BC 1707 - Mtodos Experimentais em Engenharia

Prof Vnia Trombini Hernandes

Relatrio Experimento 4:

Coeficiente de restituio

Clarissa R. R. de Oliveira 11021512

Leticia Fonseca Augusto 11004412

Luciano Aparecido Ronchini 11022912

Yumi Seckler Ohzeki 21007810

Santo Andr

2015

Sumrio

1. Resumo e Contextualizao ............................................................................................. 1 2. Objetivos ................................................................................................................................ 2 3. Procedimento Experimental .............................................................................................. 3

3.1 Materiais .......................................................................................................................... 3

3.2 Mtodos ............................................................................................................................ 4 3.2.1 Medio do intervalo de tempo entre os dois primeiros impactos consecutivos ..................................................................................................................... 4

3.2.2 Medio de dois intervalos de tempo consecutivos envolvendo trs colises ............................................................................................................................... 5 3.2.3 Determinao do coeficiente de restituio a partir do grfico tn x n (ajuste de curva) ............................................................................................................... 6

4. Resultados e discusses ................................................................................................... 7 4.1 Medio do intervalo de tempo entre os dois primeiros impactos consecutivos ......................................................................................................................... 7

4.2 Medio de dois intervalos de tempo consecutivos envolvendo trs colises ................................................................................................................................. 10 4.3 Determinao do coeficiente de restituio a partir do grfico tn x n (ajuste de curva) ................................................................................................................. 11

5. Concluso ............................................................................................................................ 15 6. Referncias .......................................................................................................................... 16 Apndice ................................................................................................................................... 17

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1. Resumo e Contextualizao As colises mecnicas costumam ser classificadas em funo da capacidade de conservao de energia cintica no choque. Desse modo, existem colises perfeitamente elsticas, parcialmente inelsticas e perfeitamente inelsticas. A cada um desses casos est associado um coeficiente de restituio caracterstico. O coeficiente de restituio uma propriedade intrnseca dos materiais e representa a habilidade que cada material possui de absorver energia quando atingido por outro corpo qualquer. Este coeficiente tradicionalmente definido como a razo das velocidades antes e depois do impacto; contudo, tambm possvel obt-lo medindo a altura ou o intervalo de tempo entre choques sucessivos. Neste contexto, o presente experimento prope a determinao do coeficiente de restituio de uma bola de pebolim e de uma bola de ping pong por meio de procedimentos prticos. O coeficiente de restituio da bola de pebolim foi encontrado atravs de dois mtodos distintos. Primeiramente, pela medio do intervalo de tempo entre os dois primeiros impactos consecutivos utilizando o cronmetro. Assim, obteve-se os valores = 0,894 0,174 e =0,787 0,053. Em seguida, pela medio de dois intervalos de tempo consecutivos envolvendo trs colises a partir do conjunto microfone, amplificador e osciloscpio. Dessa maneira, obteve-se o valor =(0,820,11). Por fim, utilizou-se o conjunto microfone, amplificador e osciloscpio no sentido de gerar os pontos experimentais necessrios para determinar o coeficiente de restituio da bola de ping pong atravs do grfico que relaciona tne n. Desse modo, obteve-se o valor =(0,9290,002).

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2. Objetivos Os principais objetivos envolvidos na realizao do presente experimento

so apresentados a seguir:

Avaliaruma grandeza fsica utilizando mtodos diferentes e comparar os resultados obtidos atravs do erro normalizado;

Estimar incertezas experimentais e realizar a combinao e propagao de incertezas;

Realizar o ajuste e a linearizao de curvas exponenciais e logartmicas; Analisar a dureza ou resistncia em materiais diferentes; Estudar a variao da energia cintica de uma bola em choque

parcialmente elstico; Determinar o coeficiente de restituio de diferentes materiais mediante

procedimentos prticos; Utilizar dispositivos mveis e aplicativos para aquisio de udio e

imagem.

