RESOLUCAO EEAR 1 2011

RESOLUÇÃO SARGENTO AERONÁUTICA 1/2011

Profo.: Waldomário Melo

Prezados concursandos! Meu nome é Profº Waldomário Melo, 13 anos de

experiência em concursos, gostaria de externar a todos a grande satisfação de poder estar tendo esta oportunidade, muito gentilmente proporcionada pela Direção do Curso Hertz, a qual faço parte apresentar-lhes a resolução, comentários e dicas sobre a resolução da PROVA EEAR 1/2011, de forma inédita em Belém.

Agradeço primeiramente a Deus, a minha família e a diversos parceiros.

Meus queridos, sem mais delongas, passemos aos comentários. Ah! Continuamos matriculando para nossas turmas preparatórias do Soldado Polícia e Sargento Exército.

CONCURSO DE SARGENTO AERONÁUTICA 1/2011

PROVA TIPO 08 REALIZADO EM 13 DE JUNHO DE 2010

GABARITO: B 51. O número complexo z = (a - 4) + (b - 5)i será um número imaginário puro se:

a) a = 4 e b = 5. b) a = 4 e b ≠≠≠≠ 5. c) a ≠ 4 e b = 5. d) a ≠ 4 e b ≠ 5.

TÓPICO: NÚMEROS COMPLEXOS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: PELA APOSTILA HERTZ, temos: g) CASOS ESPECIAIS

Tomemos o número complexo em sua forma algébrica: Z = a + bi. a) Quando b = 0, então o número Z = a + bi é um número real, pois Z

= a + 0.i ⇒⇒⇒⇒ Z = a. Isso significa que todo número real é também um

número complexo, portanto, podemos afirmar: ℜℜℜℜ⊂⊂⊂⊂ C. b) Quando a ≠ 0 e b ≠ 0, então o número Z = a + bi é dito um número imaginário. c) Quando a = 0 e b ≠ 0, então o número Z = a + bi é denominado

imaginário puro, ou seja, Z = 0 + bi ⇒⇒⇒⇒ Z = bi. Para a questão, temos:

z é imaginário puro quando a - 4 = 0 e b - 5 ≠ 0, isto é, quando a = 4 e

b ≠ 5.

GABARITO: D 52. A razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, numa mesma base b,

sendo 0 < b ≠ 1, é: a) 1/4. b) 1/2. c) 4. d) 2.

TÓPICO: LOGARITMOS

Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Propriedades vista na aula de Logaritmos, temos:

1log

loglog

loglog

log

=

=

=

aa

ab

ab

acc

b

ab

nn

Pela questão temos: 2)1.(2log2logloglog

log 44

44

1644

162

=====b

b

GABARITO: C 53. Considere a distribuição:

A freqüência relativa da 3ª classe dessa distribuição é: a) 40%. b) 35%. c) 30%. d) 25%.

TÓPICO: ESTATÍSTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Fabs. = Peso = Números de Pacientes da 3ª linha = 27

Facum. = ∑∑∑∑Fabs = 8 + 12 + 27 + 31 + 10 + 2 = 90

%3010090

27.

.

=×=

=

Frel

Facumulada

FabsolutaFrel

GABARITO: A 54. Seja M(4,a) o ponto médio do segmento de extremidades A(3,1) e B(b,5). Assim, o valor de a + b é: a) 8 b) 6 c) 4 d) 2

TÓPICO: GEOMETRIA ANALÍTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:

O ponto médio do segmento AB , sendo A(xA, yA) e B(xB, yB), é

dado pelo par ordenado: ) ,( MM yxM = , onde:

221 xx

xm+

= e 2

21 yyym

+=

++2

,2

2121 yyxxM

Note que as coordenadas do Ponto Médio de um segmento

qualquer, são a Média Aritmética das coordenadas dos extremos

desse segmento.

8)5()3(

32

51

542

3

2

51,

2

3),4(

=+=+

=→=+

=→=+

++=

ba

aa

bb

ba

GABARITO: B

55. A função definida por y = m(x - 1) + 3 - x, m ∈ℜ, será crescente, se

a) m ≥ 0. b) m > 1. c) -1 < m < 1. d) -1 < m ≤ 0.

