8/17/2019 Regras de Derivacao Produto e Quociente Gabarito

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REGRAS DO PRODUTO E DO QUOCIENTE

Depois de conhecer a regra da soma e da multiplicação por umaconstante, talvez você chegue à conclusão que a derivada doproduto de duas funções é o produto das derivadas das funções,mas é fácil provar que esta conjectura não é verdadeira !or

e"emplo# se f ( x)= x ² e g ( x)= x ³ , f ' ( x)= 2 x e

g ' ( x)= 3 x ² $ logo, f ' ( x)g ' ( x)= 6 x³ , enquanto

f ( x)g ( x)= x5 e, portanto, [f ( x)g ( x) ]' = 5 x4 %regra correta para derivar um produto é a seguinte

Regra do Produto

&hamando f ( x)deu e g ( x)de v 'ejam u ev funções deriváveis, o produto P ( x)= u . v

tam(ém é derivável e

y= u . v ⇒ y' = u ' v+v ' u

) que tam(ém pode ser escrito comoddx

[f ( x). g( x)]= f ( x) ddx

[g ( x) ]+g ( x) ddx

[f ( x) ]

*m palavras, a derivada do produto u . v é igual a u

vezes a derivada de v mais v vezes a derivada de

u

%plicando a regra do produto ao nosso e"emplo introdut+rio, temos#

( x2 . x3)' = x2( x3)' + x³ ( x2) '

( x2 . x3)' = x2(3 x2 )+ x ³ (2 x)

( x2 . x3)' = 3 x4+2 x4

( x2 . x3 )' = 5 x4

)utro e"emplo, !ara a curva y=( 2 x+1 )(2 x2

− x− 1) #a Determine -.( Determine a equação da reta tangente à curva no ponto

x= 1c Determine todos os pontos da curva nos quais a tangente

é horizontal

'olução#

a

y' = (2 x+1) [2 x2− x− 1]' +[2 x+1 ]' (2 x2− x− 1) y' = (2 x+1)(4 x− 1)+(2 )(2 x2− x− 1)

y' = 8 x2+2 x− 1+4 x2− 2 x− 2

y' = 12 x2− 3

( !ara x= 1 , temos

f (1)=( 2.1 +1 )(2.1 2− 1− 1)∴

f (1 )= 0

%ssim o ponto de tangencia será (1,0 ) % inclinaçãoda reta em x= 1 é#

y' (1)= 12 (1)2− 3 ∴ y' (1)= 12− 3 ∴ y' (1)= 9'u(stituindo na f+rmula ponto/inclinação, estudada emgeometria anal0tica, o(temos#

y− 0= 9 ( x− 1)∴ y= 9 x− 9

c !ara que a tangente seja horizontal, é preciso que a

inclinação seja zero (m= 0 ) , então a derivada

y ’ tam(ém será igual a zero, como#

y' = 12 x2− 3 ∴ 12 x2− 3= 0 ∴ 12 x2= 3 ∴ x2= 312

x2= 14∴ x= √14 ∴ x= ± 12

&alculando f (12 )e f (− 12 ) , encontramos#f (

12 )=− 2 ef (

− 12 )= 0 $ assim, as tangentes

horizontais ocorrem nos pontos

(12 ,− 2)e(− 12 ,0)

Regra do Quociente

&hamando f ( x)de u e g ( x)de v 'ejam u ev funções deriváveis, o quociente Q ( x)= u /v

tam(ém é derivável e

y= u

v

⇒ y' = u' v− v ' u

v ²) que tam(ém pode ser escrito como

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ddx [ f ( x)g ( x) ]=

g ( x) ddx

[f ( x) ]− f ( x) ddx

[g ( x) ][g ( x)]²

*"emplos# &alcule a derivada do quociente

Q ( x)= x2− 5 x+7

2 xa *fetuando a divisão( 1sando a regra do quociente

'olução#

a

Q ( x)= x2− 5 x+7

2 x ∴ Q ( x)= x ²

2 x− 5 x

2 x + 7

2 x∴ Q ( x)

Q ( x)= 12

x− 52

+72

x− 1⇒ Q ' ( x)= 12

− 0+ 72

(−1)

Q' ( x)= 12

− 72 x2

(

Q ' ( x)= (2 x) [ x2− 5 x+7 ]' − ( x2− 5 x+7 ) [2 x]'

(2 x)2

Q' ( x)= (2 x)(2 x− 5)−( x2− 5 x+7)(2)

4 x ²

Q' ( x)= 4 x2− 10 x− 2 x2+10 x− 14

4 x²

Q ' ( x)= 2 x2− 144 x2

∴ Q ' ( x)= 2 x2

4 x2 − 14

4 x ²

Q ' ( x)= 12

− 72 x ²

Derivada Segunda

% derivada segunda de uma função é a derivada da derivada da

função 'e y= f ( x), a derivada segunda é representadacomo

d ² ydx ²

ou f (x) ou y

% derivada segunda corresponde à ta"a de variação da ta"a devariação da função original

