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1
Retorno e risco de carteiras de investimento
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2
OBJETIVOS DA UNIDADE DE ESTUDO
• Compreender o processo de avaliação do risco de uma carteira.
• Definir e mensurar a covariancia entre duas variáveis
• Definir e mensurar a correlação entre duas variáveis
• Quantificar o peso da carteira.
• Definir e mensurar o retorno de uma carteira.
• Definir e mensurar o risco de uma carteira
• Descrever o papel das características e objetivos do investidor e os objetivos e políticas da carteira na construção de uma carteira de investimento.
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3
ABORDAGEM
CONCEITUAIS
BÁSICAS
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4
Até agora, todos os conceitos que foram analisados eram voltados para investimento em um único ativo.
Por exemplo você aplicava seus recursos no Ativo 1 ou no Ativo 2, dependendo de seu retorno desejado e de sua propensão a assumir riscos.
Esse seu investimento, representa a sua carteira de investimentos, ou seja seu conjunto de investimentos.
Carteiras ou Portifólios de Investimentos representam então, o conjunto de investimentos de uma pessoa física ou jurídica
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5
Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento de um ativo isolado.
Esta é uma situação bastante hipotética pois raramente um investidor possui apenas um ativo em seu portfólio.
O caso comum, é que os investidores possuam investimentos em diversos ativos, como forma de diminuir seu risco.
“Não se deve colocar todos os ovos na mesma cesta”.
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6
Mesmo que se aplique os seus recursos em um investimento seguro e de baixo risco, por exemplo – Caderneta de Poupança, ainda assim se corre riscos significativos.
…O investidor brasileiro…sofreu com a tablita, na época do Plano Cruzado, foi vítima de vários planos heterodoxos e viu seu dinheiro ser confiscado, no governo Collor…“O investidor no Brasil foi muito judiado”...Trecho da matéria intitulada, “A era da paciência”, publicada pela Revista Exame em 12.02.1996
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7
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Representação Gráfica– Risco (desvio-padrão) X Retorno-Ativo 1
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0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Representação Gráfica– Risco (desvio-padrão) X Retorno-Ativo 2
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PeríodosAtivo 1
$Variação
%Média
%Distância da Média
%
Distância da Média²
%
1 15,00
2 13,00 - 13,33 3,52 -16,85 284,03
3 16,50 26,92 3,52 23,40 547,70
4 18,00 9,09 3,52 5,57 31,04
5 19,20 6,67 3,52 3,15 9,90
6 17,00 - 11,46 3,52 -14,98 224,35
7 17,00 0,00 3,52 -3,52 12,39
8 15,00 -11,76 3,52 -15,28 233,62
9 18,00 20,00 3,52 16,48 271,59
10 19,00 5,56 3,52 2,04 4,14
Soma 0,00 1618,77
Média 3,52 202,34655
Raiz 14,224857
Demonstração de cálculo do risco e retorno do Ativo 1