2

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TÓPICO: FUNÇÃO CRESCENTE Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: A função dada por y = ax + b, será crescente se a > 0. Logo, temos: y = m(x - 1) + 3 – x y = mx – m + 3 – x y = mx – x + 3 y = (m – 1)x + 3 a = m – 1 Pela condição: a > 0 m – 1 > 0 m > 1

GABARITO: B 56. Formato, tamanho e cor são as características que diferem as etiquetas indicadores de preço dos produtos de uma loja. Se elas podem ter 2 formatos, 3 tamanhos e 5 cores, o número máximo de preços distintos dos produtos da loja é a) 24. b) 30. c) 32. d) 40.

TÓPICO: ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 3 etapas: T = 2 x 3 x 5 = 30 preços distintos.

GABARITO: A 57. Para dar 10 voltas completas em volta de um jardim circular, uma

pessoa percorrerá 2198m. Considerando π = 3,14, a medida, em metros, do diâmetro desse jardim é: a) 70. b) 65. c) 58. d) 52.

TÓPICO: GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:

Para 1 volta temos o comprimento da circunferência 2ππππR

mD

RD

mR

mvoltas

RRvolta

70)35(2

2

358,62

2198

219810

)14,32(21

===

==

××π

GABARITO: D 58. A cuba de uma pia tem a forma de uma semi-esfera de 3dm de

raio. A capacidade dessa cuba é ____ π litros. a) 12. b) 14. c) 16. d) 18.

TÓPICO: GEOMETRIA ESPACIAL Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Sabemos que 1 dm

3 = 1 litro.

O volume de uma esfera de raio R é .3

4 3RV π=

O volume da semi-esfera é metade do volume da esfera, então a

capacidade da cuba é:

l

l

ππ

πππ

182

36

3636)3(3

4 33

==

===

Vcuba

dmV

GABARITO: C 59. Considere o Polígono de Frequência e a Ogiva, ambos representativos de uma distribuição de frequência com classes. As abscissas dos pontos que orientam as construções do Polígono e da Ogiva são, respectivamente, os ________________ e os (as) _______________ das classes. a) limites superiores – freqüências absolutas. b) pontos médios – freqüências absolutas.

c) pontos médios – limites superiores. d) limites superiores – pontos médios.

TÓPICO: ESTATÍSTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: O polígono de freqüências é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. O polígono de freqüência acumulada ou ogiva de Galton é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

GABARITO: D

60. Sejam as matrizes

=123

150

312

A e .90

32

=B O valor de (detA)

÷ (detB) é: a) 4. b) 3. c) -1. d) -2.

TÓPICO: DETERMINANTE Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Aplicando Regra de Sarrus:

218

36

det

det

18)0.3()9.2(det

90

32det

36)1.0.12.2.23.5.3()2.0.33.1.11.5.2(det

2

5

1

3

0

2

123

150

312

det

−=−=

=−=

=

−=++−++=

=

B

A

B

B

A

A

GABARITO: B 61. No triangulo, o menor valor que x pode assumir é: a) 4. b) 3. c) 2. d) 1.

TÓPICO: LEI DOS COSSENOS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática

(7)2 = (x)

2 + (8)

2 – 2.(x).(8).cos60

o (cos60

o = 1/2)

x2 – 8x + 15 = 0

x = 3 ou x = 5 (não convém, pois é o maior valor)

GABARITO: A 62. O perímetro da base de um prisma quadrangular regular é 8cm.

Se a altura desse prisma é 3cm, então sua área total, em cm2, é:

a) 32. b) 34. c) 36. d) 38.

