Regras de Derivacao Produto e Quociente Gabarito
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8/17/2019 Regras de Derivacao Produto e Quociente Gabarito
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REGRAS DO PRODUTO E DO QUOCIENTE
Depois de conhecer a regra da soma e da multiplicação por umaconstante, talvez você chegue à conclusão que a derivada doproduto de duas funções é o produto das derivadas das funções,mas é fácil provar que esta conjectura não é verdadeira !or
e"emplo# se f ( x)= x ² e g ( x)= x ³ , f ' ( x)= 2 x e
g ' ( x)= 3 x ² $ logo, f ' ( x)g ' ( x)= 6 x³ , enquanto
f ( x)g ( x)= x5 e, portanto, [f ( x)g ( x) ]' = 5 x4 %regra correta para derivar um produto é a seguinte
Regra do Produto
&hamando f ( x)deu e g ( x)de v 'ejam u ev funções deriváveis, o produto P ( x)= u . v
tam(ém é derivável e
y= u . v ⇒ y' = u ' v+v ' u
) que tam(ém pode ser escrito comoddx
[f ( x). g( x)]= f ( x) ddx
[g ( x) ]+g ( x) ddx
[f ( x) ]
*m palavras, a derivada do produto u . v é igual a u
vezes a derivada de v mais v vezes a derivada de
u
%plicando a regra do produto ao nosso e"emplo introdut+rio, temos#
( x2 . x3)' = x2( x3)' + x³ ( x2) '
( x2 . x3)' = x2(3 x2 )+ x ³ (2 x)
( x2 . x3)' = 3 x4+2 x4
( x2 . x3 )' = 5 x4
)utro e"emplo, !ara a curva y=( 2 x+1 )(2 x2
− x− 1) #a Determine -.( Determine a equação da reta tangente à curva no ponto
x= 1c Determine todos os pontos da curva nos quais a tangente
é horizontal
'olução#
a
y' = (2 x+1) [2 x2− x− 1]' +[2 x+1 ]' (2 x2− x− 1) y' = (2 x+1)(4 x− 1)+(2 )(2 x2− x− 1)
y' = 8 x2+2 x− 1+4 x2− 2 x− 2
y' = 12 x2− 3
( !ara x= 1 , temos
f (1)=( 2.1 +1 )(2.1 2− 1− 1)∴
f (1 )= 0
%ssim o ponto de tangencia será (1,0 ) % inclinaçãoda reta em x= 1 é#
y' (1)= 12 (1)2− 3 ∴ y' (1)= 12− 3 ∴ y' (1)= 9'u(stituindo na f+rmula ponto/inclinação, estudada emgeometria anal0tica, o(temos#
y− 0= 9 ( x− 1)∴ y= 9 x− 9
c !ara que a tangente seja horizontal, é preciso que a
inclinação seja zero (m= 0 ) , então a derivada
y ’ tam(ém será igual a zero, como#
y' = 12 x2− 3 ∴ 12 x2− 3= 0 ∴ 12 x2= 3 ∴ x2= 312
x2= 14∴ x= √14 ∴ x= ± 12
&alculando f (12 )e f (− 12 ) , encontramos#f (
12 )=− 2 ef (
− 12 )= 0 $ assim, as tangentes
horizontais ocorrem nos pontos
(12 ,− 2)e(− 12 ,0)
Regra do Quociente
&hamando f ( x)de u e g ( x)de v 'ejam u ev funções deriváveis, o quociente Q ( x)= u /v
tam(ém é derivável e
y= u
v
⇒ y' = u' v− v ' u
v ²) que tam(ém pode ser escrito como
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8/17/2019 Regras de Derivacao Produto e Quociente Gabarito
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ddx [ f ( x)g ( x) ]=
g ( x) ddx
[f ( x) ]− f ( x) ddx
[g ( x) ][g ( x)]²
*"emplos# &alcule a derivada do quociente
Q ( x)= x2− 5 x+7
2 xa *fetuando a divisão( 1sando a regra do quociente
'olução#
a
Q ( x)= x2− 5 x+7
2 x ∴ Q ( x)= x ²
2 x− 5 x
2 x + 7
2 x∴ Q ( x)
Q ( x)= 12
x− 52
+72
x− 1⇒ Q ' ( x)= 12
− 0+ 72
(−1)
Q' ( x)= 12
− 72 x2
(
Q ' ( x)= (2 x) [ x2− 5 x+7 ]' − ( x2− 5 x+7 ) [2 x]'
(2 x)2
Q' ( x)= (2 x)(2 x− 5)−( x2− 5 x+7)(2)
4 x ²
Q' ( x)= 4 x2− 10 x− 2 x2+10 x− 14
4 x²
Q ' ( x)= 2 x2− 144 x2
∴ Q ' ( x)= 2 x2
4 x2 − 14
4 x ²
Q ' ( x)= 12
− 72 x ²
