DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO

COORDENADAS RETANGULARES

Consideremos agora a maneira na qual a distribuição de temperatura pode ser

determinada. Essa distribuição de temperatura pode ser determinada pela aplicação da

conservação da energia. Nesse caso, definimos um volume de controle diferencial,

identificamos os processos relevantes de transferência de energia e introduzimos as

equações das taxas de transferência de calor apropriadas. O resultado é uma equação

diferencial cuja solução, para condições de contorno descritas, fornece a distribuição de

temperatura no meio.

Figura 1 – Volume de controle diferencial, ,.. dzdydx para a análise da condução de

calor em coordenadas cartesianas.

Considere um meio homogêneo dentro do qual não existe movimento global e a

distribuição de temperatura ( )zyxT ,, é expressa em coordenadas cartesianas.

Inicialmente definimos um pequeno volume de controle infinitesimal (diferencial),

,.. dzdydx conforme mostrado na figura 1. Usando a primeira lei da termodinâmica para

formular o problema num dado instante de tempo, a segunda etapa é considerar os

processos de energia que são relevantes para esse volume de controle. Se existirem

gradientes de temperatura, haverá transferência de calor por condução através de cada

uma das superfícies de controle.

As taxas de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de

controle nos pontos com coodenadas x, y e z são indicadas pelos termos ,xq yq e ,zq

respectivamente. As taxas de transferência de calor por condução nas superfícies

opostas podem ser então expressas como uma expansão da série de Taylor, onde,

desprezando os termos de ordem superiores:

dxx

qqq x

xdxx ∂∂+=+ (1)

dyy

qqq y

ydyy ∂∂

+=+ (2)

dzz

qqq z

zdzz ∂∂+=+ (3)

Em palavras, a equação 1 afirma simplesmente que a componente x da taxa de

transferência de calor na direção do eixo x, na posição ,dxx + é igual ao valor dessa

componente em x somado à quantidade pela qual ela varia em relação a x multiplicado

por dx. No interior do meio pode haver também um termo para representar uma fonte de

energia, que está associado à taxa de geração de energia térmica. Esse termo é

representado por

dxdydzqEg && = (4)

em que q& é a taxa na qual a energia é gerada por unidade de volume do meio (W/m3).

Além disso, podem ocorrer variações na quantidade de energia térmica armazenada pelo

material no volume de controle. Se o material não sofre mudança de fase, não há o

efeito de energia latente, e a energia armazenada pode ser dada por:

dxdydzt

TcE par ∂

∂= ρ& (5)

em que tTcp ∂∂ρ é a taxa de variação com o tempo da energia sensível (térmica) do

meio por unidade de volume.

Mais uma vez, é importante observar que os termos gE& e arE& representam

processos físicos diferentes. O termo referente a geração de energia gE& é uma

manifestação de algum processo de conversão de energia que envolve de um lado

energia térmica e do outro a energia química, elétrica e/ou nuclear. Esse termo é

positivo (uma fonte) se a energia térmica está sendo gerada no material à custa de uma

outra forma de energia, e negativo (sumidouro) se a energia térmica estiver sendo

consumida. Por outro lado, o termo relativo ao armazenamento ou acúmulo de energia

arE& refere-se à taxa de variação da energia térmica armazenada pela matéria.

A última etapa consiste em representar a conservação da energia utilizando as

equações de taxas previamente apresentadas. Com base nas taxas, a forma geral da

exigência de conservação de energia é

arsge EEEE &&&& =−+

Logo, reconhecendo as taxas de condução que entram, ,eE& e as taxas de

condução que saem, ,sE& e substituindo as equações 4 e 5, obtemos

dxdydzt

Tcqqqdxdydzqqqq pdzzdyydxxzyx ∂

∂=−−−+++ +++ ρ& (6)

Substituindo as equações 1, 2 e 3, segue que

dxdydzt

Tcdxdydzqdz

z

qdy

y

qdx

x

qp

zyx

∂∂=+

∂∂−

∂∂

−∂∂− ρ& (7)