TÓPICO: GEOMETRIA ESPACIAL Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Base quadrada Perímetro: P = 4a (a = aresta da base)

8 = 4a →→→→ a = 2cm

Abase = a2 = (2)

2 = 4cm

2

Alateral = n.Aface (n = número de faces = 4 faces)

Alateral = 4.(H.a) = 4x3x2 = 24cm2

Atotal = 2.Abase + Alateral = 2x(4) + 24 = 32cm2

3

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GABARITO: C 63. Na figura, O é o centro da circunferência e PA é tangente a ela,

em P. Se 030ˆ =OAP e ,312 cmOA = então a medida do raio da

circunferência, em cm, é:

a)

38

b)

28

c)

36

d)

26


AP reta tangente a circunferência, logo AP ⊥ OP. Neste caso, temos um triângulo retângulo em P. Pela relação trigonométrica:

cmRR

OA

OPsen o

363122

1

30

=→=

=

GABARITO: A

64. Os números que expressam as medidas, em cm ou em cm2, do

lado, da superfície e do perímetro de um quadrado, dados nessa ordem, formam uma PA. O lado desse quadrado, em cm, mede a) 5/2. b) 5/3. c) 3/4. d) 3/2.

TÓPICO: PROGRESSÃO ARITMÉTICA e GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Quadrado Lado = L

Área = Superfície = L2

Perímetro = 4L

A seqüência será: (Lado, Perímetro, Área) = (L, L2, 4L)

cmLLL

L 2/52

42 =→+=

GABARITO: D

65. Seja r a maior raiz da equação x.(x+2).(x-1)3 = 0. Se m é a

multiplicidade de r, então r.m é igual a: a) 6. b) 5. c) 4. d) 3.

TÓPICO: EQUAÇÕES POLINOMIAIS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:

A equação x.(x+2).(x-1)3 = 0 possui raízes 0, -2 e 1.

A maior raiz é 1 que tem multiplicidade 3 (basta olhar o expoente do fator x - 1 ), então r = 1 e m = 3. r × m = (1)× (3) = 3

GABARITO: B 66. Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito na circunferência, então a + b – c é igual: a) 150°. b) 120°. c) 100°. d) 90°.

TÓPICO: GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Os ângulos a, b e c são ângulos inscritos na circunferência e medem metade do arco por eles determinado. O hexágono regular divide a circunferência em 6 arcos de 60

O.

0000

00

000

0000

120)30()60()90(

302

60

2

602

6060

2

902

606060

2

=−+=−+

===

=+=+=

=++=++=

cba

MRc

OPNOb

OPNOMNa

GABARITO: B 67. Sejam as retas r e s de equações y = 2x – 3 e y = -3x + 2. A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r e s é:

a) 0. b) 1. c) 3

c)3

3

TÓPICO: GEOMETRIA ANALÍTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: O coeficiente angular da reta r é mr = 2 e o coeficiente angular da reta s é ms = -3. A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r e s é dada por:

115

5

)3).(2(1

)3()2(

.1=−=

−=

−+−−=

+−=

msmr

msmrtgθ

GABARITO: D 68. O número de valores inteiros de x para os quais se verifica a

inequação x2 < 7x - 6 é:

a) três. b) seis. c) cinco. d) quatro.

TÓPICO: INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:

x2 < 7x – 6

x2 - 7x + 6 < 0

x2 - 7x + 6 = 0

x’ = 1 x” = 6

S = {x∈ℜ/ 1 < x < 6} ={2, 3, 4, 5}

GABARITO: A 69. Na figura, AB e CD são cordas tais que AP = 2PB, CD = 10cm,

e .32

PDCP = A medida de AB , em cm, é:

a) 36

b) 37

c) 28

d) 29

1 6

m/a m/a c/a

4

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GABARITO: A

70. Se o polinômio P(x) = ax3 – 3x

2 – bx – 3 é divisível por (x – 3) (x +

1), então o valor de a + b é: a) 10. b) 8. c) 7. d) 5.

