Resistência dos Materiais II - Unidade 02

Unidade 02 – Flexão CompostaResistência dos Materiais II

Elson ToledoFlávia Bastos

Leonardo Goliatt

Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.05

Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 26

Flexão Composta

Programa

1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos


Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência

Programa




Flexão Composta

Introdução e casos de ocorrência

Encontramos diversas situações em Engenharia onde as peças estão solicitadassimultamente pela ação de momentos fletores e esforços normaisA esse tipo de solicitação denominamos flexão compostaOcorrências usuais:

Pilares de cantoGanchosSapatas com cargas excêntricasVigas protendidas



Flexão Composta




Flexão Composta


Fundações submetidas a cargas excêntricas



Flexão Composta


Vigas protendidas



Flexão Composta


Projeto de componentes mecânicos1

1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson,Springer-Verlag, 2009; pg 349-351



Flexão Composta



Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta

Programa




Flexão Composta

Distribuição de tensões normais na flexão composta

Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitaçãoCarga aplicada fora do centroideProvoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade

α

y

z

P

α

y

z

zc

yc

Mz = Pyc

My = Pzc



Flexão Composta


Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitaçãoCarga aplicada fora do centroideProvoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade

P

y

z

C(zc, yc) zc

yc

y

z

zc

yc

α

ESs

s

M

Mz

MyM



Flexão Composta


Considere y e z eixos principais de inérciaRedução da força P em C(zc, yc) ao centroideda seção resulta em uma força e um momento

N = PMy = −Nzc

Mz = Nyc

P é aplicada na direção do eixo da peçaP é positivo se provoca tração na seção

As tensões atuantes são determinadas por su-perposição de efeitos

σx = σNx + σ

Myx + σ

Mzx

y

z

zc

yc

α

s

s

Mz

MyM



Flexão Composta


As tensões atuantes são determinadas por su-perposição de efeitos

σx = σNx + σ

Myx + σ

Mzx

ondeσN

x = NA

σMyx = −

My

Iyz

σMzx =

MzIz

y

o que resulta em

σx =NA−

My

Iyz +

Mz

Izy

y

z

zc

yc

α

s

s

Mz

MyM



Flexão Composta


Considerando que

N = PMy = −Nzc

Mz = Nyc

e substituindo em

σx =NA−

My

Iyz +

Mz

Izy

temos que

σx =NA+

Nzc

Iyz +

Nyc

Izy

y

z

zc

yc

α

s

s

Mz

MyM



Flexão Composta


Com os eixos principais de inércia

σx = NA +

(MzIz

)y −

(My

Iy

)z

= NA +

(NycIz

)y +

(−Nzc

Iy

)z

Definindo o raio de giração tal que Ii = ρ2i A, podemos reescrever

σx =NA

1 + yc

ρ2z

y +zc

ρ2y

z

Essa é a equação de um plano que não passa pela origem (centroide da seção)



Flexão Composta


zy

C

x

yc

zcMy = PzcMz = Pyc

P σx =NA

1 + yc

ρ2z

y +zc

ρ2y

z



Flexão Composta


Com o eixo na linha neutra, onde LNC é a posição da LN na flexão composta

σx =NA+

(Mn

In

)u

s

s

M

ES

LNO

f

f

PLNC

σNx = N

AσMnx =

(Mn

In

)u σx = N

A +(

Mn

In

)u



Flexão Composta


E se os sistema de eixos não coincidir com os eixos principais de inércia,

σx =NA+

MzIy + MyIyz

IzIy + I2yz

y − MyIz − MzIyz

IzIy − I2yz

z

ou

σx =NA+

(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)zIzIy − I2

yz


Flexão Composta Determinação da linha neutra

Programa




Flexão Composta

Determinação da linha neutra

Por definição, a linha neutra (LN) é olugar geométrico onde σx = 0Usando os eixos principais de inércia,e fazendo

σx =NA

1 + yc

ρ2z

y +zc

ρ2y

z = 0

temos

1 +yc

ρ2z

y +zc

ρ2y

z = 0

Esta é uma equação de uma reta quenão passa pela origem

zy

C

x

yc

zcMy = PzcMz = Pyc

P



Flexão Composta

Determinação da linha neutra

Para determinar as ordenadas y0 e z0,podemos usar a equação

1 +yc

ρ2z

y +zc

ρ2y

z = 0

e escrever a forma segmentária

yy0+

zz0= 1

Após algum algebrismo,

z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = −ρ2

zyc

y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = −ρ2

y

zc

y

z

n0

n0s

s

ES

n

n

LN

y0

z0


Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta

Programa




Flexão Composta

Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta

Podemos determinar o paralelismo daLN na flexão composta com a LN daflexão oblíquaSeja β1 a inclinação com relação aoeixo z da LN na flexão puraSeja β a inclinação da LN na flexãocompostaVamos mostrar que β = β1

