RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Problemas · Resistência de Materiais II 3 Figura 1-2 a. O momento...

1

SECÇÃO DE ESTRUTURAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Problemas

1. Flexão Plástica 2. Corte 3. Torção 4. Solicitações Compostas e Verificação da Segurança 5. Métodos Energéticos 6. Encurvadura

Ana Raquel Fernandes Rodrigues de Paula

Carlos Manuel Tiago Tavares Fernandes

João Carlos Gomes Rocha de Almeida

Capítulo 1. Flexão Plástica

2

1. Flexão Plástica

1. Uma viga de secção transversal quadrada, orientada como indicado na Figura 1-1, é submetida a uma carga vertical. Determine o momento de cedência, o momento plástico e o respectivo factor de forma.

Figura 1-1

2. Uma barra de secção sólida circular de raio r está sujeita a flexão. Qual a

percentagem em que o momento requerido para causar a cedência das fibras à

distância 2r da linha neutra excede o momento que apenas causa a plastificação das fibras extremas?

3. Considere a secção transversal em T de um elemento estrutural, representada na

Figura 1-2. Determine:

A

B

C

D

a

45º 2

a

2

a

45º

P

Resistência de Materiais II

3

Figura 1-2

a. O momento resistente em regime elástico e plástico. b. O factor de forma da secção.

4. Assumindo que o momento plástico dos elementos estruturais é MP, determine a

carga última, Pu, associado ao colapso das estruturas representadas nas figuras seguintes:

Figura 1-3

Figura 1-4

[mm]

[ ]MPaσ

ε

1

1

250

210 GPa

250

300

2

50

250

50

P

A B C D

2P

2L 4L 4L

2L 2L 3L2 3L

P 2P

A B

C

D

E


4

Figura 1-5

Figura 1-6

Figura 1-7

p

A B

L

A E

B C D

3P

2P

L L

L

P

A B C

D E

F

P

L 2L 2L 2L2L


5

Figura 1-8

Figura 1-9

5. Considere a estrutura representada na figura 1-10 e admita que o comportamento do material à flexão é elástico perfeitamente plástico, como indicado. Considere apenas a deformabilidade por flexão em todos os cálculos que efectuar e despreze a influência do efeito do esforço axial e esforço transverso no valor do momento plástico secção.

A

L

P

L

C B

L

A

h1

D

C B

P

h2


6

Figura 1-10

a. Determine o momentos flectores elásticos na estrutura e diga qual a carga para a qual se forma a primeira rótula plástica.

b. Calcule a carga de colapso da estrutura. Justifique com base nos teoremas da análise limite.

Figura 1-11

c. Para uma determinada carga P de valor igual a 2,9 MP/L o diagrama de

momentos flectores é o indicado na figura 1-11. Como calcula os momentos a que a estrutura fica sujeita quando essa carga é retirada?

6. A viga representada na figura é constituída por um perfil IPE300, e está

suspensa em três tirantes cuja secção transversal é de 16 cm2.

0,033MP

MP

0,933MP

P=2,9 MP/L

2P=5,8 MP/L

3L

2 3L

2P

P

A

B

C D

1

L

M

1/R

MP

MP


7

Figura 1-12

a. Para a carga P indicada na figura, trace os diagramas de esforços na viga e nos tirantes.

b. Determine o valor da carga que provoca a plastificação de uma secção, Pced.

c. Calcule um majorante e um minorante da carga de colapso da estrutura. d. Determine o valor da carga que provoca o colapso da estrutura, Pc,

efectuando uma análise: d.1) Elastoplástica; d.2) Limite;

e. Trace os diagramas de esforços no colapso.

7. Considere a estrutura e carregamentos indicados na figura:

Figura 1-13

p L

A

B C

D

L/2

p

L/2

L

P

A C D

E

1

4,0 3,0 1,0

2

G F

2,0

IPE300

E=210 GPa σced=210 N/mm2

B


8

a. Admitindo que a estrutura tem comportamento elástico linear com módulo de elasticidade E e de secção transversal constante, com momento de inércia I, determine em função de p, L, E e I o momento flector e a rotação do nó rígido B. Despreze a deformabilidade por esforço transverso.

b. Admitindo um diagrama de momentos flectores-curvatura elástico perfeitamente plástico e designando por Mp o momento plástico da secção transversal, determine em função de Mp e L um majorante e minorante da carga de colapso da estrutura.

c. Determine a carga de colapso e o respectivo mecanismo a esta associado.