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PeríodosAtivo 2
$Variação
%Média
%Distância da Média
%
Distância da Média²
%
1 8,50
2 8,00 -5,88 0,36 -6,24 38,95
3 7,90 -1,25 0,36 -1,61 2,59
4 7,60 -3,80 0,36 -1,16 17,28
5 8,10 6,58 0,36 3,59 38,69
6 8,30 2,47 0,36 2,17 4,45
7 8,60 3,61 0,36 5,81 10,60
8 9,00 4,65 0,36 4,29 18,42
9 8,45 -6,11 0,36 -6,41 41,86
10 8,70 2,96 0,36 2,60 6,76
Soma 0,00 179,60
Média 0,36 0,00 22.450104
Raiz 4,7361541
Demonstração de cálculo do risco e retorno do Ativo 2
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11
Então pode-se escrever a relação de retorno da carteira, como:
2211p rXrXr +=
=
=
=
=
=
2
2
1
1
p
r
X
r
X
r
Dicionário das Variáveis
Retorno esperado da carteira de investimentos
Proporção dos recursos investidos no ativo 1
Retorno esperado do ativo 1
Proporção dos recursos investidos no ativo 2
Retorno esperado do ativo 2
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(1) (2) (3)=0,5*(2) (4) (5) (6)=0,5*(5) (7)=(3)+(6)
Períodos
Ativo 1
$
Variação
%
50% investido
Ativo 2
$
Variação
%
50% investido
Carteira
1
1 15,00 8,50
2 13,00 - 13,33 -6,67 8,00 -5,88 -2,94 -9,61
3 16,50 26,92 13,46 7,90 -1,25 -0,62 12,84
4 18,00 9,09 4,55 7,60 -3,80 -1,90 2,65
5 19,20 6,67 3,33 8,10 6,58 3,29 6,62
6 17,00 - 11,46 -5,73 8,30 2,47 1,23 -4,49
7 17,00 0,00 0,00 8,60 3,61 1,81 1,81
8 15,00 -11,76 -5,88 9,00 4,65 2,33 -3,56
9 18,00 20,00 10,00 8,45 -6,11 -3,06 6,94
10 19,00 5,56 2,78 8,70 2,96 1,48 4,26
Soma
Média 3,52 1,76 0,36 0,18 1,94
12
O cálculo do retorno médio, dia a dia é:
Representa exatamente o retorno de 1,94% obtido pela equação do retorno da carteira
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13
Seguindo o mesmo raciocínio para o risco da carteira:
%48,9
%74,4x5,0%22,14x5,0
p
p
=σ
+=σ
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2211p XX σ+σ=σ
14
=σ
=
=σ
=
=σ
2
2
1
1
p
X
X
Dicionário das Variáveis
Risco esperado da carteira de investimentos
Risco esperado do ativo 1
Risco esperado do ativo 2
Logo a relação de risco da carteira é:
Proporção dos recursos investidos no ativo 1
Proporção dos recursos investidos no ativo 2
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PeríodosCarteira
1
Distância da Média
%
Distância da Média²
%
1
2 -9,61 -11,55 133,34137
3 12,84 10,90 118,74522
4 2,65 0,71 0,500146
5 6,62 4,68 21,933267
6 -4,49 -6,43 41,397761
7 1,81 -0,13 0,0174964
8 -3,56 -5,50 30,209115
9 6,94 5,00 25,049365
10 4,26 2,32 5,371072
Soma 378,564820
Média 1,94 47,070602
Raiz 6,8608019
15
Façamos o comprovante da fórmula na planilha
Lembre-se que para n<30 usamos n-1 na média
Se pode escrever a relação de Retorno da Carteira, como segue
OOOPS…Temos um erro aqui!!! Pela fórmula o risco da carteira foi de 9,48% e pela planilha,
6,86%??? Como pode!?!? Façamos uma leitura
gráfica.
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16
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Representação Gráfica– Risco X Retorno- Carteira 1
Ativo 2
Ativo 1
Carteira 1 (50% A1 e 50% A2)
6,86 9,48
Esse resultado parece um tanto estranho, pela fórmula 9,48% de risco e pela planilha 6,86%?