As taxas de calor por condução podem ser avaliadas a partir da lei de Fourier:

x

Tkdydzqx ∂

∂−= (8)

y

Tkdxdzqy ∂

∂−= (9)

z

Tkdxdyqz ∂

∂−= (10)

em que cada componente do fluxo de calor das equações 8, 9 e 10 foram multiplicados

pela área da superfície (diferencial) de controle apropriada, a fim de se obter a taxa de

transferência de calor. Substituindo as derivadas das equações 8, 9 e 10 na equação 7 e

dividindo todos os termos pelas dimensões do volume de controle ( ),.. dzdydx obtemos:

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ ρ& (11)

A equação 11 é a forma geral da equação de difusão de calor em coordenadas

cartesianas. Essa equação, conhecida como equação do calor, é a ferramenta básica para

a análise da condução de calor. A partir de sua solução, obtemos a distribuição de

temperatura ( )zyxT ,, como uma função do tempo. A aparente complexidade dessa

expressão não deve obscurecer o fato de que ela descreve uma condição física

importante, ou seja, a conservação de energia. Devemos ter um entendimento claro do

significado físico de cada um dos termos que aparecem nessa equação. Por exemplo, o

termo ( ) xxTk ∂∂∂∂ está relacionado ao fluxo líquido de calor por condução para o

interior do volume de controle na direção da coordenada do eixo x. Dessa forma,

multiplicando essa parcela por dx, tem-se:

""dxxx qqdx

x

Tk

x +−=

∂∂

∂∂

(12)

com expressões similares aplicadas aos fluxos nas direções y e z. Portanto, em palavras,

a equação do calor, equação 11, estabelece que, em qualquer ponto do meio, a taxa de

energia líquida transferida por condução para o interior de um volume unitário somado

à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à taxa de variação da

energia térmica armazenada no interior desse volume.

Com frequência, é possível trabalhar com versões simplificadas da equação 11.

Por exemplo, se a condutividade térmica for constante, a equação do calor é:

t

T

k

q

y

T

y

T

x

T

∂∂=+

∂∂+

∂∂+

∂∂

α1

2

2

2

2

2

2 & (13)

em que pck ρα = é a difusividade térmica do meio. Simplificações adicionais da

forma geral da equação do calor são frequentemente possíveis. Por exemplo, sob

condições de regime estacionário, não há variação na quantidade da energia

armazenada; então, a equação 11 se reduz a

0=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

qz

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x& (14)

Além disso, se a transferência de calor for unidimensional (por exemplo, na

direção do eixo x) e se não houver geração de energia, a equação 11 se reduz a

0=

dx

dTk

dx

d (15)

A importante consequência desse resultado é que, sob estado estacionário,

unidimensional, sem geração se energia, o fluxo de calor é uma constante na direção da

transferência ( ).0" =dxdqx A equação do calor também pode ser escrita em coordenadas

cilíndricas e esféricas. Os volumes de controle diferenciais para esses dois sistemas são

mostrados nas figuras 3 e 4.

COORDENADAS CILÍNDRICAS

Quando o operador ( )∇ é representado em coordenadas cilíndricas, a forma

geral do vetor fluxo de calor, e, portanto, a lei de Fourier, é

∂∂+

∂∂+

∂∂−=∇−=

z

Tk

T

rj

r

TikTkq

φ1" (16)

em que

z

Tkq

T

r

kq

r

Tkq zr ∂

∂−=∂∂−=

∂∂−= """

φφ (17)

são as componentes do fluxo de calor nas direções radial, circunferencial e axial,

respectivamente. É importante observar que o gradiente de temperatura na lei de Fourier

deve possuir unidades de K/m. Por esse motivo, ao avaliar o gradiente para uma

coordenada angular, ele deve estar expresso em termos de uma variação diferencial do

comprimento de arco. Por exemplo, a componente do fluxo de calor na direção

circunferencial no sistema de coordenadas cilíndricas é ( )( )φφ ∂∂−= Trkq e não

( ).φφ ∂∂−= Tkq Isso pode ser visto mais facilmente pela figura 2:

Figura 2 – Esquema utilizado para calcular o fluxo de calor na direção circunferencial

de um sistema de coordenadas cilíndricas.

