Revisao Metodos de Contagem Professor Danilo
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IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Material de ApoioAlguns Metodos de Contagem
Danilo Salotti
Centro Universitario da FEIDisciplina:Estatıstica Basica
8 de agosto de 2010
Danilo Salotti Material de Apoio
IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
1 Introducao
2 Princıpios FundamentaisPrincıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
3 Permutacoes/Arranjos/CombinacoesPermutacoesArranjosCombinacoes
4 Exercıcios Propostos
Danilo Salotti Material de Apoio
IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Sumario
1 Introducao
2 Princıpios FundamentaisPrincıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
3 Permutacoes/Arranjos/CombinacoesPermutacoesArranjosCombinacoes
4 Exercıcios Propostos
Danilo Salotti Material de Apoio
IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Para que servem os metodos de contagem ?
Em muitos casos da teoria da probabilidade temos a necessidadede algum procedimento de contagem para depois, podermosrealizar alguns calculos probabilısticos.
Considerando o jogo damega-sena, onde ha bolas distintas enumeradas de 1 a 60, quantosresultados diferentes podemos obter ao extraırmos 6 bolas semreposicao? Que tal contar na raca ? Melhor nao!Nesse exemplo percebemos a inviabilidade de contarmos uma auma cada possibilidade, sugerindo alguma tecnica de enumeracao.Embora essas tecnicas parecam ser complicadas inicialmente,estudaremos dois princıpios (aditivo e multiplicativo)primeiramente para resolvermos questoes analogas ao problema doexemplo citado e assim deduzirmos alguns metodos de contagemnos casos mais gerais.
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IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Para que servem os metodos de contagem ?
Em muitos casos da teoria da probabilidade temos a necessidadede algum procedimento de contagem para depois, podermosrealizar alguns calculos probabilısticos.Considerando o jogo damega-sena, onde ha bolas distintas enumeradas de 1 a 60, quantosresultados diferentes podemos obter ao extraırmos 6 bolas semreposicao? Que tal contar na raca ? Melhor nao!
Nesse exemplo percebemos a inviabilidade de contarmos uma auma cada possibilidade, sugerindo alguma tecnica de enumeracao.Embora essas tecnicas parecam ser complicadas inicialmente,estudaremos dois princıpios (aditivo e multiplicativo)primeiramente para resolvermos questoes analogas ao problema doexemplo citado e assim deduzirmos alguns metodos de contagemnos casos mais gerais.
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IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Para que servem os metodos de contagem ?
Em muitos casos da teoria da probabilidade temos a necessidadede algum procedimento de contagem para depois, podermosrealizar alguns calculos probabilısticos.Considerando o jogo damega-sena, onde ha bolas distintas enumeradas de 1 a 60, quantosresultados diferentes podemos obter ao extraırmos 6 bolas semreposicao? Que tal contar na raca ? Melhor nao!Nesse exemplo percebemos a inviabilidade de contarmos uma auma cada possibilidade, sugerindo alguma tecnica de enumeracao.Embora essas tecnicas parecam ser complicadas inicialmente,estudaremos dois princıpios (aditivo e multiplicativo)primeiramente para resolvermos questoes analogas ao problema doexemplo citado e assim deduzirmos alguns metodos de contagemnos casos mais gerais.
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IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Sumario
1 Introducao
2 Princıpios FundamentaisPrincıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
3 Permutacoes/Arranjos/CombinacoesPermutacoesArranjosCombinacoes
4 Exercıcios Propostos
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IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Aprendendo a contar ...
Exemplo
Imaginemos que uma pessoa tenha dinheiro suficiente para realizardois passeios em um dia, ela ira a um e apenas um restaurante edepois da mesma forma ira a apenas um cinema, mas ela esta emduvida na escolha dos 3 restaurantes (R1, R2, R3) e dos 2 cinemas(C1, C2) de sua preferencia. De quantas maneiras diferentes elapodera realizar o passeio?