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17
Bem, erros acontecem…
Vamos tentar uma segunda carteira com outra proporção…
75% dos valores investidos no Ativo 1 e 25% no Ativo 2
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2211p rXrXr +=
%73,2r
%36,0x25,0%52,3x75,0r
p
p
=
+=
%85,11
%73,4x25,0%22,14x75,0
p
p
=σ
+=σ
2211p XX σ+σ=σ
Cálculo da expectativa quanto ao retorno da Carteira 2
Cálculo da expectativa quanto ao risco da Carteira 2
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(1) (2) (3)=0,5*(2) (4) (5) (6)=0,5*(5) (7)=(3)+(6)
Períodos
Ativo 1
$
Variação
%
75% investido
Ativo 2
$
Variação
%
25% investido
Carteira
2
1 15,00 8,50
2 13,00 - 13,33 -10,00 8,00 -5,88 -1,47 -11,47
3 16,50 26,92 20,19 7,90 -1,25 -0,31 19,88
4 18,00 9,09 6,82 7,60 -3,80 -0,95 5,87
5 19,20 6,67 5,00 8,10 6,58 1,64 6,64
6 17,00 - 11,46 -8,59 8,30 2,47 0,62 -7,98
7 17,00 0,00 0,00 8,60 3,61 0,90 0,90
8 15,00 -11,76 -8,82 9,00 4,65 1,16 -7,66
9 18,00 20,00 15,00 8,45 -6,11 -1,53 13,47
10 19,00 5,56 4,17 8,70 2,96 0,74 4,91
Soma
Média 3,52 2,64 0,36 0,09 2,73
Cálculo da expectativa quanto ao retorno da Carteira 2 com base na Planilha
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PeríodosCarteira
2
Distância da Média
%
Distância da Média²
%
1
2 -11,47 -14,20 201,64949
3 19,88 17,15 294,12461
4 5,87 3,14 9,8537521
5 6,64 3,91 15,327153
6 -7,98 -10,71 114,62296
7 0,90 -1,83 3,3347566
8 -7,66 -10,39 107,96217
9 13,47 10,74 115,40079
10 4,91 2,18 4,7374377
Soma 867,01315
Média 2,73 108,37664
Desvio Padrão 10,41041
Cálculo da expectativa quanto ao risco da Carteira 2 com base na Planilha
Outra vez?
O retorno esperado da carteira 2 é igual ao da fórmula, mas o risco
não???
O risco pela fórmula é 11,85% e pela planilha
10,41%????
Será que é erro mesmo?
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0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Representação Gráfica – Risco X Retorno- Carteira 2
Ativo 2
Ativo 1
Carteira 1 (50% A1 e 50% A2)
4,74
9,48
Carteira 2 (75% A1 e 25% A2)
14,22
11,8510,41
6,68
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Isto está ficando interessante…
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2211p rXrXr +=
%15,1r
%36,0x75,0%52,3x25,0r
p
p
=
+=
%10,7
%73,4x75,0%22,14x25,0
p
p
=σ
+=σ
Cálculo da expectativa quanto ao retorno da Carteira 2
2211p XX σ+σ=σ
Cálculo da expectativa quanto ao risco da Carteira 2
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(1) (2) (3)=0,5*(2) (4) (5) (6)=0,5*(5) (7)=(3)+(6)
Períodos
Ativo 1
$
Variação
%
25% investido
Ativo 2
$
Variação
%
75% investido
Carteira
3
1 15,00 8,50
2 13,00 - 13,33 -3,33 8,00 -5,88 -4,41 -7,75
3 16,50 26,92 6,73 7,90 -1,25 -0,94 5,79
4 18,00 9,09 2,27 7,60 -3,80 -2,85 -0,58
5 19,20 6,67 1,67 8,10 6,58 4,93 6,60
6 17,00 - 11,46 -2,86 8,30 2,47 1,85 -1,01
7 17,00 0,00 0,00 8,60 3,61 2,71 2,71
8 15,00 -11,76 -2,94 9,00 4,65 3,49 0,55
9 18,00 20,00 5,00 8,45 -6,11 -4,58 0,42
10 19,00 5,56 1,39 8,70 2,96 2,22 3,61
Soma
Média 3,52 0,88 0,36 0,27 1,15
Cálculo da expectativa quanto ao retorno da Carteira 3 com base na Planilha
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PeríodosCarteira
3
Distância da Média
%
Distância da Média²
%
1
2 -7,75 -8,89 79,109667
3 5,79 4,64 21,566685
4 -0,58 -1,72 2,9744131
5 6,60 5,45 29,71997
6 -1,01 -2,16 4,6742708
7 2,71 1,56 2,4384967
8 0,55 -0,60 0,3624992
9 0,42 0,73 0,5367145
10 3,61 2,46 6,0444636
Soma 147,42738
Média 1,15 18,428422
Desvio Padrão 4,2928338
Cálculo da expectativa quanto ao risco da Carteira 3 com base na Planilha
Como já era de se esperar, o retorno da
carteira confere, já o risco da carteira pela fórmula é de 7,10% e pela planilha é
de 4,29%
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Representação Gráfica – Risco X Retorno- Carteira 3
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Ativo 2
Ativo 1
Carteira 1 (50% A1 e 50% A2)
4,74
9,48
Carteira 2 (75% A1 e 25% A2)
14,22
11,8510,71
6,68
4,29
Carteira 3 (25% A1 e 75% A2)
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Isto é demais!!!