Considerando um volume de controle diferencial da figura 3, de volume

,.. dzrddrdV φ= e aplicando o princípio da conservação da energia em forma de taxa

obtém-se:

argdzzzddrrr EEqqqqqq && =+−+−+− +++ φφφ (18)

O termo de geração de energia é calculado como:

( )dzrddrqdVqEg .. φ&&& == (19)

Figura 3 – Volume de controle diferencial ,.. dzrddr φ para a análise da condução de

calor em coordenadas cilíndricas ( ).,, zr φ

O termo de armazenamento pode ser calculado como:

( )t

Tcdzrddr

t

TdVcE ppar ∂

∂=∂∂= .. φρρ& (20)

As taxas de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de

controle nos pontos com coodenadas φ ,r e z são indicadas pelos termos ,rq φq e ,zq

respectivamente. As taxas de transferência de calor por condução nas superfícies

opostas podem ser então expressas como uma expansão da série de Taylor, onde,

desprezando os termos de ordem superiores:

drr

qqq r

rdrr ∂∂+=+ (21)

φφ

φφφφ d

qqq d ∂

∂+=+ (22)

dzz

qqq z

zdzz ∂∂+=+ (23)

Utilizando a lei de Fourier, as expressões para as taxas de transferência de calor

por condução são:

( )r

Tdzrdk

r

TkAq rr ∂

∂−=∂∂−= φ (24)

( )φφφφ ∂

∂−=∂∂−=

r

Tdrdzk

r

TkAq (25)

( )z

Trddrk

z

TkAq zz ∂

∂−=∂∂−= φ. (26)

Substituindo as equações 19, 20, 21, 22 e 23 na equação 18 obtém-se:

( ) ( )t

Tcdzrddrdzrddrq

z

qq

r

qp

zr

∂∂=+

∂∂−

∂∂

−∂∂− .... φρφ

φφ

& (27)

Substituindo as equações 24, 25 e 26 na equação 27 obtém-se:

( ) ( ) ( ) dzz

Trddrk

zd

r

Tdrdzkdr

r

Tdzrdk

r

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂− φφ

φφφ .

( ) ( )t

Tcdzrddrdzrddrq p ∂

∂=+ .... φρφ&

(28)

Dividindo a equação 28 por dzrddr .. φ e rearranjando obtém-se:

t

Tcq

z

Tk

z

Tk

rr

Tkr

rr p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ ρ

φφ&

2

11 (29)

Equação da difusão em coordenadas esféricas

Para analisar a transferência de calor em um esfera, faz-se um processo

análogo aos anteriores. Pega-se um volume de controle como mostrado na figura

a seguir:

Tem-se que as dimensões deste volume de controle são:

Logo, o volume do volume de controle é:

𝑉 = 𝑟2∆𝑟∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑

Além disso, como faremos uma análise unidimensional, temos fluxo

apenas no sentido radial, como mostrado abaixo.

Aplicando, neste volume de controle, o balanço de energia tem-se:

𝐸�� − 𝐸�� + 𝐸�� = 𝐸𝑎𝑐

Onde:

𝐸�� = 𝑞𝑟

𝐸�� = 𝑞𝑟 +𝑑𝑞𝑟

𝑑𝑟

𝐸�� = ��𝑉

𝐸𝑎𝑐 = 𝜌𝐶𝑝𝑉𝜕𝑇

𝜕𝑡

Substituindo as equações acima na equação do balanço de energia, tem-

se:

(𝑞𝑟) − ( 𝑞𝑟 +𝑑𝑞𝑟

𝑑𝑟∆𝑟) + ��𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉

𝜕𝑇

𝜕𝑡

Simplificando os termos possíveis, tem-se:

− ( 𝑑𝑞𝑟

𝑑𝑟∆𝑟) + ��𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉

𝜕𝑇

𝜕𝑡

Sabemos pela lei de Fourier, que:

𝑞𝑟 = −𝑘𝐴𝜕𝑇

𝜕𝑟

Então, substituindo na equação 1, tem-se:

𝜕

𝜕𝑟(𝑘𝐴

𝜕𝑇

𝜕𝑟∆𝑟) + ��𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉

𝜕𝑇

𝜕𝑡

Sabe-se que A é a área da seção transversal normal ao fluxo térmico que

no caso está na direçao radial. Observando-se a terceira figura, nota-se que:

𝐴 = 𝑟2∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑

Logo:

𝜕

𝜕𝑟(𝑘𝑟2∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑

𝜕𝑇

𝜕𝑟∆𝑟) + ��𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉

𝜕𝑇

𝜕𝑡

Observando-se os termos na primeira derivada parcial, pode-se perceber

q vários termos não dependem do raio, e portanto podem ser retirados da

derivada como constantes. É importante lembrar também que ∆𝑟 representa um

pedacinho fixo de r, portanto também é constante . Temos então:

𝑘∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑∆𝑟𝜕

𝜕𝑟(𝑟2

𝜕𝑇

𝜕𝑟) + ��𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉

𝜕𝑇

𝜕𝑡

Pode-se reparar também que o volume aparece em dois dos 3 termos da

equação, e representa boa parte do que multiplica a equação diferencial, logo é

interessante dividir toda a equação pelo volume (cuja equação foi apresentada

no início) para simplificá-la. Obtém-se então o resultado final para a equação

geral da difusão em coordenadas esféricas unidimensional:

𝑘

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2

𝜕𝑇

𝜕𝑟) + �� = 𝜌𝐶𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑡

L

x

Condições de Contorno

Condição de Dirichlet ou de 1ª espécie:

- Temperatura prescrita.

( )

Condição de Neumann ou de 2ª espécie:

a) Fluxo térmico constante

|

b) Superfície termicamente isolada ou adiabática:

|

Condição de 3ª espécie:

- Convecção.

|

( )

Exemplo de aplicação das condições de contorno a uma placa plana

unidimensional:

x

Equação da difusão:

Assumindo regime permanente e sem geração de calor:

Portanto a equação resultante é:

Integrando-a duas vezes, obtemos:

( )

Aplicando agora as condições de contorno.

Em , temos um fluxo térmico constante:

|

|

Em , temos uma convecção:

|

( ) ( )

(

)

Dessa forma, a equação final será:

( )

(

)

CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL COM REGIME PERMANENTE NUMA PAREDE PLANA E RESISTENCIA

Em uma condução unidimensional em uma parede plana, considerando condições num estado estável e regime permanente, a temperatura é uma função só da coordenada “x” e o calor nesta é transmitida só nessa coordenada também.

Considerando a distribuição da temperatura dentro da parede, é importante considerar o seguinte: PRIMEIRO SEGUNDO Achar distribuição de temperaturaà A partir dela achar a taxa de transferência de calor

3.1.1- DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NUMA PAREDE PLANA

Isto pode ser determinado ao resolver a equação de calor utilizando as condições de contorno corretas: • Começa considerando:

(1)

• Para isto se considera:

o Unidimensional o Regime permanenteo Sem geração de caloro Fluxo de calor constanteo Fluxo só na coordenada “x”

Se procede a integrar duas vezes a equação (1), obtendo: (2)

Se escolhem as condições de contorno:

(3)

Agora se acham as constantes, com a primeira condição,

Porque C2 não depende de “x” ou neste caso “L”, então

Achando C1,

Substituindo C1 em T(x),

Podemos perceber que T(x) varia linearmente em “x”. Utilizando a Lei de Fourier achamos a condução da taxa de transferência de calor, Nota-se que “A” é a área da normal da parede em relação à direção da transferência de calor, então o fluxo de calor se expressa:

Onde se mostra que qx e qx” são constantes e independentes de “x”.

3.1.2 RESISTENCIA TERMICA

Considerando de novo que o fluxo de calor é unidimensional, sem geração interna de energia e com propriedade de regime permanente pode-se fazer a analogia entre difusão de calor e carga elétrica.