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Realizando procedimento 1 e procedimento 2
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Total de Maneiras
Podemos observar que existem seis possıveis diferentes passeiosque a pessoa podera escolher. Note que a cada escolha fixa dorestaurante, ela depois pode escolher um dentre dois cinemas, mascomo existem tres restaurantes temos que o total de passeios econtado por 2 + 2 + 2 = 2× 3 = 6 .
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Total de Maneiras
Podemos observar que existem seis possıveis diferentes passeiosque a pessoa podera escolher. Note que a cada escolha fixa dorestaurante, ela depois pode escolher um dentre dois cinemas, mascomo existem tres restaurantes temos que o total de passeios econtado por 2 + 2 + 2 = 2× 3 = 6 .
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Resultado do Princıpio Multiplicativo
De uma maneira geral, vamos supor que o procedimento 1 podeser realizado de n1 maneiras e que o procedimento 2 pode serrealizado por n2 maneiras. Utilizando o esquema apresentadoacima, o numero de maneiras diferentes de realizarmos oprocedimento 1 e o procedimento 2 sera:
n2 + n2 + · · ·+ n2︸ ︷︷ ︸n1 vezes
= n1 · n2 (1)
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Resultado do Princıpio Multiplicativo
De uma maneira geral, vamos supor que o procedimento 1 podeser realizado de n1 maneiras e que o procedimento 2 pode serrealizado por n2 maneiras. Utilizando o esquema apresentadoacima, o numero de maneiras diferentes de realizarmos oprocedimento 1 e o procedimento 2 sera:
n2 + n2 + · · ·+ n2︸ ︷︷ ︸n1 vezes
= n1 · n2 (1)
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Multiplicativo
Exemplo 2 :
Uma embalagem de produto pode apresentar 4 tamanhos e 5 coresdiferentes. De acordo com o princıpio mutiplicativo, podemos ter??? maneiras distintas de produzir tal embalagem.
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Multiplicativo
Exemplo 2 :
Uma embalagem de produto pode apresentar 4 tamanhos e 5 coresdiferentes. De acordo com o princıpio mutiplicativo, podemos ter??? maneiras distintas de produzir tal embalagem.
Figura: Novamente realizando procedimento 1 e procedimento 2
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Multiplicativo
Exemplo 2 :
Uma embalagem de produto pode apresentar 4 tamanhos e 5 coresdiferentes. De acordo com o princıpio mutiplicativo, podemos ter20 maneiras distintas de produzir tal embalagem.
Figura: Novamente realizando procedimento 1 e procedimento 2
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Generalizando...
Observacao:
Podemos aplicar ainda o princıpio multiplicatico para tresprocedimentos ou mais, desde que cada maneira escolhida em umdos procedimentos, possa ser seguida de qualquer outra maneira deoutro procedimento.
Logo, se executarmos m procedimentos e oprocedimento de numero j (denominado pj) puder ser realizado denj maneiras, o procedimento geral(aquele que representa aexecucao de p1, depois de p2 e assim ate a execucao de pm) podeser realizado de
m∏j=1
nj = n1 · n2 · . . . · nm maneiras distintas. (2)
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Generalizando...
Observacao:
Podemos aplicar ainda o princıpio multiplicatico para tresprocedimentos ou mais, desde que cada maneira escolhida em umdos procedimentos, possa ser seguida de qualquer outra maneira deoutro procedimento.Logo, se executarmos m procedimentos e oprocedimento de numero j (denominado pj) puder ser realizado denj maneiras, o procedimento geral(aquele que representa aexecucao de p1, depois de p2 e assim ate a execucao de pm) podeser realizado de
m∏j=1
nj = n1 · n2 · . . . · nm maneiras distintas. (2)
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Generalizando...