Quer me convencer que se eu aplicar 75% de meu dinheiro no Ativo 2, com risco de 4,74% e, 25% no Ativo 1 com um risco de 14,22% eu chego a uma carteira com risco de 4,29%???
Um risco menor do que o do Ativo 2,
que é o ativo de menor risco???
Como???
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Este foi o Eureka de
HARRY MARKOWITZ… (Uma delas)
Este pesquisador de finanças publicou em 1952 a tese, intitulada Portfolio selection – efficient diversification of investments, que lhe valeu o prêmio nobel de economia em 1989. onde ele demonstra que a relação entre risco e retorno das carteiras de investimento não é linear, como propositalmente se tentou (em vão) demonstrar.
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2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
4,294,74
1,15
100% Ativo 2
100% Ativo 1
14,22
3,52
Carteira 3 (25% A1 e 75% A2)
0,36
Observe quão interessante foi a descoberta de Markowitz!
Desvio-Padrão dos Retornos
Risco (%)
0,00
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Aplicar somente no ativo de baixo risco (Ativo 2), significaria correr mais risco e ter um retorno
menor.
POR QUE ISSO ACONTECE?
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Retornos
PeríodosA (%) B (%)
1 14,00 6,00
2 12,00 8,00
3 10,00 10,00
4 8,00 12,00
5 6,00 14,00
Vamos tentar compreender a relação da variação dos retornos de dois ativos com um exemplo simples.
![Page 32: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/32.jpg)
Caso um investidor aplique seus recursos somente em A, ele terá o seguinte retorno médio e risco
Retornos
Períodos
(1) (2) (3)=(1)-(2) (4)=(3)²
A (%)
Retorno Médio
(%)
Distância da Média
(%)
Distância da Média²
(%)
1 14,00 10,00 4,00 16,00
2 12,00 10,00 2,00 4,00
3 10,00 10,00 0,00 0,00
4 8,00 10,00 -2,00 4,00
5 6,00 10,00 -4,00 16,00
Retorno Médio 10,00 10,00Risco (Desvio-Padrão) 3,16
Lembre-se que para n<30 usamos n-1 na média
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Caso um investidor aplique seus recursos somente em B, ele terá o seguinte retorno médio e risco
Retornos
Períodos
(1) (2) (3)=(1)-(2) (4)=(3)²
B (%)
Retorno Médio
(%)
Distância da Média
(%)
Distância da Média²
(%)
1 6,00 10,00 -4,00 16,00
2 8,00 10,00 -2,00 4,00
3 10,00 10,00 0,00 0,00
4 12,00 10,00 2,00 4,00
5 14,00 10,00 4,00 16,00
Retorno Médio 10,00 10,00Risco (Desvio-Padrão) 3,16
Lembre-se que para n<30 usamos n-1 na média
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Agora se esse mesmo investidor, resolve montar uma carteira de investimentos, este panorama quanto ao risco muda.
PeríodosRetornos Carteiras
A (%) B (%) 50% A 50% B A/B
1 14,00 6,00 7,00 3,00 10,00
2 12,00 8,00 6,00 4,00 10,00
3 10,00 10,00 5,00 5,00 10,00
4 8,00 12,00 4,00 6,00 10,00
5 6,00 14,00 3,00 7,00 10,00
Retorno Médio 10,00 10,00 10,00
Risco 3,16 3,16 0.00
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0,00 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
Ativo BAtivo A
Carteira A/B
Como o risco é dado pela variabilidade do retorno, a Carteira é formada por uma aplicação de 50% dos recursos em A e 50% em B, não possui variação e, portanto seu risco é zero.
3,16
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Mensuração do Retorno Esperado e Risco de
uma Carteira
![Page 37: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/37.jpg)
Estado da Natureza
Probabilidade%
Retorno do Ativo X
%
Retorno do Ativo Y
%
Recessão 10 - 5 2
Médio 35 10 10
Bom 45 25 15
Excelente 10 50 20
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Estado da
Natureza
Probabilidade
(1)
Retornos (%)(2)
Valor Ponderado (%)(3) = (1) X (2)
Ativo X
Recessão 0,10 - 5 - 0,50
Médio 0,35 10 3,50
Bom 0,45 25 11,25
Excelente 0,10 50 5,00
Retorno Esperado 19,25
Ativo Y
Recessão 0,10 2 0,20
Médio 0,35 10 3,50
Bom 0,45 15 6,75
Excelente 0,10 20 2,00
Retorno Esperado 12,45
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Estadoda
Natureza
Retornos (%)(1)
Retorno Esperado
(2)(3) = (1- 2)² Pri
(4)Pri(1- 2)²
(5)
Ativo X
Recessão - 5 19,25 (-5 - 19,25)² 0,10 58,81
Médio 10 19,25 (10- 19,25)² 0,35 29,95
Bom 25 19,25 (25 -19,25)² 0,45 14,88
Excelente 50 19,25 (50 -19,25)² 0,10 94,56
Variância 198,20
Desvio-Padrão 14,08
Ativo Y
Recessão 2 12,45 (2 - 12,45)² 0,10 10,92
Médio 10 12,45 (10-12,45)² 0,35 2,10
Bom 15 12,45 (15 -12,45)² 0,45 2,93
Excelente 20 12,45 (20 -12,45)² 0,10 5,70
Variância 21,65
Desvio-Padrão 4,65
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Medidas de associação entre variáveis
![Page 41: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/41.jpg)
Covariância• É uma medida que avalia como as variáveis X e Y se
movimentam ao mesmo tempo, em relação a seus valores médios. Indica a simetria existente entre X e Y.
• Se dois títulos apresentam COV > 0, admite-se que as taxas de retorno têm a mesma tendência. Ambos se valorizam ou ambos se desvalorizam.
• Se COV<0, os dois ativos apresentam relações inversas ou seja um se valoriza e o outro se desvaloriza.
• Se COV=0 não há associação alguma.
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Estado da
Natureza
Probab. Retornodo Ativo
X(%)
Retornodo
Ativo Y
(%)
Recessão 0,10 - 0,05 0,0 2 -0,2425 -0,1045 0,002534
Médio 0,35 0,10 0,10 -0,0925 0,0245 0,000793
Bom 0,45 0,25 0,15 0,0575 0,0255 0,000660
Excelente 0,10 0,50 0,20 0,3075 0,0755 0,002322
XX RR − YY RR − ( ) ( )YYXXj RRxRRP −−
%25,19RX = %45,12RY = 006309,0COV =
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Fórmula
( ) ( )∑ −−==
n
1jYYXXjY,X RRxRRxPCOV
![Page 44: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/44.jpg)
Correlação
yxy,xy,x ..COV σσρ=
yx
y,xy,x .
COV
σσ=ρ
( ) ( )
( ) ( )2/1
2
2
2
2
y,x
n
YY
n
XX
n
YXY.X
−×
−
×−
=ρ
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑∑
A correlação visa explicar o grau de relacionamentoverificado no comportamento de duas ou mais variáveis.
ρ= símbolo grego (rô)
Logo,
![Page 45: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/45.jpg)
E(R)
Eixo Temporal
Investimentos com correlação perfeitamente negativa
![Page 46: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/46.jpg)
E(R)
Eixo Temporal
Investimentos com correlação perfeitamente positiva
![Page 47: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/47.jpg)
Coeficiente de Correlação
y Correlação Negativa Perfeita
= - 1.. ....x
yx,ρ
Correlação Positiva0< <1y
x
yx,ρ
y
x
Correlação Positiva Perfeita
=1yx,
ρ
y .. . .
...
