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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos Conjuntos(Aula 4)
Ruy J. G. B. de Queiroz
Centro de Informatica, UFPE
2009.1
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Conteudo
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Teoria dos ConjuntosPropriedades de Relacoes
Definicao
Seja R uma relacao binaria em A.
(a) R e chamada de reflexiva em A se para todo a ∈ A,aRa.
(b) R e chamada de simetrica em A se para todos a,b ∈ A,aRb implica bRa.
(c) R e chamada de transitiva em A se para todosa,b, c ∈ A, aRb e bRc implica aRc.
(d) R e chamada de equivalencia sobre A se ela forreflexiva, simetrica, e transitiva em A.
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Teoria dos ConjuntosPropriedades de Relacoes
Definicao
Seja R uma relacao binaria em A.(a) R e chamada de reflexiva em A se para todo a ∈ A,
aRa.
(b) R e chamada de simetrica em A se para todos a,b ∈ A,aRb implica bRa.
(c) R e chamada de transitiva em A se para todosa,b, c ∈ A, aRb e bRc implica aRc.
(d) R e chamada de equivalencia sobre A se ela forreflexiva, simetrica, e transitiva em A.
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Teoria dos ConjuntosPropriedades de Relacoes
Definicao
Seja R uma relacao binaria em A.(a) R e chamada de reflexiva em A se para todo a ∈ A,
aRa.(b) R e chamada de simetrica em A se para todos a,b ∈ A,
aRb implica bRa.
(c) R e chamada de transitiva em A se para todosa,b, c ∈ A, aRb e bRc implica aRc.
(d) R e chamada de equivalencia sobre A se ela forreflexiva, simetrica, e transitiva em A.
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Teoria dos ConjuntosPropriedades de Relacoes
Definicao
Seja R uma relacao binaria em A.(a) R e chamada de reflexiva em A se para todo a ∈ A,
aRa.(b) R e chamada de simetrica em A se para todos a,b ∈ A,
aRb implica bRa.(c) R e chamada de transitiva em A se para todos
a,b, c ∈ A, aRb e bRc implica aRc.
(d) R e chamada de equivalencia sobre A se ela forreflexiva, simetrica, e transitiva em A.
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Teoria dos ConjuntosPropriedades de Relacoes
Definicao
Seja R uma relacao binaria em A.(a) R e chamada de reflexiva em A se para todo a ∈ A,
aRa.(b) R e chamada de simetrica em A se para todos a,b ∈ A,
aRb implica bRa.(c) R e chamada de transitiva em A se para todos
a,b, c ∈ A, aRb e bRc implica aRc.(d) R e chamada de equivalencia sobre A se ela for
reflexiva, simetrica, e transitiva em A.
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Teoria dos ConjuntosClasses de Equivalencia
Definicao
Seja E uma relacao de equivalencia sobre A e suponha quea ∈ A.
A classe de equivalencia de a modulo E e o conjunto
[a]E = {x ∈ A | xEa}.
LemaSejam a,b ∈ A.(a) a e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E = [b]E .(b) a nao e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E ∩ [b]E = ∅.
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Teoria dos ConjuntosClasses de Equivalencia
Definicao
Seja E uma relacao de equivalencia sobre A e suponha quea ∈ A. A classe de equivalencia de a modulo E e o conjunto
[a]E = {x ∈ A | xEa}.
LemaSejam a,b ∈ A.(a) a e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E = [b]E .(b) a nao e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E ∩ [b]E = ∅.
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Teoria dos ConjuntosClasses de Equivalencia
Definicao
Seja E uma relacao de equivalencia sobre A e suponha quea ∈ A. A classe de equivalencia de a modulo E e o conjunto
[a]E = {x ∈ A | xEa}.
LemaSejam a,b ∈ A.(a) a e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E = [b]E .(b) a nao e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E ∩ [b]E = ∅.
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Teoria dos ConjuntosClasses de Equivalencia
Definicao
Seja E uma relacao de equivalencia sobre A e suponha quea ∈ A. A classe de equivalencia de a modulo E e o conjunto
[a]E = {x ∈ A | xEa}.
LemaSejam a,b ∈ A.
(a) a e equivalente a b modulo E se e somente se[a]E = [b]E .
(b) a nao e equivalente a b modulo E se e somente se[a]E ∩ [b]E = ∅.
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Teoria dos ConjuntosClasses de Equivalencia
Definicao
Seja E uma relacao de equivalencia sobre A e suponha quea ∈ A. A classe de equivalencia de a modulo E e o conjunto
[a]E = {x ∈ A | xEa}.
LemaSejam a,b ∈ A.(a) a e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E = [b]E .
(b) a nao e equivalente a b modulo E se e somente se[a]E ∩ [b]E = ∅.
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Teoria dos ConjuntosClasses de Equivalencia
Definicao
Seja E uma relacao de equivalencia sobre A e suponha quea ∈ A. A classe de equivalencia de a modulo E e o conjunto
[a]E = {x ∈ A | xEa}.
LemaSejam a,b ∈ A.(a) a e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E = [b]E .(b) a nao e equivalente a b modulo E se e somente se
[a]E ∩ [b]E = ∅.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
Definicao
Um sistema S de conjuntos nao-vazios e chamado de umaparticao de A se
(a) S e um sistema de conjuntos mutuamente disjuntos,i.e., se C ∈ S, D ∈ S, e C 6= D, entao C ∩ D = ∅,
(b) a uniao de S e o todo do conjunto A, i.e.,⋃
S = A.
Definicao
Seja E uma equivalencia sobre A. O sistema de classes deequivalencia modulo E e representado por A/E; portantoA/E = {[a]E | a ∈ A}.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
Definicao
Um sistema S de conjuntos nao-vazios e chamado de umaparticao de A se(a) S e um sistema de conjuntos mutuamente disjuntos,
i.e., se C ∈ S, D ∈ S, e C 6= D, entao C ∩ D = ∅,
(b) a uniao de S e o todo do conjunto A, i.e.,⋃
S = A.