Observacao:
Podemos aplicar ainda o princıpio multiplicatico para tresprocedimentos ou mais, desde que cada maneira escolhida em umdos procedimentos, possa ser seguida de qualquer outra maneira deoutro procedimento.Logo, se executarmos m procedimentos e oprocedimento de numero j (denominado pj) puder ser realizado denj maneiras, o procedimento geral(aquele que representa aexecucao de p1, depois de p2 e assim ate a execucao de pm) podeser realizado de
m∏j=1
nj = n1 · n2 · . . . · nm maneiras distintas. (2)
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Exemplo 3:
Suponha que alem das escolhas dos restaurantes e dos cinemas, apessoa possa ainda assistir uma peca de teatro dentre 2 possıveis(T1 e T2). O que acabamos de fazer e incluir um procedimento 3e de acordo com cada uma das seis escolhas possıveisanteriormente, temos duas novas possibilidades, ou seja, a pessoanesse caso podera realizar ??? passeios distintos.
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Exemplo 3:
Suponha que alem das escolhas dos restaurantes e dos cinemas, apessoa possa ainda assistir uma peca de teatro dentre 2 possıveis(T1 e T2). O que acabamos de fazer e incluir um procedimento 3e de acordo com cada uma das seis escolhas possıveisanteriormente, temos duas novas possibilidades, ou seja, a pessoanesse caso podera realizar 6 + 6 = 12 passeios distintos.
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Nessa situacao, a pessoa realizara 3 procedimentos. Escolher orestaurante (p1), o cinema (p2) e o teatro (p3), onde n1 = 3,n2 = 2 e n3 = 2. Assim, pelo princıpio multiplicatico no caso 2, onumero total de passeios diferentes e:
n1 · n2 · n3 = 3× 2× 2 = 12
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Nessa situacao, a pessoa realizara 3 procedimentos. Escolher orestaurante (p1), o cinema (p2) e o teatro (p3), onde n1 = 3,n2 = 2 e n3 = 2. Assim, pelo princıpio multiplicatico no caso 2, onumero total de passeios diferentes e:
n1 · n2 · n3 =
3× 2× 2 = 12
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Nessa situacao, a pessoa realizara 3 procedimentos. Escolher orestaurante (p1), o cinema (p2) e o teatro (p3), onde n1 = 3,n2 = 2 e n3 = 2. Assim, pelo princıpio multiplicatico no caso 2, onumero total de passeios diferentes e:
n1 · n2 · n3 = 3× 2× 2 = 12
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Aditivo
Vamos admitir que agora, os procedimentos 1 e 2 nao possam serrealizados conjuntamente, o princıpio aditivo diz que podemocorrer no total:
n1 + n2 maneiras distintas (3)
de realizar o procedimento 1 ou o procedimento 2.
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Aditivo
Vamos admitir que agora, os procedimentos 1 e 2 nao possam serrealizados conjuntamente, o princıpio aditivo diz que podemocorrer no total:
n1 + n2 maneiras distintas (3)
de realizar o procedimento 1 ou o procedimento 2.
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Aditivo
Exemplo 4:
Imagine a situacao do exemplo 1 acima, porem agora a pessoa sotem dinheiro para ir ao teatro ou ao cinema, sendo assim o numerototal de passeios diferentes que ela podera fazer e ??? , utilizandoo resultado anterior .
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Aditivo
Exemplo 4:
Imagine a situacao do exemplo 1 acima, porem agora a pessoa sotem dinheiro para ir ao teatro ou ao cinema, sendo assim o numerototal de passeios diferentes que ela podera fazer e ??? , utilizandoo resultado anterior .
Figura: 5 possibilidades no totalDanilo Salotti Material de Apoio
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Aditivo
Exemplo 4:
Imagine a situacao do exemplo 1 acima, porem agora a pessoa sotem dinheiro para ir ao teatro ou ao cinema, sendo assim o numerototal de passeios diferentes que ela podera fazer e 2+3=5,utilizando o resultado anterior .