8. Calcule o valor da carga de colapso da viga de capacidade plástica linearmente variável representada na figura 1-12. Desenhe o mecanismo de colapso e o diagrama de momentos flectores no colapso.

Figura 1-14

9. Considere o pilar representado na figura 1-13. submetido a uma carga

excêntrica, P, e . as duas superfícies de cedência nas figuras 1-14 a) e 1-14 b), com e sem interacção, respectivamente. Na situação 1-14 b) considera-se a aproximação linear da superfície de cedência da secção rectangular. A tensão de cedência é cedσ .

p

A B

10 m x

( ) 100 112,5p

xM x kN m

m = ⋅ −


9

Figura 1-15 Figura 1-16

Determine as cargas de colapso associadas às duas superfícies de cedência. Compare o resultado obtido e justifique-o com base no teorema estático da análise limite.

P

A

B C

2c

P

MM

L

H a

P

NN

1

-1

-1

1

P

MM

P

NN

1

-1

-1

1

a)

b)

Capítulo 2. Corte

10

2. Corte

1. Para ligar duas barras de aço sujeitas a um esforço de tracção de F=200 kN,

pretende-se utilizar duas cobrejuntas com parafusos da classe 4.6 com 20 mm de diâmetro.

Figura 2-1

Determine o número de parafusos necessário. Não considere as possibilidades de esmagamento da chapa ou ovalização do furo.

2. Determine o diâmetro mínimo que o parafuso deve ter para suportar o sistema

estrutural indicado na figura 1-16. Considere que o parafuso é da classe 4.6.

Figura 2-2

3. Para a secção triangular equilátera representada na figura seguinte:

F F

F F

1,1 kN

A

80 mm

250 mm


11

Figura 2-3

a. Trace o diagrama de tensões 32σ e determine a sua lei de variação com o

eixo x2. b. Calcule max

32σ e indique em que ponto se atinge esse valor.

4. Considere a viga em consola constituída por uma cantoneira 200×200×20 e solicitada por uma carga concentrada P na sua extremidade:

Figura 2-4

a) Represente o diagrama de tensões normais na secção de encastramento, indicando todos os valores numéricos necessários à sua perfeita definição.

b) Determine a posição da linha neutra. c) Supondo que a linha de acção de P passa pelo centro de corte da secção e é

perpendicular ao eixo de simetria da secção, determine: c.1) A lei de variação das tensões tangenciais em função de s. c.2) A resultante das tensões tangenciais.

x2

x1

V

a

G

L

P

P

x2

x1 20

200

[mm]

20

200

L=2m P=500 kN E=210 GPa ν=0,3

B A

Capítulo 2. Corte

12

Figura 2-5

d) Determine a área de corte da secção segundo o eixo 2. e) Determine a equação da elástica considerando a deformabilidade por esforço

transverso. Calcule o deslocamento vertical na extremidade da consola (ponto B) devido a à flexão e ao esforço transverso. Compare o resultado obtido com o que obteria se tivesse desprezado esta última parcela.

5. Considere a viga constituída por duas peças de madeira, ligadas entre si por pregos, com as dimensões indicadas na figura. A viga encontra-se encastrada numa das extremidades e na outra está aplicada uma força de 3 kN.

Figura 2-6

a) Sabendo que a tensão de segurança na madeira para estados de flexão é de 10seg MPaσ = , determine o máximo vão L que a viga pode apresentar.

b) Se cada prego resiste a um esforço de corte de 0,6 kN, qual o afastamento máximo entre pregos?

P

x2

x1

s

G

L

3kN af

x1

x2

5

5

8,75

31,25

[cm]

40


13

c) Represente o diagrama de tensões tangenciais na secção.

6. Considere a seguinte secção transversal:

Figura 2-7

a) Represente o diagrama de tensões tangenciais da secção para: a.1) um esforço transverso de 500 kN segundo o eixo x1. a.2) um esforço transverso de 500 kN segundo o eixo x2 e passando no centro de

corte da secção. b) Determine a posição do centro de corte da secção. c) Calcule a área de corte segundo a direcção 1.

20 5 1

[cm]

30

1

1

16

16

18,147 7,853

x2

x1 G

Capítulo 2. Corte

14

7. Relativamente à secção representada na figura seguinte, determine a posição do

centro de corte. Considere a espessura e constante ao longo da linha média.