É importante saber que: • Resistencia Elétrica--- tem condução de eletricidade • Resistencia Térmica---tem condução de calor

Em uma parede plana, temos que a Resistencia Termica por condução é

definida por

associando esta equação com a Lei de OHM para resistência elétrica, temos

e que pela Lei de Newton de Resfriamento, obtém-se

conclui-se na expressa de Resistencia Térmica por Convecção, FIGURA 2 É interessante entender o analise que pode-se obter através da montagem

de uma resistência como a da FIGURA 2. Por meio desta obtém-se uma representação que ajuda contextualizar e quantificar os problemas de transferência de calor. É possível determinar as propriedades de um circuito térmico, através da separação de cada elemento no circuito e a consideração de qx constante ao longo de todo o sistema.

Em termo de um diferencial de temperaturas, tal como T¥,1-T¥,2 e o

somatório das Resistências Térmicas, pode- se expressar a Transferência de calor como,

sabendo que as resistências em condução e convecção estão em serie e

podem ser somadas, segue que É importante saber que a troca de radiação entre superfícies e redores é

possível, só se o coeficiente de transferência de calor por convecção é pequeno (costuma ser em gases). Sendo expressado da seguinte forma

3.1.3- PAREDE COMPOSITA

Assim como nos circuitos térmicos, as paredes compósitas podem ser utilizadas para sistemas complexos. Estas paredes apresentam diferentes quantidades de resistências térmicas em serie e em paralelo devido a suas diferentes capas de diferentes materiais.

Neste caso, a taxa de transferência de calor (também unidimensional) para a FIGURA 3 pode ser expressada por, Também expressada como, ou pelo método de separação de cada diferencial de temperatura com sua resistência associada a cada elemento,

Em sistemas compósitos, existe uma expressão análoga à Lei de Newton de resfriamento, antes mencionada, expressada como e em geral , tem uma expressão que mostra a equivalência de circuitos térmicos em serie ou paralelo numa parede compósita,

É importante sabe que numa parede compósita, o fluxo do calor pode ser

considerado com multidimensional, mas as vezes se assume como unidimensional. Devido a isto, pode se considerar o seguinte:

• Se a superfície for normal a direção x, ela é assumida como ISOTERMICA

• Se a superfície for paralela ao x, é assumida como ADIABATICA

3.1.4 RESISTENCIA POR CONTATO

Neste caso, é essencial reconhecer que, em sistemas de matéria compósitos, a queda de temperatura cai através dos pequenos espaços que existe entre as superfícies é evidente. Esta queda de temperatura é conhecida como Resistencia térmica por contato.

onde esta resistência é expressada como

• Superfície em contato---Condução • Espaços vazios entra superfícies---- Condução no vazio

Por ultimo e não menos importante, para melhorar esta condução é

necessário incrementar a área de contato melhorando a qualidade da superfície ou incrementando a pressão nas superfícies para elas ficarem em maior contato.

Análise Alternativa de Condução

Vimos que pelo Procedimento Padrão, a equação do calor é resolvida através da obtenção da distribuição de temperaturas.

Em seguida, com a Lei de Fourier é determinada a taxa de transferência de calor. Entretanto, existe um procedimento alternativo, que nos permite chegar ao resultado desejado diretamente através da Lei de Fourier, mesmo sem se conhecer a taxa de transferência e a distribuição de temperatura.

Para a aplicação da Análise Alternativa, devemos contar com as seguintes considerações:

• Regime Estacionário; • Transferência Unidimensional; • Sem geração de Calor;

Ou seja:

!

Placa Plana

Forma Integrada de Fourier:

Sendo ! a taxa de transferência de calor por condução, e a área da seção transversal, que pode ser uma função conhecida de x.

Temos:

Sendo assim, para se calcular a taxa, basta isolar ! .

qx = qx+dx

qx

qx

Cilindro

A situação para o cilindro é análoga, entretanto existe uma consideração a mais a se fazer:

- Superfícies interna e externa se encontram opostas a fluidos a diferentes temperaturas;

- Unidimensional no sentido radial.

Desenvolvendo-se a equação temos que a taxa será:

Esfera

A mesma linha de raciocínio é utilizada para o cálculo em esferas. Portanto, temos a equação integrada:

A taxa será:

Desenvolvimento a partir da Taxa

Uma vez que a taxa já tenha sido calculada a partir da analise alternativa, para descobrir os outros parâmetros do sistema, devemos trabalhar a equação integrada e a equação da taxa de forma que obtenhamos a forma necessária para aquisição do resultado.