Na flexão oblíqua temos que

tanα tan β1 = −Iz

Iyy

z

n0

n0s

s

ES

n

n

LN

C

Mz

My

α β1β

zc

yc



Flexão Composta


Na flexão composta observamos que

tanα =yc

zc

e que a equação da LN é

1 +zczρ2

y+

ycyρ2

z= 0

o que permite escever

y =−ρ2

z

yc

1 + zczρ2

y

= a + bz

onde b é a inclinação da LN comrelação ao eixo z

y

z

n0

n0s

s

ES

n

n

LN

C

Mz

My

α β1β

zc

yc



Flexão Composta


O valor de b pode ser calculado como

b = tan β =dydx=−ρ2

z zc

ρ2yyc

Substituindo ρ2z A = Iz, ρ2

y A = Iy etanα = yc

zc

tan β = −Iz

Iy

yc

zc= −

Iz

Iy

1tanα

Resultando em

tanα tan β = −Iz

Iy

y

z

n0

n0s

s

ES

n

n

LN

C

Mz

My

α β1β

zc

yc



Flexão Composta


Comparando os dois resultados

tanα tan β1 = −Iz

Iy, tanα tan β = −

Iz

Iy

Tem-se imediatamente que

tan β1 = tan β ⇒ β = β1

Conclusão:Estando a secão sujeita aos mes-mos momentos fletores, as LN’s naflexão oblíqua e composta têm amesma inclinação

y

z

n0

n0s

s

ES

n

n

LN

C

Mz

My

α β1β

zc

yc


Flexão Composta Núcleo central de inércia

Programa




Flexão Composta

Núcleo central de inércia

Quando se varia o centro de aplicação da carga, a posição da linha neutra variaO diagrama de tensões pode ser:

Bi-triangular: tensões de tração e compressão no campo da seçãoTrapezoidal: tensão de um único sinal em toda a tensão (a LN não corta a seção);Triangular: a tensão nula se reduz a um único ponto

2

2Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidel-berg 2006, XVI, 529 p.



Flexão Composta


Definição: O núcleo central de inércia é o lu-gar geométrico da seção transver-sal, tal que, se nele for aplicadauma carga de compressão P, toda aseção está comprimida. Alternativa-mente,

região da seção transversalonde aplicada uma força nor-mal, sua linha neutra não cortaa seção

LN 1

LN 2

LN 3

y

z

1

2

3



Flexão Composta


Conseqüência: a seção só terá tensões de ummesmo sinal (compressão ou tra-ção) de acordo com o sinal da força

Importância: materiais com baixa resistência atração. Exemplos: murros de ar-rimo, chaminés e pilares

LN 1

LN 2

LN 3

y

z

1

2

3



Flexão Composta


Processo espontâneo de determinação do N.C.apartir de um número finito de tangentes à seçãoda peça: Considerando-as cada uma como umalinha neutra, podemos determinar os centros desolicitação das cargas correspondentes, que seria ocontorno deste núcleo.

LN 1

LN 2

LN 3

y

z

1

2

3



Flexão Composta


Vamos considerar a seção ao lado,submetida a flexão composta dada oruma carga de compressão aplicadaem C, que provoca um momento M

e é a excentricidade da cargan0n0 é e LN na flexão purann é e LN na flexão puraθ é o ângulo entre a LN na flexãopura e o momento M

y

z

n0

n0

s

s

ES

n

n

LN

y0

z0

C

M

u

θ

θ

yc

zc

e

s0



Flexão Composta


A tensão normal se escreve

σx =NA+

Mn

Inu

com

Mn = M sin θ, M = Ne

de onde vem

M = Ne sin θ

A equação da LN (σx = 0) fica

σx =NA+

Ne sin θIn

u = 0y

z

n0

n0

s

s

ES

n

n

LN

y0

z0

C

M

u

θ

θ

yc

zc

e

s0



Flexão Composta


Considerando que u = s0 sin θ vem

NA+

Ne sin2 θs0

ρ2nA

= 0

o que resulta em

1 +e sin2 θs0

ρ2n

= 0

Chegamos finalmente em

es0 =−ρ2

n

sin2θ⇒ es0 = −r2

n

y

z

n0

n0

s

s

ES

n

n

LN

y0

z0

C

M

u

θ

θ

yc

zc

e

s0



Flexão Composta


A equação

es0 = −r2n

relaciona a distância (ao centroide)do ponto de aplicação da carga coma distância (ao centroide) do pontoonde a LN corta o ES

A constante rn =

√−ρ2

nsin2θ

dependea inércia da seção e da posição docentro de solicitação

y

z

n0

n0

s

s

ES

n

n

LN

y0

z0

C

M

u

θ

θ

yc

zc

e

s0



Flexão Composta


Ao lado vemos a variação da LN coma posição do centro de solicitaçãoO sinal negativo em es0 = −r2

n deveser interpretado entendo-se que ocentro de solicitação e o ponto depassagem da LN estão sempre emlados opostos do ES dividido pelobaricentro (antipolaridade)Temos que

e1s1 = −r2n

e2s2 = −r2n

...ek sk = −r2

n

y

z

n1

n1

s

s

ES

s1

s2

s3

e3

e2

e1

n2

n2

n3

n3



Flexão Composta


Para obterms o NCI de uma seçãoqualquer, considere

1 +yc

ρ2z

y +zc

ρ2y

z = 0

Dado C(yc, zc)m podemos obter a LNa partir dos pontos onde esta corta oseixos coordenados

z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = −ρ2

zyc

y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = −ρ2

y

zc

y

z

n1

n1

s

s

ES

s1

s2

s3

e3

e2

e1

n2

n2

n3

n3



Flexão Composta


O processo pode ser realizado deforma “inversa”:

1 Arbitra-se uma LN tangente à seção2 Determina-se y0 e z03 Obtêm-se as coordenada de yc e zc

yc = −ρ2

zy0

zc = −ρ2

yz0

4 Repetem-se as operações anterioresaté que se obtenha um conjuntosatisfatórios de pontos para o NCI

y

z

n1

n1

s

s

ES

s1

s2

s3

e3

e2

e1

n2

n2

n3

n3



Flexão Composta


Análise de uma seção retangular (flexão reta)Vamos determinar a posição do centro de soli-citação (zc, yc) ao longo do eixo y⇒ zc = 0O centro de solicitação tem coordenadas(0, yc)Para satisfazer a cndição do NCI, a LN devepassar por uma das arestas do retângulo (d =± h

2 )

σx(d) ≤ 0⇒ σx(±h2

) ≤ 0

Dai temos (para o caso ao lado)

σx =NA

(1 +

yc

ρ2z

h2

)≤ 0⇒ 1 +

yc

ρ2z

h2≤ 0

y

z

(0, yc < 0)

LN

h

b

d



Flexão Composta


Da condição do NCI,

σx =NA

(1 +

yc

ρ2z

h2

)≤ 0⇒ 1 +

yc

ρ2z

h2≤ 0

o que resulta em

yc ≤ −2ρ2

z

h=

2Iz

Ah= 2

bh3

121

bh1h

E então temos

yc ≥−h6⇒ yc ≤

h6

De modo análogo, temos zc ≤b6

y

z

(0, yc < 0)

LN

h

b

d



Flexão Composta


Outros exemplos de NCI

3

3Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidel-berg 2006, XVI, 529 p.


Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade

Programa




Flexão Composta

Propriedade Fundamental da Antipolaridade

Sejam C(yc, zc) centro de solicitação de umcarregamento enn a LN originada pela aplicação de umacarga em C

Sejam também C′(y′c, z′c) um ponto qualquer

de nn en′n′ uma reta passante por C

Temos então a LN associada a C

nn⇒ 1 +yc

ρ2z

y +zc

ρ2y

z = 0

y

z

n

n

LN

yc

zc

C ′(y′c, z′c)

n′

n′

LN’

C(yc, zc)



Flexão Composta


Podemos mostrar que se

C′ ∈ nn⇒ C ∈ n′n′

onde n′n′ é a LN associada a uma carga cmcentro de solicitação C′

Temos então

C′ ∈ nn⇒ 1 +ycy′cρ2

z+

zcz′cρ2

y= 0

Por outro lado, a equação de n′n′ é

1 +y′cyc

ρ2z+

z′czc

ρ2y= 0 y

z

n

n

LN

yc

zc

C ′(y′c, z′c)

n′

n′

LN’

C(yc, zc)



Flexão Composta


Então, a partir de

1 +y′cyc

ρ2z+

z′czc

ρ2y= 0

concluímos queSe C ∈ n′n′ então

z = zc, y = yc

o que prova a propriedade

y

z

n

n

LN

yc

zc

C ′(y′c, z′c)

n′

n′

LN’

C(yc, zc)



Flexão Composta


A partir de

1 +y′cyc

ρ2z+

z′czc

ρ2y= 0

podemos constatar quequando o C′ → C′′ as LN associadas a estescentros de solicitação giram em torno de C

y

z

n

n

LN

yc

zc

C ′(y′c, z′c)

n′

n′

LN’

C(yc, zc)

C ′′(y′′c , z′′c )

n′′

n′′

LN”



Flexão Composta


Essa propriedade pode ser usada de formainversa:

Dadas duas LN (LN1, LN2) tangentes a umaseção, que passam por um mesmo ponto,podemos determinar todos os centros de soli-citação que passam por uma reta que contemos centros de solicitação associados (C1, C2)

y

z

n

n

LN

yc

zc

C ′(y′c, z′c)

n′

n′

LN’

C(yc, zc)

C ′′(y′′c , z′′c )

n′′

n′′

LN”


Flexão Composta Exemplos

Programa



Flexão Composta Exemplos

Flexão Composta

Exemplos

Determinar o maior valor que a força de tração T ,aplicada no ponto C da seção ao lado, pode atingir.Determine também o diagrama de tensões final paraa carga calculada.Dados:|σ̄c| = |σ̄t | = 150 N/cm2.zc = 0.8 cm;yc = 2.0 cm;

C

20

60

y

z


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