Definicao
Seja E uma equivalencia sobre A. O sistema de classes deequivalencia modulo E e representado por A/E; portantoA/E = {[a]E | a ∈ A}.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
Definicao
Um sistema S de conjuntos nao-vazios e chamado de umaparticao de A se(a) S e um sistema de conjuntos mutuamente disjuntos,
i.e., se C ∈ S, D ∈ S, e C 6= D, entao C ∩ D = ∅,(b) a uniao de S e o todo do conjunto A, i.e.,
⋃S = A.
Definicao
Seja E uma equivalencia sobre A. O sistema de classes deequivalencia modulo E e representado por A/E; portantoA/E = {[a]E | a ∈ A}.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
Definicao
Um sistema S de conjuntos nao-vazios e chamado de umaparticao de A se(a) S e um sistema de conjuntos mutuamente disjuntos,
i.e., se C ∈ S, D ∈ S, e C 6= D, entao C ∩ D = ∅,(b) a uniao de S e o todo do conjunto A, i.e.,
⋃S = A.
Definicao
Seja E uma equivalencia sobre A. O sistema de classes deequivalencia modulo E e representado por A/E; portantoA/E = {[a]E | a ∈ A}.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
TeoremaSeja E uma equivalencia sobre A; entao A/E e umaparticao de A.
Demonstracao.
A propriedade (a) segue do Lema acima: se [a]E 6= [b]E ,entao a e b nao estao relacionados por E (i.e., eles nao saoE-equivalentes), portanto [a]E ∩ [b]E = ∅.Para provar que E tem a propriedade (b), nos valemos dofato de que
⋃A/E = A pois a ∈ [a]E . Da definicao de
particao tambem sabemos que nao existe classe deequivalencia vazia; logo, pelo menos a esta na classe deequivalencia de todos os elementos equivalentes a a.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
TeoremaSeja E uma equivalencia sobre A; entao A/E e umaparticao de A.
Demonstracao.
A propriedade (a) segue do Lema acima: se [a]E 6= [b]E ,entao a e b nao estao relacionados por E (i.e., eles nao saoE-equivalentes),
portanto [a]E ∩ [b]E = ∅.Para provar que E tem a propriedade (b), nos valemos dofato de que
⋃A/E = A pois a ∈ [a]E . Da definicao de
particao tambem sabemos que nao existe classe deequivalencia vazia; logo, pelo menos a esta na classe deequivalencia de todos os elementos equivalentes a a.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
TeoremaSeja E uma equivalencia sobre A; entao A/E e umaparticao de A.
Demonstracao.
A propriedade (a) segue do Lema acima: se [a]E 6= [b]E ,entao a e b nao estao relacionados por E (i.e., eles nao saoE-equivalentes), portanto [a]E ∩ [b]E = ∅.
Para provar que E tem a propriedade (b), nos valemos dofato de que
⋃A/E = A pois a ∈ [a]E . Da definicao de
particao tambem sabemos que nao existe classe deequivalencia vazia; logo, pelo menos a esta na classe deequivalencia de todos os elementos equivalentes a a.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
TeoremaSeja E uma equivalencia sobre A; entao A/E e umaparticao de A.
Demonstracao.
A propriedade (a) segue do Lema acima: se [a]E 6= [b]E ,entao a e b nao estao relacionados por E (i.e., eles nao saoE-equivalentes), portanto [a]E ∩ [b]E = ∅.Para provar que E tem a propriedade (b), nos valemos dofato de que
⋃A/E = A pois a ∈ [a]E .
Da definicao departicao tambem sabemos que nao existe classe deequivalencia vazia; logo, pelo menos a esta na classe deequivalencia de todos os elementos equivalentes a a.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
TeoremaSeja E uma equivalencia sobre A; entao A/E e umaparticao de A.
Demonstracao.
A propriedade (a) segue do Lema acima: se [a]E 6= [b]E ,entao a e b nao estao relacionados por E (i.e., eles nao saoE-equivalentes), portanto [a]E ∩ [b]E = ∅.Para provar que E tem a propriedade (b), nos valemos dofato de que
⋃A/E = A pois a ∈ [a]E . Da definicao de
particao tambem sabemos que nao existe classe deequivalencia vazia; logo, pelo menos a esta na classe deequivalencia de todos os elementos equivalentes a a.
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Teoria dos ConjuntosParticoes
TeoremaSeja E uma equivalencia sobre A; entao A/E e umaparticao de A.
Demonstracao.
A propriedade (a) segue do Lema acima: se [a]E 6= [b]E ,entao a e b nao estao relacionados por E (i.e., eles nao saoE-equivalentes), portanto [a]E ∩ [b]E = ∅.Para provar que E tem a propriedade (b), nos valemos dofato de que
⋃A/E = A pois a ∈ [a]E . Da definicao de
particao tambem sabemos que nao existe classe deequivalencia vazia; logo, pelo menos a esta na classe deequivalencia de todos os elementos equivalentes a a.
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Teoria dos ConjuntosDe particoes a equivalencias
Definicao
Seja S uma particao de A. A relacao ES em A e definida por
ES = {(a,b) ∈ A× A | existe C ∈ S tal que a ∈ C e b ∈ C}.
a e b sao relacionados por ES se e somente se elespertencem ao mesmo conjunto da particao S.
TeoremaSeja S uma particao de A; entao, ES e uma equivalenciasobre A.
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Teoria dos ConjuntosDe particoes a equivalencias
Definicao
Seja S uma particao de A. A relacao ES em A e definida por
ES = {(a,b) ∈ A× A | existe C ∈ S tal que a ∈ C e b ∈ C}.
a e b sao relacionados por ES se e somente se elespertencem ao mesmo conjunto da particao S.
TeoremaSeja S uma particao de A; entao, ES e uma equivalenciasobre A.
