Representação de Funções - fenix.tecnico.ulisboa.pt 6... · equivalente que está agora na...

10/15/10

1

Mário Serafim Nunes Guilherme Silva Arroz

Representação de Funções


  Conceitos básicos   Forma canónica normal disjuntiva   Forma canónica normal conjuntiva   Representação usando apenas um tipo de

função

2010/2011

Sistemas Digitais - Taguspark

2

10/15/10

2


  Há, como já se referiu, várias formas de representar uma função:   Expressão lógica   Tabela de Verdade   Logigrama

  Consideremos um exemplo:

  A função está aqui representada pela sua expressão lógica ou algébrica.

2010/2011


3


  A função está aqui representada como uma soma de produtos.

  Esta não é única expressão lógica possível.   Modificando a expressão obtém-se esta expressão

equivalente que está agora na forma de produto de somas.

  A primeira expressão é uma Forma normal disjuntiva e a segunda, uma Forma normal conjuntiva.

2010/2011


4

Na última expressão o b está entre parêntesis para chamar a atenção que, em geral, estaria uma soma naquela posição

10/15/10

3


  Outra forma de representar a função é através da sua Tabela de Verdade.

2010/2011


5


  A função também pode ser representada por um logigrama. Como o logigrama está ligado à expressão algébrica há vários logigramas possíveis. Exemplifica-se um deles.

2010/2011


6

10/15/10

4


  A tabela de uma função é constituída por um conjunto de linhas a 1 e as restantes a 0. Os 1s podem ser isolados em tabelas específicas:

  É fácil ver que:

2010/2011


7

Considere-se a função anteriormente referida:


  É fácil perceber que   As duas restantes não são tão óbvias mas

analisando-as, resulta:

2010/2011


8

10/15/10

5


  Portanto:   Esta expressão não é tão simplificada como as

anteriores mas é sempre possível e fácil, para qualquer função de qualquer número de variáveis, usar o método descrito para obter, a partir de uma tabela, uma expressão da função com este tipo de estrutura.

  Repare-se que se utilizam apenas as funções AND, OR e NOT.

2010/2011


9


  Esta expressão tem a particularidade de ter um produto por cada 1 na tabela da função e de todos os produtos serem produtos de todas as variáveis da função, usadas directamente ou negadas.

  Esta expressão é a Forma canónica normal disjuntiva

  Este tipo de produto tem o nome de mintermo.   Esta expressão é única (a menos da

comutatividade). A tabela é única. A cada 1 da tabela corresponde um produto na soma.

2010/2011


10

10/15/10

6


  Como cada mintermo corresponde ao 1 de uma das linhas da tabela, podemos designar o mintermo com o número da linha.

  Assim,

2010/2011


11


  A obtenção da expressão de um mintermo a partir do seu número realiza-se fazendo a correspondência do número em binário com as diversas variáveis ou as suas negações.

  O mintermo m2, por exemplo, corresponde à posição da linha 2 da tabela, isto é, à linha em que a=0, b=1 e c=0 (configuração 010 em binário). Daqui se conclui que

2010/2011


12

0 1 0

10/15/10

7


  A uma forma canónica normal disjuntiva corresponde um logigrama que, claro, não é, em geral, o mais simples possível.

  Trata-se de uma estrutura a dois níveis (não contando com as negações)

2010/2011


13

Mário Serafim Nunes Guilherme Silva Arroz 2010/2011


14

10/15/10

8


  Pelo Princípio da Dualidade pode-se considerar agora privilegiar os 0s da tabela:

  Os termos Mi são agora designados por maxtermos e são somas. Por exemplo

2010/2011


15

Considere-se ainda a função anteriormente referida:


  É fácil perceber que

2010/2011


16

10/15/10

9


  Repare-se que, da mesma forma, se utilizam apenas as funções AND, OR e NOT.

  Esta expressão tem a particularidade de ter uma soma por cada 0 na tabela da função e de todas as somas serem somas de todas as variáveis da função, usadas directamente ou negadas.

  Esta expressão é a Forma canónica normal conjuntiva

2010/2011


17


  A obtenção da expressão do maxtermo a partir do seu número é semelhante ao que se observou no caso dos mintermos com as alterações impostas pelo princípio da dualidade.

  O mintermo m3 só assume o valor 1 quando a=0 e b=1 e c=1 e, portanto

2010/2011


18

10/15/10

10


  A função M3 só assume, por seu lado, o valor 0 quando se está na configuração 011, e portanto assume o valor 1 quando a=1 ou b=0 ou c=0. Daí que

2010/2011


19

0 1 1

Note-se que os valores das variáveis estão negados em relação á forma canónica disjuntiva



20

10/15/10

11


  Um conjunto completo é um conjunto de funções que são suficientes para representar todas as outras. Viu-se que o conjunto {NOT, AND, OR} é um conjunto completo.

  Outros conjuntos completos são o conjunto formado só pelo NAND ou o conjunto formado só pelo NOR.

  Se for possível construir um NOT, um AND e um OR com um NAND, então {NAND} é um conjunto completo.

2010/2011


21



22

NOT

Mas é um NAND

AND

Usam-se 3 NANDs

OR

Usam-se 3 NANDs

Ou, graficamente no slide seguinte

10/15/10

12



23

X Y

X Y X Y



24

  O que foi feito para os NANDs podia ser replicado para os NORs.

  É, portanto, possível utilizar apenas NANDs ou NORs usando as regras que se observaram.

  Isso conduz a expressões de grande complexidade.

  Há formas mais simples. Por exemplo para a utilização de NANDs pode-se partir da representação numa forma normal disjuntiva (soma de produtos).

10/15/10

13



25

  Tome-se como exemplo:

  A função negação pode ser considerada uma forma particular de NAND, o NAND com uma entrada.Virá então:

  De igual modo se poderia proceder com um produto de somas para obter uma expressão com NORs.


  Livro recomendado, secção 2.2   Carlos Sêrro: Sistemas Digitais – fundamentos

algébricos, ISTPress 2003, Capítulo 5   Existem muitos livros com capítulos sobre o

assunto.   A Internet é, como de costume, uma fonte que,

explorada com espírito crítico, tem muito para dar.

2010/2011


26

Representação de Funções - fenix.tecnico.ulisboa.pt 6... · equivalente que está agora na...

Documents

Transcript of Representação de Funções - fenix.tecnico.ulisboa.pt 6... · equivalente que está agora na...