Figura 2-8

10

10

12,5 7,5

12,5

7,5

e = 2cm

[cm]

x2

x1 G

e


15

3. Torção 1. Um veio de secção circular oca com 1,5m de comprimento tem um momento torsor

aplicado na sua extremidade livre.

Figura 3-1

a) Qual é o valor do momento torsor máximo que pode ser aplicado ao veio de modo a que a tensão tangencial não exceda 120MPa?

b) Qual o valor mínimo da tensão tangencial correspondente a esse momento torsor? c) Que ângulo de rotação no ponto B irá originar uma tensão tangencial mínima de

70MPa no veio? (G = 80GPa). d) Que momento torsor deverá ser aplicado ao veio para produzir uma rotação de 2º no

ponto B? 2. Considere uma barra de secção circular com 10cm de diâmetro, constituída por dois

materiais, alumínio e cobre, tal como representado na figura seguinte. Qual o máximo momento torsor que pode ser aplicado à barra de modo a que não sejam excedidas as tensões de segurança dos materiais e para que a rotação na extremidade livre não ultrapasse 5º.

Figura 3-2

1,5m [mm]

40

60

Mt

B A

2m

2m

T

alumínio

cobre(τadm)cobre = 60MPa

(τadm)alumínio = 65MPa

Gcobre = 38GPa

Galumínio = 24GPa

A

B

C

Capítulo 3. Torção

16

3. Um veio de aço e um tubo de alumínio estão ligados a um apoio fixo e a um disco rígido, tal como representado na figura seguinte. Sabendo que as tensões iniciais são nulas, calcular o máximo momento torsor que pode ser aplicado ao disco para que não sejam excedidas as tensões admissíveis em ambos os materiais.

Figura 3-3

Aço Alumínio

ττ adm [MPa] 120 70

G [GPa] 80 27

4. Uma barra de secção circular está encastrada nas suas extremidades e sujeita aos momentos torsores T1 e T2. Determinar a distribuição de tensões tangenciais na(s) secção(ões) onde T é máximo. Calcular a máxima rotação por torção.

Figura 3-4

L1 L2 D

T1 T2 2 L1+L2 = L L1 = L/4 T1 = T T2 = T/2

L1

A B C D

0,5m

aço alumínio

8

76

[mm]

T

50 A B


17

5. Considere a viga biencastrada de aço (G=80 GPa) representada na figura.

Figura 3-5

a) Trace o diagrama de momentos torsores. b) Diga em que secção se verifica a máxima rotação por torção e calcule essa rotação. c) Calcule a tensão tangencial máxima.

6. Uma viga de 1,5m de comprimento com uma secção transversal em caixão, tal como

representada na figura seguinte, está solicitada por um momento torsor. A tensão de

corte admissível (τadm) é igual a 84MPa e o módulo de distorção (G) é igual a

8×104MPa.

Figura 3-6

90

9

140

80

108

10

10

8

[mm]

1,5m 1,5m

150

150

100 100 [mm]

12

10

p = 10kN/m p p

A B C

Capítulo 3. Torção

18

a) Calcule o momento torsor máximo. b) Determine o ângulo de torção (em graus) entre as secções extremas da viga. 7. Calcular a distribuição de tensões tangenciais e a rotação por unidade de

comprimento, provocadas por um momento torsor Mt na secção representada na figura seguinte:

Figura 3-7

8. A figura seguinte representa a secção transversal de uma peça constituída por 2 materiais de comportamento elástico linear, cujos módulos de distorção são dados por Ga = 2G e Gb = 3G. A peça está sujeita a torção pura.

a) Determinar a tensão instalada em cada um dos materiais. b) Calcular a rotação relativa das secções por unidade de comprimento.

Figura 3-8

15a

15,5a 18,5a

3a 2a

3a

a

a

a 3a

60a

33a

6a

3a

3a

3a

A

B


19

9. Considere uma barra de secção transversal circular cheia sujeita a um momento torsor. Admita que o material é elástico perfeitamente plástico, isto é, o diagrama tensão tangencial-distorção tem a forma indicada na figura seguinte. Determine a distância ao centro O a partir da qual as fibras atingem a cedência, em função do momento torsor. Determine, também, o momento torsor plástico da secção transversal.

