Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Colégio Pedro II – Unidade Realengo II

RESUMO TEORIA DOS CONJUNTOS Matemática

Professor Cristiano Marcell

Conceito Primitivo

A noção de um conjunto é primitiva, não tem definição. Intuitivamente, podemos compreender com

conjunto toda coleção bem definida de objetos, que são

chamadas seus elementos.

Exemplos:

Conjuntos das vogais

Conjunto dos alunos do CPII

Além do conjunto, as noções de elemento e a relação

de pertinência são também consideradas noções primitivas.

Pertinência

pertence

não pertence

Representação de um conjunto

I) Por compreensão

Indica-se uma propriedade que caracterize apenas os

elementos do conjunto.

A = {x | x é vogal}

B = {x | x2 – 4 = 0}

II) Por extensão

Enumeram-se os seus elementos, colocando-os entre

chaves.

A = {a, e, i, o, u}

B = {-2, 2}

III) Diagrama de Venn-Euler

Usados em matemática para simbolizar graficamente

propriedades e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria, através de curvas simples fechadas.

A = conjunto das vogais

Inclusão (subconjuntos)

Diz-se que um conjunto A está contido num outro conjunto B, se, e somente se, todo elemento de A pertence

também a B, isto é:

A B x A x B

A B x A |x B

- símbolo de inclusão entre dois conjuntos (contido)

- símbolo de inclusão entre dois conjuntos (contém)

O traço indica negação.

Conjunto das partes

Dado um conjunto A qualquer chamamos conjunto das partes de A ao conjunto cujos elementos são todos

subconjuntos de A.

A = {1}

P(A) = {, {1}}

B = {1, 2, 3}

P(B) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Se o conjunto A, finito, tem n elementos, o conjunto

P(A), terá 2n elementos.

Operações com conjunto

1) UNIÃO () Chama-se de A união B, ao conjunto dos elementos

pertencentes a A ou a B, ou seja:

A B = {x/x A ou x B} .

Exemplo:

Se A = {2, 3} e B = {3, 4, 5} então, A B = {2, 3, 4, 5}

Propriedades:

A = A, A

A A = A

A B = B A (comutativa)

A (B C) = (A B) C (associativa)

2) INTERSEÇÃO ()

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao

conjunto de todos os elementos que pertencem a A e a B,

ou seja:

A B = {x | x A e x B} .

Exemplo

Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5} então A B = {2, 3}

Propriedades:

A = , A

A A = A

A B = B A (comutativa)

A (B C) = (A B) C (associativamente)

A (B C) = (A B) (A C) (distributivamente)

A (B C) = (A B) (A C) (distributivamente)

3) DIFERENÇA

Chama-se diferença entre A e B ao conjunto cujos elementos pertencem a A e não pertencem a B.

A – B = {x | x A e x B}

Exemplos:

A = {3, 4, 5} e B = {5, 6}

a) A – B = {3, 4}

b) B – A = {6}

Nota:

Chamamos de diferença simétrica entre A e B

representado por A B a expressão:

A B = (A – B) (B –A) .

4) COMPLEMENTAR

Se B A, então A – B é dito ‘complementar de B em relação a A’.

Escreve-se CAB = A – B ⇔ B A

Exemplos:

A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3}

CAB = A – B = {1, 4}

Problemas Resolvidos

I) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora;

200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora;

100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule o número de pessoas que não leu nenhuma dessas obras.

Leram pelo menos uma das três obras:

270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870

Não leu sequer uma das três obras:

1000 – 870 = 130

Resposta: 130.