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MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES

08 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

... 12/05/2020

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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

𝐶=𝐶 .𝐶

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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

𝐶=𝐶 .𝐶

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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZESMULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Dadas as matrizes e , o produto de por é a matriz , na qual cada elemento é a soma dos produtos de cada elemento da linha de pelo correspondente elemento da coluna de .

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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZESMULTIPLICAÇÃO DE MATRIZESDadas as matrizes e , o produto de por é a matriz , na qual cada elemento é a soma dos produtos de cada elemento da linha de pelo correspondente elemento da coluna de .

Note que o produto das matrizes A e B, indicado por AB, só é definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, e esse produto herdará o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. Observe as cores dos índices na definição acima.

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Exemplo𝐶=(23) 𝐶=(−1 3 4 )

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Exemplo𝐶=(23) 𝐶=(−1 3 4 )

2𝐶1 1𝐶3

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Exemplo𝐶=(23) 𝐶=(−1 3 4 )

2𝐶1 1𝐶3

𝐶 .𝐶=(23). (−1 3 4)

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Exemplo𝐶 .𝐶=(23). (−1 3 4) 𝐶 .𝐶=(2 .(−1) 2.3 2.4

3.(−1) 3.3 3.4)2𝐶 32𝐶1 1𝐶3

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Exemplo𝐶 .𝐶=(2 .(−1) 2.3 2.4

3.(−1) 3.3 3.4)2𝐶 3

𝐶 .𝐶=(−2 6 8−3 9 12)

2𝐶 3

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Para multiplicar matrizes é necessário que no número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz


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No exemplo abaixo, temos que a matriz A é do tipo 2x3 e a matriz B é do tipo 3x2. Portanto, o produto entre elas (matriz C) resultará numa matriz 2x2.

EXEMPLO DE MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

𝐶2𝐶 3 .𝐶3𝐶 2=𝐶2 𝐶2

13

𝐶=[𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22]

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Inicialmente, vamos multiplicar os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Encontrados os produtos, vamos somar todos esses valores:2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6

𝐶=[𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22]

15

Inicialmente, vamos multiplicar os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Encontrados os produtos, vamos somar todos esses valores:2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6

Por conseguinte, vamos multiplicar e somar os elementos da linha 1 de A com a coluna 2 de B:2 . (-2) + 3 . 5 + 1 . 1 = 12

𝐶=[𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22]

𝐶=[ 6 12𝐶21 𝐶22]

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Depois disso, vamos passar para a linha 2 de A e multiplicar e somar com a coluna 1 de B:(-1) . 1 + 0 . 0 + 2 . 4 = 7

𝐶=[𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22]

𝐶=[ 6 12𝐶21 𝐶22]

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Ainda na linha 2 de A, vamos multiplicar e somar com a coluna 2 de B:(-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4

𝐶=[𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22]

𝐶=[6 127 𝐶22]

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Ainda na linha 2 de A, vamos multiplicar e somar com a coluna 2 de B:(-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4

𝐶=[𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22]

𝐶=[6 127 4 ]

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EXEMPLO DE MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

𝐶2𝐶 3 .𝐶3𝐶 2=𝐶2 𝐶2

𝐶=[6 127 4 ]¿

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ExemploDada as matrizes A e B, determinar A.B.

𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

21


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

22


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

23


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

24


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=(2.0+0.5+1.3 𝐶12𝐶21 𝐶22

)

25


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

26


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

27


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 2.1+0.4+1.1𝐶21 𝐶22

)

28


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 3𝐶21 𝐶22

)

29


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 31.0+3.5+4.3 𝐶22

)

30


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 327 𝐶22

)

31


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 327 𝐶22

)

32


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 327 𝐶22

)

33


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 327 1.1+3.4+4.1)

34


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 327 17)

35


𝐶=(2 0 11 3 4) 𝐶=(0 1

5 43 1)

Solução

𝐶 .𝐶=(2 0 11 3 4).(0 1

5 43 1)

𝐶 .𝐶=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

𝐶 .𝐶=( 3 327 17)

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QUESTÃO 01Dada a matriz A e B

Solução

𝐶=(−2 51 23 −3) 𝐶=( 1 0

−2 3)Determine A.B.

A.B

𝐶𝐶=(−6 153 69 −9)×( 1 0

−2 3)

𝐶 .𝐶=((−6)×1+15×(−2) (−6)×0+15×33×1+6×(−2)9×1+(−9)×(−2)

3×0+6×39×0+(−9)×3 )

37


Solução

𝐶=(−2 51 23 −3) 𝐶=( 1 0


A.B

𝐶𝐶=(−6 153 69 −9)×( 1 0

−2 3)

𝐶 .𝐶=((−6)×1+15×(−2) (−6)×0+15×33×1+6×(−2)9×1+(−9)×(−2)

3×0+6×39×0+(−9)×3 )

𝐶 .𝐶=(−6−30 0+453−129+18

0+180−27)

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Solução

𝐶=(−2 51 23 −3) 𝐶=( 1 0


A.B

𝐶𝐶=(−6 153 69 −9)×( 1 0

−2 3)

𝐶 .𝐶=(−6−30 0+453−129+18

0+180−27) 𝐶 .𝐶=(−36 45

−927

18−27)

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QUESTÃO 1 PARA CASA

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