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Teoria dos ConjuntosDe particoes a equivalencias
Definicao
Seja S uma particao de A. A relacao ES em A e definida por
ES = {(a,b) ∈ A× A | existe C ∈ S tal que a ∈ C e b ∈ C}.
a e b sao relacionados por ES se e somente se elespertencem ao mesmo conjunto da particao S.
TeoremaSeja S uma particao de A; entao, ES e uma equivalenciasobre A.
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Teoria dos ConjuntosDe particoes a equivalencias
Definicao
Seja S uma particao de A. A relacao ES em A e definida por
ES = {(a,b) ∈ A× A | existe C ∈ S tal que a ∈ C e b ∈ C}.
a e b sao relacionados por ES se e somente se elespertencem ao mesmo conjunto da particao S.
TeoremaSeja S uma particao de A; entao, ES e uma equivalenciasobre A.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia.
Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =
⋃S, existe C ∈ S para o
qual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C, b ∈ D e c ∈ D. Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅. Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D. Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
![Page 29: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/29.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia. Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.
(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =⋃
S, existe C ∈ S para oqual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C, b ∈ D e c ∈ D. Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅. Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D. Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia. Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =
⋃S, existe C ∈ S para o
qual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.
(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C, b ∈ D e c ∈ D. Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅. Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D. Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia. Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =
⋃S, existe C ∈ S para o
qual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.
(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C, b ∈ D e c ∈ D. Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅. Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D. Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia. Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =
⋃S, existe C ∈ S para o
qual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C,
b ∈ D e c ∈ D. Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅. Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D. Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia. Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =
⋃S, existe C ∈ S para o
qual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C, b ∈ D e c ∈ D.
Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅. Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D. Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia. Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =
⋃S, existe C ∈ S para o
qual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C, b ∈ D e c ∈ D. Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅.
Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D. Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
![Page 35: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/35.jpg)
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia. Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =
⋃S, existe C ∈ S para o
qual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C, b ∈ D e c ∈ D. Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅. Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D.
Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do teorema
Demonstracao.
Suponha que S seja uma particao de A. Precisamos provarque a relacao correspondente a particao S e realmenteuma relacao de equivalencia. Ou seja, temos que mostrarque ES e reflexiva, simetrica, e transitiva.(Reflexiva) Tome a ∈ A; como A =
⋃S, existe C ∈ S para o
qual a ∈ C, portanto (a,a) ∈ ES.(Simetrica) Suponha que aESb; entao existe C ∈ S para oqual a ∈ C e b ∈ C. Obviamente b ∈ C e a ∈ C, logo, bESa.(Transitiva) Suponha que aESb e bESc; entao existemC ∈ S e D ∈ S tais que a ∈ C e b ∈ C, b ∈ D e c ∈ D. Eclaro que b ∈ C ∩ D, portanto C ∩ D 6= ∅. Mas S e umsistema de conjuntos mutuamente disjuntos, portanto Ctem que ser igual a D. Agora, a ∈ C, c ∈ C, logo, aESC.
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Teoria dos ConjuntosDe equivalencias a particoes
Teorema(a) Se E e uma equivalencia sobre A e S = A/E, entao
ES = E.
(b) Se S e uma particao de A e ES e a equivalenciacorrespondente, entao A/ES = S.
Definicao
Um conjunto X ⊆ A e chamado de um conjunto derepresentantes para a equivalencia ES (ou para a particaoS de A) se para todo C ∈ S, X ∩C = {a} para algum a ∈ C.
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Teoria dos ConjuntosDe equivalencias a particoes
Teorema(a) Se E e uma equivalencia sobre A e S = A/E, entao
ES = E.(b) Se S e uma particao de A e ES e a equivalencia
correspondente, entao A/ES = S.
Definicao
Um conjunto X ⊆ A e chamado de um conjunto derepresentantes para a equivalencia ES (ou para a particaoS de A) se para todo C ∈ S, X ∩C = {a} para algum a ∈ C.
![Page 39: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/39.jpg)
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Teoria dos ConjuntosDe equivalencias a particoes
Teorema(a) Se E e uma equivalencia sobre A e S = A/E, entao
ES = E.(b) Se S e uma particao de A e ES e a equivalencia
correspondente, entao A/ES = S.
Definicao
Um conjunto X ⊆ A e chamado de um conjunto derepresentantes para a equivalencia ES (ou para a particaoS de A) se para todo C ∈ S, X ∩C = {a} para algum a ∈ C.
![Page 40: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/40.jpg)
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Teoria dos ConjuntosOrdenacao parcial
Definicao
Uma relacao binaria R em A e antissimetrica se para todosa,b ∈ A, aRb e bRa implica a = b.
Definicao (Ordenacao parcial)
Uma relacao binaria R em A que e reflexiva, antissimetrica,e transitiva e chamada de um ordenacao (parcial) de A. Opar (A,R) e chamado de conjunto (parcialmente) ordenado.
![Page 41: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/41.jpg)
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Teoria dos ConjuntosOrdenacao parcial
Definicao
Uma relacao binaria R em A e antissimetrica se para todosa,b ∈ A, aRb e bRa implica a = b.
Definicao (Ordenacao parcial)
Uma relacao binaria R em A que e reflexiva, antissimetrica,e transitiva e chamada de um ordenacao (parcial) de A.
Opar (A,R) e chamado de conjunto (parcialmente) ordenado.
![Page 42: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/42.jpg)
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Teoria dos ConjuntosOrdenacao parcial
Definicao
Uma relacao binaria R em A e antissimetrica se para todosa,b ∈ A, aRb e bRa implica a = b.
Definicao (Ordenacao parcial)
Uma relacao binaria R em A que e reflexiva, antissimetrica,e transitiva e chamada de um ordenacao (parcial) de A. Opar (A,R) e chamado de conjunto (parcialmente) ordenado.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacao estrita
Definicao
Uma relacao S em A e assimeetrica se aSb implica quebSa nao se verifica (para nenhum a,b ∈ A).
