Revisão de Matemática

FinanceiraProfessor- Danilo Pires

Conteúdo Programático

MMC e MDCRazão e ProporçãoRegra de Três Simples e CompostaPorcentagem Juros Simples Juros Composto

MMC- Mínimo Múltiplo ComumMDC- Máximo Divisor Comum

Dados dois ou mais números o Mínimo Múltiplo Comum, MMC é o menor número que é múltiplo dos outros dois ( ou mais números).

Dado dois ou mais números, denomina-se Máximo Divisor Comum ( M.D.C) desses números o maior desses divisores

Vamos encontrar o M.M.C.( 12, 36, 18)Primeiro encontramos:

Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...

Múltiplos de 36: 0 , 36, 72, 108, 144, 180,...

Múltiplos de 18: 0, 18 36, 54, 72, 90, 108,...

Os múltiplos comuns são: 0, 36, 72,....

Sem contar o zero.

m.m.c ( 12, 36, 18) = 36

Vamos encontrar o MDC ( 12, 36, 18)

Primeiro Encontramos:

D(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(36)= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }

D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Divisores comuns= 1, 2, 3, 6

Maior divisor comum 12, 36 e 18

MDC(12, 36, 18) = 6

Vamos agora encontrar o MMC e o MDC por um método muito prático!

Usaremos o método da Fatoração Simultânea

Fatoração Simultânea

Dividimos todos os números por um primo divisor de todos.

12, 36, 18 2

6, 18, 9 3

2, 6, 3 3

2, 2, 1 2

1, 1, 1

Dividimos novamente por um primo divisor de todos.

Como não temos um primo divisor de todos, Já temos o MDC, basta fazer 2x3=6

Continuamos a fatoração

Agora fazendo 2x3x3x2 temos o MMC, que é 36

Então MMC(12, 36, 18)=36 e MDC(12,36,18)= 6

Observe agora o que acontece com o MMC e com o MDC dos números 10 e 11

Números que tenham como MDC= 1, são chamados de números primos entre si!

Não há primo divisor comum!

Então o MDC(10, 11) = 1

O MMC(10,11)= 2x5x11= 10x11=110

10, 11 2

5, 11 5

1, 11 11

1, 1

Razão e Proporção

A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”.

A razão representa-se por uma fracção:ab

Razão e Proporção

Definição:

Dados dois números a e b, com b diferente de zero, a razão entre a e b representa-se por:

ab

:a b

ou e lê-se razão de a para b.

Razão e Proporção

ab

:a b

Termos Termos

Razão e Proporção

ab

Termos Antecedente

Consequente

Termos

Antecedente Consequente:a b

Exemplo

Uma orquestra é formada por 40 homens e 30 mulheres.

Qual a razão entre o número de homens e o número de mulheres?

30

40

• Qual a razão entre o número de mulheres e o número de homens?

40

30

Numa razão é muito importante verificar a ordem pela qual estão referidas as duas grandezas

Grandezas directamente proporcionais

Nº de galinhas 24 36 48 60

Alimentação (€)

24 36 48 60

O Sr. Ramalho faz criação de galinhas. Observa a tabela.

160

60;1

48

48;1

36

36;1

24

24

Nota que…A relação número de galinhas/gastos com alimentação é igual em todos os quocientes.

Dizemos, então, que o número de galinhas e os gastos em € com alimentação são directamente proporcionais.

Duas grandezas são directamente proporcionais quando é constante o quociente entre os valores correspondentes de ambas as grandezas.A esse quociente chamamos constante de proporcionalidade.

Nota que…

Razão Proporção

lê-se“a está para b assim como c está para d”…

…onde a, b, c e d são os termos da proporção: a e d são extremos e b e c são os meios.

Definição:

ab

cd

=

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

Razão e Proporção

Meio

Extremo

ab

cd

=

Extremo

Meio

:a b

:c d

=

Extremo

Extremo Meio

Meio

Razão e Proporção

Propriedade fundamental das proporções:

Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

ab

cd

=

b c a

d=

Meio

Meio

Razão e Proporção

Propriedade fundamental das proporções:Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

ab

cd

=

b c a

d=

Meio

Extremo

Extremo

Meio

Razão e Proporção

Exemplos:

4 124 21 7 12

7 21

3 123 40 8 12

8 40

É proporção

Não é proporção

Exercícios de aplicação

1. Descobre o termo que falta em cada uma das proporções:

?

6

3

2

20

25

?

5

?

12

9

2

5 x 20 = ? x 25 100 = ? X 25 ? = 100 : 25 ? = 4

2 x ? = 9 x 12 2 x ? = 108 ? = 108 : 2 ? = 54

2 x ? = 3 x 6 2 x ? = 18 ? = 18 : 2 ? = 9

Regra de Três

A regra de três é simplesmente um método para resolver as proporções sem precisar de armá-las.

A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles.

Tabela de Valores

A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

Regra de Três

Pedro decide fazer um túnel de1Km de extensão.

Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo.

Como dispunha de 30 trabalhadores, Pedro resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade.

Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo?

Regra de Três Primeiro colocamos o problema em uma tabela:

Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou.

Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais.

Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo:

Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.

O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo?

Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:

Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:

Regra de Três Composta Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior:

Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?

Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

Regra de Três Composta

Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada.

Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.

