MÓDULO IFUNÇÕES

O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:

x(anos)

y(reais)

0 5

160

800

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,800)

P2(5,160)

800 = a.0 + b

b = 800

160 = a. 5 + 800

-640 = 5a

a = -128

f(x) = a.x+ b

f(x) = -128.x+ 800

f(3) = -128.3+ 800 f(3) = 416f(3) = 416

Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00

As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor máximo da área em cmmáximo da área em cm22 , que esse retângulo pode assumir. , que esse retângulo pode assumir.

Vértice

5/2

yV

0 5

2x

10 – 2x

A = base x altura

A = 2x . (10 – 2x)

A(x) = – 4x2 + 20x

a = - 4 b = 20 c = 0

RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO

0 = – 4x2 + 20xx2 - 5x = 0x1 = 0 x2 = 5

Área

Área Máxima é o yv

A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2)

A(5/2) = 25cm2

EXPONENCIAL E LOGARITMOS

LOGARITIMOS DEFINIÇÃOLOGARITIMOS DEFINIÇÃO

logB A = x A = Bx

Aplicando a definição, determine o valor do log21024

log21024 = x

1024 = 2x

210 = 2x

x = 10

CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES

logB 1 = 0 logA A = 1

PROPRIEDADESPROPRIEDADES

logC (A.B) = logc A + logc B

logC (A/B) = logc A – logc B

logC Am = m.logc A

Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28?

log 28 = log (22.7)

log 28 = log 22 + log 7

log 28 = 2.log 2 + log 7

log 28 = 2.0,301 + 0,845

log 28 = 0,602 + 0,845

log 28 = 1,447

28 2

14 2

7 7

1

A solução da equação log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é:

loga (b . c) = loga b + loga c log 2x + log (1 + 2x) = log 6

log [(2x (1 + 2x)] = log 6

2x (1 + 2x) = 6

Incógnita auxiliar:

2X = y

y (1 + y) = 6

y + y2 = 6

y2 + y – 6 = 0

y’ = 2 y’’ = - 3

2x = 2

x = 1

PROGRESSÕES

Assinale V para as Verdadeiras e F para as falsas

Entre 4 e 96 existem 19 números múltiplos de 5.

4 96

5 95

an = a1 + (n - 1)·r

95 = 5 + (n - 1)·5

90 = (n - 1)·5

90/5 = n - 1

18 = n - 1

n = 19V

a1= 5 an= 95r = 5

a20 = a1 + 19·r

a20 = 0 + 19·2

a20 = 38

A soma dos vinte primeiros números pares é 380

NÚMEROS PARES:

0, 2, 4, 6 ...

P.A.

a1= 0 e r = 2

S20 = ( a1 + a20) · 20

2

S20 = ( 0 + 38 ) · 10

S20 = 380

V

O número de termos da P.G (3, 6, .........., 768) é 9

?n

768a

236

q

3a

n

1 an = a1.qn - 1

768 = 3.2n - 1

256 = 2n - 1

28 = 2n - 1

8 = n – 1

n = 9 V

A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1

(3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)

....

27

1

9

1

3

1

31

1

31

S

S = a1

1 – q

S = 0,5 V

ANÁLISE COMBINATÓRI

A

USA TODOS ELEMENTOS

NÃO USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO

ARRANJO

COMBINAÇÃO

IMPORTA ORDEM

NÃO IMPORTA ORDEM

Pn = n!p)!(n

! np

nA

p!p)!(n

! np

nC

FORMULÁRIO

Presentes a uma reunião estão 5 brasileiros e 3 ingleses, então o númerode comissões com 3 brasileiros e 2 ingleses que podemos formar é:

B B B I I

10 . 3 = 30

___ ___ ___ ___ ___

5C3

3C2

!!.!.

!!.!

123

23

5

O número de anagramas da palavra TIGRE em que as vogais aparecem juntas é:

I E

___ ___ ___ ___ ___

2P

4P

Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos seus nomes, por exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é :

P4 . P2

4! . 2!

48

12!2

!42

4P

MATRIZES DETERMINANTES E SISTEMAS

Julgue os itens:

Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.F

Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula.

Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A 0 B 0.

.00

11

10

10 0 0

0 0

F

Sejam as matrizes e seja X uma matriz tal

21

43=B e

43

21A

que X.A = B. Então, det X vale – 1

X.A = B

det(X.A) = det B

det X. det A = det B

det X. (- 2) = 2

43

21A

21

43=B

det A = – 2

det B = 2

det X = – 1

V

A matriz é singular

0213

1845

1524

0321

Adet A- 1 = 1

det A

Se det A = 0Não existe inversa (A é singular)

A.A-1 = I

Se det A 0 Existe inversa (A é inversível)

det A = 0

V

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES

POLINOMIAIS

Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3.