Figura: 5 possibilidades no totalDanilo Salotti Material de Apoio
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Aditivo
Observacao : Aqui tambem podemos estender o resultado para tresprocedimentos ou mais, desde que quaisquer dois procedimentosnao possam ser realizados conjuntamente. Teremos entao que onumero total de realizar p1, ou p2, ...,ou pm e dado por :
m∑i=1
ni = n1 + n2 + . . . + nm maneiras diferentes. (4)
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Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
Princıpio Aditivo
Observacao : Aqui tambem podemos estender o resultado para tresprocedimentos ou mais, desde que quaisquer dois procedimentosnao possam ser realizados conjuntamente. Teremos entao que onumero total de realizar p1, ou p2, ...,ou pm e dado por :
m∑i=1
ni = n1 + n2 + . . . + nm maneiras diferentes. (4)
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
PermutacoesArranjosCombinacoes
Sumario
1 Introducao
2 Princıpios FundamentaisPrincıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
3 Permutacoes/Arranjos/CombinacoesPermutacoesArranjosCombinacoes
4 Exercıcios Propostos
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IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
PermutacoesArranjosCombinacoes
Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 = 6.
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 = 6.
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 = 6.
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 = 6.
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
PermutacoesArranjosCombinacoes
Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 = 6.
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 = 6.
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Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 = 6.
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Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 =
6.
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Permutando 3 objetos diferentes
Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Nesse caso, temos P3 = 6.
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Comoda com 7 compartimentos e 7 camisas para guardar...
E se tivessemos 7 objetos ?
Podemos utilizar o princıpiomutiplicativo estudado para obter P7, observe que permutar 7objetos equivale a ”guardar”7 camisas em uma comoda com 7gavetas. Para tal, devemos abrir a primeira gaveta , escolherqualquer uma das 7 (c1 ou c2 ou...c7) camisas e guarda-la, damesma forma, abrimos a segunda gaveta, escolhemos uma das 6camisas restantes e assim ate guardarmos a unica camisa restantena ultima gaveta. Importante lembrar que o procedimento”guardar as camisas”foi separado em outros 7 procedimentos queforam realizados conjuntamente, ou seja, guardar c1(proc.1) eguardar c2(proc.2) e assim sucessivamente ate guardar c7(proc.7).
c4 c6 c1 c5 c3 c2 c7
Tabela: uma possıvel escolha
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Comoda com 7 compartimentos e 7 camisas para guardar...
E se tivessemos 7 objetos ? Podemos utilizar o princıpiomutiplicativo estudado para obter P7, observe que permutar 7objetos equivale a ”guardar”7 camisas em uma comoda com 7gavetas.
Para tal, devemos abrir a primeira gaveta , escolherqualquer uma das 7 (c1 ou c2 ou...c7) camisas e guarda-la, damesma forma, abrimos a segunda gaveta, escolhemos uma das 6camisas restantes e assim ate guardarmos a unica camisa restantena ultima gaveta. Importante lembrar que o procedimento”guardar as camisas”foi separado em outros 7 procedimentos queforam realizados conjuntamente, ou seja, guardar c1(proc.1) eguardar c2(proc.2) e assim sucessivamente ate guardar c7(proc.7).
c4 c6 c1 c5 c3 c2 c7
Tabela: uma possıvel escolha
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Comoda com 7 compartimentos e 7 camisas para guardar...
E se tivessemos 7 objetos ? Podemos utilizar o princıpiomutiplicativo estudado para obter P7, observe que permutar 7objetos equivale a ”guardar”7 camisas em uma comoda com 7gavetas. Para tal, devemos abrir a primeira gaveta , escolherqualquer uma das 7 (c1 ou c2 ou...c7) camisas e guarda-la, damesma forma, abrimos a segunda gaveta, escolhemos uma das 6camisas restantes e assim ate guardarmos a unica camisa restantena ultima gaveta. Importante lembrar que o procedimento”guardar as camisas”foi separado em outros 7 procedimentos queforam realizados conjuntamente, ou seja, guardar c1(proc.1) eguardar c2(proc.2) e assim sucessivamente ate guardar c7(proc.7).
c4 c6 c1 c5 c3 c2 c7
Tabela: uma possıvel escolha
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Comoda com 7 compartimentos e 7 camisas para guardar...