3. Procedimento Experimental A realizao do experimento foi dividida em duas partes:

Parte 1: Determinao do coeficiente de restituio da bola de pebolim a) Atravs da medio do intervalo de tempo entre os dois primeiros

impactos consecutivos utilizando cronmetro e o conjunto microfone, amplificador e osciloscpio.

b) Atravs da medio de dois intervalos de tempo consecutivos envolvendo trs colises utilizando o conjunto microfone, amplificador e osciloscpio.

Parte 2:Determinao do coeficiente de restituio da bola de ping pong a partir do grfico tnx n, cujos pontos foram registrados utilizando o conjunto microfone, amplificador e osciloscpio.

Cada parte ser aplicada detalhadamente na subseo 3.2.

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3.1 Materiais Para a realizao do experimento foram utilizados os seguintes

materiais:

Base de granito; Bola de pebolim; Bola de ping pong; 2 Cabos de conexo banana/banana; 2 Cabos de conexo banana/jacar; Caixa contendo dois circuitos amplificadores, cada um deles

conectado a um microfone de eletreto; Cilindro de plstico; Cronmetro; Fonte de alimentao CC; Multmetro digital porttil; Osciloscpio; Pendrive (para armazenamento dos resultados); Rgua; Software Labfit.

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Na tabela 1 esto apresentadas as marcas, os modelos e as incertezas associadas a alguns dos instrumentos utilizados:

Tabela 1:Especificaes dos instrumentos utilizados Instrumento Marca Modelo Incerteza

Cronmetro VolloStopwatch VL-510 0,003 s

Fonte CC

Skill- TEC

SKFA-05D V=1%+2D

i=1%+2D

Multmetro

Minipa

ET-2075B =1,2%+4D

V=0,8%+4D

Osciloscpio Tektronix TDS 2022B -

Rgua Acrilex 60cm 0,05 cm

3.2 Mtodos 3.2.1 Medio do intervalo de tempo entre os dois primeiros impactos consecutivos Nesta etapa, trabalhou-se com o aparato mostrado na figura 1, o qual consiste em uma base de granito, um tubo cilndrico de plstico e a bola de pebolim - que foi a bola sorteada pelo grupo para determinao do coeficiente de restituio.

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Figura 1: Aparato experimental utilizado para determinar o coeficiente de restituio

Primeiramente, utilizando a rgua mediu-se o valor da altura H do cilindro de referncia, cuja funo era induzir a bola a deslocar-se verticalmente. Repetiu-se o referido procedimento trs vezes. Feito isso, soltou-se a bolinha de pebolim do topo do cilindro e mediu-se com o cronmetro o tempo t0 que esta levou entre o lanamento e o primeiro impacto com a base, e o tempo t1, at o segundo impacto. Cada um dos quatro integrantes do grupo realizou a medio trs vezes. Calculou-se e anotou-se tambm o valor de t0 obtido pela equao 1:

t0 =2 (1) Por fim, calculou-se o valor do coeficiente de restituio utilizando o t0 obtido experimentalmente e aquele calculado pela equao 1 atravs da equao 2 abaixo e comparou-se os resultados encontrados pelas duas formas.

= 2 (2)

3.2.2 Medio de dois intervalos de tempo consecutivos envolvendo trs colises Nesta etapa, utilizou-se novamente o aparato da figura 1. Contudo, para registrar os intervalos de tempo entre as colises foi montado o conjunto da figura 2, contendo a fonte de tenso de 5V, o microfone de Eletreto acoplado base de granito, o circuito amplificador e o osciloscpio.

Figura 2: Aparato para a coleta do sinal acstico e visualizao do sinal eltrico

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A bola de pebolim foi novamente lanada do topo do cilindro, e o microfone de Eletreto capturou os sinais acsticos das colises, enviando-os ao osciloscpio aps amplific-los. Com o auxlio dos cursores do osciloscpio, foi possvel encontrar os valores dos intervalos de tempo entre dois impactos sucessivos, t1 e t2. De posse desses valores, calculou-se o valor do coeficiente de restituio da bola de pebolim aplicando a equao 3 apresentada abaixo: = (3) 3.2.3 Determinao do coeficiente de restituio a partir do grfico tn x n (ajuste de curva)

Nesta etapa foi utilizadoo aparato mostrado na figura 2 para coletar os pontos necessrios para a construo da curva de tnem funo de n para a bola de ping pong. Uma vez registrados os pontos utilizou-se o software Labfit para criar o grfico e ajustar uma curva exponencial a partir da equao 4 a seguir:

= 2 (4) Tambm construiu-se um grfico em escala logartmica, a partir do qual foi possvel extrair os valores para e para t0, bem como suas respectivas incertezas.