Obtemos então a solução:

2 meses

PorcentagemA porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela. Exemplos:

50 1a) 50% 0,50

100 225 1

b) 25% 0,25100 47

c) 7% 0,07100

12 60d) 12 alunos de uma sala com 20 alunos 60% 0,60

20 100

Porcentagem

100% representa o valor total de uma quantidade.25% do total representa uma parte da quantidade.Sendo assim, com 25% de 300 alunos, teremos:

300 alunos representa 100%

2525% de 300 alunos 25% 300 300 0,25 300 75 alunos

100

Se o número de alunos aumentou em 25%, teremos a nova quantidade de alunos igual a 300 + 75 = 375 alunos.Caso tenha diminuído de 25%, será igual a 300 – 75 = 225 alunos.

PorcentagemPara achar o valor total: 60% de quanto dá R$ 156,00?

60% de x = R$156,00

0,60 x 156,00

156,00x 260,00

0,60

Sendo assim, 60% de R$ 260,00 é igual a R$ 156,00.

A quantia de 126 corresponde a quantos por cento de 420?

x de 420 = 126

x 420 126

126 30x 0,3 0,30 30%

420 100

Sendo assim, 30% de 420 é igual a 126.

Termos Importantes da Matemática Financeira

Capital (C) ou valor principal é a quantia que será emprestada ou aplicada e sofrerá o aumento dos juros.

Juros (j) é o valor em dinheiro acrescido após um período ou tempo de aplicação.

Montante (M) é o valor do capital acrescido de juros.

Taxa (i) de juros é a porcentagem que irá incidir sobre o capital.

Período (t) ou tempo que o dinheiro ficará aplicado.

Juros Simples

É o cálculo do rendimento do capital por meio de uma taxa de juros estabelecida num período de tempo considerado. Este regime era mais utilizado nas situações de curto prazo, hoje os juros compostos são os mais presentes.

Os cálculos são baseados na utilização da fórmula extraída do conceito, não se esqueça das letrinhas do slide anterior, certo?

j C i t

Montante

Montante é o valor acumulado após um determinado período, referente a uma operação financeira, é também conhecido como Valor Futuro (VF);

É justamente a soma do Capital (C) e dos Juros (J).

M C j M C (1 i t)

Juros Simples

j C i t M C j M C (1 i t)

Quanto rendeu um capital de R$4000,00 aplicado a juros simples, com taxa de 2% ao mês ao final de 1 ano e meio?

Qual o montante que terei?

2j ?, C 4000, i 2% 0,02,100t 1 ano e meio 18 meses

j 4000 0,02 18 R$1440,00

M 4000 1440 R$ 5440,00

Um capital de R$ 5000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 1,5% ao mês, resultou em um montante de R$ 5750,00 após um período de aplicação. Qual foi este período?

t ?, C 5000, M 5750,

1,5i 1,5% 0,015100M C (1 i t) 5750 5000 (1 0,015 t)

5750 5000 1 0,015 t 1,15 1 0,015 t

0,15 0,015 t t 10 meses

Juros Composto

O capital aplicado, como já sabemos, é remunerado, a partir dos juros que vão se acumulado, ao longo período considerado. Já trabalhamos com os juros simples, no qual somente o principal rende juros. Vamos observar, agora, o que muda:

Juros Composto

Para facilitar as construções, vamos ilustrar a diferença entre o crescimento de um capital através de juros simples e de juros compostos. Que tal? Lembre-se de que:

M = C *(1 + i*n), assim na tabela simularemos cada período, ficando n=1, teremos: M = C* (1 + i), ou seja, C + C*i.

Suponha que R$1.000,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m, assim, teremos:

CAPITAL (R$1000,00) JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTO

MÊS MONTANTE SIMPLES MONTANTE COMPOSTO

1 1000 + 0,1*1000 = 1.100,00 1000 + 0,1*1000 = 1.100,00

2 1100 + 0,1*1000 = 1.200,00 1100+0,1*1100=1.210,00

3 1200 + 0,1*1000 = 1.300,00 1210+0,1*1210=1.331.00

Juros Composto

Podemos observar que nas letras em vermelho, que o crescimento do capital, segundo juros simples, é simplesmente linear, enquanto que o crescimento, segundo juros compostos, é exponencial, o que implica em ganhos maiores.

Por esse motivo, as empresas e os indivíduos da sociedade preferem investir seu capital em aplicações financeiras, que praticam os juros compostos.

Exemplo:

Juros Composto

M C j ou j M C tM C (1 i)

Quanto rendeu um capital de R$4000,00 aplicado a juros compostos, com taxa de 2% ao mês ao final de 1 ano e meio?

t

18 18

2j ?, C 4000, i 2% 0.02,100t 1 ano e meio 18 meses

M C (1 i)

M 4000 (1 0,02) 4000 (1,02)

M 4000 1,428246 R$ 5712,98

j M C

j 5712,98 4000,00 R$ 1712,98

Um capital de R$ 5000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 1,5% ao mês, resultou em um montante de R$ 5750,00 após um período de aplicação. Qual foi este período?

t t

t t

t ?, C 5000, M 5750,

1,5i 1,5% 0,015100

M C (1 i) 5750 5000 (1 0,015)

5750 5000 1,015 log 1,15 log 1,015

log 1,15 t log 1,015 t log 1,15 log 1,015

t 9,4 meses 9 meses e 12 dias

Professor Danilo Pires

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