Nota: A derivada comum, f ’( x) , é c amada de derivada!rimeira "uando # nece$$idade de di$tingui%&a da derivada

$egunda, f ” ( x) '

2ão há necessidade de novas regras para o(ter a derivada segundade uma função$ (asta calcular a derivada da função e deriva/la maisuma vez usando as regras já conhecidas

*"emplo#&alcule a derivada segunda da função

y= 5 x4− 3 x2− 3 x+7

'olução# &alcule a derivada primeira

y' = 20 x3− 6 x− 3

* derive novamente para o(ter

y=60x²-6

*"emplo#

&alcule a derivada segunda da função y= x ² (3 x+1 )

'olução

De acordo com a regra do produto, y' = u ' v+v ' u

y' = x2(3)+2 x(3 x+1)

y'

=3

x2

+6

x2

+2 x∴

y'

=9

x2

+2

x %ssim, a derivada segunda é

} =18 x+2 y¿

Nota: Ante$ de ca&cu&ar a derivada $egunda, n(o dei)e de$im!&i*icar a derivada !rimeira tanto "uanto !o$$+ve&' Quantomai$ com!&icada *or a derivada !rimeira, mai$ tra a& o$o $er#o c#&cu&o da derivada $egunda'

Derivada$ de Ordem Su!erior

Derivada Ordem n

!ara qualquer n3mero inteiro n positivo, a derivada de ordem nde uma função é o(tida derivando a função v vezes sucessivas

'e a função original é y= f ( x), a derivada de ordem n érepresentada como

d n yd xn

ou f n( x)

*"emplo# &alcule a derivada quinta das funções indicadas

a y= 4 x3+5 x2+6 x− 1

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( y=1 x

'olução#

a f ' ( x)= 12 x2 +10 x+6

f (x)=24x+10

f ' (x)=24f (4 )( x)= 0

f (5)( x)= 0

( f ( x)= x− 1

⇒ f ' ( x)= − 1 x ²

} left (x ri !t ) = "2} o#er "x³}f ¿

f ' ' ' ( x)= − 6 x4

f (4 )( x)= 24 x5

f (5)( x)= − 120 x6

*4*5&6&7)'#7 &alcule a derivada da função dada#

8 f ( x)= (2 x+1 ). (3 x− 2 )

9 f ( x)= ( x− 5 ). (1− 2 x)

: y= 10 (3 u+1 ).(1 − 5 u )

; y= 400 (15− x2).(3 x− 2)

< f ( x)=13

( x5− 2 x3+1).( x− 1 x )= f ( x)=− 3 (5 x3 − 2 x+5). (√ x+2 x)

> y= x+1 x− 2

? y=2 x− 35 x+4

@ f (t )= t

t ²− 2

8A f ( x)= 1 x− 2

88 f ( x)= 3

x+5

89 y= t ²+11− t ²

8: f ( x)= x

2 − 3 x+22 x

2 +5 x− 1

8; f (t )= t

2 +2 t +1t

2 +3 t − 1

8< f ( x)=(2 x− 1).( x+3)

x+1

8= g( x)=( x2+ x+1).(4− x)

2 x− 1

8> f ( x)=( 2+5 x)²

8? f ( x)=( x+ 1 x )²8@ g(t )=

t 2 +√ t

2 t +5

9A h ( x)= x

x2− 1+ 4− x

x2+1

77 Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto em

que x= x0

98 y= (5 x− 1).(4+3 x); x 0= 0

99 y= ( x2+3 x− 1).(2− x); x 0= 1

9: y= x

2 x+3 ; x0 =−1

9; y= x+75− 2 x ; x0= 0

9< y= (3 √ x+ x). (2− x ²); x0 = 1

9= y=2 x− 11− x ³ ; x0= 0

777 Determine os pontos da curva da função dada nos quais atangente é horizontal

9> f ( x)= ( x+1 ).( x2 − x− 2 )

9? f ( x)= ( x− 1). ( x2− 8 x+7)

9@ f ( x)= x+1

x2

+ x+1

:A f ( x)= x

2 + x− 1 x

2 − x+1

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/3' y= 2 x− 1

/4' (1,− 4)e (−1,0 )

/5' (1, 0 )e(5,− 32)

/6' (0, 1 )e(− 2,− 13)07' (0,− 1)e(2, 53 )0.' (5, 0 ),(3,108 )e(0,0 )

0/' f left (x ri !t ) =450 "x} $ "8} -120 x³

00' f (x)=8 x³-24 x+18

01'

y=- "5 %&rt "x}} o#er "4 x²} + "18} o#er ""x} $

02' y” = 43 x ³ +

√ 2 x4 x² −

√ x8 x ³

03' y=12x-4

04' y=36 x²+30 x+12