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4. Resultados e discusses

4.1 Medio do intervalo de tempo entre os dois primeiros impactos consecutivos Os valores obtidos para a altura H do cilindro de plstico encontram-se registrados na tabela 2.

Tabela 2:Altura do cilindro

Altura (cm) Medida 1 47,9

Medida 2 48,0

Medida 3 48,0

Mdia 47,97

Varincia 0,00335

Desvio padro 0,0193

Incerteza instrumental 0,05

Incerteza combinada 0,05

Valor final

47,970,05

Os valores obtidos para t0 e t1 utilizando o cronmetro e o valor calculado de t1 esto expostos na tabela 3.

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Tabela 3: Valores de t0 e t1 obtidos com o cronmetro

t0 (s) t1 (s)

Medida 1 0,21 0,64

Medida 2 0,28 0,86

Medida 3 0,23 0,79

Medida 4 0,33 0,84

Medida 5 0,34 0,82

Medida 6 0,20 0,64

Medida 7 0,17 0,57

Medida 8 0,33 0,76

Medida 9 0,20 0,58

Medida 10 0,29 0,89

Medida 11 0,30 0,78

Medida 12 0,39 0,96

Mdia 0,2725 0,7608

Varincia 0,0048 0,0160

Desvio padro 0,0058 0,0105

Alm da incerteza estatstica - tipo A - representada pelo desvio padro da mdia, tambm preciso considerar a incerteza instrumental do cronmetro (que est registrada na tabela 1) e o tempo de reao do operador, que precisa visualizar o momento em que a bola largada do topo do cilindro para disparar o cronmetro e ouvir os momentos exatos da coliso entre a bola e a base para paus-lo. O grupo atribuiu o valor 0,05s incerteza do tempo de reao do operador, tendo em vista que este precisa estar atento a vrios detalhes para

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realizar uma boa medio. Considerando tais fatores, calculou-se o valor da incerteza combinada tanto para t0 quanto para t1, alm do valor de t1 e sua respectiva incerteza, que depende das duas anteriores. Os resultados obtidos so apresentados abaixo:

t0=(0,2730,050)s

t1=(0,7610,051)s

t1=(0,4880,071)s

Tambm foi calculado o valor terico de t0, atravs da equao 1, indicada em 3.2.1. Deste modo, chegou-se a:

t0=(0,3100,001)ms

Por fim, aplicou-se a equao 2 - tambm indicada em 3.2.1 para calcular o valor de para t0 medido experimentalmente - chamado de !"#!$%&!'(- e o valor de para t0 calculado conforme a teoria - chamado de !$%*+. A incerteza para !"#!$%&!'( e para !$%*+ foi calculada pela equao 5.

,- = ./,01 23 + /,0 23 (5) Chegou-se, assim, aos valores abaixo:

67869:;6? = 0,894 0,174 =69:@A =0,787 0,053

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4.2 Medio de dois intervalos de tempo consecutivos envolvendo trs colises Utilizando os cursores do osciloscpio, foi possvel conhecer os valores dos intervalos de tempo entre dois impactos sucessivos, t1 e t2. Estes valores esto registrados na tabela 4.

Tabela 4: Intervalo de valores entre dois picos consecutivos de impactos t1 (s) t2 (s)

Medida 1 0,44 0,36

Medida 2 0,48 0,39

Medida 3 0,43 0,36

Mdia 0,45 0,37

Varincia 0,0007 0,0003

Desvio padro 0,0088 0,0058

Valor final 0,45 0,05 0,37 0,05

Para calcular o valor correspondente incerteza dos valores mdios de t1 e t2 considerou-se, alm do desvio padro indicado na prpria tabela 4, a incerteza instrumental do osciloscpio - equivalente a 4 ms - a qual foi obtida por meio da variao de seus cursores e observao do menor tempo de amostragem. Tambm foi considerada a incerteza associada irregularidade dos quiques da bola, que por vezes esbarrou na estrutura cilndrica e teve sua trajetria consideravelmente alterada; a este fator atribuiu-se incerteza de 50 ms.