TÓPICO: POLINÔMIOS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: DIVISÃO DE POLINÔMIO POR (x – a).(x – b), a ≠ b. Teorema

Se P(x) for divisível por (x - a) e por (x - b), com a ≠≠≠≠ b, também será divisível por (x - a).(x - b). Generalizando, temos: Se um polinômio P(x) for divisível por um produto de binômios da forma (x – a).(x – b).(x – c)...., então ele será divisível individualmente por (x – a), (x – b), (x – c),.... Em conseqüência: P(a) = P(b) = P(c) =....= 0.

x – 3 = 0 →→→→ x = 3 →→→→ P(3) = 0

a.(3)3 – 3.(3)

2 – b.(3) – 3 = 0

9a – b = 10

x + 1 = 0 →→→→ x = -1 →→→→ P(-1) = 0

a.(-1)3 – 3.(-1)

2 – b.(-1) – 3 = 0

-a + b = 6

Resolvendo o sistema:

10)8()2(

8/26

109

=+=+

==→=+−

=−

ba

baba

ba

GABARITO: C 71. Na figura, BC e CE são segmentos colineares de 4cm cada um. Se os triângulos ABC e DCE são eqüiláteros, a área do triângulo BDE é:

a)

34

b)

36

c)

38

d)

310


A Área do triângulo BDE será dado por:

2

2DMBE

A

alturabaseA

×=

×=

O segmento DM corresponde a altura do triângulo eqüilátero DCE

dado por: 322

3.4

2

3. ==== lDMH

O segmento BE = BC + CE →→→→ BE = 4 + 4 = 8

Logo, temos: 38

2

328

2

2

=×=×=

×=

DMBEA

alturabaseA

GABARITO: D 72. O número de anagramas da palavra SOLEIRA que começam com vogal é a) 2720. b) 2780. c) 2860. d) 2880.

TÓPICO: ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Deve-se inicialmente tratar a condição mais restritiva. Assim, temos 4 opções para a vogal que inicia o anagrama e, então, os 6 elementos restantes devem ser permutados. Logo, o número de anagramas da palavra SOLEIRA que começam com vogal é 4 × 6! = 4 × 720 = 2880.

GABARITO: C

73. O raio da base de um cone equilátero mede .32 cm . O volume

desse cone, em cm3, é:

a) π342

b) π338

c) π24

d) π18 TÓPICO: GEOMETRIA ESPACIAL

Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática Sendo cone eqüilátero a geratriz vale: g = 2R.

cmgRg 34)32.(22 ==→=

Pelo teorema de Pitágoras calculamos a altura do cone:

.246.)32.(.3

1)..(

3

1..

3

1

6

)32()34(

)(

322

222

222

cmHRHAbaseVcone

cmH

H

RVOHg

πππ ====

=+=

+=

GABARITO: B

74. A parábola y = x2 intercepta a circunferência de centro (0,0) e raio

2 nos pontos a) (-1,1) e (2,4). b) (-1,1) e (1,1). c) (-2,4) e (2,4). d) (-2,4) e (1,1).

TÓPICO: GEOMETRIA ANALÍTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:

Equação Reduzida da Circunferência: ( ) 222 )( rbyax =−+−

Se o centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano, então a = 0 e b = 0. Nesse caso, a equação reduzida da

circunferência é: 222 ryx =+

4

222

222

222

=+

=+

=+

yx

yx

ryx

5

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A interseção entre a parábola e a circunferência é a solução do sistema:

GABARITO: B 75. Se a e b são arcos do 2º quadrante tais que

,2

1-cosb e

2

2 ==sena então sen(a+b) é:

a) 4

)23.(2 +− b)

4

)31.(2 +−

c) 4

)12.(3 + d)

4

)23.(3 −

TÓPICO: TRIGONOMETRIA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:

Pela relação fundamental

( )

2

2cos

2

2cos

1cos2

2

1cos

22

22

−=

∈±=

=+

=+

a

IIQaa

a

aasen

( )

2

3

2

3

12

1

1cos

2

22

=

∈±=

=

−+

=+

senb

IIQbsenb

bsen

bbsen

Pela Fórmula da Adição e Subtração de arcos temos:

4

)31(2)(

2

2.

2

3

2

1.

2

2)(

cos.cos.)(

+−=+

−

+

−

=+

+=+

basen

basen

asenbbsenabasen

Boa sorte!

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