RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA Diagrama Polar Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula Teorica 9.
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Conceito de resposta de freqüência:
É a resposta em estado estacionário de um sistema quando se estimula com uma entrada sinusoidal cuja freqüência varia de zero até infinito.
y(t)Sistemalinear
x(t)
Se tXsentx )( Então: )()( tYsenty
PODE-SE DEMONSTRAR QUE:
SUBSTITUINDO jwS NA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
(PODE CONSULTÁ-LO EM LIVROS DE TEXTO)
OBTÉM-SE A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA
EXEMPLO
)2)(5(
5
)(
)()(
SSsX
sYsG
)2)(5(
5
)(
)()(
jwjwjwX
jwYjwG
Si
Então
OBSERVE QUE )( jwG
)()( jwGjwG
22 ))((Im))((Re)( jwGjwGjwG
É UM NUMERO COMPLEXO
SE FOR ASSIM ENTÃO SE PODE REPRESENTAR
)(Re
)(Imtan)( 1
jwG
jwGjwG
Geralmente
Diagramas de bode Diagramas polares
UMA VEZ QUE SE TEM A EXPRESSÃO MATEMÁTICA QUE REPRESENTA A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA
DESENHA-HE
MAGNITUDE(db) VS LOG(W)
FASE VS LOG(W)
MAGNITUDE E FASECOM A FREQÜÊNCIAVARIANDO ENTRE ZEROE INFINITO
DOISUM
Exercícios propostos
)1)(5(
50)(
)10)(2()(
)1(
)2(10)(
)1(
10)(
)1(
10)(
)1)(2(
10)(
3
2
SSSSGH
SSS
KsGH
SS
SsGH
SSsGH
SSsGH
SSsGH
Primeiro achamos algumas considerações matemática
•O critério do Nyquist se apóia no Teorema de transformação de trajetórias no plano complexo:
Suponha que temos três planos
Suponha que temos uma função de tranferencia
1
1)(
S
sG
e que S=j
A(0;j1)
B
j
2
1
2
1
j
2
1
2
3C
Observar que um ponto no plano S, significa um ponto no plano GH e também no plano 1+GH
Da mesma forma que um contorno fechado no plano S que não passa por nenhum ponto singular do GH ou de 1+GH, este dará um contorno fechado nestes.
Com um contorno em S haverá um só contorno no GH ou em 1+GH ?
NÃO
pode-se demonstrar (Não é objetivo fazê-lo aqui)
O número de voltas à origem no plano 1+GH é igual à diferença de zeros e pólos da função de transferência de laço fechado dentro do contorno que achamos feito no plano S
SE FORMOS ANALISAR A ESTABILIDADE DOS SISTEMAS .
Que contorno vocês acreditam que tenha estabelecido nyquist sobre o plano s?
Onde nos interessa saber se houver raizes da equação caracteristica (1+GH=0) para dizer se o sistema é instável?
uma trajetória no Plano s, que abrange todo o semiplano direito.
j
A trajetória do Nyquist abrange todos os pólos e zeros de 1+GH no semiplano direito.
Nyquist definiu
Seção I
Seção II
Seção III
w0
0 w
R
js Relim
22
O critério do Nyquist estabelece
O número de voltas à origem no Plano 1+GH é igual à diferença de zeros e pólos que se encontram dentro do contorno no Plano S
N = Z - P
N: # de voltas à origem no Plano 1+GHZ: # de zeros de 1+GH dentro do contorno do plano SP: # de pólos de 1+GH dentro do contorno do plano S
Para que o sistema seja estável que valor deve tomar Z?
Então
0Z
Se o 1+GH tiver K pólos edentro do contorno
Se o 1+GH não tiver pólos edentro do contorno
KN 0N
Isto quer dizer que ao percorrer o contorno do Nyquist no plano S , deve encerrar-se K vezes a origem no plano 1+GH no sentido antihorario
Isto quer dizer que ao percorrer o contorno do Nyquist no plano S , NÃO deve encerrar a origem no plano 1+GH
Para que o sistema seja estável
Agora bem
Trabalhar no plano 1+GH é muito difícil
Pergunto então
Como deslocar todo este critério do Nyquist ao plano GH que se trabalha muito mais fácil e que nos permitirá, conhecendo a função de transferência de laço aberto, determinar a estabilidade do sistema em laço fechado?
Tudo o que se disse com respeito à origem quando trabalhamos com 1+GH agora é válido para o GH mas com respeito ao ponto
)0;1(Agora
O critério do Nyquist estabelece
O número de voltas ao ponto no Plano GH é igual à diferença de zeros e pólos que se encontram dentro do contorno no Plano S
)0;1(
N: # de voltas ao ponto no Plano GHZ: # de zeros de 1+GH dentro do contorno do plano SP: # de pólos de GH dentro do contorno do plano S
Mas
)0;1(
No caso que G(s)H(s) tenha pólos ou zeros sobre o eixo j, então terá que modificar a trajetória do Nyquist.
Geralmente se deixam fora da trajetória os pólos e zeros que estão sobre o eixo imaginário.
modifica-se a trajetória na origem e além das três anteriores aparece a secció IVsecció IV
0Relim
R
js
22
Todo o resto é igual