Nesta etapa, o coeficiente de restituio foi calculado de acordo com a equao 6 apresentada abaixo.

Desta maneira, chegou-se ao valor abaixo:

(6)

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= 0,370,45 = 0,82

Por sua vez, o clculo da incerteza associada a foi feito segundo a equao 7 representada a seguir.

,- = ./ GGH . ,J23 + / GGH3 . ,JK23 ,- = .[H3. (H3). ,J] + [,JKH ] (7)

Assim, obteve-se que:

=0,820,11

4.3 Determinao do coeficiente de restituio a partir do grfico tn x n (ajuste de curva) Utilizando o registro gerado pelo conjunto microfone, amplificador e osciloscpio para a sequncia de colises da bola de ping pong, foi possvel extrair os dados necessrios para plotar um grfico de tn em funo de n. Os valores correspondentes ao intervalo de tempo entre dois choques consecutivos (tn) e o nmero de choques depois do primeiro (n) esto apresentados na tabela 5.

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Tabela 5: Intervalo de tempo entre dois choques consecutivos e o nmero de choques depois do primeiro choque

Intervalo de tempo entre dois choques consecutivos (tn)

Nmero de choques depois do primeiro (n)

0,32 1

0,28 2

0,28 3

0,24 4

0,22 5

0,22 6

0,20 7

0,18 8

0,18 9

0,16 10

0,14 11

0,12 12

0,12 13

0,12 14

0,10 15

0,10 16

0,10 17

0,10 18

0,08 19

0,08 20

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Sabendo que a funo que relaciona tn e n a equao 4, apresentada na seo 3.2.3, foi possvel construir um grfico exponencial com os dados obtidos, o qual apresentado na figura 3.

Figura 3: Curva exponencial de tn em relao a n

O programa informou tambm as incertezas associadas aos parmetros 2t0 e . Desta forma, chegou-se aos seguintes valores:

2t0= (336,15,8) ms e = (0,9270,002)

Alm do grfico acima, tambm foi possvel construir um grfico em escala logartmica. A vantagem de utilizar tal escala a transformao da curva da funo exponencial estudada em uma reta, o que facilita a anlise de constantes, bem como a representao de dados que variam bastante - como o caso de uma funo exponencial. Para isso aplicou-se log em ambos os lados da equao 4: log = log(2) log = log + log + log 2 (8)

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Transformando a equao 5 na reta de coeficiente angular a=(log ) e coeficiente linear b= log t0+log 2, foi gerado o grfico apresentado na figura 4.

Figura 4: Curva de log tn em relao a n

Assumindo os valores de incertezas informadas pelo programa Labfit para os parmetros a e b, chegou-se aos seguintes resultados:

a= -(0,0320,001) e b= (2,5160,012)

A partir disto, foi possvel calcular o coeficiente de restituio e o tempo t0 (sabendo que log 2=0,301): = 10' = 10T,U3 = 0,929

log = W 0,301 = 103,XYT,U = 164,06 [

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Para encontrar as incertezas destes valores foi necessrio utilizar os limites do intervalo de incerteza gerado pelo programa. Calculou-se os valores de (a+a) e (a-a) e ento utilizou-se que = 10' para achar os dois valores extremos de ; a partir destes valores chegou-se ao . O valor calculado foi: =0,002. Repetindo o mesmo procedimento para to tem-se: t0= 4,6 ms. Os clculos mencionados neste pargrafo esto registrados no apndice.

Sendo assim, utilizando o grfico chegou-se aos valores abaixo:

=0,929002

to=(164,14,6) ms

5. Concluso Neste experimento foram utilizados dois procedimentos diferentes para

determinar o coeficiente de restituio de uma bola de pebolim e um terceiro mtodo para determinar este coeficiente para uma bola de ping pong.

