identificaram “argumentos de natureza epistemo-lógica” propostos em diversas épocas, que reforçavam as potencialida-des pedagógicas da história da matemática, referindo-se a ela como uma “fonte de seleção de tópicos, problemas ou episódios motivadores da aprendizagem da Matemática escolar”.

A diversidade de contextos oferecidos pela história da matemá-tica, dos quais o professor poderá se apropriar conforme os objetivos de uma dada situação didática, é o provedor adequado para a construção de narrativas, materializadas como um enredo para a apresentação de conceitos e problemas de matemática. A construção de “narrativas fabu-losas” como metodologia para o ensino já foi apontada por Machado (2003) como uma das ações fundamentais do docente desejoso de uma prática significativa.

O reporte histórico a personagens que contribuíram para a difu-são e desenvolvimento da matemática, sócio historicamente produzida, promove justiça para com aqueles que, por alguma razão, imprimiram seu nome na história. Existindo registros históricos consistentes sobre o contributo de um ou vários personagens para o “caminhar” de uma teoria matemática de uma dada época, constitui-se uma espécie de “plá-gio” a apropriação de determinados saberes, sua exposição ou difusão, sem que exista, pelo menos, uma alusão aos seus devidos precursores históricos.

Uma vez expostos alguns dos interesses que avalizam o uso da história da matemática no contexto escolar, intentar-se-á, portanto, promover o diálogo com autores como forma de render alinhamento teórico à vertente de trabalho proposta. Mendes (2009), em seu livro intitulado Matemática e investigação em sala de aula, discute a resolução de problemas como estratégia cognitiva. Segundo o autor, a resolução de problemas no âmbito escolar é normalmente apresentada pelas pes-quisas com duas concepções que se complementam. Uma se relaciona com o processo de se compreender e descrever como o aluno resolve


problemas; a outra se refere à tentativa de ensinar o aluno a conseguir bom desempenho ao resolver problemas. Acredita-se que tais concep-ções são complementares e importantes no processo de ensino e apren-dizagem da matemática.

Considerando a categorização de problemas descrita por Mendes (2009, p. 78), destacam-se, neste trabalho, problemas para descobrir, os quais são caracterizados por apresentarem “formulação e contextos explícitos levando ao uso de estratégias e regra geral para a descoberta de um caminho para a solução”. As tarefas decorrentes da dinâmica de trabalho proposta se aproximam da caracterização des-crita. No âmbito dos parâmetros curriculares nacionais (PCNs), pode--se enquadrar a proposta no bloco de conteúdo denominado Números e Operações. Sobre o bloco de Conteúdos, Números e Operações, em Brasil (1998, p. 50) observa-se que:

Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grande-zas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação.

Nesse sentido, o texto sinaliza possibilidades de trabalho envol-vendo generalizações de padrões aritméticos. O recurso à resolução de problemas e à história da matemática, como vias metodológicas, enseja a apresentação de um personagem importante da matemática e ilustra uma possibilidade de apropriação das suas contribuições para ativida-des didáticas.


Uma curiosa sequência numérica

O escritor norte-americano Dan Brown, autor do livro O Código da Vinci, conta a saga do simbologista de Harvard, Robert Langdon, convidado pela polícia francesa para auxiliar nas investigações sobre o assassinato do curador do Museu do Louvre. Uma das pistas encon-tradas consistia numa sequência numérica, assim disposta: 13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5. Assim como em outras passagens da obra, Brown (2003) visitou a história para captar elementos reais para a sua ficção. Os números colocados em ordem crescente formam uma famosa sequên-cia, que o autor norte-americano ajudou a popularizar ainda mais. O surgimento dessa sequência data do século XIII, num contexto bem específico:

Um homem colocou um par de coelhos em um lugar cer-cado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coe-lhos podem ser produzidos a partir desse par em um ano, se supõe-se que a cada mês cada par gera um novo par que, a partir do segundo mês, torna-se produtivo?3

O problema integrava a terceira seção do livro Líber Abacci, escrito por Leonardo de Pisa (1170-1250) e publicado em 1202. De acordo com O’Connor e Robertson4 (1998), Leonardo era filho de um funcionário público italiano que trabalhou no sul da África, período no qual teve a oportunidade de se familiarizar com outros sistemas e repre-sentações matemáticas. Inscreveu seu nome na história da matemática por meio de seus apelidos5. O mais famoso, Fibonacci, é uma alusão à

3 Disponível em: <http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fibonacci.html>. Acesso em: 26 nov. 2013.

4 Autores de um sítio especializado em biografias de matemáticos. Disponível em: <http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/>.