Figura 3-9

10. Considere um veio de secção transversal em forma de coroa circular. Determine o momento torsor máximo que a secção pode suportar em regime plástico.

Figura 3-10

Ri R0

a r

τced

Oτced

τ

γ

Capítulo 4. Solicitações Compostas e Verificação da Segurança

20

4. Solicitações Compostas e Verificação da Segurança 1. Considere a viga representada na figura seguinte, encastrada nas duas extremidades

e solicitada por uma carga uniformemente distribuída ao longo de todo o vão.

Figura 4-1

a) Trace os diagramas de todos os esforços na viga. b) Calcule o deslocamento vertical do centro de gravidade da secção de meio vão. c) Calcule a rotação máxima (em torno do eixo da viga), justificando em que secção se

verifica. d) Com base nos resultados das alíneas b) e c), determine o deslocamento vertical do

ponto X da secção de meio vão. e) Trace quantitativamente os diagramas de tensões na secção de encastramento. f) Verifique a segurança do ponto W da secção A segundo o critério de Mises-Hencky.

Considere que σseg = 160MPa. Sugira em que pontos σcomp toma valores máximos. Nota: Despreze a deformabilidade por esforço transverso em todas as alíneas anteriores. 2. Supondo que a viga representada na figura seguinte é constituída por metade de um

HEB240, determine:

Figura 4-2

a) A máxima tensão tangencial no perfil. b) A máxima tensão de comparação, segundo o critério de Mises-Hencky.

p = 5kN/m

p

W X

15m

100mm

HEB300

E = 210 GPa G = 81 GPa

x2

x1 B A

HEB300

p = 20kN/m p

2m x2

x1 G

½ HEB240


21

3. Supondo que a viga representada na figura seguinte é constituída por um HEB500,

determine:

Figura 4-3

a) As reacções nos apoios e os diagramas de todos os esforços. b) A máxima tensão tangencial no perfil e a máxima tensão de comparação. c) As rotações da secção sobre o apoio B. 4. Considere a viga representada na figura seguinte.

Figura 4-4

a) Determine a posição da linha neutra. b) Determine o valor da tensão de comparação, segundo Mises-Hencky, do ponto P da

secção do apoio A. c) Calcule o deslocamento horizontal do ponto P situado na secção do apoio B. Nota: Resolva as alíneas anteriores recorrendo à formulação nos eixos centrais de inércia. Despreze a deformabilidade por esforço transverso.

p = 10kN/m

10m

p

B

E = 210GPa G = 81GPa

A x2

x1

HEB500

p = 5kN/m

5m

A B

48

75

75

23,4

50 50 [mm]

P p

x2

x1 G

L 150×× 100×× 10

38BV pL=

Capítulo 4. Solicitações Compostas e Verificação da Segurança

22

5. Na figura seguinte apresenta-se esquematizada uma estrutura tridimensional

localizada no plano xz, com um carregamento segundo o eixo y. O carregamento passa pelo centro de gravidade da secção transversal, cuja espessura é constante e igual a 5mm.

Figura 4-5 a) Trace os diagramas de tensões na secção A; b) Calcule a máxima carga P de modo a que a não seja excedida a tensão resistente do

material da estrutura (235 MPa). Utilize o critério de: b.1) Mises-Hencky; b.2) Tresca; c) Calcule a rotação (torção) relativa entre os pontos B e C. Admita que E = 210GPa e

que G = 0,4 E.

y

x

z

1.00 1.00

1.00

1.00

[m]

2P

P

100 100 100

350

5

[mm] x2

x1 G

A B C


23

6. A estrutura em aço (E = 210 GPa, G = 0,4 E, σseg = 235 MPa) representada na figura

seguinte encontra-se localizada no plano 1-2 e está solicitada por uma força P, segundo o eixo 3.

Figura 4-6

a) Determine o máximo valor da força P que pode ser aplicada à estrutura. Utilize o critério de Mises-Hencky.

b) Calcule a rotação da extremidade B.

2,0 m

2,0 m

encastramento

A

B

C

P

P

10

30 2

[cm]

Secção transversal

1

2

3

Capítulo 5. Métodos Energéticos

24

5. Métodos Energéticos 1. Utilizando o teorema de Manabrea calcule os diagramas de esforços na estrutura

seguinte.

Figura 5-1

p

A B

L/2

C

L/2


25

6. Encurvadura 1. Um pilar de aço (Fe360) com 6 m de comprimento é constituído pela secção

transversal indicada na figura. Admitindo que as condições de apoio são encastrado na base e simplesmente apoiado na extremidade superior, determine a carga crítica ideal de acordo com a teoria linear da estabilidade. Esboce o modo de encurvadura associado a esta carga.

Figura 6-1

2. Uma coluna de aço (Fe430) constituída por um perfil INP200 está fixada através de duas barras a meio do seu comprimento, como mostra a figura.

Determine:

a) a carga crítica ideal; b) a máxima carga que pode ser aplicada de acordo com o EC3.

x2

x1 100

50

[mm] 15,5

x2

x1

1,5

9,2

4,2

[cm]

1,5

UNP100 I1=206 cm4 I2=29,3 cm4

A=13,5 cm2

Capítulo 6. Encurvadura

26

Figura 6-2

3. Considere a treliça (Fe510) representada na figura seguinte, cuja secção transversal é meterializada por uma cantoneira de abas desiguais 120×80×10:

Figura 6-3

As ligações entre todas as barras são formadas por rótulas esféricas. Determine máxima carga P que pode ser aplicada à estrutura:

a) de modo a que não ocorra instabilidade elástica em qualquer dos seus componentes;

b) de acordo com o EC3.

Trace qualitativamente a relação P λ− e represente os critérios de plastificação, de coluna ideal e de coluna real.

x2

2,0

x1

[m]

INP200 I1=2140 cm4 I2=117 cm4

A=33,5 cm2

2,0

P

90,0

[mm]

200,0

11,3

x2

2,5

x1

[m]

120×× 80×× 10 I1=276 cm4 I2=98,1 cm4

A=19,1 cm2

10

P

2,5 [cm]

30º

12

1

8 1,95

3,92

x1 x2

B

A D C


27

4. Na estrutura de aço (E=210GPa e G=0,4E) da figura os apoios A e C impedem a torção, D é uma rótula esférica e o nó B está impedido de se deslocar na direcção perpendicular ao plano da estrutura. Determine a carga de instabilidade elástica usando:

a) tabelas; b) resolvendo o problema de valores na fronteira associado.

Compare os resultados obtidos.

Figura 6-4

5. Na estrutura (E=210 GPa) esquematizada considere que o ponto B está impedido de se deslocar.

2,5 [m] 2,5

B A

D

C

3,5

0,04

P

[m]

1,5

B

A x1

C

3,0

P

x2

x3

x1

x2

Coluna AB: I1=449,33 cm4 I2=348,0 cm4

A=28,0 cm2

rótula esférica

rótula cilíndrica (eixo x2)

Capítulo 6. Encurvadura

28

Figura 6-5

a) calcule a inércia da viga BC de modo a que a encurvadura no plano 1-3 se verifique para a carga P=1500 kN;

b) calcule a carga crítica da coluna. 6. Considere a estrutura em aço (Fe360) e carregamento esquematicamente

representados na figura seguinte. Os nós B e C estão impedidos de se deslocarem perpendicularmente ao plano da figura e além disso o nó C está impedido de se deslocar segundo a horizontal.

Figura 6-6

a) Determine a carga crítica da estrutura e represente o respectivo modo de

instabilidade a ela associado. b) Calcule a carga máxima que pode ser aplicada, de acordo com o EC3,

sem que seja excedida a tensão resistente do material.

x2

x1

HEB 220 I1=8091 cm4 I2=2843 cm4

A=91 cm2

P

[mm]

6,0

220

220

P

[m]

3,0 x1 x1

x2 x2

A D

C B Barra rígida à flexão, corte e deformação axial (I1=I2=Ω’1=Ω’1=Ω)=∞


29

7. Considere a estrutura e carregamento esquematicamente representados na figura

seguinte. Todos os nós estão impedidos de se deslocarem perpendicularmente ao plano da figura. Todos os apoios possuem articulações esféricas.

Figura 6-7

a) Determine a carga crítica da estrutura e represente o respectivo modo de

instabilidade a ela associado. b) Calcule a carga máxima que pode ser aplicada, de acordo com o EC3,

sem que seja excedida a tensão resistente do material. c) Diga o que entende por comprimento de encurvadura de uma barra.

I=5000 cm4

A=100 cm2

P

[m]

5,0

6,0

A

D C

B

I=5000 cm4

A=100 cm2

I=2000 cm4

A=50 cm2

Fe360

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