Definicao (Ordenacao estrita)
Uma relacao S em A e uma ordenacao estrita se ela forassimetrica e transitiva.
![Page 44: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/44.jpg)
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Teoria dos ConjuntosOrdenacao estrita
Definicao
Uma relacao S em A e assimeetrica se aSb implica quebSa nao se verifica (para nenhum a,b ∈ A).
Definicao (Ordenacao estrita)
Uma relacao S em A e uma ordenacao estrita se ela forassimetrica e transitiva.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes
Teorema(a) Seja R uma ordenacao de A; entao a relacao S
definida em A por
aSb se e somente se aRb e a 6= b
e uma ordenacao estrita de A.(b) Seja S uma ordenacao estrita de A; entao a relacao R
definida em A por
aRB se e somente se aSb ou a = b
e uma ordenacao de A.
![Page 46: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/46.jpg)
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes
Teorema(a) Seja R uma ordenacao de A; entao a relacao S
definida em A por
aSb se e somente se aRb e a 6= b
e uma ordenacao estrita de A.(b) Seja S uma ordenacao estrita de A; entao a relacao R
definida em A por
aRB se e somente se aSb ou a = b
e uma ordenacao de A.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes
Teorema(a) Seja R uma ordenacao de A; entao a relacao S
definida em A por
aSb se e somente se aRb e a 6= b
e uma ordenacao estrita de A.
(b) Seja S uma ordenacao estrita de A; entao a relacao Rdefinida em A por
aRB se e somente se aSb ou a = b
e uma ordenacao de A.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes
Teorema(a) Seja R uma ordenacao de A; entao a relacao S
definida em A por
aSb se e somente se aRb e a 6= b
e uma ordenacao estrita de A.(b) Seja S uma ordenacao estrita de A; entao a relacao R
definida em A por
aRB se e somente se aSb ou a = b
e uma ordenacao de A.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes
Teorema(a) Seja R uma ordenacao de A; entao a relacao S
definida em A por
aSb se e somente se aRb e a 6= b
e uma ordenacao estrita de A.(b) Seja S uma ordenacao estrita de A; entao a relacao R
definida em A por
aRB se e somente se aSb ou a = b
e uma ordenacao de A.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes lineares, cadeias
Definicao (Ordenacao linear)
Uma ordenacao ≤ (ou <) de A e chamada de linear ou totalse quaisquer dois elementos de A forem comparaveis.
Opar (A,≤) e entao chamado de conjunto linearmenteordenado.
Definicao (Cadeia)
Seja B ⊆ A, onde A e ordenado por ≤. B e uma cadeia emA se quaisquer dois elementos de B forem comparaveis.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes lineares, cadeias
Definicao (Ordenacao linear)
Uma ordenacao ≤ (ou <) de A e chamada de linear ou totalse quaisquer dois elementos de A forem comparaveis. Opar (A,≤) e entao chamado de conjunto linearmenteordenado.
Definicao (Cadeia)
Seja B ⊆ A, onde A e ordenado por ≤. B e uma cadeia emA se quaisquer dois elementos de B forem comparaveis.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes lineares, cadeias
Definicao (Ordenacao linear)
Uma ordenacao ≤ (ou <) de A e chamada de linear ou totalse quaisquer dois elementos de A forem comparaveis. Opar (A,≤) e entao chamado de conjunto linearmenteordenado.
Definicao (Cadeia)
Seja B ⊆ A, onde A e ordenado por ≤.
B e uma cadeia emA se quaisquer dois elementos de B forem comparaveis.
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Teoria dos ConjuntosOrdenacoes lineares, cadeias
Definicao (Ordenacao linear)
Uma ordenacao ≤ (ou <) de A e chamada de linear ou totalse quaisquer dois elementos de A forem comparaveis. Opar (A,≤) e entao chamado de conjunto linearmenteordenado.
Definicao (Cadeia)
Seja B ⊆ A, onde A e ordenado por ≤. B e uma cadeia emA se quaisquer dois elementos de B forem comparaveis.
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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosMınimo, minimal, maximo, maximal
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.
(a) b ∈ B e o elemento mınimo de B na ordenacao ≤ seb ≤ x para todo x ∈ B.
(b) b ∈ B e um elemento minimal de B na ordenacao ≤ senao existe nenhum x ∈ B tal que tx ≤ b e x 6= b.
(c) b ∈ B e o elemento maximo de B na ordenacao ≤ sex ≤ b para todo x ∈ B.
(d) b ∈ B e um elemento maximal de B na ordenacao ≤ senao existe nenhum x ∈ B tal que b ≤ x e x 6= b.
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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosMınimo, minimal, maximo, maximal
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.(a) b ∈ B e o elemento mınimo de B na ordenacao ≤ se
b ≤ x para todo x ∈ B.
(b) b ∈ B e um elemento minimal de B na ordenacao ≤ senao existe nenhum x ∈ B tal que tx ≤ b e x 6= b.
(c) b ∈ B e o elemento maximo de B na ordenacao ≤ sex ≤ b para todo x ∈ B.
(d) b ∈ B e um elemento maximal de B na ordenacao ≤ senao existe nenhum x ∈ B tal que b ≤ x e x 6= b.
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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosMınimo, minimal, maximo, maximal
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.(a) b ∈ B e o elemento mınimo de B na ordenacao ≤ se
b ≤ x para todo x ∈ B.(b) b ∈ B e um elemento minimal de B na ordenacao ≤ se
nao existe nenhum x ∈ B tal que tx ≤ b e x 6= b.
(c) b ∈ B e o elemento maximo de B na ordenacao ≤ sex ≤ b para todo x ∈ B.
(d) b ∈ B e um elemento maximal de B na ordenacao ≤ senao existe nenhum x ∈ B tal que b ≤ x e x 6= b.