- Para calcular Equação de Transferência

Deve-se integrar novamente a equação de Fourier, utilizando de limites genéricos ! ou ! , de forma que, ao final da integração seja possível isolar o termo ! ou ! descobrindo-se a forma da Equação de Transferencia.

Após a integração em termos gerais, uma nova integração com os reais limites pode ser feita pra que se descubra os parâmetros faltantes.

- Para calcular Resistência

Para a aquisição da resistência, após o cálculo da equação da taxa, deve-se isolar o ! , e em seguida manipular a equação para que se obtenha a igualdade ! , que representa a Resistência.

T(x), x T(r), rT(x) T(r)

ΔTΔT /q

Condução com geração de Energia Térmica

Na seção anterior, analisamos problemas de condução nos quais a distribuição

de temperaturas em um meio foi determinada somente pelas condições nas suas

fronteiras.

Desejamos analisar situações nas quais energia térmica está sendo gerada

decido à conversão de uma outra form de energia.

Processo comum: conversão de energia elétrica em energia térmica em um meio

que conduz corrente elétrica.

A taxa na qual a energia é gerada em função da passagem de uma corrente I

através de uma resistência Re:

�� = 𝐼2𝑅𝑒 (1)

Se esta taxa de energia gerada (ou geração de potência) em [W] ocorre

uniformemente ao longo de todo o meio com volume V, então a taxa volumétrica

de geração (W/m³) é, então:

�� = 𝐸𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑉 (2), caso a fonte seja de netureza elétrica, temos:

�� = 𝐼2𝑅𝑒

𝑉 (3).

A parede plana

- Para um �� constante

- Para uma condutividade térmica K constante

Forma geral, em coordenadas cartesianas, da equação da difusão de calor:

Neste caso, adotaremos que a geração de energia não terá variação da taxa de

transferência de calor na coordenada y e nem na z, apenas terá fluxo térmico na

coordenada x.

A partir da equação (2.17), temos:

A solução geral é:

Com as condições de contorno:

T(-L) = Ts1 e T(+L) = Ts2 , temos:

A equação completa de distribuição de temperatura é:

Portanto, nota-se que com geração de energia, o fluxo e a tava são dependentes

de x.

Voltando novamente para a equação completa da distribuiçã de temperatura, há

uma simplificação quando as superfícies são mantidas constantes, ou seja,

Ts1=Ts2=Ts.

Dessa forma, a equação se resume em:

Por isso, conseguimos demonstrar que a temperatura máxima está no plano

central, para x=0.

Uma situação comum é aquela na qual T∞ é conhecido. Nesse caso, torna-se

necessário relacionar Ts com T∞. Para isso, faremos o seguinte equacoinamento:

Com a equação da distribuição de temperatura quando as superfícies são

isotérmicas, então podemos expressar a distribuição de temperaturas em termos

de grandezas conhecidas (��, 𝐿, 𝐾, ℎ 𝑒 𝑇∞).

Sistemas radiais

Considere o cilindro sólido que pode representar um fio condutor de corrente

elétrica em regime estacionário então a taxa na qual o calor é gerado deve ser

igual à taxa na qual o calor é transferido por convecção, assim a temperatura da

superfície se mantenha fixo e igual a Ts.

Determinar a distribuição de temperaturas no cilindro, condutividade térmica K

constante:

Esta é a equação geral do calor em coordenadas cilíndricas.

Neste caso, adotaremos que a geração de energia não terá variação da taxa de

transferência de calor na coordenada ∅ e nem na z, apenas terá fluxo térmico no

sentido radial (coordenada r).

Para a condutividade térmica constante, a euqação completa se reduz a:

Consequentemente, a distribuição de temperatura é:

Para relacionar Ts (superfície) com T∞ ( fluifo frio), um balanço de energia global

pode ser usado.

Esféricas

De modo análogo ao que foi feito anteriormente:

Condições de contorno:

- Para r=0, temos que 𝑑𝑇

𝑑𝑟= 0

- Para r=r0, temos que T(r0) = Ts.

Portanto, temos a seguinte distribuição de temperaturas: