Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Colégio Pedro II – Unidade Realengo II

RESUMO INTRODUÇÃO À LÓGICA Matemática

Professor Cristiano Marcell

PROPOSIÇÃO OU SENTENÇA

É qualquer afirmativa que possa ser classificada em VERDADEIRA (V) ou FALSA (F).

Assim são exemplos de proposições:

p1: a Terra possui uma única lua. (V)

p2 : 21 é divisível por 5. (F)

Não são proposições:

Está calor?

- 3x + 4 = 7

Negação De Uma Proposição

Negar uma proposição p consiste em construir-se

a proposição não p, representa-se ~p, oposta de p, isto é, se

p é VERDADEIRA então ~p é FALSA e se p é FALSA

então ~p é VERDADEIRA.

Resumidamente

p ~p

V F

F V

PROPOSIÇÃO COMPOSTA

Conectivo

É o elemento de ligação entre duas proposições.

Proposição Composta

É uma nova proposição construída a partir de

duas outras unidades pelos conectivos V (lê-se: ou) ou (lê-se: e).

Assim, dadas as proposições p e p’.

DISJUNÇÃO

Conectivo “ou” v

p v p’é dito disjunção de p e p’.

Como exemplo:

p : 5 é múltiplo de 3.

p’ : 9 é um quadrado perfeito.

p v p’ : 5 é múltiplo de 3 ou 9 é um quadrado

perfeito.

A disjunção p v p’ é VERDADEIRA se uma das

proposições p ou p’ é verdadeira.

Na TABELA-VERDADE

p p’ p V p’

V V V

V F V

F V V

F F F

Conjunção.

Conectivo e;

p p’é dito conjunção de p e p’.

Como exemplo:

p : 2 é par

p’ : 2 é primo

p p’ : 2 é par e primo

A conjunção p p’ só é VERDADEIRA se ambas as proposições p e p’são VERDADEIRAS.

Na TABELA-VERDADE

p p’ p p’

V V V

F V F

V F F

F F F

Negação De Uma Proposição Composta.

A negação de p V p’ é ~p ~p’.

A negação de p p’ é ~p V ~p’.

CONDICIONAIS

São proposições obtidas intercalando-se os

símbolos ou entre duas proposições.

IMPLICAÇÃO (P P’)

p p’ é lido “p implica p’, ou “se p então p’” ou ainda “p é condição necessária para p’”.

Como exemplo:

p : está chovendo

p’ : as ruas estão molhadas

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

p p’ : está chovendo implica que as ruas estão molhadas, ou:

se está chovendo então as ruas estão molhadas.

A implicação p p’só é FALSA se p é VERDADEIRA e p’é FALSA.

Na TABELA-VERDADE

P p’ p p’

V V V

F V F

V F F

F F F

NOTA: A equivalência p p’ é uma CONJUNÇÃO das

implicações p p’ e p’ p.

QUANTIFICADORES

3x + 4 = 7 NÃO é uma proposição, pois não pode ser classificada em VERDADEIRA ou FALSA, entretanto,

a utilização de QUANTIFICADORES transforma estas

frases em proposições.

Como exemplos:

a) p: x, 3x + 4 = 7 (F)

~p: x/3x + 4 = 7 (V) b) p: todo brasileiro joga futebol (F)

~p: existem brasileiros que não jogam futebol

(V)

Quantificador Universal

É indicado por e lê-se “para todo” ou “qualquer que seja”.

Como exemplos:

x;3x + 4 = 7 (F)

x; x . 0 = 7 (V)

Quantificador Existencial

É indicado por e lê-se “existe”. Como exemplos:

x / 3x + 4 = 7 (V)

x / x . 0 = 1 (F)

NOTA: O símbolo | é lido “existe um único”. Como exemplo:

| x / 3x + 4 = 7 (V)

Negação

A negação de proposição contendo é construída

utilizando-se .

A negação de uma proposição contendo é construída

utilizando-se .

Como exemplo:

a) p: x, 3x + 4 = 7 (F)

~p: x/ 3x + 4 7 (V) b) p: todo brasileiro joga futebol (F)

~p: existem brasileiros que não jogam futebol

(V).