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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosMınimo, minimal, maximo, maximal
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.(a) b ∈ B e o elemento mınimo de B na ordenacao ≤ se
b ≤ x para todo x ∈ B.(b) b ∈ B e um elemento minimal de B na ordenacao ≤ se
nao existe nenhum x ∈ B tal que tx ≤ b e x 6= b.(c) b ∈ B e o elemento maximo de B na ordenacao ≤ se
x ≤ b para todo x ∈ B.
(d) b ∈ B e um elemento maximal de B na ordenacao ≤ senao existe nenhum x ∈ B tal que b ≤ x e x 6= b.
![Page 58: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/58.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
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Teoria dos ConjuntosMınimo, minimal, maximo, maximal
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.(a) b ∈ B e o elemento mınimo de B na ordenacao ≤ se
b ≤ x para todo x ∈ B.(b) b ∈ B e um elemento minimal de B na ordenacao ≤ se
nao existe nenhum x ∈ B tal que tx ≤ b e x 6= b.(c) b ∈ B e o elemento maximo de B na ordenacao ≤ se
x ≤ b para todo x ∈ B.(d) b ∈ B e um elemento maximal de B na ordenacao ≤ se
nao existe nenhum x ∈ B tal que b ≤ x e x 6= b.
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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
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Teoria dos ConjuntosDiagramas de Hasse
Definicao (Diagramas de Hasse)
Seja A um conjunto ordenado.
Representa-se cadamembro de A como um vertice de um grafo nao-orientadono qual uma aresta sobe de x a y se x < y, e nao existe ztal que x < z < y. Nesse caso, dizemos que y cobre x, ouy e um sucessor imediato de x. Alem do mais, exige-se queos vertices estejam posicionados de tal maneira que cadaaresta liga exatamente dois vertices: suas extremidades.
![Page 60: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/60.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
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Teoria dos ConjuntosDiagramas de Hasse
Definicao (Diagramas de Hasse)
Seja A um conjunto ordenado. Representa-se cadamembro de A como um vertice de um grafo nao-orientadono qual uma aresta sobe de x a y se x < y, e nao existe ztal que x < z < y.
Nesse caso, dizemos que y cobre x, ouy e um sucessor imediato de x. Alem do mais, exige-se queos vertices estejam posicionados de tal maneira que cadaaresta liga exatamente dois vertices: suas extremidades.
![Page 61: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/61.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
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Teoria dos ConjuntosDiagramas de Hasse
Definicao (Diagramas de Hasse)
Seja A um conjunto ordenado. Representa-se cadamembro de A como um vertice de um grafo nao-orientadono qual uma aresta sobe de x a y se x < y, e nao existe ztal que x < z < y. Nesse caso, dizemos que y cobre x, ouy e um sucessor imediato de x.
Alem do mais, exige-se queos vertices estejam posicionados de tal maneira que cadaaresta liga exatamente dois vertices: suas extremidades.
![Page 62: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/62.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosDiagramas de Hasse
Definicao (Diagramas de Hasse)
Seja A um conjunto ordenado. Representa-se cadamembro de A como um vertice de um grafo nao-orientadono qual uma aresta sobe de x a y se x < y, e nao existe ztal que x < z < y. Nesse caso, dizemos que y cobre x, ouy e um sucessor imediato de x. Alem do mais, exige-se queos vertices estejam posicionados de tal maneira que cadaaresta liga exatamente dois vertices: suas extremidades.
![Page 63: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/63.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
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Teoria dos ConjuntosExtremos
TeoremaSuponha que A seja ordenado por ≤, e que B ⊆ A.
(a) B tem no maximo um elemento mınimo.(b) O elemento mınimo de B (se existe) e tambem minimal.(c) Se B e uma cadeia, entao todo elemento minimal de B
e tambem mınimo.
![Page 64: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/64.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosExtremos
TeoremaSuponha que A seja ordenado por ≤, e que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um elemento mınimo.
(b) O elemento mınimo de B (se existe) e tambem minimal.(c) Se B e uma cadeia, entao todo elemento minimal de B
e tambem mınimo.
![Page 65: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/65.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosExtremos
TeoremaSuponha que A seja ordenado por ≤, e que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um elemento mınimo.(b) O elemento mınimo de B (se existe) e tambem minimal.
(c) Se B e uma cadeia, entao todo elemento minimal de Be tambem mınimo.
![Page 66: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/66.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosExtremos
TeoremaSuponha que A seja ordenado por ≤, e que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um elemento mınimo.(b) O elemento mınimo de B (se existe) e tambem minimal.(c) Se B e uma cadeia, entao todo elemento minimal de B
e tambem mınimo.
![Page 67: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/67.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosLimitantes
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.
(a) a ∈ A e um limitante inferior de B no conjunto ordenado(A,≤) se a ≤ x para todo x ∈ B.
(b) a ∈ A e chamado de ınfimo (ou maior limitante inferior)de B em (A,≤) se ele e o elemento maximo doconjunto de todos os limitantes inferiores de B em(A,≤).
(c) a ∈ A e um limitante superior de B no conjuntoordenado (A,≤) se x ≤ a para todo x ∈ B.
(d) a ∈ A e chamado de supremo (ou menor limitantesuperior) de B em (A,≤) se ele e o elemento mınimodo conjunto de todos os limitantes superiores de B em(A,≤).
![Page 68: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/68.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosLimitantes
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.(a) a ∈ A e um limitante inferior de B no conjunto ordenado
(A,≤) se a ≤ x para todo x ∈ B.
(b) a ∈ A e chamado de ınfimo (ou maior limitante inferior)de B em (A,≤) se ele e o elemento maximo doconjunto de todos os limitantes inferiores de B em(A,≤).
(c) a ∈ A e um limitante superior de B no conjuntoordenado (A,≤) se x ≤ a para todo x ∈ B.
(d) a ∈ A e chamado de supremo (ou menor limitantesuperior) de B em (A,≤) se ele e o elemento mınimodo conjunto de todos os limitantes superiores de B em(A,≤).
![Page 69: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/69.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosLimitantes
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.(a) a ∈ A e um limitante inferior de B no conjunto ordenado
(A,≤) se a ≤ x para todo x ∈ B.(b) a ∈ A e chamado de ınfimo (ou maior limitante inferior)
de B em (A,≤) se ele e o elemento maximo doconjunto de todos os limitantes inferiores de B em(A,≤).
(c) a ∈ A e um limitante superior de B no conjuntoordenado (A,≤) se x ≤ a para todo x ∈ B.
(d) a ∈ A e chamado de supremo (ou menor limitantesuperior) de B em (A,≤) se ele e o elemento mınimodo conjunto de todos os limitantes superiores de B em(A,≤).
![Page 70: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/70.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
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Teoria dos ConjuntosLimitantes
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.(a) a ∈ A e um limitante inferior de B no conjunto ordenado
(A,≤) se a ≤ x para todo x ∈ B.(b) a ∈ A e chamado de ınfimo (ou maior limitante inferior)
de B em (A,≤) se ele e o elemento maximo doconjunto de todos os limitantes inferiores de B em(A,≤).
(c) a ∈ A e um limitante superior de B no conjuntoordenado (A,≤) se x ≤ a para todo x ∈ B.
(d) a ∈ A e chamado de supremo (ou menor limitantesuperior) de B em (A,≤) se ele e o elemento mınimodo conjunto de todos os limitantes superiores de B em(A,≤).
![Page 71: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/71.jpg)
Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosLimitantes
Definicao
Seja ≤ uma ordenacao de A, e suponha que B ⊆ A.(a) a ∈ A e um limitante inferior de B no conjunto ordenado
(A,≤) se a ≤ x para todo x ∈ B.(b) a ∈ A e chamado de ınfimo (ou maior limitante inferior)
de B em (A,≤) se ele e o elemento maximo doconjunto de todos os limitantes inferiores de B em(A,≤).
(c) a ∈ A e um limitante superior de B no conjuntoordenado (A,≤) se x ≤ a para todo x ∈ B.
(d) a ∈ A e chamado de supremo (ou menor limitantesuperior) de B em (A,≤) se ele e o elemento mınimodo conjunto de todos os limitantes superiores de B em(A,≤).
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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
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Teoria dos ConjuntosLimitantes (cont.)
TeoremaSeja (A,≤) um conjunto ordenado e suponha que B ⊆ A.
(a) B tem no maximo um ınfimo.(b) Se b e o elemento mınimo de B, entao b e o ınfimo de
B.(c) Se b e o ınfimo de B e b ∈ B, entao b e o elemento
mınimo de B.(d) b ∈ A e um ınfimo de B em (A,≤) se e somente se
(i) b ≤ x para todo x ∈ B.(ii) Se b′ ≤ x para todo x ∈ B, entao b′ ≤ b.
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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
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Teoria dos ConjuntosLimitantes (cont.)
TeoremaSeja (A,≤) um conjunto ordenado e suponha que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um ınfimo.
(b) Se b e o elemento mınimo de B, entao b e o ınfimo deB.
(c) Se b e o ınfimo de B e b ∈ B, entao b e o elementomınimo de B.
(d) b ∈ A e um ınfimo de B em (A,≤) se e somente se(i) b ≤ x para todo x ∈ B.(ii) Se b′ ≤ x para todo x ∈ B, entao b′ ≤ b.
![Page 74: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/74.jpg)
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Teoria dos ConjuntosLimitantes (cont.)
TeoremaSeja (A,≤) um conjunto ordenado e suponha que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um ınfimo.(b) Se b e o elemento mınimo de B, entao b e o ınfimo de
B.
(c) Se b e o ınfimo de B e b ∈ B, entao b e o elementomınimo de B.
(d) b ∈ A e um ınfimo de B em (A,≤) se e somente se(i) b ≤ x para todo x ∈ B.(ii) Se b′ ≤ x para todo x ∈ B, entao b′ ≤ b.
![Page 75: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/75.jpg)
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Teoria dos ConjuntosLimitantes (cont.)
TeoremaSeja (A,≤) um conjunto ordenado e suponha que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um ınfimo.(b) Se b e o elemento mınimo de B, entao b e o ınfimo de
B.(c) Se b e o ınfimo de B e b ∈ B, entao b e o elemento
mınimo de B.
(d) b ∈ A e um ınfimo de B em (A,≤) se e somente se(i) b ≤ x para todo x ∈ B.(ii) Se b′ ≤ x para todo x ∈ B, entao b′ ≤ b.
![Page 76: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/76.jpg)
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Teoria dos ConjuntosLimitantes (cont.)
TeoremaSeja (A,≤) um conjunto ordenado e suponha que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um ınfimo.(b) Se b e o elemento mınimo de B, entao b e o ınfimo de
B.(c) Se b e o ınfimo de B e b ∈ B, entao b e o elemento
mınimo de B.(d) b ∈ A e um ınfimo de B em (A,≤) se e somente se
(i) b ≤ x para todo x ∈ B.(ii) Se b′ ≤ x para todo x ∈ B, entao b′ ≤ b.
![Page 77: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/77.jpg)
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Teoria dos ConjuntosLimitantes (cont.)
TeoremaSeja (A,≤) um conjunto ordenado e suponha que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um ınfimo.(b) Se b e o elemento mınimo de B, entao b e o ınfimo de
B.(c) Se b e o ınfimo de B e b ∈ B, entao b e o elemento
mınimo de B.(d) b ∈ A e um ınfimo de B em (A,≤) se e somente se
(i) b ≤ x para todo x ∈ B.
(ii) Se b′ ≤ x para todo x ∈ B, entao b′ ≤ b.
![Page 78: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/78.jpg)
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Teoria dos ConjuntosLimitantes (cont.)