Na primeira parte, utilizando o cronmetro, chegou-se aos seguintes resultados: = 0,894 0,174 e =0,787 0,053. Alm disso, o clculo do coeficiente de restituio da bola de pebolim tambm foi realizado a partir dos dados obtidos com o auxlio do microfone de eletreto e do osciloscpio. Neste caso, chegou-se ao valor = 0,82 0,11.

Os valores obtidos so bem prximos entre si, considerando suas incertezas, mas distam consideravelmente da tabela fornecida pela professora para ser utilizada como referncia. Contudo, vlido mencionar que o valor desta tabela para a bola de pebolim tambm difere daquele obtido pelo outro grupo que analisou a mesma bola e de valores obtidos por alunos que j realizaram este experimento em outros quadrimestres. Para determinar o coeficiente de restituio da bola de ping pong, o osciloscpio foi utilizado para medir valores de tn,, a partir dos quais foi traada uma curva exponencial de tn em funo de n utilizando o software Labfit, obtendo-se o valor =(0,9290,002). Este valor bastante condizente com o encontrado na literatura, que corresponde a 0,94.

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6. Referncias

[1] Roteiro Experimento 4: Coeficiente de restituio, BC 1707 Edio 1 Quadrimestre 2015.

[2] MENDES. Paulo, Coeficiente de Restituio- Fsica Experimental. Disponvel em: Acesso em 17 de abril de 2015.

[3] The Physics Factbook, Coefficients of Restitucion. Disponvel em: Acesso em 18 de abril de 2015.

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Apndice

Questes

1) Comparar as medidas de t0 (tempo de queda at o primeiro impacto), obtidas para as diversas bolas. Em teoria, estes valores deveriam ser diferentes? Comente. No, em teoria o tempo de queda (t0) deveria ser o mesmo para todas as bolas, j que esse tempo de queda livre depende basicamente da altura do tubo cilndrico e da acelerao da gravidade, valores esses que so os mesmos em todas as medies. Provavelmente a diferena obtida nesses valores ocorreu porque a medida de tempo t0 com o cronmetro bastante imprecisa, visto que depende de diversos fatores, como o tempo de reao do agente realizador do experimento para disparar e parar o cronmetro, a incerteza do prprio cronmetro e ainda a percepo e audio do agente medidor para identificar o momento em que houve a coliso da bola com a base de granito.

2) Comente sobre as principais fontes de incertezas nos procedimentos de medio do coeficiente de restituio.

As principais fontes de incertezas so referentes aos tempos medidos com o cronmetro e tambm na preciso do osciloscpio. O erro associado medio com o cronmetro relativamente grande em razo de as bolas levarem pouco tempo para percorrer a distncia at a base; assim, o tempo de resposta inerente ao ato de pausar o cronmetro torna-se considervel. J nas medidas feitas com o osciloscpio, as incertezas so menores pois a falta de preciso do aparelho representa um pequeno erro em comparao queles encontrados nas medies com o cronmetro, o que explica o fato de ter sido obtido valor mais prximo da teoria na ltima parte do experimento.

3) Faa uma tabela comparativa do coeficiente de restituio de todos os materiais testados, atravs dos diferentes mtodos utilizados. Avalie se,

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com as incertezas estimadas, se pode afirmar que os materiais possuem coeficientes de restituio diferentes.

parte 1a parte 1b parte 2

Pebolim 0,08940,174 0,820,11 -

Ping pong - - 0,9290,002

Considerando as incertezas estimadas, os valores do coeficiente de restituio encontrados para a bola de pebolim e a bola de ping pong se sobrepe.

4) Comente o efeito da base de granito no ensaio. Ela afeta os resultados? Sua massa afeta os resultados? O fato de a base utilizada no ensaio ser de granito afeta os resultados, pois o coeficiente de restituio depende do material dos dois componentes envolvidos na coliso. No caso deste experimento, depende do material da bola e da base de granito. Alm disso, a base de granito lisa e resistente, contribuindo para uma melhor preciso no experimento. A massa da base, contudo, no afeta os resultados, pois a superfcie de contato entre os componentes que colidem a mesma, independente do tamanho e da massa da base.