D(x) = x + 3P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 x + 3 = 0x = - 3

raiz do divisorP(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32

P(-3) = - 81 + 72 + 32

P(-3) = 23

As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz dessa equação é:

x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0

raízes em P.A.

rxx

xx

rxx

3

2

1

a

d

3.x

2.x

1x

a

b

3x

2x

1x

Relações de Girard

x – r + x + x + r = 9

3x = 9

x = 3

1 -9 23 -153

1

+

- 6 5 0

x2 – 6x + 5 = 0

x’ = 1 x’’ = 5

Solução: S = {1, 3, 5}

TRIGONOMETRIA

Na figura, abaixo, determine o valor de x

3 0 ° 6 0 °

A

B

CD

AD = x DC= x - 38 BD = y

tg 30o =

x x – 38

y

60o30o

y

x

3

3 yx

tg 60o = y

x – 38

3 =x – 38

y

(x – 38) 3 = y

=

3

3= (x – 38) 3

x

x = 3(x – 38)

x = 3x – 114

114 = 2x

57 = x

SENO E COSSENO E TANGENTE

SENO

+ 1

– 1

+ +__

COSSENO

+ 1– 1

+

+

_

_

TANGENTE

+

+

_

_

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

sen2x + cos2 x = 1

tg x = sen xcos x

x sen = x cossec

1

x cos = x sec

1x sen

x cos

x tg = x cotg

1

Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:

cossec x = 4

5

sen x = 5

4

sen2x + cos2 x = 1

1cos5

4 2

2

x

1cos25

16 2 x

25

161cos2 x

25

9cos2 x

5

3cos x

3

5sec x

tg x = sen xcos x

53

54

xtg

3

4xtg

9.(sec2 x + tg2 x)

22

3

4

3

59

9

16

9

259

9

419 41

GEOMETRIA ANALÍTICA

GEOMETRIA ANALÍTICA

DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS

d x x y yAB B A B A 2 2

2

AM

2

AMAM)y(y)x(xd

22

)84(63 AMd

PONTO MÉDIO

xx x

MA B

2

yy y

MA B

2

Considere um triângulo de vértices A(6,8);B(2,3) e C(4,5). O valor da medida da medianaAM do triângulo ABC é:

22

)4(3 AMd

5AMd MEDIANA AM = 5

A(6,8)

B(2,3) C(4,5)M(3,4)

x

y

2

3

Determine a equação reduzida da reta rque passa pelo centro da circunferênciax2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, e é paralela àreta s: y = 4x - 2

y – yo = m(x – xo)

y – 3 = ?(x – 2)

r // s mr = ms

y – 3 = 4(x – 2)

y = 4x – 5

GEOMETRIA PLANA

Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede 135o

xSuplemento

xÂngulo

180:

: x = 3(180 – x)

x = 540o – 3x

4x = 540o x = 135o

V

02. O número de diagonais de um dodecágono é 54V

23)n(nd

2

)312(12 d d = 54

Cada ângulo interno de um decágono regular mede 144o

Si = 180°(n 2)

decágono regular

Si = 180°(10 2) Si = 1440o

n

Sai i

10

1440o

ai ai = 144o

V

Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice formam entre si um ângulo de 40o

72o

F

5

360o

Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto dividir a hipotenusa em segmentos de 3cm e 12cm, então a área desse triângulo é de 45cm2.

h

12 3

a2 = b2 + c2 a.h = b.cb2 = a.nc2 = a.mh2 = m.n

h2 = m.n

h2 = 12.3

h2 = 36

h = 6

452

6.15

2

a.hA

V

O raio de uma circunferência inscrita num triângulo eqüilátero mede 2cm então a altura desse triângulo mede 6cm.

2

r = 1/3 . h2 = 1/3 . h

h = 6

V

Um quadrado inscrito em uma circunferência tem área 16 m2, então a área do círculo é 16 m2

Aquadrado =

16 = 2

4 =

2

dR

2

2R

2

24R

22R

Acírculo = R2

Acírculo =

22

Acírculo = 8 m2

F

GEOMETRIA ESPACIAL

PARALELEPÍPEDO

ST = 2(ab + ac + bc)

V = a.b.c

D2 = a2 + b2 + c2

As dimensões de um paralelepípedo são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Sabendo que seu volume é 480m3, determine sua área total.

DICAS:Soma das dimensões: a + b + cSoma das arestas: 4a + 4b + 4cDimensões em P.A. x – r, x, x + r

Dimensões em P.G. x/q, x, xq

V = a. b. c

480 = 3k . 4k . 5k

480 = 60k3

8 = k3

k = 2

a = b = c = 3k 4k 5k

ST = 2(ab + ac + bc)

a = 6b = 8c = 10

ST = 2(6.8 + 6.10 + 8.10)

ST = 2(48 + 60 + 80)

ST = 2(188)

ST = 376m2

CILINDRO

SB = r2 SL = 2rh ST = 2SB + SL V = r2h

Determine o valor do volume de um cilindro equilátero sabendo que sua área lateral vale 36cm2

CILINDRO EQUILÁTERO SL = 2rh

36 = 2rh

36 = 2rh

36 = 2r h

36 = h.h

6 = h

2r = h V = r2h

V = 32.6

V = 54 cm3r = 3