TeoremaSeja (A,≤) um conjunto ordenado e suponha que B ⊆ A.(a) B tem no maximo um ınfimo.(b) Se b e o elemento mınimo de B, entao b e o ınfimo de
B.(c) Se b e o ınfimo de B e b ∈ B, entao b e o elemento
mınimo de B.(d) b ∈ A e um ınfimo de B em (A,≤) se e somente se
(i) b ≤ x para todo x ∈ B.(ii) Se b′ ≤ x para todo x ∈ B, entao b′ ≤ b.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do Teorema
Demonstracao.Tome qualquer B ⊆ A.
(a) O conjunto de limitantes inferiores de B pode ter nomaximo um elemento maximo (se e que ele existe).Portanto, B pode ter no maximo um ınfimo.
(b) O elemento mınimo b de B e um limitante inferior de B.Se b′ for qualquer outro limitante inferior de B, b′ ≤ bpois b ∈ B. Portanto, b e o maior limitante inferior doconjunto de todos os limitantes inferiores de B.
(c) Se b e o ınfimo de B (i.e. b e o maior de todos oslimitantes inferiores de B), e b ∈ B (poderia ser ocontrario), entao obviamente b e o elemento mınimo deB.
(d) E uma reformulacao da definicao.
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Teoria dosConjuntos(Aula 4)
Ruy deQueiroz
Teoria dos ConjuntosDemonstracao do Teorema
Demonstracao.Tome qualquer B ⊆ A.(a) O conjunto de limitantes inferiores de B pode ter no
maximo um elemento maximo (se e que ele existe).
Portanto, B pode ter no maximo um ınfimo.(b) O elemento mınimo b de B e um limitante inferior de B.
Se b′ for qualquer outro limitante inferior de B, b′ ≤ bpois b ∈ B. Portanto, b e o maior limitante inferior doconjunto de todos os limitantes inferiores de B.
(c) Se b e o ınfimo de B (i.e. b e o maior de todos oslimitantes inferiores de B), e b ∈ B (poderia ser ocontrario), entao obviamente b e o elemento mınimo deB.
(d) E uma reformulacao da definicao.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do Teorema
Demonstracao.Tome qualquer B ⊆ A.(a) O conjunto de limitantes inferiores de B pode ter no
maximo um elemento maximo (se e que ele existe).Portanto, B pode ter no maximo um ınfimo.
(b) O elemento mınimo b de B e um limitante inferior de B.Se b′ for qualquer outro limitante inferior de B, b′ ≤ bpois b ∈ B. Portanto, b e o maior limitante inferior doconjunto de todos os limitantes inferiores de B.
(c) Se b e o ınfimo de B (i.e. b e o maior de todos oslimitantes inferiores de B), e b ∈ B (poderia ser ocontrario), entao obviamente b e o elemento mınimo deB.
(d) E uma reformulacao da definicao.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do Teorema
Demonstracao.Tome qualquer B ⊆ A.(a) O conjunto de limitantes inferiores de B pode ter no
maximo um elemento maximo (se e que ele existe).Portanto, B pode ter no maximo um ınfimo.
(b) O elemento mınimo b de B e um limitante inferior de B.
Se b′ for qualquer outro limitante inferior de B, b′ ≤ bpois b ∈ B. Portanto, b e o maior limitante inferior doconjunto de todos os limitantes inferiores de B.
(c) Se b e o ınfimo de B (i.e. b e o maior de todos oslimitantes inferiores de B), e b ∈ B (poderia ser ocontrario), entao obviamente b e o elemento mınimo deB.
(d) E uma reformulacao da definicao.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do Teorema
Demonstracao.Tome qualquer B ⊆ A.(a) O conjunto de limitantes inferiores de B pode ter no
maximo um elemento maximo (se e que ele existe).Portanto, B pode ter no maximo um ınfimo.
(b) O elemento mınimo b de B e um limitante inferior de B.Se b′ for qualquer outro limitante inferior de B, b′ ≤ bpois b ∈ B.
Portanto, b e o maior limitante inferior doconjunto de todos os limitantes inferiores de B.
(c) Se b e o ınfimo de B (i.e. b e o maior de todos oslimitantes inferiores de B), e b ∈ B (poderia ser ocontrario), entao obviamente b e o elemento mınimo deB.
(d) E uma reformulacao da definicao.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do Teorema
Demonstracao.Tome qualquer B ⊆ A.(a) O conjunto de limitantes inferiores de B pode ter no
maximo um elemento maximo (se e que ele existe).Portanto, B pode ter no maximo um ınfimo.
(b) O elemento mınimo b de B e um limitante inferior de B.Se b′ for qualquer outro limitante inferior de B, b′ ≤ bpois b ∈ B. Portanto, b e o maior limitante inferior doconjunto de todos os limitantes inferiores de B.
(c) Se b e o ınfimo de B (i.e. b e o maior de todos oslimitantes inferiores de B), e b ∈ B (poderia ser ocontrario), entao obviamente b e o elemento mınimo deB.
(d) E uma reformulacao da definicao.
![Page 85: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/85.jpg)
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do Teorema
Demonstracao.Tome qualquer B ⊆ A.(a) O conjunto de limitantes inferiores de B pode ter no
maximo um elemento maximo (se e que ele existe).Portanto, B pode ter no maximo um ınfimo.
(b) O elemento mınimo b de B e um limitante inferior de B.Se b′ for qualquer outro limitante inferior de B, b′ ≤ bpois b ∈ B. Portanto, b e o maior limitante inferior doconjunto de todos os limitantes inferiores de B.
(c) Se b e o ınfimo de B (i.e. b e o maior de todos oslimitantes inferiores de B), e b ∈ B (poderia ser ocontrario), entao obviamente b e o elemento mınimo deB.
(d) E uma reformulacao da definicao.
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do Teorema
Demonstracao.Tome qualquer B ⊆ A.(a) O conjunto de limitantes inferiores de B pode ter no
maximo um elemento maximo (se e que ele existe).Portanto, B pode ter no maximo um ınfimo.