E se tivessemos 7 objetos ? Podemos utilizar o princıpiomutiplicativo estudado para obter P7, observe que permutar 7objetos equivale a ”guardar”7 camisas em uma comoda com 7gavetas. Para tal, devemos abrir a primeira gaveta , escolherqualquer uma das 7 (c1 ou c2 ou...c7) camisas e guarda-la, damesma forma, abrimos a segunda gaveta, escolhemos uma das 6camisas restantes e assim ate guardarmos a unica camisa restantena ultima gaveta. Importante lembrar que o procedimento”guardar as camisas”foi separado em outros 7 procedimentos queforam realizados conjuntamente, ou seja, guardar c1(proc.1) eguardar c2(proc.2) e assim sucessivamente ate guardar c7(proc.7).
c4 c6 c1 c5 c3 c2 c7
Tabela: uma possıvel escolha
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Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 ·
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 ·
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) ·
(n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) ·
(n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · ·
(2) · (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2)
· (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
PermutacoesArranjosCombinacoes
Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) =
n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Encontrando P7 ...
Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :
Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)
Lembrando que 0!=1.
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Estudando os Arranjos ...
Imagine agora que dos nossos n objetos distinguıveis, vamosescolher k deles com 0 ≤ k ≤ n
e mais uma vez iremospermuta-los. Considere An
k o numero total de maneiras de realizartal procedimento.
Escolhendo exatamente 3 camisas
Pretendemos escolher 3 camisas (k=3) das 7 possıveis (n=7) parautilizarmos em 3 dias consecutivos, lembrando que nao queremosrepetir de camisa em dias diferentes.
No primeiro dia, posso escolher qualquer uma das 7(procedimento 1).
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Estudando os Arranjos ...
Imagine agora que dos nossos n objetos distinguıveis, vamosescolher k deles com 0 ≤ k ≤ n e mais uma vez iremospermuta-los. Considere An
k o numero total de maneiras de realizartal procedimento.
Escolhendo exatamente 3 camisas
Pretendemos escolher 3 camisas (k=3) das 7 possıveis (n=7) parautilizarmos em 3 dias consecutivos, lembrando que nao queremosrepetir de camisa em dias diferentes.
No primeiro dia, posso escolher qualquer uma das 7(procedimento 1).
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Estudando os Arranjos ...
Imagine agora que dos nossos n objetos distinguıveis, vamosescolher k deles com 0 ≤ k ≤ n e mais uma vez iremospermuta-los. Considere An
k o numero total de maneiras de realizartal procedimento.
Escolhendo exatamente 3 camisas
Pretendemos escolher 3 camisas (k=3) das 7 possıveis (n=7) parautilizarmos em 3 dias consecutivos, lembrando que nao queremosrepetir de camisa em dias diferentes.
No primeiro dia, posso escolher qualquer uma das 7(procedimento 1).
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Estudando os Arranjos ...
Imagine agora que dos nossos n objetos distinguıveis, vamosescolher k deles com 0 ≤ k ≤ n e mais uma vez iremospermuta-los. Considere An
k o numero total de maneiras de realizartal procedimento.
Escolhendo exatamente 3 camisas
Pretendemos escolher 3 camisas (k=3) das 7 possıveis (n=7) parautilizarmos em 3 dias consecutivos, lembrando que nao queremosrepetir de camisa em dias diferentes.
No segundo dia, posso escolher qualquer uma das 6restantes(procedimento 2).
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Estudando os Arranjos ...
Imagine agora que dos nossos n objetos distinguıveis, vamosescolher k deles com 0 ≤ k ≤ n e mais uma vez iremospermuta-los. Considere An
k o numero total de maneiras de realizartal procedimento.
Escolhendo exatamente 3 camisas
Pretendemos escolher 3 camisas (k=3) das 7 possıveis (n=7) parautilizarmos em 3 dias consecutivos, lembrando que nao queremosrepetir de camisa em dias diferentes.
No terceiro dia, posso escolher qualquer uma das 5restantes(procedimento 3).
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Estudando os Arranjos ...
Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos :
P73 = 7 · 6 · 5 = 210.
Por outro lado,
P73 =
7!
(7− 3)!=
7!
4!=
7 · 6 · 5 · 4!
4!
Concluımos que ha 210 maneiras diferentes de escolher 3 objetosdentre 7 distinguıveis e permuta-los.
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Estudando os Arranjos ...
Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos : P7
3 =
7 · 6 · 5 = 210.Por outro lado,
P73 =
7!
(7− 3)!=
7!
4!=
7 · 6 · 5 · 4!
4!
Concluımos que ha 210 maneiras diferentes de escolher 3 objetosdentre 7 distinguıveis e permuta-los.
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Estudando os Arranjos ...
Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos : P7
3 = 7 ·
6 · 5 = 210.Por outro lado,
P73 =
7!
(7− 3)!=
7!
4!=
7 · 6 · 5 · 4!
4!
Concluımos que ha 210 maneiras diferentes de escolher 3 objetosdentre 7 distinguıveis e permuta-los.
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Estudando os Arranjos ...
Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos : P7
3 = 7 · 6 ·
5 = 210.Por outro lado,
P73 =
7!
(7− 3)!=
7!
4!=
7 · 6 · 5 · 4!
4!
Concluımos que ha 210 maneiras diferentes de escolher 3 objetosdentre 7 distinguıveis e permuta-los.
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Estudando os Arranjos ...
Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos : P7
3 = 7 · 6 · 5 =
210.Por outro lado,
P73 =
7!
(7− 3)!=
7!
4!=
7 · 6 · 5 · 4!
4!
Concluımos que ha 210 maneiras diferentes de escolher 3 objetosdentre 7 distinguıveis e permuta-los.
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Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos : P7
3 = 7 · 6 · 5 = 210.
Por outro lado,
P73 =
7!
(7− 3)!=
7!
4!=
7 · 6 · 5 · 4!
4!
Concluımos que ha 210 maneiras diferentes de escolher 3 objetosdentre 7 distinguıveis e permuta-los.
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Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos : P7
3 = 7 · 6 · 5 = 210.Por outro lado,
P73 =
7!
(7− 3)!=
7!
4!=
7 · 6 · 5 · 4!
4!
Concluımos que ha 210 maneiras diferentes de escolher 3 objetosdentre 7 distinguıveis e permuta-los.
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Generalizando os Arranjos...
Assim, de uma maneira geral segue que:
Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja
Ank =
n!
(n − k)!(6)
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Generalizando os Arranjos...
Assim, de uma maneira geral segue que:Ank =
(n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja
Ank =
n!
(n − k)!(6)
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Generalizando os Arranjos...
Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) ·
(n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja
Ank =
n!
(n − k)!(6)
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Generalizando os Arranjos...
Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) ·
(n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja
Ank =
n!
(n − k)!(6)
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Generalizando os Arranjos...
Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) ·
. . . · (n − k + 1) , ou seja
Ank =
n!
(n − k)!(6)
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Generalizando os Arranjos...
Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . ·
(n − k + 1) , ou seja
Ank =
n!
(n − k)!(6)
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Generalizando os Arranjos...
Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja
Ank =
n!
(n − k)!(6)
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Generalizando os Arranjos...
Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja
Ank =
n!
(n − k)!(6)
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Combinacoes: Escolhendo os k objetos, mas sempermuta-los
Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos,
denotaremos por Cnk o numero
de maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:
ab ac ad bc bd cd
Assim, C 42 = 6.
Importante ressaltar que para obtermos A42, apenas devemos
multiplicar C 42 por 2! , uma vez que cada parzinho formado acima,
nos resultaria em duas possibilidades no arranjo. Por exemplo, opar (ab) resultaria tambem num possıvel arranjo (ba).
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Combinacoes: Escolhendo os k objetos, mas sempermuta-los
Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos, denotaremos por Cn
k o numerode maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:
ab ac ad bc bd cd
Assim, C 42 = 6.
Importante ressaltar que para obtermos A42, apenas devemos
multiplicar C 42 por 2! , uma vez que cada parzinho formado acima,
nos resultaria em duas possibilidades no arranjo. Por exemplo, opar (ab) resultaria tambem num possıvel arranjo (ba).
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Combinacoes: Escolhendo os k objetos, mas sempermuta-los
Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos, denotaremos por Cn
k o numerode maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:
ab
ac ad bc bd cd
Assim, C 42 = 6.
Importante ressaltar que para obtermos A42, apenas devemos
multiplicar C 42 por 2! , uma vez que cada parzinho formado acima,
nos resultaria em duas possibilidades no arranjo. Por exemplo, opar (ab) resultaria tambem num possıvel arranjo (ba).
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Combinacoes: Escolhendo os k objetos, mas sempermuta-los
Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos, denotaremos por Cn
k o numerode maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:
ab ac
ad bc bd cd
Assim, C 42 = 6.
Importante ressaltar que para obtermos A42, apenas devemos
multiplicar C 42 por 2! , uma vez que cada parzinho formado acima,
nos resultaria em duas possibilidades no arranjo. Por exemplo, opar (ab) resultaria tambem num possıvel arranjo (ba).
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Combinacoes: Escolhendo os k objetos, mas sempermuta-los
Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos, denotaremos por Cn
k o numerode maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:
ab ac ad
bc bd cd
Assim, C 42 = 6.
Importante ressaltar que para obtermos A42, apenas devemos
multiplicar C 42 por 2! , uma vez que cada parzinho formado acima,
nos resultaria em duas possibilidades no arranjo. Por exemplo, opar (ab) resultaria tambem num possıvel arranjo (ba).
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Combinacoes: Escolhendo os k objetos, mas sempermuta-los
Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos, denotaremos por Cn
k o numerode maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:
ab ac ad bc bd cd
Assim, C 42 = 6.
Importante ressaltar que para obtermos A42, apenas devemos
multiplicar C 42 por 2! , uma vez que cada parzinho formado acima,
nos resultaria em duas possibilidades no arranjo. Por exemplo, opar (ab) resultaria tambem num possıvel arranjo (ba).
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
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Combinacoes: Escolhendo os k objetos, mas sempermuta-los
Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos, denotaremos por Cn
k o numerode maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:
ab ac ad bc bd cd
Assim, C 42 = 6.
Importante ressaltar que para obtermos A42, apenas devemos
multiplicar C 42 por 2! , uma vez que cada parzinho formado acima,
nos resultaria em duas possibilidades no arranjo. Por exemplo, opar (ab) resultaria tambem num possıvel arranjo (ba).
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
PermutacoesArranjosCombinacoes
Generalizando as Combinacoes...
Assim,(2!) · C 4
2 = A42 = 12
Logo, generalizando na escolha de k objetos:
(k!)Cnk = An
k ⇒ Cnk =
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Generalizando as Combinacoes...
Assim,(2!) · C 4
2 = A42 = 12
Logo, generalizando na escolha de k objetos:
(k!)Cnk = An
k ⇒
Cnk =
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PermutacoesArranjosCombinacoes
Generalizando as Combinacoes...
Assim,(2!) · C 4
2 = A42 = 12
Logo, generalizando na escolha de k objetos:
(k!)Cnk = An
k ⇒ Cnk =
Ank
(k!)
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
PermutacoesArranjosCombinacoes
Generalizando as Combinacoes...
Assim,(2!) · C 4
2 = A42 = 12
Logo, generalizando na escolha de k objetos:
(k!)Cnk = An
k ⇒ Cnk =
n!(n−k)!