.
x
Correlação Negativa- 1< <0
yx,ρ
Correlação Nula= 0
y
x
yx,ρ
![Page 48: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/48.jpg)
yx
y,xy,x .
COV
σσ=ρ
( )( )0465,01408,0
006309,0, =yxρ
963618035,0, =yxρ
![Page 49: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/49.jpg)
Conjunto de Combinações de Carteiras
( )[ ]( ) ( )[ ]BAB,A
2B
2A
BAB,A2B*
A 2W
σ×σ×ρ×−σ+σ
σ×σ×ρ−σ=
Carteira de variância mínima, para os ativos A e B
![Page 50: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/50.jpg)
2B
2A
2B
AWσ+σ
σ= 2
B2A
2A
BWσ+σ
σ=ou
Se a correlação for nula, a participação dos ativos é:
![Page 51: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/51.jpg)
Retorno de uma CarteiraRepresenta uma média ponderada de retornos dos
ativos individuais dos quais está composto
Onde:
retorno (valor) da carteira
proporção do valor total do ativo j
retorno de um ativo j
( ) ( ) ( )
∑=
=
+++=
n
1jjjp
nn2211p
k.wk
k.w...k.wk.wk
=pk=jw=jk
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Risco de uma Carteira• A seleção de carteiras procura identificar a melhor
combinação possível de ativos, obedecendo as preferências do investidor com relação ao risco e ao retorno esperado. Trata-se de selecionar aquela que maximiza o grau de satisfação do investidor.
• O risco de uma carteira depende do risco de cada elemento ( ), de sua participação no investimento total (Wx, Wy) e da forma como os componentes se relacionam entre si (co-variam) (COVx,y).
• Baixa correlação = co-variância inversa.
22, YX σσ
![Page 53: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/53.jpg)
Mensuração do risco de uma carteira
( ) ( )[ ] 2/1
YXY,XYX2Y
2Y
2X
2Xp WW2WW σ×σ×ρ×××+σ×+σ×=σ
O desvio padrão de uma carteira de 2 ativos éfunção de:•desvio padrão de cada ativo•% da carteira aplicado em X(Wx) e Y(Wy)•coeficiente de correlação dos ativos X e Y
![Page 54: Retorno e Risco de Carteiras de Investimentos [Modo de ... · PDF file5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051722/5a9e39837f8b9a75458c40b7/html5/thumbnails/54.jpg)
A expressão geral de cálculo do risco (desvio padrão) de uma carteira de n ativos,
baseando-se no modelo de Markowitz é a seguinte:
2/1n
1i
n
1jjij,ijip WW
σσρ=σ ∑∑
= =
( ) ( )∑=
−×−×=n
1j
YYXXjY,X RRRRPCOV
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Representar Carteiras e Ativos no Espaço
E(Rp)
(σp)σσσ B Amin
Se a Correlação não for +1 ou -1 pode reduzir risco!
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56
Carteiras EficientesE(Rp)
(σp)σσσB A min P
σ
P1
P2
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E com muitos Ativos?
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Representar Ativos no Espaço
E(Rp)
B
(σp)
A
C
Qual prefere? A ou B? B ou C?
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Investimentos ótimos possíveis na presença de muitos ativos
E(Rp)
(σp)
FRONTEIRA EFICIENTE
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Fronteira Eficiente
E(Rp)
(σp)
E quem quiser mais ou menos risco?
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Fronteira Eficiente com Ativo sem Risco
E(Rp)
(σp)
Rf
M
CML
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A Carteira M é Especial?
1. Sim.2. Em princípio, numa Economia sem vendas a
descoberto e com uma taxa de juro única para aplicações e financiamentos, todas as carteiras deveriam ser compostas por M e pelo ativo sem risco.
3. O perfil de cada investidor não é relevante para a determinação da carteira M!
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O Perfil do Investidor
1. Será que todos somos iguais?
2. Será que todos vemos a riqueza e os ganhos
do mesmo modo?