(b) O elemento mınimo b de B e um limitante inferior de B.Se b′ for qualquer outro limitante inferior de B, b′ ≤ bpois b ∈ B. Portanto, b e o maior limitante inferior doconjunto de todos os limitantes inferiores de B.
(c) Se b e o ınfimo de B (i.e. b e o maior de todos oslimitantes inferiores de B), e b ∈ B (poderia ser ocontrario), entao obviamente b e o elemento mınimo deB.
(d) E uma reformulacao da definicao.
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Teoria dos ConjuntosIsomorfismo de ordenacoes
Definicao
Um isomorfismo entre dois conjuntos ordenados (P,≺P) e(Q,≺Q) e uma funcao um-para-um h com domınio P econtradomınio Q tal que para todos p1,p2 ∈ P
p1 ≺P p2 se e somente se h(p1) ≺Q h(p2).
LemaSejam (P,≺P) e (Q,≺Q) conjuntos linearmente ordenados,e suponha que h seja uma funcao um-para-um comdomınio P e contradomınio Q tal que h(p1) ≺Q h(p2)sempre que p1 ≺P p2. Entao h e um isomorfismo entre(P,≺P) e (Q,≺Q).
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Teoria dos ConjuntosIsomorfismo de ordenacoes
Definicao
Um isomorfismo entre dois conjuntos ordenados (P,≺P) e(Q,≺Q) e uma funcao um-para-um h com domınio P econtradomınio Q tal que para todos p1,p2 ∈ P
p1 ≺P p2 se e somente se h(p1) ≺Q h(p2).
LemaSejam (P,≺P) e (Q,≺Q) conjuntos linearmente ordenados,e suponha que h seja uma funcao um-para-um comdomınio P e contradomınio Q tal que h(p1) ≺Q h(p2)sempre que p1 ≺P p2. Entao h e um isomorfismo entre(P,≺P) e (Q,≺Q).
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Teoria dos ConjuntosIsomorfismo de ordenacoes
Definicao
Um isomorfismo entre dois conjuntos ordenados (P,≺P) e(Q,≺Q) e uma funcao um-para-um h com domınio P econtradomınio Q tal que para todos p1,p2 ∈ P
p1 ≺P p2 se e somente se h(p1) ≺Q h(p2).
LemaSejam (P,≺P) e (Q,≺Q) conjuntos linearmente ordenados,e suponha que h seja uma funcao um-para-um comdomınio P e contradomınio Q tal que h(p1) ≺Q h(p2)sempre que p1 ≺P p2.
Entao h e um isomorfismo entre(P,≺P) e (Q,≺Q).
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Teoria dos ConjuntosIsomorfismo de ordenacoes
Definicao
Um isomorfismo entre dois conjuntos ordenados (P,≺P) e(Q,≺Q) e uma funcao um-para-um h com domınio P econtradomınio Q tal que para todos p1,p2 ∈ P
p1 ≺P p2 se e somente se h(p1) ≺Q h(p2).
LemaSejam (P,≺P) e (Q,≺Q) conjuntos linearmente ordenados,e suponha que h seja uma funcao um-para-um comdomınio P e contradomınio Q tal que h(p1) ≺Q h(p2)sempre que p1 ≺P p2. Entao h e um isomorfismo entre(P,≺P) e (Q,≺Q).
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do lema
Demonstracao.
Precisamos mostrar que se p1,p2 ∈ P e h(p1) ≺Q h(p2),entao p1 ≺P p2.
Mas, como ≺P e uma ordenacao linear deP, se p1 nao e menor que p2, entao ou p1 = p2 oup2 ≺P p1. No caso em que p1 = p2 temos h(p1) = h(p2), ese p2 ≺P p1 entao h(p2) ≺Q h(p1) por hipotese. Emqualquer dos casos temos uma contradicao com a hipoteseque h(p1) ≺P h(p2).
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do lema
Demonstracao.
Precisamos mostrar que se p1,p2 ∈ P e h(p1) ≺Q h(p2),entao p1 ≺P p2. Mas, como ≺P e uma ordenacao linear deP, se p1 nao e menor que p2, entao ou p1 = p2 oup2 ≺P p1.
No caso em que p1 = p2 temos h(p1) = h(p2), ese p2 ≺P p1 entao h(p2) ≺Q h(p1) por hipotese. Emqualquer dos casos temos uma contradicao com a hipoteseque h(p1) ≺P h(p2).
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do lema
Demonstracao.
Precisamos mostrar que se p1,p2 ∈ P e h(p1) ≺Q h(p2),entao p1 ≺P p2. Mas, como ≺P e uma ordenacao linear deP, se p1 nao e menor que p2, entao ou p1 = p2 oup2 ≺P p1. No caso em que p1 = p2 temos h(p1) = h(p2), ese p2 ≺P p1 entao h(p2) ≺Q h(p1) por hipotese.
Emqualquer dos casos temos uma contradicao com a hipoteseque h(p1) ≺P h(p2).
![Page 94: Teoria dos Conjuntos (Aula 4)cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula4.pdf · (Aula 4) Ruy de Queiroz Teoria dos Conjuntos Propriedades de Relac¸oes˜ Definic¸ao˜ Seja R uma relac¸ao](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042606/5f6ef758d2b5222ce262fddc/html5/thumbnails/94.jpg)
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Teoria dos ConjuntosDemonstracao do lema
Demonstracao.
Precisamos mostrar que se p1,p2 ∈ P e h(p1) ≺Q h(p2),entao p1 ≺P p2. Mas, como ≺P e uma ordenacao linear deP, se p1 nao e menor que p2, entao ou p1 = p2 oup2 ≺P p1. No caso em que p1 = p2 temos h(p1) = h(p2), ese p2 ≺P p1 entao h(p2) ≺Q h(p1) por hipotese. Emqualquer dos casos temos uma contradicao com a hipoteseque h(p1) ≺P h(p2).