(k!)
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
PermutacoesArranjosCombinacoes
Generalizando as Combinacoes...
Assim,(2!) · C 4
2 = A42 = 12
Logo, generalizando na escolha de k objetos:
(k!)Cnk = An
k ⇒ Cnk =
n!(n−k)!
(k!)
Portanto,
Cnk =
n!
(k!) · (n − k)!(7)
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
PermutacoesArranjosCombinacoes
Generalizando as Combinacoes...
Assim,(2!) · C 4
2 = A42 = 12
Logo, generalizando na escolha de k objetos:
(k!)Cnk = An
k ⇒ Cnk =
n!(n−k)!
(k!)
Portanto,
Cnk =
n!
(k!) · (n − k)!(7)
Observacao: Outra notacao muito utilizada e o coeficiente binomial(nk
)= Cn
k =n!
(k!) · (n − k)!
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IntroducaoPrincıpios Fundamentais
Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Sumario
1 Introducao
2 Princıpios FundamentaisPrincıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo
3 Permutacoes/Arranjos/CombinacoesPermutacoesArranjosCombinacoes
4 Exercıcios Propostos
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Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos
Exercıcios
1) Quantas senhas de 4 dıgitos podem ser formadas usando asletras A,B,C,D,E e F se:a)Nenhuma letra pode ser repetida?b)Qualquer letra pode ser repetida qualquer numero de vezes ?
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Exercıcios
2) Dentre 11 pessoas, quantas comissoes de 3 pessoas podem serescolhidas?
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Exercıcios
3) Dentre 8 pessoas(5 homens e 3 mulheres), quantas comissoescom 3 pessoas podem ser formadas tendo exatamente 2 homens ?
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Exercıcios
4) Em um concurso, serao sorteados 3 premios, o principal para oprimeiro colocado, o premio (mais ou menos) para o segundocolocado e por fim o premio (sem graca) para o terceiro colocado.Se 25 pessoas concorrem aos premios e levando em consideracaoque nao ha empates nas colocacoes, de quantas maneiras maneirasdiferentes a premiacao pode ser feita?
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Desafios...
1 Numa determinada festa, voce deve convitar 5 amigos dentre14 possıveis. Mas dois deles sao desafetos e nao podem serconvidados juntos. De quantas maneiras voce pode realizar osconvites ?
2 Quantos subconjuntos de Ω = a1, a2, . . . , an existem ?
3 Interprete as seguintes igualdades:
a)
(nk
)=
(n
n − k
)b)
(nk
)=
(n − 1k − 1
)+
(n − 1k
)c)(a + b)n =
n∑k=0
(nk
)· ak · bn−k
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Desafios...
1 Numa determinada festa, voce deve convitar 5 amigos dentre14 possıveis. Mas dois deles sao desafetos e nao podem serconvidados juntos. De quantas maneiras voce pode realizar osconvites ?
2 Quantos subconjuntos de Ω = a1, a2, . . . , an existem ?
3 Interprete as seguintes igualdades:
a)
(nk
)=
(n
n − k
)b)
(nk
)=
(n − 1k − 1
)+
(n − 1k
)c)(a + b)n =
n∑k=0
(nk
)· ak · bn−k
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Desafios...
1 Numa determinada festa, voce deve convitar 5 amigos dentre14 possıveis. Mas dois deles sao desafetos e nao podem serconvidados juntos. De quantas maneiras voce pode realizar osconvites ?
2 Quantos subconjuntos de Ω = a1, a2, . . . , an existem ?
3 Interprete as seguintes igualdades:
a)
(nk
)=
(n
n − k
)b)
(nk
)=
(n − 1k − 1
)+
(n − 1k
)c)(a + b)n =
n∑k=0
(nk
)· ak · bn−k
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Referencias
Meyer, P. , Probabilidade - Aplicacoes a Estatıstica, 2a edicao,Livros Tecnicos e Cientıficos Editora,2003.
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