5 Em outras situações, Leonardo de Pisa aparece referenciado como Bigollo, que pode sig-nificar “bom para nada” ou “viajante”.


origem familiar, os Bonacci. O termo significa algo próximo a filho dos Bonacci6.

Uma solução para o problema dos coelhos deu origem à curiosa “sequência de Fibonacci”. Como regra geral, a sequência determina que cada um dos termos, posterior ao segundo termo, é igual à soma dos dois termos anteriores. Segundo Hogben (1952), Leonardo Fibonacci, pioneiramente na história, fez parte da cultura independente da classe mercante e, provavelmente, essa sua sequência famosa não passava para ele de uma curiosidade matemática. Além disso, vale ressaltar que a associação entre a sequência numérica que resolve o problema dos coe-lhos e o nome de Fibonacci é devida ao matemático francês Edouard Lucas (1842-1891), célebre por ter criado o jogo conhecido como “Torre de Hanói” (MENDES, 2007, p.50).

Acredita-se que as potencialidades didáticas da sequência de Fibonacci residem na problematização acerca do princípio numérico gerador dos termos; nas adaptações possíveis, ocasião específica para se estabelecer outras sequências do “tipo Fibonacci”, cujos dois primeiros termos não são necessariamente iguais a 1 e, por fim, na generalização do padrão numérico envolvido.

O truque de Fibonacci

A sequência “original” de Fibonacci revela desdobramentos belíssimos, quais sejam: o número de ouro, problemas de ótica, cresci-mento de galhos de algumas plantas, dentre outros. Mendes (2007, p.52) exibe uma associação entre a quantidade de pétalas de algumas flores e um número pertencente à sequência “original” de Fibonacci. As sequ-ências “tipo Fibonacci” são dotadas de algumas propriedades curiosas. Neste texto, nos deteremos a explorar uma relação que envolve a soma

6 A professora Maria Efigênia Gomes de Alencar (2004) apresenta outra versão para justifi-car a alcunha Fibonacci. Segundo ela o apelido é devido à família de “boa estirpe”, à qual Leonardo pertencia. Então, Fibonacci significava literalmente “filho de boa gente”.


dos dez primeiros termos dessas sequências. Tal relação será mencio-nada, no âmbito do artigo, como o “truque de Fibonacci”. Ressalta-se que tal termo será utilizado apenas no contexto deste trabalho, de forma fantasiosa. Não há passagens históricas que comprovem que Leonardo de Pisa tenha se valido de tal artimanha junto a companheiros ou a quaisquer outras pessoas.

A dinâmica das ações pode ser assim descrita: solicita-se a um aluno que escreva no quadro-negro uma sequência “tipo Fibonacci”, com dez termos. O professor não terá contato com a sequência numé-rica. Após o estabelecimento de todos os dez termos, o professor pede ao estudante que calcule a soma dos dez termos da sequência, sem revelar o resultado. Ainda sem olhar para o quadro, o professor poderá solicitar ao aluno que apague alguns dos termos da sequência, por exemplo: o primeiro, o segundo, o terceiro, o sexto, o nono e o décimo. A partir daí, ele solicita ao aluno a visualização dos termos restantes da sequência por três segundos e, imediatamente, indica para toda a turma o valor da soma. Mas, como isso é possível?

A escrita algébrica das sequências “tipo Fibonacci” desvendará algumas interessantes propriedades. Veja: supondo a e b como sendo, respectivamente, o primeiro e o segundo termo de uma sequência de Fibonacci, temos que os primeiros dez termos serão dados pelas expres-sões: a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 8b, 8a + 13b, 13a + 21b, 21a + 34b. Notemos que a soma algébrica dos dez termos é igual a 55a + 88b, que pode ser escrita como 11(5a + 8b), ou seja, 11 vezes o sétimo termo. Logo, uma possibilidade para calcular a soma dos dez primeiros termos de uma sequência “tipo Fibonacci” se tornaria viável após a identifica-ção do sétimo termo.

Obviamente, outras relações algébricas são possíveis. Caberá ao professor identificá-las e desafiar os seus aprendizes, mediante o enredo de outros desafios. Com este texto, ilustrou-se uma possibilidade de se engendrar atividades para a matemática escolar servindo-se da história


da matemática como fomentadora do contexto. Miguel e Miorim (2004) destacam, entre justificativas epistemológicas e éticas, quinze argumen-tos reforçadores das potencialidades pedagógicas da história da mate-mática, todos pertinentes. Mas ainda que não fossem, uma aula de matemática com resgates históricos de toda ordem é, pelo menos, mais encorpada numa perspectiva sociocultural.

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A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática

como uma Lente Metodológica para o Estudo de Funções

Davidson Paulo Azevedo Oliveira (IFMG – Campus Ouro Preto) Milton Rosa (CEAD/UFOP)

Marger da Conceição Ventura Viana (CEAD/UFOP)

Introdução

Podemos pensar que o conhecimento matemático emerge das necessidades humanas de ordem econômica, política, social e

ambiental que os membros de grupos culturais distintos enfrentam em seu cotidiano. Alguns pesquisadores e educadores concordam com essa afirmativa enquanto outros discutem sobre esse posicionamento. Por exemplo, a Matemática surgiu nos primórdios das civilizações como uma parte integrante dos acontecimentos da vida diária da humanidade (BOYER, 1996) enquanto que esse campo de estudo também emergiu da luta dos povos pela sobrevivência.

Contudo, no período compreendido de 1000 a 800 a.C., na Babilônia, a Matemática começa a se distanciar de suas origens pri-mitivas (WUSSING, 1998). No entanto, como o conhecimento mate-mático também se desenvolve em direção à abstração do raciocínio, existe a necessidade de estudar o vínculo entre as práticas matemáticas


cotidianas com as práticas matemáticas acadêmicas aprendidas em sala de aula por meio da elaboração de atividades matemáticas curriculares culturalmente relevantes.

Nesse direcionamento, apresentamos 3 (três) atividades reali-zadas com duas turmas da primeira série do Ensino Médio por meio das quais os fundos de conhecimento dos alunos aliados à Perspectiva Sociocultural da História da Matemática foram utilizados como meto-dologias de ensino e aprendizagem em matemática relacionadas com o estudo de funções. O principal objetivo dessa abordagem foi a elabo-ração de atividades matemáticas fundamentadas nos pressupostos da Pedagogia Culturalmente Relevante1.

Elaborando Atividades Culturalmente Relevantes

Em concordância com esse contexto, essas atividades vinculam a Perspectiva Sociocultural da História da Matemática com o contexto sociocultural dos alunos. Essa vinculação é desencadeada por meio da utilização de seus Fundos de Conhecimento com a elaboração de atividades baseadas nos pressupostos da Pedagogia Culturalmente Relevante, cujo principal pressuposto, que está relacionado com o aprendizado dos alunos, é a promoção de seu sucesso acadêmico. Nesse sentido, os fundos de conhecimento são intrínsecos aos membros de grupos socioculturais distintos, pois são desenvolvidos nas tarefas domésticas, nas atividades profissionais e nas ações sociais e comunitá-rias. Esses fundos são transmitidos de geração em geração no decorrer da história, sendo necessários para a sobrevivência dos membros desses grupos. Pedagogicamente, o conjunto de ideias matemáticas presentes nesses fundos pode ser utilizado em sala de aula para que os alunos possam resolver as situações-problema propostas de maneira criativa (Moll; Amanti; Neff; Gonzalez, 1992).

1 Não aprofundaremos nas teorias utilizadas, mas leitores interessados podem acessar mais informações no endereço eletrônico http://pt.calameo.com/read/00156861234261e73c9e4.


Os pressupostos da Pedagogia Culturalmente auxiliam os alu-nos a valorizarem o próprio background cultural por meio da realização de atividades matemáticas baseadas nas experiências que vivenciam em seu cotidiano. Assim, essa ação educacional é definida como uma peda-gogia crítica baseada no tripé composto pela consciência crítica, sucesso acadêmico e competência cultural. (Ladson-Billings, 1995).

Contudo, é importante ressaltar também a relevância da Perspectiva Sociocultural da História da Matemática para o processo de ensino e aprendizagem em Matemática, pois os diversos pontos de vista trazidos pela História da Matemática podem ser úteis aos alunos para o desenvolvimento de atitudes positivas em relação ao estudo desse campo do conhecimento. Então, a utilização dessa perspectiva em sala de aula está relacionada com a adequação do contexto social, histórico e cultural da História da Matemática no processo de elaboração de ati-vidades curriculares referente a transposição do conteúdo histórico da Matemática para o contexto escolar atual (RADFORD, 1997).

Um Breve Histórico sobre Funções

No decorrer da história, o desenvolvimento do conceito de funções foi um processo demorado e não sistematizado. Esse conceito surgiu como um instrumento matemático indispensável para o estudo quantitativo dos fenômenos naturais. Historicamente, apesar desse con-teúdo ser abordado predominantemente de maneira algébrica no cur-rículo matemático, o caráter variacional das funções foi desenvolvido a partir de tabelas de valores, gráficos e equações, que buscavam determi-nar relações funcionais implícitas no contexto dos problemas a serem resolvidos pelos membros de civilizações distintas. Ressaltamos que as primeiras ideias de função foram creditadas aos Babilônios, sendo defi-nidas por tabelas ou correspondências.

Assim, as funções nem sempre foram conceituadas da maneira como estudamos hoje, surgindo de uma maneira sistemática surgiu em


meados do Século XVII. Contudo, o seu significado foi sendo constru-ído paulatinamente, assumindo ideias, pressupostos e concepções que foram sendo modificadas e estruturadas no decorrer da História. Por exemplo, em 1698, Leibniz definiu que a função de um valor variável é uma expressão analítica, que é composta por um valor variável e por valores constantes. Atualmente a função é conceituada como: Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função é uma relação que associa cada elemento de A com um único elemento de B.

Atividades Elaboradas na Perspectiva Sociocultural da História da Matemática

Responda e justifique se as três situações-problema propostas representam uma função conforme a definição de Leibniz e também de acordo com a sua conceituação atual.

Situação-problema I: O transporte rodoviário

Como a maioria dos alunos necessita do transporte para se des-locarem de casa para a escola, constatou-se que o pagamento do passe de ônibus é uma parte integrante de seus fundos de conhecimento. Assim, a partir dessa necessidade elaborou-se uma atividade cujo contexto foi o transporte público e a sua conexão com as noções de função.

De acordo com essa perspectiva, suponha que um ônibus par-tindo de Itabirito com destino a Ouro Preto seja conduzido com uma velocidade constante de 80 km/h.

a) Se esse movimento continuar por mais tempo, podemos calcular a distância percorrida após 12 horas? Qual é esse valor? Como você pode resolver esse problema?

b) Se fosse dado que o ônibus percorreu a distância de 480 km, é possível calcular o tempo gasto para percorrê-la? Qual é esse tempo? Como você resolveria esse problema?


c) Construa uma tabela que represente essa situação-problema.

d) Represente graficamente essa situação-problema.

Situação-problema II: O caso da laje pré-fabricada

Com a utilização de informações coletadas junto aos alunos foi possível realizar o levantamento e a identificação de alguns de seus fun-dos de conhecimento, que estavam relacionados com a construção civil. Por exemplo, um desses alunos é interessado pelo ramo da construção civil, pois o seu pai e o seu tio são donos de uma fábrica de pré-moldados situada em Ouro Preto, vendendo lajes pré-fabricadas. Essa fábrica foi repassada para o pai e o tio desse aluno, pertencendo anteriormente ao seu avô, que nem sempre trabalhou com o ramo da construção civil, pois desempenhou outras atividades profissionais no decorrer de sua vida. Assim, os conhecimentos adquiridos por esse aluno sobre a constru-ção civil constituem parte de seus fundos de conhecimento, que foram adquiridos pelo avô e transmitidos aos filhos e netos. O conhecimento prático que esse aluno adquiriu em sua convivência familiar sobre a construção civil foi utilizado na elaboração de uma atividade cultural-mente relevante que foi baseada em seus fundos de conhecimento.

Dessa maneira, um engenheiro deseja construir uma área de lazer no quintal de sua casa e projetou um espaço coberto no formato de um quadrado com um metro quadrado de área. Porém, a sua esposa considerou o espaço muito pequeno e o casal resolveu que o espaço coberto deveria ter a área duplicada. Com base na situação descrita, analise e responda os seguintes questionamentos:

a) Se a laje tem um metro quadrado de área qual será a medida do comprimento do lado do quadrado formado?

b) Qual deverá ser a medida do comprimento do lado de outra laje com formato quadrado, porém com o dobro da área?


c) O casal foi a uma empresa de pré-moldados para realizar o orça-mento das áreas dos dois quadrados, de um que tem um metro quadrado de área e do outro que tem o dobro dessa área. Conversando com os vendedores, foram informados de que exis-tem três tipos de lajes: a convencional, a treliça e a mini-painel treliçado. No entanto, por uma questão de economia, resolveram comprar a laje convencional, por ser a mais barata.

Dessa maneira, o casal utilizou a laje convencional com o piso ESP ecológico composto por 40% de material reciclado. Sabe-se que os preços do metro quadrado dependem do tipo do piso. Nesse sentido, o piso com tijolo cerâmico custa R$ 21,50; o piso com ESP ecológico e 40% de material reciclado custa R$ 24,00 e o piso com ESP moldado e 100% virgem custa R$ 25,50.

d) Com base nessas informações, como você representaria mate-maticamente a situação descrita? Como você pode relacionar, matematicamente, o comprimento da laje com formato do qua-drado e com o preço cobrado pela empresa?

Enfatizamos que essa situação foi baseada no problema histórico da duplicação do cubo, que consiste na obtenção de um cubo que tem o dobro do volume de um cubo de aresta dada com a utilização de régua e compasso. Existem duas versões históricas para a resolução desse problema: a do Rei Minos2 e a do Oráculo de Apolo3.

2 O Rei Minos estava insatisfeito com o tamanho do jazigo de seu filho e ordenou que essa construção fosse duplicada, mas que mantivesse o seu formato original, que era cúbico. Os servos construíram um novo jazigo, mas com arestas que mediam o dobro das arestas anteriores.

3 O problema da duplicação do cubo também é conhecido como Problema Deliano, pois de acordo com a lenda, por volta do ano 400 a.C., um grupo de atenienses foi enviado ao oráculo de Apolo, em Delos, para descobrir como findar com uma peste que havia dizi-mado mais de um quarto da população de Atenas. O oráculo informou que para eliminar a peste, seria necessário construir um novo altar com o dobro do volume do altar atual, que tinha o formato de um cubo. Os atenienses construíram um novo altar cúbico com o dobro da aresta do altar anterior, não conseguindo acabar com a peste, pois o novo altar teve o seu volume multiplicado por oito.


Situação-problema III: Medindo o comprimento da circunferência

A História da Matemática foi utilizada explicitamente na ela-boração dessa atividade por meio de uma situação-problema histórica com relação ao cálculo da área de um círculo pelos matemáticos gregos da antiguidade.

Nesse contexto, Arquimedes é considerado como o principal matemático da antiguidade. Nasceu na cidade grega de Siracusa por volta do ano 287 a.C., vivendo, aproximadamente, 75 anos. Arquimedes escreveu um livro intitulado Medida do Círculo, no qual provou que a área de um determinado círculo é igual a área de um triângulo retân-gulo cuja base é dada pelo comprimento desse círculo e cuja altura é dada pelo seu raio. Historicamente, esse método foi considerado como um dos primeiros passos para o cálculo da área de um círculo qualquer.

Na figura abaixo, a afirmativa de Arquimedes é representada pela ilustração que foi elaborada com a utilização do software GeoGebra. Podemos observar que o comprimento da circunferência (perímetro) tem a mesma medida do segmento BC que é a base do triângulo retân-gulo ABC e que o raio da circunferência é dado pela altura desse triân-gulo retângulo.

Porém, ressaltamos que Arquimedes não dispunha de recur-sos tecnológicos para a determinação das áreas dos círculos. Por outro lado, existe a necessidade de enfatizar que Arquimedes desconhecia a


fórmula que utilizamos para calcular o comprimento da circunferência do círculo e que calculou o valor aproximado de π como 22/7.

É importante salientar que Arquimedes também encontrou barreiras para determinar o comprimento da circunferência de um determinado círculo, pois os gregos não tinham conhecimento sobre os números incomensuráveis, dificultando dessa maneira a resolução desse tipo de problema.

Diante dessa perspectiva histórica, responda às questões a seguir anotando as suas impressões e observações.

a) Verifique a afirmativa de Arquimedes com a utilização de fór-mulas matemáticas.

b) Explicar como você pode calcular o comprimento da circun-ferência de um determinado círculo e consequentemente a sua área, se você dispõe somente de uma régua graduada ou de um escalímetro?

c) Como você pode escrever matematicamente a relação existente entre o raio de um determinado círculo e a sua área?

Considerações Finais

As atividades apresentadas ressaltam a importância da Perspectiva Sociocultural da História da Matemática aliada aos Fundos de Conhecimento dos alunos com Pedagogia Culturalmente Relevante como metodologias necessárias para o ensino e aprendizagem em Matemática. Então, sugerimos que os professores conheçam a história dos conteúdos matemáticos a serem trabalhados em sala de aula, bem como conheçam os seus alunos, procurando compreender o contexto sociocultural no qual estão inseridos.

As atividades matemáticas propostas nessa perspectiva permi-tem que os professores utilizem o conhecimento matemático que está


implícito nos fundos de conhecimento dos alunos para a elaboração de atividades culturalmente relevantes que podem facilitar o ensino e a aprendizagem de práticas matemáticas padronizadas. Finalizando, esperamos ter apresentado algumas alternativas pedagógicas para a utilização da Perspectiva Sociocultural da História da Matemática no ensino e aprendizagem de conteúdos relacionados com as funções.

Referências Bibliográficas

BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo, SP: Edgard Blucher, 1996.

LADSON-BILLINGS, G. But that’s just good teaching! The case for culturally relevant pedagogy. Theory into Practice, v. 34, n. 3, p, 159-165, 1995.

Moll, L.; Amanti, C.; Neff, D.; Gonzalez, N. Funds of knowledge for teaching:using a qualitative approach to connect homes and classrooms. Theory Into Practice, v. 31, n. 2, p. 132-141, 1992.

RADFORD, L. On psychology, historical epistemology, and the teaching of mathematics: towards a socio-cultural history of mathematics. For the Learning of Mathematics, v, 17, n. 1, 1997.

WUSSING, H. Lecciones de historia de las matemáticas. Madrid, España: Siglo XXI de España Editores S.A., 1998.


Merece ser lido, visto, divulgado

A abordagem historiográfica presente no livro “A História dos grandes matemáticos: as

descobertas e a propagação do conhecimento através das vidas

dos grandes matemáticos”

Tiago Bissi1 ([email protected]) Instituto Federal do Espírito Santo (IFES)

FLOOD, Raymond; WILSON, Robin. A história dos grandes matemáticos: as descobertas e a propagação do conhecimento através das vidas dos grandes matemáticos. Tradução: Maria Beatriz de Medina. São Paulo: M. Books, 2013. (Coleção História da Matemática).

Conhecer a História da Matemática é importante a qualquer docente em Matemática. Para tanto, é necessário que o pro-

fessor tenha acesso a obras que tratem de tal assunto. Neste sentido, deparamo-nos com obras que abordam a História da Matemática por períodos históricos consonantes aos períodos matemáticos. O livro “A

1 Graduado e especialista em Matemática. Mestrando em Educação em Ciências e Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo.


História dos grandes matemáticos” traz uma abordagem historiográfica que difere um pouco das abordagens de livros-textos clássicos.

Neste contexto consideramos a História da Ciência como “o estudo das formas de elaboração, transformação e transmissão de conhecimentos sobre a natureza, as técnicas e as sociedades, em dife-rentes épocas e culturas” (BELTRAN; SAITO; TRINDADE, 2014, p. 15), sendo, portanto, objeto da epistemologia. A História seria o conjunto de acontecimentos do passado e a historiografia “o conjunto dos registros, intepretações e análise desses acontecimentos” (D’AMBRÓSIO, 2012, p. 166). Elucidaremos a historiografia como a forma de escrever a história, a interpretação do passado, que parte de motivações pessoais do autor mediante fontes coerentes que possam delinear a história.

O livro em questão, editorado pela M. Books, traduzido por Maria Beatriz de Medina, possui 208 páginas, sendo os autores Raymond Flood e Robin Wilson. Flood é professor emérito do Kellog College da Universidade de Oxford, na Inglaterra, e foi presidente da Sociedade Britânica de História da Matemática. Wilson é professor emérito de matemática pura da Open University. Atualmente, é presidente eleito da Sociedade Britânica de História da Matemática. A primeira edição do livro foi lançada em língua inglesa no ano de 2011.

Quanto ao livro, este faz uma abordagem historiográfica por meio das descobertas de grandes matemáticos. Para cada matemático são dedicadas exatamente duas páginas, cada página dividida em duas colunas, com um título (que sempre é o nome do matemático) uma pequena introdução e o corpo do texto. A figura dos grandes matemáti-cos é inerente à História da Matemática, assim como, parece haver uma simbiose entre Matemática e períodos históricos na consolidação desta disciplina.

Brolezzi (2014) descreve quatro tipos de livros de História da Matemática: Cronologias, Biografias, Por Assunto e Outros. A obra de Flod e Wilson está longe de ser biográfica, aliás, a biografia dos “grandes


matemáticos” aparece incorporada no texto de maneira bem natural, ou, mais comumente, em uma pequena introdução negritada no iní-cio do texto. Dentro desta categorização proposta por Brolezzi (2014) o livro poderia estar inserido em cronologia, pois, os períodos se concate-nam, bem como as ideias dos matemáticos. Para os autores “os matemá-ticos que apresentamos estão organizados em ordem cronológica, com uma cronologia matemática [...] Na obra inteira, tentamos apresentar ideias e resultados em terminologias e notações modernas” (FLOOD; WILSON, 2013, p. 5)

Quanto à estrutura da obra, como já mencionado, as páginas possuem uma formatação com duas colunas, desta forma, os autores afirmam que eles tiveram de omitir vários matemáticos. Os autores esperam que com a leitura “o livro desperte o seu apetite por mais lei-turas” (ibidem). As informações podem até parecer rasas, todavia, são propulsoras da busca de novos conhecimentos; o livro pode funcionar como um estímulo inicial para a pesquisa. Apesar de suas limitações grá-ficas, ele apresenta reflexões bem pontuais e pertinentes. Mas, ao meu ver comete alguns pequenos equívocos como, por exemplo, ao tratar de Fermat (1601-1665) os autores abrangem apenas a Geometria Analítica, as suas contribuições para a teoria dos números, negligenciados aspec-tos importantes ligados à Álgebra por exemplo. O texto é finalizado com o Último Teorema de Fermat que diz não existir para qualquer inteiro n (maior do que 2), inteiros positivos x, y e z para os quais xn + yn = zn. Por muitos anos este teorema foi um enigma na Matemática; surgido no século XVII ele só fora demonstrado no século XX, em 1995, pelo britânico Andrew Wiles, que recebe um capítulo especial na obra anali-sada. Um fato curioso é que Fermat, ao que tudo indica, tinha para esta conjectura, uma demonstração “admirável que esta margem é estreita demais para conter” (ibid). Fermat teria escrito isso em seu exemplar do livro “Aritmética” de Diofanto.

Mesmo com essa abordagem sucinta os autores conseguem tra-zer para o leitor a vontade de pesquisar e estudar mais sobre o assunto.


Há de se considerar que essas perspectivas caracterizam uma aborda-gem historiográfica, onde os autores partem de motivações pessoais, contemplando aquilo que ele considera mais significativo para a sua escrita no fazer história.