Derivada Segunda
% derivada segunda de uma função é a derivada da derivada da
função 'e y= f ( x), a derivada segunda é representadacomo
d ² ydx ²
ou f (x) ou y
% derivada segunda corresponde à ta"a de variação da ta"a devariação da função original
Nota: A derivada comum, f ’( x) , é c amada de derivada!rimeira "uando # nece$$idade de di$tingui%&a da derivada
$egunda, f ” ( x) '
2ão há necessidade de novas regras para o(ter a derivada segundade uma função$ (asta calcular a derivada da função e deriva/la maisuma vez usando as regras já conhecidas
*"emplo#&alcule a derivada segunda da função
y= 5 x4− 3 x2− 3 x+7
'olução# &alcule a derivada primeira
y' = 20 x3− 6 x− 3
* derive novamente para o(ter
y=60x²-6
*"emplo#
&alcule a derivada segunda da função y= x ² (3 x+1 )
'olução
De acordo com a regra do produto, y' = u ' v+v ' u
y' = x2(3)+2 x(3 x+1)
y'
=3
x2
+6
x2
+2 x∴
y'
=9
x2
+2
x %ssim, a derivada segunda é
} =18 x+2 y¿
Nota: Ante$ de ca&cu&ar a derivada $egunda, n(o dei)e de$im!&i*icar a derivada !rimeira tanto "uanto !o$$+ve&' Quantomai$ com!&icada *or a derivada !rimeira, mai$ tra a& o$o $er#o c#&cu&o da derivada $egunda'
Derivada$ de Ordem Su!erior
Derivada Ordem n
!ara qualquer n3mero inteiro n positivo, a derivada de ordem nde uma função é o(tida derivando a função v vezes sucessivas
'e a função original é y= f ( x), a derivada de ordem n érepresentada como
d n yd xn
ou f n( x)
*"emplo# &alcule a derivada quinta das funções indicadas
a y= 4 x3+5 x2+6 x− 1
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( y=1 x
'olução#
a f ' ( x)= 12 x2 +10 x+6
f (x)=24x+10
f ' (x)=24f (4 )( x)= 0
f (5)( x)= 0
( f ( x)= x− 1
⇒ f ' ( x)= − 1 x ²
} left (x ri !t ) = "2} o#er "x³}f ¿
f ' ' ' ( x)= − 6 x4
f (4 )( x)= 24 x5
f (5)( x)= − 120 x6
*4*5&6&7)'#7 &alcule a derivada da função dada#
8 f ( x)= (2 x+1 ). (3 x− 2 )
9 f ( x)= ( x− 5 ). (1− 2 x)
: y= 10 (3 u+1 ).(1 − 5 u )
; y= 400 (15− x2).(3 x− 2)
< f ( x)=13
( x5− 2 x3+1).( x− 1 x )= f ( x)=− 3 (5 x3 − 2 x+5). (√ x+2 x)
> y= x+1 x− 2
? y=2 x− 35 x+4
@ f (t )= t
t ²− 2
8A f ( x)= 1 x− 2
88 f ( x)= 3
x+5
89 y= t ²+11− t ²
8: f ( x)= x
2 − 3 x+22 x
2 +5 x− 1
8; f (t )= t
2 +2 t +1t
2 +3 t − 1
8< f ( x)=(2 x− 1).( x+3)
x+1
8= g( x)=( x2+ x+1).(4− x)
2 x− 1
8> f ( x)=( 2+5 x)²
8? f ( x)=( x+ 1 x )²8@ g(t )=
t 2 +√ t
2 t +5
9A h ( x)= x
x2− 1+ 4− x
x2+1
77 Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto em
que x= x0
98 y= (5 x− 1).(4+3 x); x 0= 0
99 y= ( x2+3 x− 1).(2− x); x 0= 1
9: y= x
2 x+3 ; x0 =−1
9; y= x+75− 2 x ; x0= 0
9< y= (3 √ x+ x). (2− x ²); x0 = 1
9= y=2 x− 11− x ³ ; x0= 0
777 Determine os pontos da curva da função dada nos quais atangente é horizontal
9> f ( x)= ( x+1 ).( x2 − x− 2 )
9? f ( x)= ( x− 1). ( x2− 8 x+7)
9@ f ( x)= x+1
x2
+ x+1
:A f ( x)= x
2 + x− 1 x
2 − x+1
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/3' y= 2 x− 1
/4' (1,− 4)e (−1,0 )
/5' (1, 0 )e(5,− 32)
/6' (0, 1 )e(− 2,− 13)07' (0,− 1)e(2, 53 )0.' (5, 0 ),(3,108 )e(0,0 )
0/' f left (x ri !t ) =450 "x} $ "8} -120 x³
00' f (x)=8 x³-24 x+18
01'
y=- "5 %&rt "x}} o#er "4 x²} + "18} o#er ""x} $
02' y” = 43 x ³ +
√ 2 x4 x² −
√ x8 x ³
03' y=12x-4
04' y=36 x²+30 x+12