3. Será que os ganhos são iguais às perdas?
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O Perfil do Investidor
1. Imagine o exemplo das ações dos Gelados e dos Cachecóis. Ambos valem hoje 1R$ e os cenários são os mesmos.
2. Qual deles é o preferível se apenas puder escolher um para investir?
Gelados CachecóisAno Quente 40% -10%Ano Frio -20% 30%
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O Perfil do Investidor
É normal que se escolha as ações da fábrica
de cachecóis, uma vez que para a mesma
rentabilidade esperada, o risco é menor!
Gelados CachecóisRentabilidade Esperada 10% 10%Volatilidade (Risco) 30% 20%
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O Perfil do Investidor• Suponhamos agora que os cenários para os
Gelados sejam ligeiramente diferentes:
Gelados CachecóisAno Quente 45% -10%Ano Frio -15% 30%Rentab. Esperada 15% 10%Volatilidade 30% 20%
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O Perfil do Investidor
• Será que o aumento de rentabilidade justifica o aumento de risco?
• Será que perder 10% tem o mesmo significado que ganhar 10%
• Será que perder 15% é muito pior que 1,5 vezes perder 10%?
• Será que ganhar 45% é 1,5 vezes melhor que ganhar 30%?
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O Perfil do Investidor
• Normalmente assume-se que o investidor:• A) Prefere ter mais a ter menos;• B) Avesso ao risco - em situação de igualdade
prefere obter o mesmo com menos risco;• C) Crescentemente avesso ao risco - dá cada vez
menos importância à riqueza à medida que esta aumenta e cada vez mais importância às perdas à medida que estas são mais expressivas.
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O Perfil do Investidor• Em termos de representação da “utilidade” que
o investidor dá à Rentabilidade face ao risco que tem de suportar para a alcançar:
E(Rp)
(σp)
Avesso ao Risco
Propenso ao Risco
Neutro ao Risco
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A Carteira Global Ótima para cada Investidor
E(Rp)
(σp)
Rf
M
InvestidorX
InvestidorY
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Conjunto de oportunidades das combinações de carteiras
E(Rp) Retorno esperado
Desvio padrão
Ativos Individuais
(σp)
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Carteira de variância mínima
E(Rp) Retorno esperado
Ativos Individuais
Carteira de variância
mínima
Desvio padrão (σp)
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Carteira Eficiente
E(R) Retorno esperado
Ativos Individuais
Carteira de variância mínima
Desvio padrão (σp)
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E(Rp)
(σp)
R1
R2
R3
S1
S2
S3
O investidor S apresenta menor aversão ao risco em
relação a R, pois exige menor retorno esperado para todo o
risco adicional assumido
Diferentes curvas de indiferenças
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Os vários títulos disponíveis no mercado podem formar carteiras de diferentes combinações de risco/retorno
As curvas de indiferença representam as preferências de um investidor diante de alterações que venham a ocorrer na relação risco/retorno
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Conjunto de oportunidades de investimento
E(Rp)
(σp)
R1
R2
R3
B
A
PO segmento ABapresenta o maior retorno esperado para um mesmo nível de risco ou menor risco para um mesmo retorno esperado
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77
Se uma carteira for formada de ativos com risco combinados com ativos livres de risco, o
contorno do conjunto de oportunidades de
investimento assume a formade uma linha reta
Rf
(σp)
E(Rp) Retorno esperado
Livre de risco
Reta do mercado de capitais (CML)
Reta do Mercado de Capitais
(σp)
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E(Rp) E(Rp)
(σp)
Títulos FederaisFundos Mútuos
CDB - 1ª. LinhaCDB - 2ª. Linha
Ouro - DólarDebêntures – 1ª. Linha
Debêntures – 2ª. Linha
Financiamento de Opções - Ouro
Financiamento de Opções - Ações
Ações Ordinárias
Ações Preferenciais
Curva do Mercado de Capitais
Fonte: SECURATO, 1996
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Carteiras formadas com ativos com risco e sem risco
E(Rp)
(σp)
R1R2
R3
M
P
Rf
σM
Conjunto viável ou atingível
FronteiraEficiente (BPMZC)
B
Utilidade crescente
ZC