5) Pesquise na literatura valores para os coeficientes de restituio dos materiais avaliados, e comente a diferena entre estes valores e aqueles obtidos no experimento. Utilize o erro normalizado (Enorm) para esta comparao:

Conforme orientao da professora, utilizou-se o erro normalizado, cuja frmula expressa na equao 9, para comparar o resultado obtido neste experimento para a bola de ping pong e aquele obtido por meio do projeto desenvolvido. No foi possvel utiliz-lo para comparar os resultados obtidos neste experimento com os valores da literatura pela falta de conhecimento da incerteza dos valores de referncia informados no site da disciplina.

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\]^_` = a 0,929 0,91b0,002 + 0,083a = 0,237 6) Descreva trs exemplos de aplicaes industriais para o procedimento descrito neste experimento.

Um exemplo de aplicao industrial para o procedimento realizado neste experimento encontra-se na indstria de calados, mais precisamente nas palmilhas dos sapatos. As chamadas palmilhas especiais, que geram maior conforto e previnem algumas leses, precisam ser fabricadas com materiais que dissipem mais energia (a dissipao de energia est diretamente relacionada ao quadrado do coeficiente de restituio do material). Assim, testes de ensaios mecnicos so feitos nos materiais,para avali-los de acordo com a necessidade do usurio, e ento as palmilhas so produzidas com caractersticas diferenciadas para satisfazer aos variados usurios. Outro exemplo pode ser observado na indstria automobilstica, que realiza uma srie de testes de coliso em veculos automotores. Os veculos precisam ser fabricados com materiais que, quando submetidos a impactos,apresentem deformao que garanta a segurana dos motoristas e passageiros. Nestes testes possvel determinar o coeficiente de restituio, o qual est relacionado pela razo entre a velocidade do veculo antes do choque (aproximao) e depois do choque (afastamento). A partir desse procedimento torna-se possvel analisar as deformaes no veculo e tambm as influncias do choque na vida do motorista e passageiros. Outro exemplo foi identificado na indstria de produo de tatames para lutas. Algumas modalidades esportivas, como jud e o jiu-jitsu, utilizam o tatame no sentido de amortecer as quedas. O material que constitui os tatames precisa ter propriedades fsico-mecnicas que favoream a absoro de

(9)

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energia, elasticidade e amortecimento, para maior segurana dos praticantes destes tipos de modalidades esportivas.

Clculos

I) Clculos dos valores mdios e incertezas

Abaixo esto registrados os clculos da mdia, do desvio padro da mdia (incerteza do tipo A) e da incerteza combinada (que relaciona a incerteza do tipo A com a incerteza do tipo B):

Usando as frmulas abaixo, calcularam-se as mdias e as incertezas:

Mdia:

Varincia experimental:

Desvio padro da mdia:

A incerteza combinada dada pela frmula:

Onde uA a incerteza do tipo A, ou seja, a incerteza estatstica (representada pelo desvio padro da mdia) e uB a incerteza do tipo B, a qual est associada ao material utilizado para realizar as medies (neste caso a rgua).

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Tabela 2: - medidas (cm): 47,9; 48,0; 48,0. - mdia (cm): (47,9 + 48,0 + 48,0)/3= 47,97. - varincia (S)(cm):[(47,9-47,97) + (48,0-47,97) + (48,0-47,97)/]2= 0,00335

- desvio padro da mdia (cm):,UUXU = 0,0193 - incerteza instrumental (cm):0,05 - incerteza combinada (cm):b(0,0193)3 + (0,05)3 = 0,05

Valor final: (47,97 0,05) cm

Tabela 3:

Para t0: - medidas (s): 0,21; 0,28; 0,23; 0,33; 0,34; 0,20; 0,17; 0,33; 0,20; 0,29; 0,30; 0,39. - mdia (s): (0,21+0,28+0,23+0,33+0,34+0,20+0,17+0,33+0,20+0,29+ 0,30+0,39)/12= 0,2725. - varincia (S) (s):[(0,21-0,2725)+(0,28-0,2725)+(0,23-0,2725)+(0,33-0,2725)+(0,34-0,2725)+(0,20-0,2725)+(0,17-0,2725)+(0,33-0,2725)+(0,20-0,2725)+(0,29-0,2725)+ (0,30-0,2725)+(0,39-0,2725)]/11= 0,0048 - desvio padro da mdia (s): ,ef3 = 0,0058 - incerteza instrumental do cronmetro (s): 0,003 - incerteza do operador (s): 0,05 s - incerteza combinada (s):b(0,0058)3 + (0,003)3 + (0,05)3 = 0,050

t0: (0,273 0,050) s

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Para t1: - medidas (s): 0,64; 0,86; 0,79; 0,84; 0,82; 0,64; 0,57; 0,76; 0,58; 0,89; 0,78; 0,96. - mdia (s): (0,64+0,86+0,79+0,84+0,82+0,64+0,57+0,76+0,58+0,89+0,78+0,96)/12= 0,7608. - varincia (S) (s):[(0,64-0,7608)+(0,86-0,7608)+(0,79-0,7608)+(0,84-0,7608)+(0,82-0,7608)+(0,64-0,7608)+(0,57-0,7608)+(0,76-0,7608)+(0,58-0,7608)+(0,89-0,7608)+ (0,78-0,7608)+(0,96-0,7608)]/11= 0,0160 - desvio padro da mdia (s): ,Y3 = 0,0105 - incerteza instrumental do cronmetro (s): 0,003 - incerteza do operador (s): 0,05 s - incerteza combinada (s):b(0,0105)3 + (0,003)3 + (0,05)3 = 0,051

t1: (0,761 0,051) s

O valor de t1 pode ser obtido a partir da seguinte equao:

= t1- t0 (10) = 0,761-0,273= 0,488 s

O valor da incerteza de t1 pode ser obtido a partir da seguinte equao:

gh (g)3 + (g) (11) gh b(0,050)3 = (0,051)= 0,071 s

t1= (0,4880,071) s

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O valor terico de t0 pode ser obtido atravs da equao 1, representada novamente abaixo:

t0 = 3i t0= 3" (ej,kj " lK)

t0= 0,310 s Para calcular a incerteza de t0 terico, deve-se utilizar a equao 11:

g = ./GG ,i23 + /GGm ,23 (11) g = no. 1m ,ip

3 + o2 o 12 /1m2qKp ,p3

Utilizando a incerteza da gravidade como , = 0,05 &rK: g = no. 10,4797 9,81 0,0005p

3 + ob2 0,4797 o 12 / 19,812qKp 0,05p3

g = 0,000829544 s 0,001 s

A partir da equao 2, novamente representada abaixo:

= 2 foram calculados o valor de para t0 medido experimentalmente - chamado de !"#!$%&!'(- e o valor de para t0 calculado conforme a teoria indica -chamado de !$%*+. !"#!$%&!'( = 0,4882 0,273 = 0,894

!$%*+ = 0,4882 0,310 = 0,787

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Tabela 4:

Para t1: - medidas (s): 0,44; 0,48; 0,43. - mdia (s): (0,44+0,48+0,43.)/3= 0,45 - varincia (S) (s):[(0,44-0,45)+(0,48-0,45)+(0,43-0,45)]/2= 0,0007 - desvio padro da mdia (s): ,jU = 0,0088 - incertezado cursor do osciloscpio (s): 0,004 - incerteza associada ao cilindro (s): 0,05 - incerteza combinada (s):b(0,0088)3 + (0,004) + (0,05) = 0,05

t2: (0,45 0,05) s

Para t2: - medidas (s): 0,36; 0,39; 0,36. - mdia (s): (0,36+0,39+0,36)/3= 0,37 - varincia (S) (s):[(0,36-0,37)+(0,39-0,37)+(0,36-0,37)]/2= 0,0003 - desvio padro da mdia (s): ,UU = 0,0058 - incertezado cursor do osciloscpio (s): 0,004 - incerteza associada ao cilindro (s): 0,05 - incerteza combinada (s):b(0,0058)3 + (0,004) + (0,05) = 0,05

t1: (0,37 0,05) s