Em outro caso, na página 180, os autores investigam as ideias dos ingleses Hardy, e Littlewood e do indiano Ramanujan, matemáticos que viveram na Era Moderna, entre os séculos XIX e XX. A abordagem foi bem completa e conveniente, uma vez que as vidas desses três mate-máticos estão de certa forma aglutinadas por intermédio da Teoria do Números, Análise Matemática e o Cálculo (principalmente a integra-ção). Em outros capítulos Flood e Wilson também fazem apontamentos a mais de um autor, são eles: Platão e Aristóteles; Hiparco e Ptolomeu; Papus e Hipácia; Nicômaco e Boécio; Pacioli e Da Vinci; Cardano e Tartaglia; Copérnico e Galileu; Mersenne e Kircher; Napier e Briggs; Cavalieri e Roberval; Wren, Hook e Halley; Monde e Poncelet; Fourier e Poisson; Abel e Galois; Bolyai e Lobatchevski; Babbage e Lovelace; Green e Stokes; Thomson e Tait; Cayley e Sylvester; Russel e Gödel; Einsten e Minkowski; Robinson e Matiassevitch; Apel e Haken.

A estrutura do livro permite ao leitor fazer uma viagem histórica pela Matemática apenas observando o seu sumário. De início, na intro-dução, são apresentados mapas que contam um pouco da História da Matemática de modo mais visual e uma cronologia da sucessão de mate-máticos. Depois são apresentadas cinco grandes unidades: Matemáticos Antigos, Primeiros Matemáticos Europeus, Despertar e Iluminismo, A Era das Revoluções e A Era Moderna. Em cada unidade é feito um panorama cultural da humanidade, e posteriormente, são apresentados os matemáticos e suas contribuições.

A observação do sumário possibilita ao neófito uma familiariza-ção com os matemáticos e as épocas nas quais eles estão presentes, bem como funciona de maneira a aguçar o olhar crítico, constatando que nomes como Newton e Leibniz estão presentes na unidade “Despertar


do Iluminismo”, sendo separados apenas por Wren, Hooke e Halley (que estão em capítulo único). Newton e Leibniz foram expoentes do Cálculo Diferencial e Integral, disputando inclusive, o título de “Criador do Cálculo”. Os autores fornecem notas disso no capítulo destinado a Leibniz em um tópico denominado “A disputa da prioridade”, onde ele faz comentários esclarecedores.

O livro abrange a História da Matemática a partir dos egípcios (1850 a. C) até Perelman, (1966-hoje), passando por Euclides, Fibonacci, Regiomontanus, Viète, Pascal, os irmãos Bernoulli, Euler, Laplace, Gauss, Sophie Germain, Cauchy, Cantor, Kovalevskaia, Poincaré, Turing, Julia Robinson, dentre tantos outros. No final, um capítulo é destinado aos Medalhistas de Fields, além de referências com leituras adicionais e um índice remissivo.

Para Katz (2008) o desenvolvimento das ideias matemáticas é eficaz para o aluno, mostrando como a Matemática aparecia de forma natural e que as ideias dos grandes matemáticos perduram nos dias de hoje. Portanto, reitero a minha afirmação de que esta abordagem histo-riográfica concentrada, presente nesse livro aqui comentado, pode ser valiosa em termos de consulta para professores de matemática, uma vez que o aspecto didático torna o conhecimento da História da Matemática mais acessível a todos, sendo uma obra que contempla variadas pro-duções matemáticas, enaltecendo o múltiplo convívio entre história e matemática, além de possibilitar implementações ao processo de ensino.

Referências

BROLEZZI, Antônio Carlos. A arte de contar: História da Matemática e Educação Matemática. São Paulo: Livraria da Física, 2014. (Coleção História da Matemática para professores).


BELTRAN, Maria Helena Roxo; SAITO, Fumizaku; TRINDADE, Lais dos Santos Pinto. História da Ciência para formação de professores. São Paulo: Livraria da Física, 2014. (Série Temas em História da Ciência).

D’AMBROSIO, Ubiratan. Tendências e Perspectivas historiográficas e novos desafios na História da Matemática e na Educação Matemática. In: GOLDFARB, Beltran et al. Educação Matemática em pesquisa, v. 14, n. 3, p. 336-347. São Paulo, 2012.

FLOOD, Raymond; WILSON, Robin. A história dos grandes matemáticos: As descobertas e a propagação do conhecimento através das vidas dos grandes matemáticos. Tradução: Maria Beatriz de Medina. São Paulo: M. Books, 2013. (Coleção História da Matemática).

KATZ, Victor J. A history of Mathematics: an introduction. 3 ed. Chicago: Pearson Education, 2008.


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Revista Historia da Matematica Set2015

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